关键词：数方格法。平行四边形
【中图分类号】G40-03 【文献标识码】 【文章编号】
[教学内容]苏教版五年级数学（上册）第12－13页例1、例2、例3。
[教材简析]平行四边形面积的计算共分两课时教学。第一课时主要是引导学生探索平行四边形的面积公式，第二课时主要是应用平行四边形的面积公式。本设计是第一课时。教材安排了三道例题。例1从比较方格纸上每组中的两个图形面积是否相等入手，引导学生把少复杂的图形转化成相对简单的熟悉的图形，让学生初步感受转化方法在图形面积计算中的作用，并为进一步的探索活动提供基本思路。例2引导学生通过平移把平行四边形转化为长方形，教材一方面突出了平移在转化过程中的应用，另一方面也鼓励学生用不同的方法实现转化的目的。例3的重点则放在探索平行四边形与转化成的长方形之间的联系上。
[教学目标]
1、懂得用转化的方法把平行四边形转化成长方形，探索出平行四边形面积计算公式，并能应用公式计算平行四边形的面积。
2、理解图形之间的内在联系，体验探究平行四边形面积公式的过程。
3、培养学生的操作、比较、抽象、概括能力。感受数学与生活的联系。
[教学重点]掌握平行四边形面积公式。能正确计算平行四边形的面积。
[教学难点]平行四边形面积公式的探究推导过程。
[教学过程]
一、谈话导入
同学们，上节课我们进行了《面积是多少》的动手操作实践活动。你们还记得求不规则图形面积的方法吗？（学生回顾并交流了上节课学习的“四种”不规则图形面积的计算方法）这节课，我们就运用这些方法来探究“平行四边形面积的计算”这个问题。板书课题：平行四边形面积的计算。
二、探究新知
1、课件出示例1插图。判断每组中的两个图形面积是否相等。
（1）观察每组的两个图形说一说自己判断的方法。
生1：我是通过数方格的方法知道每组的两个图形面积相等的。
生2：我是通过平移的方法知道每组的两个图形面积相等的。
根据学生的回答师板书：
方法一：数方格法。
方法二：平移法。
（2）师问：比较上面两种方法你们认为哪种方法比较简便呢？学生经过比较和交流，一致认为方法二比较简便。
（3）师小结：把每组左边的图形经过分割平移，就转化成了和右边一样的图形。转化法是我们以后经常要用到的方法。教师利用课件演示。
2、课件出示例2插图。你能把平行四边形转化成长方形吗？
（1）师问：怎样把平行四边形转化成长方形呢？（以小组为单位，拿出课前准备的方格纸、直尺和剪刀动手操作）。
（2）组织学生汇报。
①从平行四边形左边（或右边）剪下一个直角三角形，然后向右（或向左）平移，可以拼成一个长方形。
②将平行四边形沿高剪下，然后向右平移，也可以拼成一个长方形。
设计说明：学生可能想出很多方法，分割平移转化成长方形，让学生体验各种方法的合理性，并对各种方法进行比较，掌握简单、易于操作的方法，并且在头脑中形成表象
3、课件出示例3。
（1） 要求学生从教材第127页上剪下一个平行四边形。学生动手操作。
（2）组织学生把它转化成长方形，求出面积。完成例3中的表格（以小组为单位完成填表）。
（3）指导讨论：（课件出示讨论提纲）
① 转化成的长方形与平行四边形面积相等吗？
②长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系。
③根据长方形的面积公式，怎样求平行四边形的面积呢？
（4）、教师启发性小结：我们用割拼法把平行四边形转化成长方形，什么发生了变化？，从什么变成了什么？，什么没有变？。再想一想，平行四边形的底等于长方形的什么？，平行四边形的高等于什么?，长方形的面积＝长×宽，那么平行四边形的面积呢？板书：（略）。
如果用S.a.b分别表示平行四边形的面积、底和高。那么平行四边形的面积公式可以写成S＝ab
（5）教学“试一试”（先独立完成，集体反馈时指名说一说所应用的面积公式。）
设计说明：学生经过动手操作、转化、计算、填表、比较等一系列实验活动，沟通了新旧知识的内在联系，探究出了平行四边形的面积公式。
三、巩固练习
1、选择题、（把正确答案前的编号填在括号里）
右图的面积是（ ）
①15m ②15m2 ③15cm2
2、操作练习：（先画一个平行四边形，测量出有关数据，再计算平行四边形的面积。）
设计说明：练习为了培养学生的动手操作能力和应用公式计算面积的能力。
四、全课总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么不懂的问题？ 同桌交流自己的体会培养学生的抽象概括能力。
[资料链接]《新课标》九年义务教育学段的“空间与图形”部分，和平行四边形有关的知识有：
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形面积＝底×高。
3、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分。
重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．
难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的
外角和它的内对角的相互对应位置．
3.教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；
（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．
一、教学目标：
（一）知识目标
（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；
（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．
（二）能力目标
（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；
（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；
（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．
（三）情感目标
（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；
（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．
二、教学重点和难点:
重点：圆内接四边形的性质定理．
难点：定理的灵活运用．
三、教学过程设计
（一）基本概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做O的内接四边形，而O叫做四边形ABCD的外接圆．
（二）创设研究情境
问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？
研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）
教师组织、引导学生研究．
1、边的性质：
（1）矩形：对边相等，对边平行．
（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．
（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．
归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．
2、角的关系
猜想：圆内接四边形的对角互补．
（三）证明猜想
教师引导学生证明．（参看思路）
思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?
∠A=，∠C=
∠A+∠C=
思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?
这时有2(α+β+γ+δ)=360°
所以α+β+γ+δ=180°
而β+γ=∠A，α+δ=∠C，
∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补．
（四）性质及应用
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．
（对A层学生应知，逆定理成立，4点共圆）
例已知：如图，O1与O2相交于A、B两点，经过A的直线与O1交于点C，与O2交于点D．过B的直线与O1交于点E，与O2交于点F．
求证：CE∥DF．
（分析与证明学生自主完成）
说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．
②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新．
巩固练习：教材P98中1、2．
（五）小结
知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．
思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变．
（六）作业：教材P101中15、16、17题；教材P102中B组5题．
探究活动
问题：已知，点A在O上，A与O相交于B、C两点，点D是A上（不与B、C重合）一点，直线BD与O相交于点E．试问：当点D在A上运动时，能否判定CED的形状？说明理由．
分析要判定CED的形状，当运动到BD经过A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，CED的形状保持不变．
提示：分两种情况
（1）当点D在O外时．证明CDE∽CAD’即可
（2）当点D在O内时．利用圆内接四边形外角等于内对角可证明CDE∽CAD’即可
说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；
（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；
掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。
二、教学重点和难点：
重点：圆内接四边形的性质定理。
难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用。
三、教学过程：
1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念。
2、利用几何画板：
①②（1）探索：如图，点D在O上（和A、C不重合）移动，试讨论∠D和∠B的大小关系？
（学生对第一种情况比较熟悉，但对于第二种情况做适当的提示：利用几何画板把D点在圆上移动！）
通过学生的思维，可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补。
利用此时的几何图形，由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示。立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳，从而得到定理：
圆内接四边形的对角互补。（书写符号语言）
（2）对定理进行巩固
①如图，四边形ABCD为O的内接四边形，
已知∠BOD=140°，则∠BAD=°∠BCD=°
②如图，已知AB是圆O的直径，∠BAC=40°，D是弧AB上的任意一点，那么∠D的度数是°
（3）外角的引入
紧接着前面的练习，和学生共同研究探索题：
（对于上面的探究性应用题，针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）
当学生最后得到∠E的度数后，立即提问：
从∠A=70°到求出∠E=110°，在整个过程中，哪个角起了关键的作用？从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系？从而得到∠DCF=∠A的结论。利用几何画板的优势，隐藏O2和线段DE、EF得到外角的基本图形
再引导学生得出外角和内对角的定义，让学生把刚才的结论归纳成定理即：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
（书写符号语言）
（4）对定理进行必要的巩固练习
如图，O1和O2都经过A、B两点，图中有两组相等的角，每组有三只角相等，你发现了吗？
（5）讲解例题：
如图，O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线与O1相交于点C，与O2相交于点D,经过点B的直线与O1相交于点E，与O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系？并加以证明。
（突出作辅助线的必要性，并在黑板上书写过程）
3、课堂小结：
通过本节课的学习，你学会了那些知识点？（学生完成）
4、课堂练习：
①②
（1）如图，已知∠BAE=125°，则∠BCD=°∠BOD=°
（2）如图，已知在圆的内接四边形中，AB=AC，E是CD延长线上一点，你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系吗？并证明。
（3）探索：
圆内接平行四边形是什么特殊的四边形？
（给学生一定的时间思考，然后充分利用几何画板，让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形，调动学生思维的积极性，并且让学生的思维得到了充分的展示）
思考：
你能说出下面图中有几对相似三角形吗？并说出其中一对相似三角形的证明过程。
（4）
教学目标：
1、理解、掌握平行四边形面积的计算公式形成过程，能正确计算平行四边形的面积。
2、通过画一画、剪一剪、拼一拼等活动，经历平行四边形面积计算的推导，体验转化的数学思想和方法。
3、在探究和尝试过程中培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。
教学重点：理解并掌握平行四边形面积计算的方法。
教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程。
教学过程：
一、引入
1、出示
2、问：如果我想计算平行四边形的面积，你想知道哪些数据？
二、探究
（一）、猜测平行四边形面积计算方法
1、学生猜测
2、各自表述理由
3、二次修正猜想
（二）小组合作验证猜想
1、小组借助工具验证猜想
2、交流汇报
3、三次修正猜想
4、借助课件进一步理解
（三）自主验证任意一个平行四边形都可以用底×高求面积
（四）得出结论
结：如果用S
表示平行四边形的面积，
用a
表示平行四边形的底，
用h
表示平行四边形的高，
平行四边形面积的计算公式是:S＝ah
三、巩固练习
1、平行四边形面积如何计算？
2、3、你能想办法求出平行四边形的面积吗？（机动）
四、总结
板书：
平行四边形的面积
猜想：
拉动（面积变化）
转化（面积不变）
验证：
一、设疑而问，引发思考
[片段一]
教师画出一个平行四边形，并给学生提供了一个用纸剪的一样大小的平行四边形，让学生测量长度，学生量出了长度：底边为7cm，邻边为5cm，高为3cm。教师设置疑问：现在要求出这个平行四边形的面积，你有什么办法？说说你是怎么计算的？学生提出了三种方案：方案1：（5+7）×2=24（cm2）；方案2：5×7=35（cm2）；方案3：7×3=21（cm2）。此时教师追问：（5+7）×2=24（cm2）是求什么？学生展开思考，发现这种方案是将两条边相加再乘2，这种做法求出来的是平行四边形四条边的和，也就是平行四边形的周长，而不是面积。此时教师追问：这种算法算出的结果是周长，那么计算结果单位应该用什么？学生指出，周长的面积单位应该是cm，而不是cm2。教师对方案1点评：如果是要求平行四边形的周长，这个方法是正确的。但现在我们要求的是面积，这种方法你认为可行吗？学生立刻否定了这种方案。教师随即将这种方案删掉。
[赏析]
在小学数学教学中，教师常用的教学策略便是提问。通过提问激发学生的好奇心，引发学生参与数学探究的积极性。朱老师在课堂之初就提出了疑问：如何求这个平行四边形的面积？学生在这个疑问的驱使下，找到了三种解决问题的办法，此时朱老师又引发了学生的疑问：到底哪种方案才是正确的呢？由此对方案一展开探究。朱老师进行了三次提问：这是求什么？如果求周长单位应该是什么？你认为这种方案求面积可行吗？这三个问题引导学生厘清了面积和周长两个不同的概念，并由此明确了这节课的主要内容：要求出平行四边形的面积，引导学生将注意力放在这个关键问题上，展开自主探究。这些有效的问题设置，让数学课堂节奏紧凑，为学生打开了思维之门。
二、以问探路。激活思维
[片段二]
教师继续引导学生讨论另外两种方案，并让学生交流：5×7=35（cm2）是求什么？为什么要这样求？学生指出，这是将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底边乘邻边。教师出示一个可以拉动的平行四边形，让学生将其拉成一个长方形，而后让学生观察并思考：这个长方形和原来的平行四边形相比，有什么变化？哪个是平行四边形的底边，哪个是邻边？你发现了什么？学生认为，长方形的长就是平行四边形的底边，宽就是平行四边形的邻边。也有学生认为，平行四边形的面积变大了，宽并不是平行四边形的邻边，因为将平行四边形拉成一个长方形，不但形状变了，面积也变了。
[赏析]
有效的问题设置，能够引发学生的认知冲突，激活学生的思S，使之思路清晰。学生对底边乘邻边的算法存在疑问，此时朱老师通过活动演示，展开思辨性的探究，让学生发现问题的关键在于平行四边形的面积变大了，从而为下一步学生深入探究做好了铺垫。
三、巧妙设问，提升思维
[片段三]
教师演示将平行四边形拉动的过程，追问学生：现在平行四边形的什么变了，什么没变？学生发现平行四边形的周长没变，但面积变了。教师追问：该怎么求平行四边形的面积？学生认为，运用剪拼的方法，将平行四边形的高剪下来，然后移动到左边，这样就将平行四边形转化为一个面积相等的长方形。这个平行四边形的高就是长方形的宽，底边就是长方形的长。教师再追问：那么，平行四边形的面积怎么计算？哪种方案是正确的？学生指出，底边是7cm，高是3cm，平行四边形的面积等于底边乘高即7×3=21（cm2）。教师继续追问：同样是把平行四边形拉成长方形，为什么刚才的底边乘邻边不对呢？学生认为，将平行四边形拉成―个长方形，面积变了；将平行四边形剪拼为长方形时，面积没变。教师追问：在拉的过程中什么没变？剪拼的过程中什么变了？学生认为，平行四边形拉动为长方形，周长没变；拼接为长方形时，周长变了。
[赏析]
一、借助四边形章节内容的生动性，激发初中生探究的内在情感
四边形章节是初中数学平面几何知识体系的重要组成部分。通过对四边形章节内容的整体研析，可以发现，四边形章节包含了不规则四边形、平行四边形、梯形、等腰梯形、菱形、矩形等四边形知识。四边形章节的这些丰富的特性，为激发初中生探析的内在情感提供了有利条件。因此，在四边形章节教学中，教师要善于发挥四边形内容的生动性，抓住学生情感兴奋点和聚焦点，设置有效的教学情境，激发起初中生主动探析的欲望。
如在“平行四边形的判定”教学活动中，教师利用平行四边形的应用性，在引导初中生探究“平行四边形的判定”内容时，先向学生提出了“小明现在有12厘米、13厘米、13厘米的三根木棒，如果小明想拼接成一个平行四边形，他现在需要再准备一根多长的木棒？”的问题，这样，初中生在感知现实问题案例中，主动探析的积极情感得到了激发，为有效探析打下了坚实的思想“根基”。需要注意的是，教师在激发学生进行探究的过程中，需要紧扣学生的认知特点和情感发展实际，否则事倍功半。
二、利用四边形问题案例探究性，锻炼初中生有效探究学习技能
解答问题的过程，实际上就是探索实践的过程。通过对四边形章节问题案例的分析，可以发现，四边形问题案例中所提的一些解题要求，都是一些具有探究性的内容，需要学生借助于现有知识内容、解题经验，进行探知分析活动。因此，初中数学教师在四边形的问题案例教学过程中，可以将探究性问题案例作为培养学生探究能力的重要抓手，发挥好教师的主导作用，做好初中生探析活动的指导工作，及时归纳总结的方法和策略，以此提升初中生的探究活动能力。
问题：如图，在 ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF交AC于点G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为多少？
学生分析问题条件认为：“该问题案例考查学生对平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等方面的掌握情况”，教师进行指导点拨，学生得出解题方法：“作辅助线：延长CD、EF，交于点H。由平行四边形的性质可证AEF∽DHF，由AF=2，DF=4，得，HD=2AE。又点E为AB的中点，CH=4AE。同样由平行四边形的性质可证AEG∽CHG，由CH=4AE，AG=3，得CG=12。因此AC=AG+CG=3+12=15。”解题过程略。师生共同总结问题案例解答策略和规律。
在上述问题案例教学活动中，学生获得了探究实践的时间和空间，教师做指导工作。学生在“亲身实践”和教师有效指导“间接点拨”的双重作用下，探究能力素养得到了有效锻炼和显著提升。
三、挖掘四边形章节内涵深刻性，提升初中生综合探究的素养
通过对四边形章节知识体系结构的仔细分析，可以看出，四边形章节包含了多个知识点，如平行四边形、梯形等，其中平行四边形又包括矩形、菱形、正方形等。由此可见，四边形章节具有显著的丰富性和深刻性。综合探究能力，是初中生综合能力的重要内容，也是当前中考考查学生学习能力素养的重点。因此，运用多种解题策略和方法进行问题案例的有效探究活动，成为培养教师能力的重要任务和要求之一。初中数学教师在四边形章节阶段性教学活动中，应该设置包含多个知识点的综合性数学问题，让学生借助于多个数学知识点，采用多种解题策略，进行问题案例的探究活动。
一、强化双边互动探讨，让学生主体充分动起来
教师和学生二者之间不是各自为阵的单独活动，而是有机融合的协作劳动.教师和学生之间以及学生与学生之间，都存在深入的交流、沟通等双边活动.教师只有将学生纳入课堂教学之中，引导学生与教师讨论互动，才能展示出课堂的互动特性、教学的本质属性；学生只有参与教师组织的教学活动，主动与教师交流、积极与学生合作，才能展现个人的能力风采、自身的主体地位.教师要达成高效课堂的目标，就必须紧抓课堂教学双向特性，强化双边互动教学，实施互动教学模式，引导和组织学生围绕学习目标或解题任务，开展师与生的交流互动或生与生的合作探讨等活动，鼓励和推动学生积极参与其中，各抒己见，贡献才智，在互动探讨进程中充分参与其中，动起来.
如“平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一知识点讲解中，教师利用课堂教学之间的双向特点，设计师生之间互动式教学方式，围绕该判定定理的内容，开展如下教学活动：
师：展示“平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”内容，引导学生使用数学符号展示判定定理内容.
生：根据判定定理内容进行分析活动，用数学符号把已知和求证的内容进行具体化，小组合作学习讨论得到其内容.
师：引导学生围绕已知和求证内容进行分析解答活动.
生：合作分析认为：已知它们的一组对边相等，此时只需证明另外一组对边相等，因此可以采用添加辅助线的方式，将对角线进行连接，利用三角形的全等就可以证出结果.
生：用刚才的解题思路写出证明过程.
师：通过上述内容的学习和认知，我们已经全面地掌握了平行四边形的判定方法，共有几个方法？哪几个？
生：进行口头表述.
师：运用投影仪向学生展示判定平行四边形的方法.
师：组织学生对平行四边形的判定定理进行分析，找出他们的区别之处.
生：开展分析讨论，表达自己的见解.
师：总结归纳，向学生指出，在实际解题过程中，如何结合题目条件，灵活、综合、有效运用相关定理解决有关问题是关键.
二、拉长案例解析过程，让学生主体真正探起来
数学案例，永远是教师有效教学的重要抓手，永远是学生进步发展的有效阶梯.数学案例的讲解，应将教师的有效“教”和学生的深入“探”有机结合，相互融合，使案例讲解过程变为教师指引探究、学生深刻探析的过程.我们在平时的课堂案例教学中，有时为了教学进度存在“重结果、轻过程”的现象，强调教师的案例讲解教学，忽视学生对案例的探究活动，压缩学生探究的时间，导致学生探究能力得不到锻炼、对获得的解题方法理解不深不透.这就要求，初中数学教师案例教学时，不能只顾解题结果的揭示，将问题解答过程一带而过，而要延长、扩充案例解析的过程，把案例条件之间的关系、获得解答要求的过程以及解题活动的推导等方面进行扩充和延伸，组织学生参与其中，承担任务，深刻探知、分析、解答数学问题，展示出学生解答问题的主体地位，探究能力得到深入的锤炼，实现问题有效解答以及解题技能提升的“双丰收”.
图1问题 如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，点E和点F分别是AD、BC的中点.求证：EB=DF.
在上述问题解析过程中，教师没有直接告知学生进行求证的思路以及对策，而是组织他们进行探究分析活动，延长问题探析和解答的过程.有学生在分析问题条件及要求过程中指出：可以利用问题条件中四边形是平行四边形的条件，通过证明两个三角形全等的方法进行解答.此时，有学生提出不同意见，认为可以根据问题条件，证明四边形BFDE是平行四边形的途径进行解答.这时教师根据学生探析出来的两种不同思路展示出解题过程，组织学生对解题过程进行对比分析.学生通过对比分析认为：证明四边形为平行四边形的思路比证明两个三角形全等的方法更为简便.此时教师引导学生推导归纳该类型问题解答方法，并出示“如图2，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形”案例组织学生开展巩固性强化练习，从而进一步增强学生数学探究分析的技能素养.图2
三、科学利用认知缺陷，让学生主体深入思起来
众所周知，初中生作为“当局者”对自身出现的学习缺陷不能及时了解和认知，需要教师这一“旁观者”进行有效的指导和点拨，引导他们深入反思、追根求源，认真改正.因此，初中数学教师针对学生认知数学知识点或解答数学案例中出现的认识缺陷或解析错误，不要一味地教训呵斥，而应该保持平常之心，耐心细致地引导他们“回头看”，积极反思，对照剖析，深刻思考认知过程或解题过程中存在的错误之处以及根源，并组织学生组建合作小组，借助集体智慧，进行深入探讨，从而获得正确的数学认知和解答策略，提高数学思维和辨析的深刻性和批判性.笔者发现初中生在“解关于一元二次方程、二次函数的有关习题”中，经常发生由于忽略考虑“二次项系数不为零、根的判别式Δ≥0、抛物线的开口方向、顶点位置”等这些隐含条件发生认知缺陷.此时，教师应充分利用学生认知缺陷这一实情，组织学生进行思考分析活动，让学生在思考分析案例过程中认识到，解析问题中忽略掉了“二次项系数不为零、根的判别式Δ≥0、开口方向、顶点位置等”内容，没有关注到二次项系数、根的判别式的取值范围等等情况，导致解析出现不足，从而得到正确的解答方法.
四、放大评判指点功效，让学生主体技能提起来
[关键词]数学教学 多边形 质疑 收获
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-025
“认识多边形”是在学生学习长方形、正方形、圆、三角形等常见平面图形的基础上，教学四边形、五边形和六边形的认识，旨在引导学生积累学习“空间与图形”领域内容的经验和方法，发展学生的空间观念。原以为这节课的内容比较简单，所以我按部就班地开展教学，没想到学生一个接一个地向我抛出了一连串的问题，于是我顺势而为，把这些意外生成变成了课堂教学的资源，颇有收获。现撷取其中的教学片断，与大家谈谈自己的做法。
一、关注本质，该出手时就出手
教学片断1：四边形不都是歪着的吗？
师：刚才同学们从窗格图案中找到了一些边数相同的图形，其中有的图形有四条边，像这样有四条边的图形是四边形。想一想，我们之前认识的图形中有哪些是四边形？
生1：正方形，长方形。（大多数学生表示认可）
生2：四边形是歪着的，而正方形、长方形一点都不歪，所以正方形、长方形不是四边形。
生3：是的，我跟他的想法一样。（部分学生开始动摇了）
……
【说明：关于四边形的概念，数学学科有着精确的定义，即由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形。鉴于此概念中“直线”“线段”“平面”“首尾相接”“围成”“封闭”等词的抽象性，及学生的认知发展水平和理解接受能力，小学数学教材中并没有给出明确的概念，而是让学生在对窗格图案的观察、分类的基础上，通过抽象、概括等活动感受概念――像这样有四条边的图形就是四边形。这样的描述对于二年级学生弄懂“什么是四边形”似乎是件很简单的事情，甚至我一度以为让学生自学都可以，至于理解四边形和正方形、长方形之间这种一般与特殊的关系也应该是水到渠成的事。但事实证明，我高估了学生的能力和水平，很多学生对四边形的认知很容易停留在从例题抽象出来的表象上（一般的四边形）。为了让学生真正理解四边形的本质，我继续强化。】
师：只要由四条边围成的图形就是四边形。长方形和正方形是由四条边围成的，当然也是四边形，不过它们长得比较好看、周正些。如金鱼，你能说漂亮的金鱼不是鱼吗？（学生会心地笑了）
……
小学数学教材中“不定义”的概念有很多，所以教师在教学过程中要遵循学生的认知规律和认知差异，不急于求成、过早地灌输精确定义，但这样也可能会走向另一个极端：引入概念后生怕自己一不小心会超前定义，不给学生任何建立概念、发展概念的时间和机会，就匆忙进入下一个环节的教学。这样教学，导致学生不是从内在、本质上把握所学概念，而是形式、表象上的片面理解，自然不能掌握数学知识的实质，更谈不上运用数学知识解决实际问题了。因此，课堂教学中，教师要让学生在比较、探究中正确理解所学知识的内涵，初步体验概念的外延。这样，以后遇到“不定义”的概念时，学生就能正确地认识相关概念了。
二、顺水推舟，揭示知识之间的关系
教学片断2：圆是多边形吗？
师：由五条边围成的图形叫五边形，由六条边围成的图形叫六边形，由七条边围成的图形叫――
生：七边形。
师：对，由几条边围成的图形就叫几边形。像今天认识的四边形、五边形、六边形等都称为多边形。照这样，你还知道几边形？（学生兴奋地举手）
生1：由十条边围成的图形叫十边形。
生2：由一百条边围成的图形叫一百边形。
生3：由一万条边围成的图形叫一万边形。
生4：老师，我还有个不一样的问题。圆是多边形吗？
生5：当然不是了，多边形的边是直的，而圆的边是弯弯曲曲的。
……
当时的我也做了同样的解释，这个问题就此带过，可课后始终觉得有些不对劲。要知道，如果正多边形的边数趋向于无穷大时，不正是一个圆吗？当然，圆和正多边形的关系实际涉及极限的问题，超出二年级学生的认知范围，对这类超出学生认识水平而又暂时无需掌握的知识，教师可以不讲。但既然学生已主动提出这个问题，那教师也没有必要回避，不如顺水推舟，让他们了解正确的答案。那么，怎样既能将这个概念表述得通俗易懂，又符合数学学科的精确性呢？思索一段时间后，我进行了以下的尝试。
利用课余时间，我用课件向学生展示了正方形、正五边形、正六边形、正十二边形，至此圆的轮廓已基本显现。于是，我指着这些图形问：“想象一下，当多边形的边数多到无穷无尽的时候，那它就会越来越像哪个图形呢？”学生瞪大了眼睛，小脸上满是惊奇，看着很接近圆的正十二边形，他们都异口同声地回答“圆”。看着学生惊喜而又满足的笑容，我不由地暗暗长舒了一口气。教师作为学生学习的指导者和引领者，对于学生的提问，任何时候都要给予重视、赞赏和鼓励，并适宜地给予引导、帮助。对于一些目前没有要求学习、掌握的内容，教师可根据需要让学生有所了解，使他们在自然、肯定的学习氛围中积极探索，体会到数学的魅力。这不正是我们每位数学教师所追求的吗？
三、允许不同，精心呵护创造的火花
教学片断3：老师，可以这样剪吗？
师（出示练习）：从一张正方形纸上剪下一个三角形，剩下的部分是什么图形？
生1：剩下一个三角形。
生2：是五边形。
生3：也可能是四边形。
【说明：出示这道题，旨在引导学生以认知主体的身份亲自参与丰富生动的探究活动，使学生的数学学习成为一个自主创造的过程，让学生在图形的多样变化中提高学习数学的兴趣，进一步理解多边形概念的本质。我在巡视时发现大部分学生都跟上述三个学生一样，在正方形纸上直直地剪一刀，剩下部分是三角形、四边形或五边形，这也是教参中推荐的答案。教学至此，目的基本达到，于是我准备进入下一个环节的教学，可这时有一学生举起了小手。】
生4（出示右图）：老师，我跟他们的答案不一样。
【说明：这个学生的操作结果（凹多边形）让我眼前一亮，这既超出了我的备课内容，又超出了小学数学学习的范围，于是我直接提出问题。】
师：为什么这样剪？
生4：剪下一个三角形，题目并没有规定必须是剪一刀，我觉得剪两刀也可以。
师：大家觉得可以吗？（学生表示认同，在他的启发下，其他学生开始踊跃发言，提出了一些新的剪法，如右图）
师（追问）：这样一来，题目的答案就有很多了。不过，如果只能得到屏幕中所给的答案，这道题该怎么改变呢？
生（异口同声）：一刀剪下！
……
创新作为教育改革的重点，既是素质教育的核心，又是新课程提倡的培养目标之一。课堂教学中，面对学生不同的答案，教师首先要做到尊重、呵护学生，给学生营造一个良好的质疑氛围，构建平等、宽松、和谐的师生关系，使学生敢于猜想、敢于质疑，从而实现学生创新能力、思维能力的长足发展。此外，教师也要学会妙用学生的生成，引导学生积极探索、尝试发现，以帮助学生收获更多。
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