关键词： 电子白板 初中数学教学 应用 作轴对称图形
信息技术的发展不断推动着教学方式的改变。班班通工程的实施使交互式电子白板（Interactive White Board）成为学校教师及研究者关注的焦点。有研究表明，在各学科当中，交互式电子白板最具有教学优势的是数学学科，其次是英语和科学［1］。
笔者在人教版数学八年级上册第十二章第二节《作轴对称图形》第一课时的教学中，充分挖掘电子白板的几何功能及交互功能，收到了较好的教学效果。以下是本节课的教学设计。
一、课题引入。
利用白板展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案（剪纸、轴对称图案、轴对称建筑等）。
欣赏美丽图案，感受轴对称图形在生活中的广泛应用，体会数学来源于生活，应用于生活。点拨引导，激发学生探讨新知的兴趣。
在教学中，教师往往会根据教学目标出示许多图形或图片来促进学生对概念等的感官认知。交互性电子白板就以多种形式为教师或学生提供了图形资源。教师可以根据需要把一些图形放进图库以便上课时调用，还可以利用画图工具直接拖出三角形、圆形或四边形等组合成轴对称图案。
二、教学目标（利用白板出示）。
认知目标：1.能按要求作出简面图形经过一次或两次轴对称后的图形。2.能利用轴对称进行图案设计。
能力目标：1.从轴对称的角度去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称去从事推理活动。2.通过利用轴对称作图和图案设计，发展实践能力。
情感态度：1.通过欣赏轴对称图案，学生形成了解数学、应用数学的正确态度。渗透美育教育。2.通过作轴对称图形、设计图案，锻炼学生克服困难的意志，培养创新精神。
让学生了解本节课的主要目标及所要达到的程度，这样学生在后面的学习活动中就有了一定的导向性。
三、探讨新知。
活动一：
问题1：将一张长方形纸对折，中间夹上复写纸在纸上画出你喜欢的图案，展开并画出折痕，观察图形思考如下问题：①两个图形之间有何关系？②你能找出原图形上任意一点的对称点吗？③一对对应点所连线段与对称轴有何关系？
通过作图，让学生感受轴对称图形的形成过程，培养学生的动手能力。通过一系列设问，让学生探索作出的轴对称图形的一些特征，培养学生的探究能力。
问题2：观察所给图形是如何得到的？你能画出它吗？（白板出示）
观察作对称图形，寻找对称轴，理解得到轴对称图形的过程，培养学生独立思考和解决问题的能力。学生图案的形成过程有不同的方法。然后教师提出问题：利用对称性可以作出美丽的图案，你也来试试吧。
交互式电子白板恰好利用了计算机和“黑板”的结合，学生不仅能即写即画，而且有大量的素材可供选择，还可以对图形或图片进行克隆、旋转、放大、缩小等，从而很轻松地完成图案的创作，收到极好的教学效果。
问题3：观察所给图形是如何得到的，你能画出它吗？（利用白板出示）
观察对称轴方向和位置的变化对图形的影响。通过小组讨论，培养合作精神。（学生讨论，教师耐心倾听）
你能利用你发现的规律创作一个图案吗？（学生“再创造”活动）
利用电子白板中素材库中的图片，或者教师在教学准备中事先放入素材库中的图片让学生利用白板中画直线工具，以及旋转、移动、变形、删除和截取等功能再创作一个图案。教师同时让学生思考：当对称轴的位置和方向改变时，作出的轴对称图形有什么变化（什么在变，什么没有变）？
问题4：你能归纳出作轴对称图形的特征吗？
作轴对称图形的基本特征：①由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。②新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
在经历了实践、观察、归纳等数学活动过程后，学生能主动、有条理、清晰地阐述自己对作轴对称图形的理解。
教师可利用交互式电子白板色笔或者特殊笔的书写功能对一些重要的特征或字句加以强调。
活动二：
问题1：给出一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢？讲解课本第40页例1提出的引导性问题：ABC关于直线l的对称图形是什么形状？ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？如何作出一个已知点关于直线的对称点？如何作出整个轴对称图形？启发学生思考分析，找出作图方法及步骤。教师规范的作图示例，让学生体验作图的准确性和规范性。
讲解例题时教师可以先调出事先准备好的例题及图形。然后利用电子白板提供的贴近真实情境的数学工具，如直尺、三角板、画笔等在白板上进行测量、作垂线和截取等操作，利用感应笔极其方便地标出顶点字母等。作图中如有操作失误还可以用橡皮进行擦除或者利用删除功能对线段或图形进行删除。如果白板上版面不够还可以随意扩展。对所做的图形可以进行保存和回放。
最后让学生归纳出作一般轴对称图形的方法：找关键点、画对称点、连线。
通过归纳让学生掌握作一般轴对称图形的方法，同时锻炼口头表达能力。
课堂练习：课本41页练习1。
活动三：
欣赏和设计（播放flash影片）。学生通过看动画欣赏轴对称图案。让学生在欣赏美中去感受美、创造美，激发学生灵感。
练习：自己设计轴对称图案。为学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会，展示学生作品。让学生获得成功的喜悦，培养学生的创新精神。
四、课堂小结。
学完本节课你有哪些收获？谈谈你的看法。
五、布置作业。
笔者通过《作轴对称图形》的教学实践，深刻体会到交互式电子白板作为一种教学工具，为数学课堂教学提供了师生互动交流的平台，改变了传统数学课堂利用黑板呈现的单一方式，改变了单一的教学手段。对于交互式电子白板，如果能恰到好处地在数学课堂中加以应用，就能增加学生的互动，让学生利用电子白板的各种工具对知识进行探究，或者让学生对图形直接操作，这就极大地提高了学生在课堂上的主体地位，提高了学生的数学学习兴趣，也提高了数学教学质量及课堂效率。
一、抓住数学概念背景，巧设实验教学情境
对于数学概念而言，不管是以何种形式呈现，都有一定的形成背景，这就需要教师善于发掘，将抽象的知识变得具体化。如有些数学概念是依照数学理论发展而形成的；有些数学概念是在已有概念的基础上抽象而成的；而有些则源于现实生活，为解决现实问题而形成。在日常生活中，处处蕴含着丰富的数学知识。因此，在初中数学概念教学中，教师应善于发掘数学概念的背景，将生活问题数学化，诱导学生活用数学知识来解决生活问题，实现数学“思想实验”。
如教学“平面直角坐标系”时，教师可结合生活实际，发掘这一概念的生活原型与背景，让学生进行“确定座位”的游戏实验，从而使抽象知识形象化、具体化，拉近学生与知识的距离。具体操作如下：教师点名，点到的学生站起来回答自己的座位号；教师说出座位号，对应的学生起立。然后教师提出问题：你们怎样确定自己的座位呢？要求学生先独立思考，然后小范围的讨论，再引导学生总结归纳：要确定自己的座位，需要知道排数与列数这两个数。教师继续提问：4排3列与3排4列是不是同一座位呢？表示座位和两数的顺序有关系吗？教师结合课件演示，引导学生思考与讨论，使其明白一个学生的座位由一对有序的对数构成。设疑激思：你们想知道如何构建有序数对与点的一一对应关系吗？学习本课之后，则会豁然开朗。这样，将数学问题生活化，可降低学习难度，消除学生紧张心理，使其自然融入“平面直角坐标系”的学习状态中，主动探索。
二、把握概念本质特点，组织实验探究活动
数学概念既有内涵，也有外延。在学习数学概念时，若要透彻理解与把握概念知识，则需准确地把握概念的外延与内涵及其相互关系，由概念的本质特点切入，借助实验操作来深入理解概念，构建新知系统。如教学“轴对称图形与轴对称”时，轴对称和轴对称图形的概念及识别是教学重点；轴对称和轴对称图形的区别与联系是教学难点。在学习过程中，因为同学们空间想象能力有限，教师可为他们提供可操作的3D模型，使其借助动手操作来感知轴对称图形，也可当作验证手段，帮助学生进一步理解数学概念，深入感受知识之间的内在关系，构建整体化知识，并在实验操作中，学会观察、思考、讨论、总结等，从而加深对概念的理解与记忆。
具体实施如下：实验探究1：轴对称图形。当学生进入学习情境之后，引导学生登录有关网站，到百度中输入“美丽的轴对称图形”，搜一搜，看一看，感受现实中的轴对称图形，并选出自己最喜欢的轴对称图形传给教师。同时，教师也准备一组轴对称图片，利用计算机呈现展示给学生。然后引导学生思考与讨论：①依据上述搜索和观察后，你们有哪些收获？②是否可以举出日常生活中的其他类似现象？当学生自由表述后，引导学生进入另一个实验操作环节——剪纸活动。教师先呈现飞鸟图案：
提问：哪位学生可以说说老师是怎样剪出飞鸟图案的？然后引导学生试一试，比比谁剪的图案最漂亮。接着，要求学生观察所剪图案，以小组为单位，进行讨论交流，说说这些图案有什么共同点。并试着小结：对折后两部分完全重合，即两部分对称。教师可继续引导，利用多媒体呈现图案，演示对折与重合过程，让学生理解对折就有折痕，而折痕可视为直线，并试着总结轴对称图形与对称轴的定义。这样，既可以让学生更深刻地理解了概念，同时也体会到数学中的对称美。
实验探究2：对称轴的条数。要求学生折叠课前准备的图形，画对称轴，并拓展思考：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形分别有几条对称轴？那么正n边形又有几条对称轴呢？当n愈来愈大时，正多边形接近什么图形？有几条对称轴？学生打开Flash课件，自主调整，探究结论。
实验探究3：轴对称。①动手操作：你们是否可以借助两块形状、大小完全相同的直角三角形来拼和一个轴对称图形吗？②学生观察与讨论，总结轴对称及对称点的定义。小组讨论与操作，在黑板上粘贴获得的不同形状，如 .
接着进行多媒体演示：将 中的两个三角形向两边移动，使之变为 ，思考：这两个三角形存在什么关系？学生打开课件，利用计算机演示两个三角形的对折重叠过程。
1 图形的方向
教材称：对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化(如下图)．
1.1 问题的产生
就作者的数学知识与教学经验可知,在现行初中几何学中似乎没有明确定义过对称轴方向与图形的方向这两个概念.那么,何谓对称轴方向？何谓图形的方向？又如何使学生理解上述内容？据作者了解,对此,教师在教学时,也只是让学生直观感受教材中的相应图示,并没有作相应的说明,更没有让学生动手操作予以确认．
1.2 解决的过程
网上查“百科名片”中“方向”的词意是指东、西、南、北四个方位.作者以为,首先,观察教材相应图示(如上)中第一条对称轴是指向南北方向的,也就是这条对称轴的方向.而第二条对称轴相对于第一条对称轴的指向发生了偏移,这就是说对称轴方向发生变化.其次,鉴于轴对称变换不改变原图形的形状和大小,所以,如果在图示的第二个“灯笼”内,作一条指向南北方向的线段,则其相对于第二条对称轴的在第三个“灯笼”内的对称线段的指向也发生了偏移.这样,图形的方向就发生了变化,而且这种变化更加直观简明.也就是说,让学生动手操作以确认图形的方向发生变化.而教师的理解与引导却不能仅仅停留在“操作确认”这一层面,需要再加以恰当说明,如操作指引的理由提示．
1.3 方法的提炼
图形方向的变化与否,是轴对称与平移的一个重要的区别指标.当然,轴对称也可能使图形的方向不发生变化,但如果图形方向发生变化,肯定不是平移所为,因为平移是不改变图形方向的.作者考虑 “直观感受”加“操作确认” 加“恰当说明”的教学过程,应该是符合现代初中数学的教学理念的．
2 轴对称“包含” 平移
教材称：有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案,许多镶边和背景的图案就是这样设计的(教材中给出的图例如下)．
2.1 图例的缺陷
将平移和轴对称结合起来,就其作用而言,不仅要发挥两者共同之处的功能,更重要的是要发挥两者各自不同的功能,这才是结合的本意.而教材中给出的以上图例,则没有显示平移不可或缺的作用,完全可以仅用轴对称得到,而不必用平移(只要在上图中③②①所在位置上方分别加入一条指向南北方向的对称轴就可看出).当然,从此图例中也可以看到平移的作用,但仅仅是平移与轴对称的共性使然．
因此,如果不考虑制作图案的过程,就最后结果而言,此图有缺陷,在于没有发挥平移和轴对称这两者各自不同的功能,也就不能说明平移和轴对称结合起来的作用.当然并不否认,利用平移,在创作图形过程中展开丰富的想象力,提高构图的效率等方面的作用．
2.2 疑问的产生
作者曾经试图查找到一个能同时显示平移和轴对称都具有不可或缺作用的图案,代替教材中给出的图例,来说明将平移和轴对称结合起来的效果.但费时费力,结果却令人失望.进而产生了这样的一个疑问：教材中提出的“将平移和轴对称结合起来”有无必要？
要想探究以上问题的答案,就有必要研究一下平移和轴对称的关系.而这两个概念虽然都是图形的变换,但在教材的处理及教学设计过程中,这两者是彼此毫不相干相互独立的两个概念,也就忽略了对这两者关系的研究．
2.3 问题的顿悟
从逻辑上来分析平移和轴对称两个概念的关系,当它们的作用具有“相交”而不是“包含” 关系时,才需要将它们结合起来,互补其不足之处,以提高被创作图案的精美度.但就其作用而言,作者研究发现,在同一平面内,轴对称“包含” 平移.现提出：
平移和轴对称的关系定理：一次平移可以由至多四次轴对称得到．
理由如下：
(1)水平方向或垂直方向的一次平移可以由至多二次轴对称得到．
如图： 简要说明： 1 2的平移=13的轴对称+32的轴对称．
(2)其它方向的平移可以分解成水平方向与垂直方向的平移．
故一次平移可以由至多四次轴对称得到.即：平移和轴对称的关系定理成立．
【问题的提出】
很多教学中有作品欣赏的环节，常常是以赏之美，奇为主。然而数学课上的欣赏与美术课的欣赏应该有所不同，可否借助赏析片段，回应或再现相关知识点的本质，使得不但能赏其美，而且能进一步明其理。在广东省第九届数学优质课观摩评比中的两个教学片段中给我们带来很多思考。
【案例1】轴对称图形
关于《轴对称图形》一课，《教师教学用书》是这样建议的：教师要注意多给学生展示有轴对称的图片，使学生感受对称的意义和图形中的美。在教学中，执教老师教学认识轴对称图形及认识对称轴后，设计了欣赏生活中的轴对称图形这一环节。原教学片断：PPT不断出现生活中的轴对称图形，学生发出阵阵赞叹之声，（如下图）欣赏后紧接着就是让学生创造轴对称图形。
个人认为欣赏生活中的图案，旨在通过活动，培养学生的观察能力，引导学生发现美，学会欣赏数学美。值得我们思考的是，欣赏是一种美的享受，但不能仅仅停留在赏析的表层，更重要的是重现本节课的知识内涵。因此，建议改进教学设计：首先出现作品（一），（如下图）
然后出现对称轴，对折后闪烁对应边，接着还原，让学生说出其美的原因及理由。通过对折、对应边闪烁、还原后让学生说出为什么这些图形如此美丽？它们都是什么图形？原来，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
通过作品二、三的学习，进一步巩固和认识轴对称图形，学生既可以了解轴对称现象在生活中的普遍性，又能提高数学欣赏能力与空间想象能力。
【评析】轴对称图形的内容虽然难度不大，一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有关性质的认识，另一方面要在学习这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点。数学来源生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。这样设计不仅赏析图形之美，而且进一步了解其美的根源，所谓知其然而知其所以然，体现了从具体到抽象的学习过程和思维过程。同时使学生体悟到美丽的图案其实可以用一个简单的图形经过轴对称得到，从而初步形成以简驭繁的思想。
【案例2】找规律
有关《找规律》的教学，在《教师教学用书》中提到；本单元的教学内容与生活有密切联系，在教学时，教师出来利用好教材上的相关素材，还应充分考虑本班学生的生活经验，设计贴近生活且富有气味的活动，让学生在趣味中欣赏、观察、猜想、验证，在美的感受中学习有趣的数学，更好地达成学习目标。执教老师的原教学片断：教师出示主题图，通过学生自主探究，发现图中的规律，然后在应用促学的环节，老师设计了“我是最强设计师”的环节，同桌两人合作用和两种正方形磁片在小白板上设计一面有规律的漂亮的墙面，看谁的作品最漂亮。（如下图）学生创作后，纷纷拿着作品在讲台展示，这时老师问孩子们：漂亮吗？生齐答：漂亮。
认为，让学生动手设计固然能培养学生的创作能力和想象能力，但不能仅停留在让孩子回答美不美的层面，建议调整为，学生设计作品后，在讲台赏析时，老师追问：这些作品美吗？你能找出它的规律吗？分为两种形式：其一，我的作品我来讲；其二，我的作品你来讲（我的设计你能找出规律吗？）设计意图在于不仅赏析了作品，而且通过动手操作和欣赏规律美的同时，既巩固了本节课所学的知识，又发展了学生的创新思维。
【评析】《数学课程标准（2011版）》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地信赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要学习方式”。通过独立思考，交流辨析的环节，逐步明晰感受、欣赏数学的规美律，在追问中明确了知识的本质，在交流中渗透了数学美思想。
【案例反思】
一、美术与数学的对接，经验学科更容易掌握
美术与数学关系最密切的学科当属“建筑学”这一学科了，在建筑学中，美术的透视几何与建筑力学设计相互协调，才是一副完整的设计。美术的几何和数学的几何有着共同之处和不同点，在小学阶段，主要是说其共同点――“图形的运动”概念的建立必须先积累大量的感官体验、操作经验，再经由多个层次的抽象活动才能完成。因此，教学轴对称图形的知识时，教师可以将学生的生活经验和数学知识进行有效的对接，建立起新知识的表象，积累学习新知识所必需的体验性经验，为进一步抽象、概括图形的运动特点奠定基础。
【教学片段】
教师出示如图的一组剪纸作品，以“这些剪纸 作品美吗？这些图案有什么共同的特点”引导学生 借助已有的剪纸经验，通过观察，发现并归纳出轴 对称图形的表象。这些图像两边都一样的，纹样也一样，学生分别观察老师出示的一些剪纸的对称现象。在此基础上，教师适时问“你是怎么知道的”，引导学生检验对折后的图案是否一模一样。学生探究对折后图案的特征――“重合”，探究图像的对称性，进一步建立起轴对称图形对折后两部分重合的表象特征。
对剪纸图案的共同特征“轴对称”进行归纳、总结、抽象，建立起轴对称图形的表象：这些图案的左右两边是相同的；这些图案左右对折后会重合。这样的教学活动为学生进一步学习和掌握轴对称图形的特征奠定了体验性的基础。
在生活经验与数学知识的“对接”中，教师首先要准确选择运动现象模型，选择学生最熟悉且最有利于体验、思考与探索的生活原型，并依据概念的内涵进行结构化处理，为学生的学习提供运动特性相对稳定和凸显的学习素材，避免让学生学习走弯路。必要时，教师要充分借助多媒体手段，让”图形的运动”真正“动起来、看得见”，为学生提供清晰的动态表象。其次，要准确设计问题。在教学过程中，教师要紧紧围绕“图形运动”本质特征和学生已有的经验，精心设计问题，适时引导学生在感性认识中揭示、获取理性的活动经验。在设计问题时，教师要对可能对学生的数学学习产生负面影响的生活经验做好充分的分析，并弹性预设应对策略。
二、感知与实践，美术的具象帮助数学知识的掌握
美术，有着具象的特征，所有的美术作品，都是通过视觉来感知的，因此，通过具象的感知，包括绘画、折纸、剪贴等等形式，都有助于孩子学习数学。“图形的运动”这种以积累体验性经验为主的教学内容，学生的经验更多带有显著的个人色彩。因此，教师要引导学生把自身经验与新知识融合，在观察思考、操作验证、类比分析、归纳抽象的过程中，不断碰撞、取舍、认同、完善，最终完成把表象与体验感受抽象、概括成正确概念的内化过程。
【教学片段】
环节l看一看，丰富体验性经验
师：谁愿意上来折一折，检验一下范图的小树是不是对称的？（学生到讲台前折.并结合图形阐述自己的理由，教师适时引导学生形成“范图中的小树对折后左右两边重合”的体验性经验。） 师：如果请你剪一棵小松树，你会选择剪哪一棵？为什么？（学生回答。）
环节2折一折，动手操作验证环节3比一比，正确理解内涵
师：这棵小树（范图中的树）对折后不是也有重合吗，为什么你们不叠它，）（多名学生上台结合具体图形描述自己对“不完全重合”的感性认识。在充分感知后，教师引导学生与范图中的小树进行对比，并给出“完全重合”的概念）
师：范图中的小树是对称图形吗？那什么样的图形才能叫对称图形呢？（引导学生抽象、概括出“对折后两边完全重合的图形叫轴对称图形”“这条折痕所在的直线就是它的对称轴”。）
师：这条折痕（指范图中的小树的折痕）是对称轴吗？（引导学生辩论得出：轴对称图形中的折痕才能叫对称轴。）
师：这样折（将范图中的小树随意折出一条折痕），得到的折痕也是对称轴吗？（引导学生辩论，进一步完善他们对轴对称图形的认识，形成清晰的结论：只有使图形对折后能完全重合的折痕，才叫做图形的对称轴。）
学生所获取的经验往往带有模糊性、片面性，甚至有不少错误藏匿其中。学生已有的关于轴对称图形的感性经验中常常对“部分重合”和“完全重合”、“折痕”是否等同于“对称轴”比较模糊，而这些恰恰是学生正确认识轴对称图形的关键。
在这些环节中，运用了美术的示范和实践的方法，设计了“选择剪哪棵小树”的探究活动，引导学生通过看、折、比等环节，在观察选择――操作验证――对比领会――建立概念等操作和思维活动过程中，使自己对轴对称图形已有的认识从模糊趋向清晰，从形象趋向抽象，提炼出抽象的、数学化的知识经验。
本节课是2012-2013学年度第二学期教学开放周笔者在本校的多媒体教室里上的一节公开课，本节课采用“先学后教，小组合作”的课堂教学模式，所用教材为华师大版义务教育教科书七年级数学（下册）。
二、案例主题分析与设计
本节课是华师大版义务教育教科书七年级数学（下册）第十章第1节第1课时内容――生活中的轴对称，它是图形的三种基本变换之一，是后面进一步研究轴对称的基础，同时轴对称也是事实推理中常用的知识，是“空间与图形”的重要组成部分。
《义务教育数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践、自主探索、合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以“生活・数学”“活动・思考”、“表达・应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
三、案例教学目标
1.知识与技能：使学生进一步认识轴对称图形，通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等；理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系。
2.数学思考：在轴对称（或成轴对称）的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
3.解决问题：通过探究轴对称（或成轴对称）的性质，使学生掌握研究问题的方法，以及创新意识和创新精神。
4.情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。
四、案例教学重点、难点
1.重点：轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等、对应角相等。
2.难点：两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。
五、案例教学用具
1.教具：多媒体平台及多媒体课件。
2.学具：三角尺、白纸、剪刀。
六、案例教学过程
（一）创设情境，设疑激思
1.剪纸。内容：上劳技课时，叶老师教过同学们剪纸，现在请同学们剪一个“双喜”。
2.提问：请同学们展示所剪的“双喜”，在展示的过程中有何发现？
3.学生活动：针对问题，学生思考后回答――把“双喜”沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合。
4.教师肯定学生的回答并提出课题：若一个图形沿着某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形，这条直线即为这个图形的对称轴。从而引出课题：§10.1.1 生活中的轴对称（板书）。
（二）动手操作，探究性质
1.教师用《几何画板》课件进行验证展示，让学生直观感受。
2.实际应用，优势互补。
（1）请同学们完成课本第100页练习的第二题（抢答）。
（2）请同学们举出生活中轴对称的例子（眼镜、大众车标、奔驰车标、乒乓球拍等等）。
3.探究两个图形成轴对称。
发给每个学生课本第99页图10.1.3两个图形的纸张，把纸张沿着虚线折叠，观察对折后的左边部分和右边部分是否完全重合。
像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
（三）课堂总结
1.学生总结：请学生谈收获，谈感想。
2.教师补充总结：
（1）认识轴对称图形，了解轴对称图形及有关概念。能找到轴对称图形中的对称轴。
（2）两个图形关于某直线对称及对称轴、对称点的概念。
（3）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系。
（四）作业
课本第109页习题10.1的第1、2、3题。
七、教学反思
数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度与价值观”方面的体验。
这节课的教学实现了三个方面的转变：
1.教的转变。本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师成为学生的导师、伙伴，在课堂上除了导引学生活动外，还要认真聆听学生“教”你他们活动的过程和通过活动所得的知识或方法。
2.学的转变。学生的角色从学会转变为会学，跟教师学转变为自主去学。本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。
关键词：机械手；PLC；ADAMS；上下料；自动化
引言
机械手是在工业生产中较为常见的自动化设备，它通过模仿人的手臂，按照设定的路径等参数进行物件的抓取、搬运和其他操作。它主要包括执行机构、驱动机构和控制系统三大部分，控制系统一般采用DSP、单片机、PLC等芯片，时时控制各电机运动。驱动机构主要包括各种电机，执行机构主要是仿生手臂用来进行相关的操作。由于要进行较为复杂的操作需要多关节进行协同，所以多自由度机械的控制是基础，一般采用六自由度或四自由度的结构，自由度越多，其灵活性越大、操作范围越广。
自动上下料操作是指在工厂和数控加工中周期性的给机器和机床上下料。由于此项操作重复性强、危险性高、工作强度大，已经不再适合手工操作，于是自动化的机械手取而代之。机械手可以快速准确地长时间作业，定位精度高，环境适应性很好，尤其是其抓举运输可以超过人力很多，便于工业生产，所以对机械手进行研究并使其应用到上下料生产中十分必要。
1总体设计
机械手的设计方案如图1所示，该方案主要由HMI、PLC、驱动系统及机械手本体四个部分组成。
1.1机械结构设计方案
机械手的机械结构较为复杂，需要确定机械手自由度、行程和速度参数，电机选型和各轴的转动方式。
之所以为机械手添加6自由度，是为了保证机械手可以抵达任意位置，其中位置自由度3个，姿态自由度3个。通过简化分析，满足基本的上下料操作，机械手设计包括4轴4自由度，分别是X轴、Y轴、Z轴和RZ轴。机械手的结构示意图如图2所示。机械手沿X轴进行水平方向的左右移动；沿Y轴进行水平方向的前后移动；沿Z后轴进行竖直方向移动；沿RZ轴可绕Z轴旋转。
机械手的运动需要电机进行驱动，它的主要动作特性与电机参数息息相关，所以对于电机的选型是必要的。一般而言，电气式机械手常用的电机类型有伺服电机和步进电机。为使机械手能够快速移动，要求轴电机的额定转速要高、额定输出转矩还应较大。因此，X、Y、Z轴常选用伺服电机。但是对于RZ轴，由于其负载较小，精度要求较高，所以可以选择简单实用的步进电机。
电机驱动的传动方式有多种，常见的机械手传动方式包括同步带传动、滚珠丝杆传动和齿轮齿条传动。其中同步带传动是应用较多，其简单易用，保养方便；滚珠丝杆传动由于精度高、噪音低，常用于高精度的传动场合；齿轮齿条传动的特点是动力足、寿命长，但是噪音较大。综合以上多种传动方式，从精度要求和成本考虑，本文设计的机械手的X轴和Y轴采用同步带传动，Z轴采用齿轮齿条传动。
1.2控制系统设计方案
机械手的控制系统设计方案如图3所示，HMI与PLC进行数据交换，向PLC传送数据和运动控制命令的同时接收传回的数据，并进行时时显示。
2机械手关键参数设定
综合评价机械手的行动能力将以最大速度、负载能力、位置偏差阈值等参数为标准，这就需要确定电机的额定转速、电机的额定转矩、减速器的减速比、同步带轮节径等。由于机械手X轴的受力最为复杂，现以X轴为例来详细分析关键参数的设定过程，随后可用相同的方法确定其他轴的参数。
首先根据经验选择一个伺服电机，经计算满足设计要求后，进行下一处电机的确定。首先画出X轴的示意图，如图4所示。通过分析，可以计算出X轴负载的转动惯量JL，X轴最大移动速度Vmax，机械手加速过程中电机的最大输出扭矩Tmax等参数。
3控制系统硬件设计
机械手控制系统的硬件设计主要包括X轴、Y轴、Z轴伺服驱动器的选择、RZ轴步进驱动器的选择、PLC及扩展单元的选择等硬件的设计，由于篇幅所限，只以PLC的选择为例进行说明。
PLC是可编程逻辑控制器，通过数字或模拟输入输出控制整个机械生产过程。上下料机械手需要控制3个伺服电机和1个步进电机，所以PLC选型时应具有4路高速脉冲输出功能。
本例选择CP1H-Y20DT-D型PLC作为机械手的控制器。根据控制要求给各个控制对象分配IO地址，这样便于PLC寻址和精确控制被控对象。由于各个轴上具有光电开关、减速器等装置，需要对其进行IO地址的分配。当上下料开始时，PLC输出数字信号令锭床开始加工，当锐床加工结束后，PLC收到信号，继而进行下料操作。
4控制系统软件设计
PLC的高速计数器功能和串口通讯功能都将被实用，所以应先编程设置PLC，如D5所示。
在设置完PLC具体参数后，需要明确机械手的上下料过程即取料、上料及下料阶段，通过图6表示机械手上下料全过程。
机械手先从原点P0向P1点运动，当到达P1点后机械手松开，向下运动到P2点，夹爪闭合抓取工件后回到P1点；机械手夹持着工件向P3点运动，在P3点向下运动至P4上料，然后机械手运动到P3点，再运动到P5点，机械手给铣床上料完成；当加工完成后，机械手经过P6-P7-P6-P8等点的操作后，完成下料，并将工件放置在传送带上，最后其运动回P0点循环进行下一作。
控制程序方案包括回原点、示教、轨迹规划和轨迹执行四个部分；回原点操作意在令机械手上电后或者上下料结束后回到其坐标原点；示教是示教出空间上的坐标点，并存储到PLC的内存区；轨迹规划是指定轨迹上的点与示教库中点的关系，通过软件实现轨迹与示教库信息的吻合，保证运动精度；轨迹执行部分用来设置运动时的轨迹的编号、减速比、时间量等参数。
5结论
本文设计了基于PLC控制的机械手，确定了机械手的结构设计方案，分析了机械手三个轴的关键参数，明确了机械手控制系统硬件部分的元器件选型，提出了上下料过程中的控制程序基本思路，明确了回原点、示教、轨迹规划以及轨迹执行等程序方案。相信随着自动化领域的不断进步，基于PLC控制的机械手将会在精确度等方面实现新的突破，广泛应用于现代化工厂的上下料生产中，逐渐代替人工操作。
参考文献：
关键词：初中数学；教学艺术；教学质量
艺术：指富有创造性的方式、方法。课堂教学艺术就是要求教师应钻研、创造性地使用教材。从学生的生活经验和已有的知识背景出发，设计现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，为学生提供充分的活动机会，让学生在轻松、愉快的氛围中掌握知识，提高课堂教学质量。教师只有掌握好这门艺术，才能真正做到授业有方、传道有术。笔者结合“生活中的轴对称”谈谈初中数学课堂教学艺术。
一、课型设计的艺术
初中数学课型丰富多彩，教师根据不同的教学内容、不同层次的学生设计不同的课型。《轴对称现象》设计成欣赏、活动课，通过欣赏美丽的图片，动手折、剪、印墨迹等活动感受轴对称在生活、生产中应用的广泛。经过师生互动归纳轴对称的共同特征，再通过游戏活动巩固知识，获得成功的喜悦。整节课让学生在优美、宽松的环境下学习轴对称知识。《简单的轴对称图形》设计成活动、探究课，学生经历折简单图形（角、线段、等腰三角形、等边三角形）的对称轴过程，感受到对称轴两旁部分的图形是全等的，让学生经历画、量、折等验证方式培养学生有条理地思考、表达。积累了学习数学经验。发展学生有条理表达能力。《探索轴对称的性质》设计成自学辅导课，拟出自学提纲，从点、线、角的位置与大小的关系上设置问题。让学生从动手操作中再次感受到对称轴两旁部分的图形是全等的，从而得出对应点、对应线段、对应角的关系。《利用轴对称设计图案》自学、展示课，课前布置各小组学生利用轴对称设计图案，并用一句简短的话给图案赋予含义。课上各小组学生交流作品，并收集有代表性的图案展示，由学生说明设计步骤与蕴含的含义。这样的课堂让学生充分感受到学有所用。《镜子改变了什么》设计活动、探究课，通过创设情境（教室摆放镜子，学生自带小镜子）进行数字、字母等素材照镜子，通过正对照（物体平行于镜子）、躺着照（物体垂直于镜子）让学生感受镜子中的像的变化。明确镜子有时会改变左右或上下方向。再引导学生探究为何发生这些变化，让学生在活动、思考、探究中学习数学。《镶边也剪纸》设计成活动课，让手巧的女生与男生合作完成手工品，并在小组内交流，体验合作的快乐。总之，无论是哪种课型，都应该要给学生留足时间活动，让学生在“做”中学。而教师只要精心策划充当好“导演”。
二、营造课堂气氛的艺术
在课堂，教师不再是主宰者，而应当成为参与者。新课程专家认为：教师是学生学习过程的组织者与诱导者，教师的教育艺术就在于把学生诱导成自信的人、快乐的人、成功的人。这就要求教师要为学生营造良好的学习氛围，才会引起和激发学生学习的欲望，让教师好好充当“艺人”。
1.引入新课的艺术。新课的情境引入，是对学生提出新知识的起点，又是激发学生学习的兴趣、吸引学生注意力的关键，教师应当把它当作艺术来设计。如在《轴对称现象》中通过3分钟图片的欣赏，静心地感觉“数学美”后动手折纸飞机，在教室中放飞，再剪去其中一侧机翼一个角，放飞。充分感受到“轴对称”特征。这样一静一动，既提出了问题，又把学生的注意力集中到课堂，提高课堂效率，可以很快地营造出学习气氛来。
2.课堂讲解的艺术。课堂讲解重在思路，重在数学思想的渗透。同时教师的语言表达也是核心艺术之一。教师语言要力求生动、形象、直观，这样可以激起学生的兴趣，强化知识的理解和记忆，增加学习的信心。如：利用轴对称设计图案，“你的设计太有创意了”。教师都可以对大部分的学生进行称赞与鼓励。让学生感受到那么美与有用的东西也可以自己创造出来。再如：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？在学生进行多次尝试无法解决时，教师可以用这样的诗句进行铺垫：“山穷水尽疑无路。”若是居民区A、B在街道异侧时，学生自然想到直接连接两点，如何利用本节知识（等腰三角形的性质）进行异侧转化同侧。此时学生的思路就打开了“，真是柳暗花明又一村”。教师能适时吟上几句诗句或讲一些典故等，可以打破课堂的沉闷，消除疲劳，让学生开怀大笑，茅塞顿开。
3.课堂小结的艺术。小结是课堂的重要组成部分。完美的小结会使学生在类比中理清知识的联系与区别，在探索中培养分析与归纳能力，加深对新知识的理解与记忆，从而使整堂课在归纳中得以升华。如：《轴对称现象》这节课的小结中，我的学生说道：“这节课我学会了轴对称的特征，感受到轴对称图形的美。我觉得做人应该像轴对称图形一样要表里如一，体现自己的内在美。”《镜子改变了什么》小结时，我引导学生梳理知识，总结解题经验：当正对镜子照时给出镜中的像，说出原像时，可以左右翻看反面。当给出水中倒影（物体垂直于镜子），说出原像时，可以上下翻看反面。这样在今后的解题中就多了一种解题技巧。
三、课堂提问的艺术
数学课中，教师必然要提出若干问题，一是引导学生思维，二是把教学引入预定的方向。恰到好处的课堂提问有助于激发学生的求知欲，有利于培养学生思维的积极性和主动性。如当0～9的数字躺着照到镜子时（物体垂直于镜子），教师可设置如下的问题串。（1）哪些数字在镜子中的像与原来的数字完全一样？说说你的理由。（2）将纸条在桌面上旋转90度，哪些数字在镜子中的像与原来的数字完全一样？（3）如果正对镜面呢？学生通过活动较容易得出结论，同时善于思考的同学会发现有的数字改变。此时可以进一步设问：（1）哪些数字在镜子中的像与原来的数字不一样？它是如何改变的？（2）如果正对镜面呢？为了进一步丰富学生的想象力，可设置游戏方式（如，猜时间、猜字母、猜电话号码）来解决有关镜子的问题。通过问题串的形式层层递进的提问，充分调动学生的积极性和主动性。激发学生的潜能，培养学生提出问题、解决问题的能力。
四、调控课堂教学节奏的艺术
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