知识结构
重点、难点分析
相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
教法建议
1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等
2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答
3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．
3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理1的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
1．三角形中三种主要线段是什么？
2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？
3．什么叫相似比？
［讲解新课］
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．
分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）
∽，
BM=MC，
∽，
以上两种情况的证明可由学生完成．
［小结］
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．
1．掌握相似三角形的性质定理2、3．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，全国公务员共同天地
二、教法引导先学后教，达标导三、重点及难点1．教学重点：是性质定理的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具．六、教学步骤习提问］叙述相似三角形的性质定理1．［讲解新课］让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．∽，同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．，全国公务员共同天地性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．∽，注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．例1已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，，求BC、AB、、．
此题学生一般不会感到有困难．例2有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．
解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．
∽∽且，．
．
学生在运用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而
［小结］
1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3．
2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题．
知识结构
重点、难点分析
相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂，全国公务员共同天地直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
教法建议
1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等
2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答
3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．
3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理1的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
1．三角形中三种主要线段是什么？
2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？
3．什么叫相似比？
［讲解新课］
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．
分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）
∽，，全国公务员共同天地
BM=MC，
∽，
以上两种情况的证明可由学生完成．
［小结］
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．
关键词：初中数学；案例分析；复习课
初中数学的传统复习方式主要为题海战术，由于题海战术的教学目标不合理且落实不到位，其不仅无法获得预期复习效果，
学生也缺少主动锻炼机会，无法发挥学生的主动性，因而难以培养学生的数学思维和数学习惯。总而言之，题海战术不符合我国的新课程理念。如何结合新课标、教学内容、学生学情等诸多因素，选择恰当的复习教学方式，成为教师值得思考的问题。笔者结合个人的教学经验，从案例分析的角度出发，浅谈初中数学复习模式。
一、复习课教学案例――等边三角形
1.教学活动设计
（1）教师讲评日记，提出相关问题。该部分教学内容主要为教师总结学生的学情。一是学生已掌握的内容。包括知识内涵：熟练掌握等边三角形的性质、判定和推论等知识；知识应用：熟练掌握根据等边三角形的性质、判定和推论等知识解决实际问题；知识生成：从学习等边三角形的知识过程加深对等边三角形的认识。二是学生的不足。学生缺乏从运动的角度认识等边三角形的性质；缺少从整体角度认识等边三角形和全等三角形的联系，缺少转变几何元素的能力。
（2）提出新问题。教师主要从四个方面对学生进行引导。一是确定研究问题的顺序；二是确定研究问题的方法，采用分类讨论方式进行研究；三是确定研究问题的方法，采用矛盾个性和共性方式进行研究；四是确定研究手段，采用直观体验、逻辑推理方式研究。教师采用小组合作学习方式，将复习内容分为三种情况，分别对每种情况进行讲解，讲解过程中要注重引导学生发散思维，
从多角度思考问题。
（3）新问题再探究。结合三种情况进行分析，找出三种情况存在的共性和特点。得出结论：及时总结问题，提出解决问题的方法，为知识延伸打下基础。
（4）知识应用，通过变式联系形式回归教材。
2.课堂小结
小结内容包括三个部分，一是数学知识内容小节，如基于运动角度再认识等边三角形的性质；从整体角度分析等边三角形和全等三角形之间的联系，掌握综合应用等边三角形和全等三角形解决实际几何问题的能力。二是数学思想方法内容总结，总结分类讨论和矛盾的个性与共性的数学思想。三是学习指导，指导学生通过小组合作方式解决问题，观察学生在小组合作中的表现，
提高学生的兴趣和积极性；指导学生利用添加辅助线方式构造等边三角形或全等三角形解决问题。
3.变式教学案例
如下图，点A、B、C三点位于同一直线，分别以AB和BC为边，于同侧作等边ABD和BEC，AE和BD交于F点，BE和DC交于G点，求证：①AE=CD；②BF=BG；③AHC的度数；④若M、N分别为AE、CD的中点，求证BMN为等边三角形。
4.案例教学分析
（1）重视知识建构。该教学方式将“多角度建构等边三角形知识体系”作为教学目标，突出复习教学的重点目标：让学生在生成知识的过程中建构知识体系，掌握知识的本质。
（2）培养数学习惯。教学过程采用数学日记式教学流程，让学生通过“数学日记”形式梳理和总结知识。教师则通过对“数学日记”进行分析，总结学生对“等边三角形知识”的掌握情况，了解学生的基本学情，肯定学生的优势和劣势，并提出新的问题。学生掌握自身的不足后，听讲也更具有针对性。“数学日记”也改变了传统枯燥的复习课堂，学生的自主性更高，可有效提升学生的学习兴趣，养成良好的数学习惯。
（3）重视培养学生的数学能力。利用小组合作学习方式将所有学生融入课堂内。此外，该过程重视培养学生分析和解决问题的能力，帮助学生形成良好的数学思维和习惯。在教学过程中，重点指导学生分析数学问题，而非直接解决数学问题。
（4）教学小结层次清晰。教学小结作为教学设计的重要方面，该方案将小结从知识、思想和方法三个层面进行分析，具有结构清晰、层次性强的特点，也有利于培养学生的数学思维和数学能力，对引导学生形成良好的数学习惯具有重要作用。
（5）典型案例提升应用能力。教师通过典型例题进行分析，并指导学生进行变式训练，不仅可以扩宽学生的思路，也有利于提升学生分析和解决问题的能力。采用小组合作讨论方式进行教学可以培养学生的表达能力，让学生的认知结构更加完整。
复习课的目的在于检查、巩固、提高、拓展学生的知识面和数学能力，复习教学运用案例分析可让学生从多个角度、循序渐进地掌握知识，弥补传统复习教学方式忽视教学目标和不重视构建知识体系的问题。同时，基于案例分析的复习教学需要，结合学生的基本学情，复习课程更具有针对性和深入性，大大提升了学生兴趣。但是，复习课没有固定不变的模式，教师需要根据教学和学生的学情选最佳的教学模式，从而真正达到复习课的作用。
参考文献：
关键词：案例教学；多角色案例教学；酒店管理
19世纪70年代由哈佛大学法学院克里斯托弗•哥伦布•兰代尔提出的案例教学法，是一种以案例为媒介创设情境，引导学生讨论分析，总结规律的教学方法。案例教学法以其鼓励学生参与、提高学生的评论分析推理能、扩大社会认知、训练问题解决能力和创新思维等优点，在法学、管理学、医学等强调实践的学科领域赢得了广泛的支持和运用（雷焕贵，段云青，2010），在酒店管理课程教学中也大量使用。然而，酒店管理课程的独特性对于传统的案例教学提出了挑战。文章首先分析了传统案例教学在酒店管理课程教学中存在的若干局限，而后提出了创新的多角色案例教学的思想，最后详细地描述了多案例教学中的角色安排、角色任务和不同角色的学习路径，构建起多角色案例教学的基本模式。
一、传统案例教学在酒店管理课程中面临的挑战
1.顾客参与和单一视角之间的矛盾
顾客参与是服务性企业的显著特点之一。顾客参与到酒店服务的生产和提供过程里，造成了酒店管理在绝大多数情况下具有的多主体参与的特征。传统的案例教学较多地强调基于一个主体、一个视角介入案例的分析和问题的解决，一般不提供多视角审视案例的机会。
2.实时性和缺乏交互性之间的矛盾
顾客参与到服务的生产和提供中，形成了顾客、服务提供者以及服务管理者的实时互动，这种互动性带来动态变化的情境，使得企业需要及时调整服务和管理策略。传统的案例教学较多地在固定的情境中解决问题，不考虑多主体交互产生的影响。
3.异质性和工具固定性之间的矛盾
服务行业明显地表现出异质性特征，即对于产品的感知和评价因人而异。故而，标准化的服务和管理策略可能会失去效果，处理同一个问题，可能因为顾客的不同而需要不同的方案。然而，传统的案例教学方法多强调对于某个原理或者工具的使用，方法和手段往往是从企业方单向度考虑的。
二、多角色案例教学的合理性
针对上述矛盾，一个有效的解决途径是在案例教学中引入多个不同的角色，根据学生的特点安排在案例中模拟不同的角色,承担不同的任务,并且展开互动式的研讨,形成“多角色案例教学”。多角色案例教学的合理性在于：第一，多角色形成不同的视角展开观察和思考。多个不同的角色因其不同的角色任务，模拟了不同主体的思维和行动，呈现了一个案例中多个不同的主体的视野、感知、情绪和情感，以及他们对于问题的不同看法和利益诉求。因此学生更能全面和深入地理解案例所展示的情境。第二，不同角色的带入为交互性情境的创设提供可能。有了多种角色的植入，立场不同的学生能演化出不同的矛盾冲突，或者产生多步骤多阶段不同的矛盾冲突，从而也给案例带来了动态变化的可能性，更加吻合服务业的实际，有助于学生理解服务的异质性所带来的权变的必要性，提高学生在解决动态问题的能力。第三，多种角色形成多途径学习,满足不同学习风格的偏好。根据学习风格理论，不同的个体在学习中有其不同的风格偏好，有各自习者习惯的吸收、保存和处理新信息和技能的方式（徐光琦，2014）。不同学习风格类型的人倾向于采用不同的学习策略。例如，Honey和Mumford提出了“行动型”、“反省型”、“理论型”和“应用型”四种不同类型的学习风格(刘丽娟，2013)。这四种不同的风格分别倾向于直接经验、理性分析、理论同化和实践应用探索等不同的学习策略。在多角色案例教学中，学生可以按照自己的风格，选择不同的角色来参与，实现不同方式的学习。
三、多案例教学的角色、任务和学习路径
“案例角色”、“角色任务”和“学习机制”是多案例教学模式的关键因素。根据案例的特点，教师可以安排不同的角色和角色人物，让学生在带入角色的状态下展开案例的分析和讨论，形成碰撞式的交流和交互，通过不同的学习机制掌握知识、技能和不同的能力。
1.案例角色和角色任务设置
服务提供者、服务接受者和服务管理者是酒店中最基本的三种角色类型，也是案例教学中的关键角色。服务提供者和服务接受者是一对互动的角色。服务接受者即顾客，在酒店管理案例中的主要任务是：第一，模拟顾客的思维和行动方式，对服务的提供方提出需求或者根据情境的变化，变更要求。第二，对他们的服务和管理提出评价或质疑。服务提供者通常是直接接触顾客的一线员工，他们在案例中的主要任务是：第一，接受需求信息，充分理解客户的要求。第二，根据不同的需求定制服务和产品。第三，在供需双方矛盾的时候的沟通、商谈和动态调整服务方案。当提供者和接受者的角色由不同的人来担当时，同一个案例可能形成不同的互动，赋予案例更多的变化和真实性。服务管理者通常是酒店主管、经理等，他们在案例中服务和挑战两种不同的任务。首先，他们要从管理者的角度，对服务提供者所提供的服务质量和水平进行判断，发挥监督作用，并尝试纠偏纠错。其次，在顾客和服务提供者之间产生矛盾和对抗时，进行协调和解决方案的提出。观察者是多角色案例教学中最特别的一个角色，相当于现实中的第三方或者旁观者。观察者并不直接参与到服务的提供、接受或者管理活动中，他们主要的任务是在更为客观的角度来观察案例发生全过程中各个角色的表现、互动和行为的效果，并形成总体评价。
2.角色特定的学习路径
在多角色案例研究中，蕴含了不同的学习机制，不同角色的承担着可以通过特定的一种或者几种学习策略展开学习。服务接受者通过换位思考和移情作用，能够将更加充分地体会到顾客的心理和行为变化，从而更能理解各种服务内容、服务方式和服务策略的合理性，展开反思性的学习。服务提供者角色的主要学习机制是“干中学”的行动型学习方式。重点是针对特定的“客人”，做出服务策略的选择、服务技能的展示以及调整。服务管理者扮演过程中的主要学习机制是“应用型”，即将相关理论、工具运用于具体的问题，从而掌握问题分析、冲突解决的实际能力。观察者角色的主要学习是通过“理论型”策略来完成，重点提升观察、批判性思考和概念化的能力。多角色案例教学的模式虽然是针对酒店管理课程提出，但其基本思想和模式也可以在服务管理、客户关系管理、服务质量管理等课程适用。当多角色案例教学运用到上述其他课程时，只需要将角色进行适当调整和转换以适合特定的案例情境即可。
作者:林巧 张雪晶 单位:浙江大学宁波理工学院
参考文献：
[1]雷焕贵，段云青.中美案例教学的比较[J].教育探索，2010.06:150-152.
[2]吕雪晴，刘满芝.多角色的情境教学模式在工商管理实践教学中的应用研究[J].煤炭高等教育，2014.5:118-12.
初中生处于特殊的心理发展阶段，其学习实践活动进程需要积极、浓厚、融洽的学习情感和外在氛围促发和刺激，以此产生主动、能动的学习情态．笔者发现，部分初中生对数学问题案例解答充满畏惧心理，消极情感，不愿不想参加案例解析活动．这就决定了教师在案例教学中，要实现学生参与合作探究案例情感的树立，就需要做好思想动员这一工作，利用案例的生动性、形象性、趣味性等特点，促发初中生主动参与合作．如，数学案例生活应用性强，学生对真实案例较为亲近．在“全等三角形的性质运用”、“轴对称图形特征”等案例教学中，通过设置“小明想在玻璃店划一块完全一样的三角形玻璃，应该怎么办?”“李星手里拿着一块写有某一数字的牌子站在一面镜子前，可以看到镜子中现实的数字是80612，则李星手里拿着的数字牌其数字是多少?”现实案例，调动起参与合作情感．又如，数学案例趣味性强，学生情感易受共鸣．在“一元二次方程组”教学中，教师展示我国古代数学著作《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，引导学生感悟其数学案例趣味特性，增强其主动合作潜能等等．
二、在解题思路探寻中，组织学生合作探析
解题思路探寻，是问题案例解答的首要环节．解题思路的确定过程，是一个实践探索、逐步探知的过程．这一过程中，需要学生个体的全程参与，深入探知．教师应组织学生组建合作学习小组，围绕解题要求，根据问题条件，参与合作探析解题思路，引导学生梳理问题条件内容，找寻条件存在等量关系，通过合作交流，深入讨论，明晰解题的根本途径和渠道．如，在如图1所示，在矩形ABCD中，点E，F分别是矩形AD，DC上的任意一点，已知ABE∽DEF，AB、AE、DE三条边的长分别为6，8，2，求EF的长度是多少?案例解题思路环节，教师组织初中生开展小组合作探析活动，围绕条件内容和解题要求，向学生设置了“矩形具有哪些性质和特点?”、“相似三角形具有哪些性质?”、“要求EF的长度，需要建立什么等量关系式?”等合作探析任务，学生个体在小组合作探知问题条件时，结合教师布置的任务要求，共同研析问题条件内容后，认识到，该问题条件中主要涉及到的数学知识点有“矩形的性质”、“相似三角形的性质”等，并且分析推导得到问题条件存在“三边符合勾股定理”、“比例线段等比”等等量关系．结合解题要求，学生认识到该问题主要是考查对“相似三角形的性质”、“勾股定理”等数学知识内容运用能力，可以借助于上述这些数学知识点进行解答，从而共同合作探寻到该问题案例解答的途径为:“根据勾股定理求出BE的长度，然后结合相似三角形的性质求出EF的长度即可”．在上述解题思路探寻中，教师改变了以往灌输式和包办式的教学方式，将探寻任务教给学生，组织学生合作探析，使初中生能够在自主研析和合作探析过程中，全面、深刻认识和掌握数学问题内容以及深刻内涵，在互助合作中循序渐进，逐步深入探寻得到解题思路，保证了合作探寻的实效性．
三、在提炼问题解法中，指引学生合作讨论
问题:函数的自变量x满足1/2≤x≤2时，函数值y满足1/4≤y≤1，那么这个函数的解析式为多少?在上述问题案例解题方法归纳进程中，教师发挥小组合作集体互补作用、促进作用，利用自身所具有的指导点拨功效，指引学生通过小组合作讨论活动形式，归纳解决问题方法，提升合作学习能力．其指引学生合作讨论提炼问题解法过程如下:师:组建归纳解题方法活动小组，提出合作探析目标任务．师:展示其解题过程．引导学生阐述解题观点．生:思考问题条件内容，回顾解题思路推导过程，指出，在该问题解析过程中，主要是借助了反比例函数的性质知识点内容，解决问题的关键点是:正确理解题意，根据自变量的值求出对应的函数值．
学生对命题“两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等．”的认识是受到了全等三角形的干扰，很多同学条件结论本末倒置导致错误．接下来探究活动，直接针对这道易错题进行分析，既典型又恰到好处．从特殊状态过渡到一般状态，通过对全等理由的述说，复习全等三角形已学的判定方法，可谓一举多得，提高了复习课的效率．
培养学生的发散思维能力是创新教育的需要。作为数学教师应竭力把自己的课堂变成激发学生潜能，提高发散思维能力的场所。
一、创设问题情境，设计开放性题目
设计问题是数学教学中的关键环节之一，问题得以解决则是数学能力的集中体现。我们应精心设计开放性试题，培养学生发散思维。
在学习了《三角形》中全等三角形的判定后，可以设计这样一道开放性题目：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使两个三角形全等。你还可以设计几个方案？方案⑴：若这个角是这两边的夹角方案（边角边）； 方案⑵：若这个角的对边恰好是两边中较小边； 方案⑶：若这个角的对边恰好是这两边中较大边； 方案⑷：若这两边相等； 方案⑸：若这个角是直角；方案⑹：若这个角是钝角；方案⑺：若这两个三角形都是锐角三角形；方案⑧：若这两个三角形都是钝角三角形；方案⑨：若这个角是这两个三角形的公共角，它所对的边为其中一已知边；方案⑩：若这两边中有一边为两个三角形的公共边，另一边为已知角的对边；以这十种方案为条件之一，则这两个三角形全等。
这样的训练可以让学生充分展开想象的翅膀，思维的流畅性得以培养，使学习能力和思维能力得到同步提高。
二、师生共同营造敢想、敢问、敢说的氛围，培养学生的兴趣和热情，促进学生主动探究
在课堂教学中努力激发学生动脑提问的积极性，鼓励学生敢于生疑发问，对开发学生求异思维能力关至关重要。
《一元二次方程》有这样一个问题：
在一块长16米，宽12的矫形荒地上建造一个花园，使花园所占面积为荒地面积的一半。请你给出设计方案。
学生的积极性调动后，可能有以下多种答案： 方案1：矩形中含矩形（此为常规的设计）。 方案2：矩形中“十字形”设计。 方案3：矩矫形中有三角形。 方案4：矩形中有菱形。 方案5：矩形中有圆形。 方案6：矩形中有椭圆形。 方案7：矩形中有月牙形。 方案8：矩形中有扇形。方案9：花园为条形。方案10：花园为梯形。等等。
学生借助数形结合的思想，既体现了数学中的美，又充分地展开了想象，使发散思维得到了张扬。
三、注重一题多解，培养学生的独创性
一题多解可以促进学生思维活动多向化，不局限于单角度，不受一种思路的束缚，对一问题寻求多样化解决，谋求多种可能。通过一题多解，调动学生学习的主动性和积极性；并通过总结比较出较好的解题方法，培养学生思维的灵活性和创造性。
在《一元二次方程》教学时，选择如下一个问题作为一个巩固知识、训练学生思维的复习题：
已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
首先让学生明确两个相等关系：⑴“和”等于8；⑵“积”等于9。接着启发学生思考怎样用、在哪个步骤用这两个关系。然后明确指出本题有多种解法，让学生探讨，合作交流，鼓励学生积极探索。 通过一题多解的训练，让学生动脑、动口、动手，促进了学生的发散思维。
四、注重一题多变、变式训练，培养学生的变通性
根据发散思维的特点，教学是努力挖掘教材的内涵，积极寻找思维的发散点，精心备好每一节课，在课堂上运用变式教学，帮助学生牢固地、灵活地掌握所学的数学系、知识。课堂教学中，把一些题目的条件和结论适当改变得出新题目，由一题变多题，通过演变，可使学生时时处在一种愉快的探究知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和数学素质。
甲、乙两站间的路程为360km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
可将条件变式、条件变式、结论变式、背景变式， 进行一次适当的变式训练，学生就相当于做了一套“思维体操”，它不仅能巩固知识，开阔学生视野，收到举一反三、触类旁通的效果，还能活跃学生思维，提高学生的应变能力。
五、开拓思路，诱发思维的发散性
思维的发散性，表现在思维过程中，不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维方式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。
八年级数学证明（一）时，有这样一道例题：
直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，求证：a∥b
要求学生用所学过的知识用多种方法证明此题。
一、我国初中数学课堂教学的现状
1.学生的质疑、探索能力差
质疑是事物发展的开端，只有保持质疑的心态才能做好学问；探索是事物发展的动力，只有坚持探索才能全面认识事物的多样性。在我国初中数学课堂中，教授方式主要是填鸭式，问题由老师提出，然后根据教材给出标准答案，而学生的任务只是记住答案，通过大量的练习用身体的每一部分来记住答案，以求达到一看到题目，手就会自动写出标准答案的境界。久而久之，学生就失去质疑与探索的能力，只会等着老师给问题，然后通过教科书寻找标准答案。
2.学生的实践、综合能力差
学习是一个循环的过程，首先掌握理论知识，然后利用理论知识来改变现实，其后在实践中取精去粕，总结出新的知识，最后把新的知识返回现实，周而复始，促进知识的循环与社会的发展。探究性学习是指学生通过探究的方式来获得知识，是一种自主学习的方式，主要通过提出问题、研究问题、解决问题和预测问题来深入理解科学知识，这种学习方式运用于初中数学课堂教学中，可以充分调动初中学生的积极性，让他们自发去了解数学的奥妙，在快乐中学习，具有重要意义。
二、探究性学习在数学课堂教学中的重要意义
1.引导学生发现问题
理论知识的传授往往是枯燥的，所以，如何在枯燥中寻找乐趣来吸引学生的注意、提起学生的兴趣是教学成功的关键。区别于传统教学的结论性教育，探究性学习往往是启发性教育，引导学生发现问题。举个例子，直角三角形，传统的教育的说法是它是直角三角形，因为它只有3个角，而且有一个角是90°；而探究性教育的说法是，它只有三个角，所以是三角形，如果不只三个角，那它是什么图形？三个角中有一个角是90°，所以它是直角三角形，如果没有90°角的话，它又是什么三角形？
2.促使学生发散思维
探究性学习鼓励学生自主学习、发散思维、自主创新，去解决已有问题，而不是在教科书中寻找标准答案，因为课堂时间是有限的，教科书的页码也是有限的，仅限于课堂的学习远远不能满足人才的知识量需求。举个三角形的例子，传统教育的说法是，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；而探究性教育会说，直角（钝角）三角形有一个角是直角（钝角），那剩下的两个角会是什么角？只能是什么角？有没有可能也是直角（钝角），为什么？
3.促进全员参与，创建良好的学习环境
一千个人眼里有一千个哈姆雷特，每个人的想法与观点都不一样，尤其是青少年，他们的经历不同、爱好不同、兴趣不同，所以对知识的掌握程度也不同，通过全员参与的方式，可以促进同学之间的交流，让思想产生碰撞，以达到知识互补的目的。比如说，在一个小组里，一个人知道直角三角形的特征，一个人知道等腰三角形的特征，另一个人知道等边三角形的特征，那么经过交流分享后，他们就知道三种三角形的特征，而不用在老师的压力下死记硬背。
三、探究性问题的设计
数学探究性问题是从问题开始的，因此设计数学问题一定要有探究学习的价值，有价值的问题才能引发学生有价值的思考，才能激发学生有意义的探究学习，才能诱发学生去发现创造.从师生双边活动的角度来说，围绕数学问题探究学习，一般分两个层次.一是教师提出问题，引导学生探究学习，这要求教师提出的问题要做到适时、适度、适量和适合学生.二是教师创设一定的数学探究学习情境，让学生体验学习，并发现问题、提出问题，然后自主探究，达到自我解决问题的目的.
四、在初中数学教学中开展探究性学习
1.创设趣味问题情境，引导学生探究
心理学研究表明，情感与行为动机有着密切的联系，在很多情况下，人的某种情绪和情感可直接转化为重要的行为动机，浓厚的学习兴趣和好奇心可成为学生刻苦学习的持久动力，在学习过程中兴趣越浓厚，学习就越刻苦，越敢于探究.例如，在讲“轴对称图形和中心对称图形”时，我提出如下问题：（用多媒体呈现：宇宙空间里滚动着一个蓝色的地球、一个火热的太阳、一个明媚的月亮，由此三点再构成一个三角形）请同学们用三个圆与一个三角形尽可能多地设计出轴对称图形和中心对称图形，同时在自己的作品边上加上适当的解说词。学生分成几组，试一试，比一比.通过这样的情境及实际操作，加上学生的巧妙构思，耳目一新的解说词后，定能增加学生学习的兴趣，并使学生感受到探究成功的喜悦.
2.创设悬念，猜想问题，引导学生探究
设置悬念，可调动学生主动思考，激发学生的求知欲望；猜想、趣味的引入，能使学生迅速集中注意力，激发学习兴趣，引发学习动机，营造和谐的学习气氛，促使学生主动探究所学知识.例如，在讲“三角形内角和等于180°”时，我让学生画一个任意三角形，用量角器量出三个内角的度数，并说出其中两个内角的度数，第三个内角的度数由老师猜.学生惊讶地发现，他们所画三角形第三个内角的度数都被老师猜中了.
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