圆的周长和面积》-单元测试1
一、单选题(总分：25分本大题共5小题，共25分)
1.(本题5分)把一个直径是4厘米的圆分成2个半圆后，每个半圆的周长是（
）厘米．
A.12.56
B.6.28
C.10.28
2.(本题5分)甲圆的直径长为8，是乙圆直径长的40%，则乙圆的周长是（
）
A.40%π
B.8π
C.20π
D.3.2π
3.(本题5分)要用圆规画一个周长为25.12厘米的圆，圆规两脚张开的距离是（
）厘米．
A.25.12
B.12.56
C.8
D.4
4.(本题5分)车轮滚动一周时，走过的路程是车轮的（
）
A.半径
B.直径
C.周长
5.(本题5分)一个圆的周长是62.8分米，圆的半径是（
）分米．
A.3.14
B.10
C.20
D.无答案
二、填空题(总分：40分本大题共8小题，共40分)
6.(本题5分)求半圆的周长时用公式：C=2πr÷2+2r
或者是C=πd÷2+d____．
7.(本题5分)把一个圆沿对称轴分成两个半圆后，周长增加了12厘米．每个半圆的周长是____厘米．
8.(本题5分)已知时钟的分针长4厘米，从上午9点到下午3点，它走了____厘米．
9.(本题5分)一个挂钟的时针长20厘米，一昼夜．这根时针的尖端走了____米．
10.(本题5分)用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5分米，如果把这根铁丝改围成一个正方形，它的边长是____分米．
11.(本题5分)一个圆的周长是25.12cm，则这个半圆的周长是____cm，这个半圆的面积是____cm2．
12.(本题5分)自行车的车轮滚动一圈，所行驶的路程等于车轮的____。
13.(本题5分)一根铁丝围成一个圆，半径是6分米，如果这根铁丝围成一个正方形，它的边长是____分米。
三、解答题(总分：35分本大题共5小题，共35分)
14.(本题7分)动手画一个半径为2cm的半圆，并求出它的周长和面积．
15.(本题7分)张大爷有一块半径4米的圆形菜地，他想把菜地用篱笆围起来，最少需要多长的篱笆？
16.(本题7分)计算圆的周长时，已知r，C=____；已知d，C=____．
17.(本题7分)求下面图形的周长．
（1）
（2）
18.(本题7分)看图求周长．
冀教版六年级数学上册《四
圆的周长和面积》-单元测试1
参考答案与试题解析
1.【答案】：C;
【解析】：解：3.14×4÷2+4
=6.28+4
=10.28（厘米）
答：每个半圆周长是10.28厘米．
故选：C．
2.【答案】：C;
【解析】：解：8÷40%×π=20π，
答：乙圆的周长是20π．
故选：C．
3.【答案】：D;
【解析】：解：25.12÷3.14÷2
=8÷2
=4（厘米），
答：圆规两脚之间的距离是4厘米．
故选：D．
4.【答案】：C;
【解析】：解：车轮转动一周时，所行走的路程即是车轮边缘的展开，即周长；
答：车轮滚动一周时，走过的路程是车轮的周长．
故选：C．
5.【答案】：B;
【解析】：解：已知C=62.8分米
r=C÷2π
62.8÷2÷3.14
=31.4÷3.14
=10（分米）
答：圆的半径是10分米．
故选：B．
6.【答案】：正确;
【解析】：解：解：圆的周长的一半是：2πr÷2=πr或πd÷2，
一个半圆的周长是：2πr÷2+2r或πd÷2+d；
故答案为：正确．
7.【答案】：15.42;
【解析】：解：圆的直径：12÷2=6（厘米），
半圆的周长：3.14×6÷2+6，
=18.84÷2+6，
=9.42+6，
=15.42（厘米）；
答：每个半圆的周长是15.42厘米．
故答案为：15.42．
8.【答案】：150.72;
【解析】：解：下午3点=15点，
15时-9时=6时，
2×3.14×4×6，
=3.14×48，
=150.72（厘米）；
答：分针的针尖走了150.72厘米．
故答案为：150.72．
9.【答案】：2.512;
【解析】：解：3.14×20×2×2，
=3.14×40×2，
=3.14×80，
=251.2（厘米）
251.2厘米=2.512米；
答：这根时针的尖端走了2.512米．
故答案为：2.512．
10.【答案】：7.85;
【解析】：解：3.14×5×2÷4，
=3.14×2.5，
=7.85（分米）．
答：它的边长是7.85分米．
故答案为：7.85．
11.【答案】：20.56;25.12;
【解析】：解：25.12÷2+25.12÷3.14
=12.56+8
=20.56（cm）
3.14×（25.12÷3.14÷2）2÷2
=3.14×42÷2
=25.12（cm2）
答：这个半圆的周长是20.56cm，这个半圆的面积是25.12cm2．
故答案为：20.56，25.12．
12.【答案】：周长;
【解析】：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长。
故答案为：周长。
13.【答案】：9.42;
【解析】：2×3.14×6÷4=37.68÷4
=9.42(分米)
则它的边长是9.42分米。
故答案为：9.42。
14.【答案】：解：以点O为圆心，以2厘米为半径画这个半圆如图所示：
所以这个半圆的周长是：3.14×2×2÷2+2×2
=6.28+4
=10.28（厘米）；
半圆的面积是：3.14×22÷2
=3.14×4÷2
=6.28（平方厘米）；
答：这个半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米．;
【解析】：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此即可画出这个半圆，半圆的周长=πd÷2+d；半圆的面积=πr2÷2，由此代入数据即可解答．
15.【答案】：解：2×3.14×4，
=6.28×4，
=25.12（米）；
答：最少需要篱笆25.12米．;
【解析】：根据圆的周长公式：C=2πr，代入数据，列式解答即可．
16.【答案】：2πrπd;
【解析】：解：已知r，则C=2πr；
已知d，在C=πd．
故答案为：2πr，πd．
17.【答案】：解：（1）3.14×10÷2+10
=31.4÷2+10，
=15.7+10，
=25.7（厘米）；
（2）3.14×50+100×2
=157+200，
=357（米）；
答：半圆的周长为25.7厘米；操场周长为357米．;
【解析】：（1）根据半圆的周长公式：半圆的周长=πd÷2+d计算即可；
（2）该图形的周长=两个半圆弧的周长+上下两边的长．
18.【答案】：解：3.14×1.5=4.71（分米）
教学内容：
人教版六年级教科书第十一册第95―96页中的例4和例5及“做一做”和练十四的第6―11题。
教学目的：
1、使学生根据圆的周长，计算圆的面积。
2、使学生认识环形，会计算环形的面积。
3、使学生会应用有关圆的周长和面积的知识解决简单的实际问题。
教具、学具准备：
教师准备几幅画有烟囱、柱子、街心圆形花坛、火锅圆桌和切割刀片的挂图或投影片。学生每人准备白纸、圆规和剪刀
教学过程：
一、复习引入
1、什么是圆的面积？如何计算圆的面积？
2、根据已知条件求圆的面积。（1）r=3分米（2）d=10厘米
3、看画有烟囱、柱子、街心圆形花坛挂图，要想知道这些物体占地多少平方米有哪些办法？
学生各自发表意见后教师指出：圆的周长与直径有关系，所以知道圆的周长也可以求圆的面积。这节课继续学习圆的面积。
二、教学新课
1、教学例4
（1）出示例4，全班读题
（2）师：要求圆的面积需要什么条件？题中告诉了什么条件？这道题应先求什么？
（3）学生看书上的解答过程，并把计算结果填出来。
（4）让学生交流计算结果，并说一说通过这道题的学习有什么体会？
（5）小结：在遇到要计算不能直接量出半径或直径的圆面积时，可以先量出圆的周长来计算它的半径，再求圆的面积。通过今天的学习，在生活中遇到类似的问题，自己能解决了吗？
2、完成第95页的“做一做”中的题目，教师巡回辅导，做完后集体订正。
3、教学例5（让学生做环形的实践操作）
（1）画圆，计算面积。（教师让学生在白纸上画半径是8厘米和6厘米的同心圆，并求出两个圆的面积。）
（2）剪圆，认识环形。（要求学生想办法，不剪破外面的圆，把里面的小圆剪下来。）
（3）展示学生的作品。想想你这个图形是怎样得到的？（从外圆中去掉一个同心圆。）
板书：环形（出示课件：环形）
（4）在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举例。
（出示课件：火锅圆桌和切割刀片投影片）
（5）探索环形面积的计算方法
小组讨论，根据你对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？再把各小组讨论的情况在全班交流，然后出示课件：从大圆里去掉一个同心小圆得到环形的动态过程，最后教师指出：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。
出示课件：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。
（6）学习例5
师：看课本上的解答过程，想想是分几步解答的，每步各求的是什么？
师：你能将这道题列出综合算式解答吗？试试看。
教师巡视，待多数学生列出综合算式后，再设问：这综合算式有简便算法吗？
教师演示简便算法过程：（略）
师；你从这个简便算法里想到了什么？
师；用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。
出示课件：用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。
师：通过刚才对环形的学习，你知道求环形面积的关键应知道什么？
4、完成第96页中的“做一做”题目。（先让学生独立完成，再集体订正。）
三、课堂练习
1、判断
（1）圆的周长越长，圆的面积越大。（）
（2）周长相等的两个圆，面积也一定相等。（）
（3）在圆内剪去一个小圆就成为一个圆环。（）
（4）圆的半径扩大3倍，它的面积也扩大3倍。（）
2、完成练十四中第6―11题。（先让学生独立完成，再集体订正）
3、开放性练习。（课后思考）
在一块长方形铁皮上剪两个同样大小，并且尽可能大的圆，要想求剩下铁皮的面积。只允许测量一次，你认为测量哪里即可算出剩下铁皮的面积。（尽量想出不同的方法）
四、总结
这节课我们学习了什么？你有哪些收获？你还想到什么问题？
（教师指出：一是在不知道圆的半径时，如何求圆的面积？二是如何计算环形的面积？）
板书设计
圆的面积（二）
例4例5
18.84÷3.14÷23.14×152-3.14×102
=6÷2=3.14×（152-102）
=3（米）=3.14×（225-100）
πr2=3.14×32=3.14×125
=3.14×9=392.5（平方米）
教学内容
教科书第89～90页，第91页的例1及例1下面的“做一做”，练十三的第1～6题．
教学目的
使学生知道圆的周长和圆周率的含义，掌握圆的周长的计算公式，能够正确地计算圆的周长．介绍祖冲之在圆周率研究上的成就，渗透爱国主义教育．
教具准备
一根40厘米长的线，直径是10厘米的圆形硬纸板，一把40厘米长的直尺，铁圈，圆形铁桶，杯子，投影片．
教学过程
一、复习
1．教师用投影片出示下面两个图形，让学生找出直径和半径．
教师：什么是直径？什么是半径？直径和半径的长度有什么关系？”
2．教师用投影片出示下面的图形．
教师：什么是长方形的周长？什么是正方形的周长？它们的计算结果用的是什么计量单位？然后让学生指出这两个图形的周长，并进行计算．然后引出新课．
二、新课
1．圆的周长和圆周率的含义．
教师拿出直径是10厘米的圆纸片，边演示边说明圆的周长的含义．指出：围成圆的曲线的长叫做圆的周长．然后让学生也拿出直径是10厘米的圆纸板，用手指出它的周长．
教师：我们知道了什么是圆的周长，那么怎样测量圆的周长呢？教师拿出一根线，用线绕圆纸板一周，剪去多余的部分，再量一量它的长度，量得的结果就是圆的周长．然后在圆纸板的直径的一端画上箭头，使箭头指着刻度尺的零刻度，把圆在直尺上滚动一周，这时箭头指着的刻度就是圆的周长．
教师：我刚才用两种方法分别量了直径是10厘米的圆的周长，量得的长度都是30厘米多一点，也就是说圆的周长是直径的3倍多一点．那么圆的周长和直径有什么关系呢？我们来做实验．
教师让学生拿出圆纸板、铁圈、圆形铁桶、杯子，并让学生用上面两种方法分别量出圆纸板和铁圈的周长、直径，圆形铁桶和杯子底面的周长、直径，并把量得的数据填在书上的表格里，观察、比较量得的结果．教师可以行间巡视，稍作指导．
教师：通过这些实验和统计的结果，你发现圆的周长和直径有什么关系？
指名说一说自己算出的的值是多少，教师把这些数据写在黑板上．引导学生进行讨论．使学生看到：圆的周长总是直径的3倍多一点．教师接着指出：任何圆的周长和直径的比值都是3.14多一点，它们的比值是一个固定不变的数．我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，圆周率用字母π（读pài）表示．
教师还要告诉学生：数学家们逐渐发现圆周率是一个无限不循环小数，人们在计算时，一般只取它的近似值如“3.14”．
教师让学生看教科书第6页下面方框内的话，渗透爱国主义教育．
2．理解并掌握圆的周长的计算公式．
教师：我们刚才学习了圆周率，谁能说一说圆的周长、直径和圆周率是什么关系？
指名说，教师板书：圆的周长÷直径＝圆周率
教师：如果用直径和圆周率来表示周长，怎样表示呢？
得出：圆的周长＝圆周率×直径．
教师：如果用C表示周长，π表示圆周率，d表示直径，那么圆的周长的字母公式怎样表示？
学生说，教师板书：C＝πd
教师：因为圆周率π的值是固定的，只要知道了圆的直径就可以求出圆的周长；如果知道了圆的半径，能不能求出圆的周长？用r表示圆的半径，圆的周长的字母公式怎样表示？
引导学生说出：因为直径是半径的2倍，所以用2r代替公式中的d就可以求出圆的周长；因为数目一般要写在字母的前面，所以用圆周率和半径来表示圆的周长的公式是：C＝2πr．
教师：我们刚才提到的圆周率π是个无限不循环小数，谁能说一说小数可以分成哪几种？
引导学生归纳如下：
3．计算圆的周长．
教师出示例1，指名读题．教师可以向学生指出：
（1）不必写出公式，直接用公式计算就可以．
（2）π取两位小数为3.14；
（3）计算结果要求保留两位小数，因此最后一步要用约等号．
然后让学生在练习本上做题，指名学生板演，集体订正．
4．做例1下面“做一做”中的练习．
教师指名读题后，可以让学生说一说题中要求的问题实际上是求什么？然后让学生独立做题，订正时注意算式写得对不对，脱式的最后一步写没写约等号，答题是否正确．
三、巩固练习
做练十三的第1～6题．
1．第1题，指定4名学生在黑板上各做一道题，其余学生在练习本上做．订正时注意列式及单位名称是否正确．
2．第2、3题，让学生直接列式计算，不必写答．
3．第4题，让学生自己做，集体订正．
4．第5题，指名读题，然后让学生说一说这道题和前面做过的题有什么不同，使学生明确：题中要求把牛栏围上3圈，实际上就是求3个周长的和．学生做题时，教师巡视，发现问题进行辅导．
5．第6题，指名读题，说一说题意，然后让学生独立做，指名板演．订正时让做错的学生说一说自己错在什么地方，教师加以纠正，还要检查学生算出的得数有没有保留整米数．
课题二：圆的面积（一）
教学内容
教科书第94页圆面积公式的推导，第95页的例3，练十四的第1～5题．
教学目的
使学生知道圆的面积的含义，理解和掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积．
教具、学具准备
教师仿照教科书第94页上的图用木板制作教具，准备长方形、平行四边形、梯形和圆形纸片各一个；学生把教科书第187页上面的图剪下来贴在纸板上，作为操作用的学具．
教学过程
一、复习
1．教师：什么叫做面积？长方形的面积计算公式是什么？
2．教师：请同学们回忆一下平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的推导过程．想一想这些推导过程有什么共同点？
二、新课
1．教学圆面积的含义及计算公式．
教师依次拿出长方形、平行四边形、三角形和梯形图，边演示（然后贴在黑板上）边说：“我们已经学过这些图形的面积，请同学们说一说这些图形的面积有什么共同的地方？”使学生明确：这些图形的面积都是由边所围成的平面的大小．
教师再出示圆，提问：这是一个圆，谁能联系前面这些图形的面积说一说圆的面积是什么？让大家讨论．最后教师归纳出：圆所围平面的大小叫做圆的面积．
教师：我们已经知道了什么是圆的面积，请同学们联系前面一些图形的面积公式的推导过程想一想，怎样能计算圆的面积呢？使学生初步领会到可以把圆转化成一个已学过的图形来推导圆面积的计算公式．
教师出示把圆平均分成16份的教具，让学生想一想，能不能把这个圆拼成一个近似什么形状的图形．如果学生回答有困难，可提示学生看教科书第10页上面的图，并让学生拿出学具，试着拼一拼，然后让拼得正确的同学到前面演示一下拼的过程，再让不会拼的同学拼一遍．
然后教师直接拿出把圆平均分成32份的教具拼成一个近似长方形，提问：“我们刚才把这个圆拼成了近似什么形状的图形？”（长方形．）请同学们观察一下，把这个圆平均分的份数越多，这个图形越怎么样？（引导学生看出平均分的份数越多，这个图形越近似于长方形．）拼成的近似长方形与原来的圆相比，什么变了？什么没变？（使学生看出形状变了，但面积没有变，圆的面积等于近似长方形的面积．）
教师在拼成的近似长方形的右边画一个长方形，指出：如果平均分的份数越多，拼成的近似长方形就越接近长方形．提问：“请同学们观察一下，这个长方形的长与宽和原来的圆的周长与半径之间有什么关系？”使学生在教师的引导下看出：这个近似长方形的长相当于圆的周长的一半，如果圆的半径是r，即＝＝πr；长方形的宽就是圆的半径．接着提问：这个长方形的面积是多少？这个圆的面积呢？
学生说，教师板书：圆的面积＝πr×r＝πr2
教师：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：S＝πr2．
教师：我们现在已经知道了圆面积的计算公式，我们现在只要知道圆的什么就可以求出圆的面积？然后再让学生说一说圆面积计算公式的推导过程．
2．教学例3．
教师出示例3，指名读题，让学生试着做，提醒学生不用写公式，直接列算式就可以．
然后让学生对照书上的解题过程，看自己做得对不对；如果错了，错在什么地方．教师要强调指出：列出算式后，要先算平方，再与π相乘．最后小结一下解题过程．
三、课堂练习
做练十四的第1～5题．
1．第1题，让学生直接列式计算，指名板演，教师巡视，检查学生有没有把圆的面积公式写成圆的周长公式来计算，书写格式对不对，写没写单位名称．订正时了解学生还存在什么问题，及时纠正．
2．第2题，让学生独立做，教师巡视，除了注意学生在做第1题时易犯的错误外，还要检查学生有没有把第（2）小题的直径当半径直接计算的，订正时提醒学生做题时要认真审题．
3．第3题，让学生自己做，集体订正．
4．第4题，指名读题，让学生说一说这道题与第3题有什么不同的地方，能不能直接计算．使学生明确要先算出半径，再计算．
5．第5题，让学生读题，看着右面的示意图说一说题意，再让学生做，集体订正．
课题三：圆的面积（二）
教学内容
教科书第95～96页的例4、例5及“做一做”中的题目，练十四的第6～11题．
教学目的
通过练习，使学生能够比较熟练地计算圆的面积．
教具准备
教学例5用的教具．
教学过程
一、复习
1．教师：什么是圆的面积？圆的面积计算公式是什么？
2．求下面各圆的面积．
二、新课
1．教学例4．
教师出示例4，指名读题，说题意，提问：“计算圆的面积时需要什么条件？题中给了什么条件？能直接计算圆的面积吗？那么怎样将题中的已知条件转化成计算圆面积所需的条件呢？”
使学生明确：要先通过给出的周长算出圆的半径，再计算圆的面积．
然后让学生分两步计算圆的面积，提醒学生注意每一步应该用什么单位名称．最后让学生把自己的解题过程和书上的对照一下，并把书上的解题过程填完整，教师再进行小结．
2．例4的巩固练习．
做例4下面“做一做”中的题目．第1题，让学生分别计算圆的面积和周长，订正时注意引导学生区别圆的面积和周长．使学生明确：（1）圆的面积是指圆所围成的平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度；（2）圆面积的计算公式是：S＝πr2，圆的周长的计算公式是C＝πd或C＝2πr；（3）计算圆面积用面积单位，计算圆周长用长度单位．
第2题，让学生读题，说题意，然后让学生独立做，集体订正．
3．教学例5．
教师出示例5及示意图．指名读题，说题意．提问：“题中的问题求的是什么的面积？”
教师拿出教具，提问：“外圆的半径是多少？能求出外圆的面积吗？内圆的半径是多少？能求出内圆的面积吗？”这时教师把内圆拿出来，提问：“请同学们观察，取出的是什么？剩下的是什么？”使学生明确从大圆的面积中减去小圆的面积就得到环形的面积．然后让学生说计算过程，教师板演．求出外圆的面积后，可以让学生在书上把后面的计算做完．订正时教师提问：“第（3）步求环形的面积是怎样算的？”让做错的学生再写一遍．
教师：这道题能不能列综合算式解答？让学生试做．教师巡视，了解学生列算式情况．可能大部分学生能够列出：3.14×152－3.14×102，这时教师可以提示学生联系以前学习四则混合运算时的简便算法想一想，能不能列出更简便的算式．使学生想出简便算法：3.14×（152－102），并算出得数，再看计算的结果与前面是否相同．
4．例5的巩固练习．
做例5下面“做一做”中的题目，让学生独立做，教师巡视，检查学生还存在什么问题．订正时了解学生用的是分步计算还是简便算法，只要列式和计算正确，两种方法都可以，但要表扬用简便算法的同学，还要检查学生算出的得数有没有保留两位小数．
三、课堂练习
做练十四的第6～11题．
1．第6题，让学生按顺序口答，注意检查有没有学生把一个数的平方算成这个数乘2的情况．
2．第7、8题，让学生独立做，集体订正．
3．第9题，教师可在课余时间带领学生到校园内进行实地测量．
“学生的学习要建立在他们已有的知识经验和水平基础之上”，这是每位数学教师都深知的一条教学原则。但在平时的教学实践中，却很少有教师研究学生掌握了哪些知识，教学完全是按照教师自己的想法进行设计的，使学生被动学习数学，造成数学教学高耗低效的局面。要想转变学生的学习方式，教师在进行数学教学之前，就要对学生的数学水平进行前测。下面，笔者以“圆锥的体积”练习课的教学为例，谈谈如何开展数学教学的前测工作。
一、前测方法
前测，就是在教学之前利用不同方法对学生的知识水平进行测试，如掌握学生的学习经验是什么、找到学生的最近发展区等，以便及时调整教学设计。正常情况下，我们都会采用以下几种前测的方法：（1）测试。课前出一张测试卷，了解学生相关的知识情况，以便在教学时可以及时调整教学设计，进行有针对性的教学。（2）访谈。课前随机走进学生当中，与学生交流相关情况，从访谈中了解学生的真实水平，以便在教学时选择最为有效的教学策略。（3）测试与访谈相结合。这种方法是在学生测试之后，针对学生在测试中出现的情况，通过访谈来了解产生的原因，这样可以更加具体、清晰地了解学生的学习起点。（4）作业痕迹分析。作业是在一种自然、自主的情况下发生的学习行为，在很大程度上反映出学生真实的学习水平。从学生的作业中，可以看出哪些学生已经掌握了知识、哪些是学生还没有掌握的内容等，学生错误的原因也可以通过分析作业来获取信息。
二、前测案例呈现及分析
下面，笔者就结合作业痕迹分析法来谈谈如何有效把握学生的学习起点。请看下面几个学生的作业错例：
通过对上述四个作业错例进行分析，可以看出学生对圆锥的体积公式掌握不牢，或者说学生还没有更清晰地理解圆锥体积的计算公式。如第一个错例，学生忘记圆锥的体积计算是用底面积来乘的，而不是用半径来乘的；第二个错例，学生忘记了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，这样求出来的不是圆锥的体积，而是与它等底等高的圆柱体积；第三个错例，学生忘记了圆锥的体积计算公式是半径的平方，而不是直径乘以直径，所以错误产生的原因是没有把直径转化成半径来解答；第四个错例，直接用圆锥的半径平方来乘以高，忘记乘以3．14先求出圆锥的底面积了。通过学生所列的算式，可以看出学生已经基本掌握了圆的相关知识，但是由于粗心，计算圆锥体积时忘记乘以3．14了。
三、根据前测信息设计教案及点评
教学目标：
1.进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能正确熟练地运用公式计算圆锥的体积。
2.进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和动手操作的能力。
3.进一步熟悉圆锥的体积计算。
教学过程：
1.回顾旧知。
（1）学生作业痕迹分析。
（2）今天我们就一起来学习圆锥的体积练习。
2.实际应用。
判断：图中圆锥与哪个圆柱的体积相等？
（1）先让学生自己分析，再小组交流。
（2）全班交流，得出结论。
3.拓展提升。
（1）能将直角三角形转成圆锥吗？如果能，请你算算，它的体积是多少？可以闭上眼睛想一想，也可以在纸上画一画。
（2）如下图，有一根圆柱体的木料，底面积为6平方分米，长20分米，沿着木料的中点，把头部加工成一个圆锥。已知削去部分的体积是40立方分米。求加工后木料的体积是多少？
4.全课总结。
师：通过今天的学习，你有什么收获？
……
通过前测，发现学生对圆锥的体积公式记得不牢，没有厘清圆锥与圆柱体积计算方法之间的区别和联系，计算时出现丢三落四等现象，在复杂的问题中不能细心、细致地分析数量之间的关系。所以，上述教案完全是根据对学生前测之后所获取的信息进行设计的。上述教学中，回顾旧知时简要地与学生一起分析作业错误的原因，让学生意识到自己的错误，使学生形成要在本节课努力听讲、认真学习的决心与信心。接着，在实际应用环节中，让学生分析圆锥与哪个圆柱的体积相等。这一环节的设计，既来源于学生已经学习过的圆锥体积计算公式，又高于圆锥体积计算公式的应用。学生要想解答这一道题目，就必须牢记圆锥的体积计算公式。这样教学，让学生从更特别的思维角度来厘清圆柱与圆锥体积之间的关系，强化了圆锥体积一定是与它等底等高圆柱体积的三分之一，加深了学生对圆锥体积公式的理解与掌握，为学生能够熟练运用这一公式来解答数学问题奠定了基础。拓展提升环节中的两道题可以促使学生从更广阔的背景出发，加强对圆锥体积的认识。通过这一节课的练习，使学生能够灵活运用圆锥体积计算公式解决生活中的实际问题。
四、教学反思
通过上述前测分析与依据前测设计的教案，笔者认为，可以通过前测完成以下几个方面的任务。
1．明确学生学习起点，恰当安排教学内容。
通过前测，可以知道学生的学习起点是什么，这样教学内容的难易程度就要根据学生的学习起点来安排，不能过难，也不能没有思维含量。如上述案例中，学生的学习起点就是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能灵活运用圆锥体积计算公式解决问题，一遇到复杂的问题时就不知道如何解决了。所以设计教案时，我从学生的这一学习起点出发，让学生重新梳理圆柱与圆锥体积之间的关系，这样就可以从一个新的角度来引导学生理解所学知识，有效地激发了学生探究的积极性。
2．明确学生知识缺陷，灵活调整教学内容。
前测的一个重要功能就是了解学生对所学知识的掌握情况，这样教师就可以根据前测所获取的信息，灵活调整教学内容，有针对性地为学生查漏补缺。如上述教学通过前测，了解学生产生错误的原因是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能够灵活运用圆锥体积计算公式来解答相关的数学问题。但是从前测来看，学生对圆的面积计算公式的运用还是比较到位的。就好比最后一道题，学生可以通过周长来求一堆沙子的底面周长，但是对圆锥体积的计算公式却会出现不同的错误，这就是学生知识上的缺陷。所以，在设计教学时，教师要灵活调整教学内容，让学生从不同的角度灵活运用圆锥体积计算公式解决不同的数学问题。
3．明确前测内容要求，有效组织前测工作。
组织前测时，前测的内容既要符合学生的认知特点，又要根据学生的实际情况和将要学习的新知识来安排；既要为安排新的教学内容提供依据，又要为确定课堂教学的重、难点提供帮助。当然，前测的内容还要有利于发展学生的数学思维。前测题的难易程度既不能让学生随手拈来，都能够正确完成任务，又不能难度过大，让学生解答不出来，这两种设计都不能有效测试出学生的真实水平。前测内容要从学生的学习起点出发，既要有学生学习新知识的最基础内容，又要有学生学习新知识的思维方式，这样才能让前测更有效地服务于新课的教学。
一、前测方法
前测，就是在教学之前利用不同方法对学生的知识水平进行测试，如掌握学生的学习经验是什么、找到学生的最近发展区等，以便及时调整教学设计。正常情况下，我们都会采用以下几种前测的方法：（1）测试。课前出一张测试卷，了解学生相关的知识情况，以便在教学时可以及时调整教学设计，进行有针对性的教学。（2）访谈。课前随机走进学生当中，与学生交流相关情况，从访谈中了解学生的真实水平，以便在教学时选择最为有效的教学策略。（3）测试与访谈相结合。这种方法是在学生测试之后，针对学生在测试中出现的情况，通过访谈来了解产生的原因，这样可以更加具体、清晰地了解学生的学习起点。（4）作业痕迹分析。作业是在一种自然、自主的情况下发生的学习行为，在很大程度上反映出学生真实的学习水平。从学生的作业中，可以看出哪些学生已经掌握了知识、哪些是学生还没有掌握的内容等，学生错误的原因也可以通过分析作业来获取信息。
二、前测案例呈现及分析
下面，笔者就结合作业痕迹分析法来谈谈如何有效把握学生的学习起点。请看下面几个学生的作业错例：
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通过对上述四个作业错例进行分析，可以看出学生对圆锥的体积公式掌握不牢，或者说学生还没有更清晰地理解圆锥体积的计算公式。如第一个错例，学生忘记圆锥的体积计算是用底面积来乘的，而不是用半径来乘的;第二个错例，学生忘记了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，这样求出来的不是圆锥的体积，而是与它等底等高的圆柱体积;第三个错例，学生忘记了圆锥的体积计算公式是半径的平方，而不是直径乘以直径，所以错误产生的原因是没有把直径转化成半径来解答;第四个错例，直接用圆锥的半径平方来乘以高，忘记乘以3.14先求出圆锥的底面积了。通过学生所列的算式，可以看出学生已经基本掌握了圆的相关知识，但是由于粗心，计算圆锥体积时忘记乘以3.14了。
三、根据前测信息设计教案及点评
教学目标：
1.进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能正确熟练地运用公式计算圆锥的体积。
2.进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和动手操作的能力。
3.进一步熟悉圆锥的体积计算。
教学过程：
1.回顾旧知。
（1）学生作业痕迹分析。
（2）今天我们就一起来学习圆锥的体积练习。
2.实际应用。
判断：图中圆锥与哪个圆柱的体积相等？
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（1）先让学生自己分析，再小组交流。
（2）全班交流，得出结论。
3.拓展提升。
（1）能将直角三角形转成圆锥吗？如果能，请你算算，它的体积是多少？可以闭上眼睛想一想，也可以在纸上画一画。
（2）如下图，有一根圆柱体的木料，底面积为6平方分米，长20分米，沿着木料的中点，把头部加工成一个圆锥。已知削去部分的体积是40立方分米。求加工后木料的体积是多少？
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4.全课总结。
师：通过今天的学习，你有什么收获？
……
通过前测，发现学生对圆锥的体积公式记得不牢，没有厘清圆锥与圆柱体积计算方法之间的区别和联系，计算时出现丢三落四等现象，在复杂的问题中不能细心、细致地分析数量之间的关系。所以，上述教案完全是根据对学生前测之后所获取的信息进行设计的。上述教学中，回顾旧知时简要地与学生一起分析作业错误的原因，让学生意识到自己的错误，使学生形成要在本节课努力听讲、认真学习的决心与信心。接着，在实际应用环节中，让学生分析圆锥与哪个圆柱的体积相等。这一环节的设计，既来源于学生已经学习过的圆锥体积计算公式，又高于圆锥体积计算公式的应用。学生要想解答这一道题目，就必须牢记圆锥的体积计算公式。这样教学，让学生从更特别的思维角度来厘清圆柱与圆锥体积之间的关系，强化了圆锥体积一定是与它等底等高圆柱体积的三分之一，加深了学生对圆锥体积公式的理解与掌握，为学生能够熟练运用这一公式来解答数学问题奠定了基础。拓展提升环节中的两道题可以促使学生从更广阔的背景出发，加强对圆锥体积的认识。通过这一节课的练习，使学生能够灵活运用圆锥体积计算公式解决生活中的实际问题。
四、教学反思
通过上述前测分析与依据前测设计的教案，笔者认为，可以通过前测完成以下几个方面的任务。
1.明确学生学习起点，恰当安排教学内容。
通过前测，可以知道学生的学习起点是什么，这样教学内容的难易程度就要根据学生的学习起点来安排，不能过难，也不能没有思维含量。如上述案例中，学生的学习起点就是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能灵活运用圆锥体积计算公式解决问题，一遇到复杂的问题时就不知道如何解决了。所以设计教案时，我从学生的这一学习起点出发，让学生重新梳理圆柱与圆锥体积之间的关系，这样就可以从一个新的角度来引导学生理解所学知识，有效地激发了学生探究的积极性。
2.明确学生知识缺陷，灵活调整教学内容。
前测的一个重要功能就是了解学生对所学知识的掌握情况，这样教师就可以根据前测所获取的信息，灵活调整教学内容，有针对性地为学生查漏补缺。如上述教学通过前测，了解学生产生错误的原因是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能够灵活运用圆锥体积计算公式来解答相关的数学问题。但是从前测来看，学生对圆的面积计算公式的运用还是比较到位的。就好比最后一道题，学生可以通过周长来求一堆沙子的底面周长，但是对圆锥体积的计算公式却会出现不同的错误，这就是学生知识上的缺陷。所以，在设计教学时，教师要灵活调整教学内容，让学生从不同的角度灵活运用圆锥体积计算公式解决不同的数学问题。
3.明确前测内容要求，有效组织前测工作。
组织前测时，前测的内容既要符合学生的认知特点，又要根据学生的实际情况和将要学习的新知识来安排;既要为安排新的教学内容提供依据，又要为确定课堂教学的重、难点提供帮助。当然，前测的内容还要有利于发展学生的数学思维。前测题的难易程度既不能让学生随手拈来，都能够正确完成任务，又不能难度过大，让学生解答不出来，这两种设计都不能有效测试出学生的真实水平。前测内容要从学生的学习起点出发，既要有学生学习新知识的最基础内容，又要有学生学习新知识的思维方式，这样才能让前测更有效地服务于新课的教学。
一、学案导学模式在高中数学教学中的作用
1.学案导学模式对学生的积极作用
学案导学的教学模式改变了传统的灌输式的教学方法，以学生为主体，注重学生对知识的理解和掌握，强调学生的自主学习能力的提高.学案导学使学生在进行知识的学习时，目标更加明确.并且教师根据不同学生的实际情况，制定相应的教学目标，使每一名学生都能够对学习的知识良好地掌握.对于发散学生思维，培养创新能力也具有重要的作用.同时，学案导学也有助于培养学生的合作意识，在学习的过程中，学生之间相互帮助、相互合作，共同探究问题.有助于形成融洽的同学关系，而且通过各小组学习效果的评比，更能激发学生的竞争意识，教师的积极的评价也有助于学生树立数学学习的信心.
2.学案导学模式对教师的积极作用
学案导学的教学模式可以促进教师进行角色的转变，树立以学生为主体的教学理念，自己作为学生的指导者.通过学案导学，教师能够及时发现学生在学习过程中存在的问题，并且及时给予纠正.学案导学要求教师具备较高的教学能力和水平，要选择适当的教学材料和内容，做好学生任务的分配工作，同时在教师进行问题设置时，要具有一定的启发性，激发学生继续探讨问题的热情，充分发散学生的思维，提高对数学学习的兴趣和能力.
二、学案导学在高中数学教学中的实际运用
在运用学案导学模式进行教学时，要适当地为学生进行讲解，纠正学生出现的错误，而且在设计学案时，教师所设计的问题要明确，具有一定的启发性，使学生能够通过导学案进一步的探究知识，充分发挥学案的作用，使它成为学生自主学习的有效帮手，积极调动所有学生的积极性，主动参与到学习中来，提高教学效果.下面以为圆的方程为例，来分析学案导学模式在教学中的运用.
学习目标：
1.掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的一般方程.
2.能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径.
3.会用待定系数法求圆的一般方程.
学习过程：
（1）学生活动
问题1 已知一个圆的圆心坐标为（1，1），半径为2，求圆的标准方程.
问题2 在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？
如ABC的顶点坐标A（4，3），B（5，2），C（1，0），求ABC外接圆方程.
这道题怎样求？有几种方法？
（2）建构知识
1.圆的一般方程的推导过程.
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的一般方程，有什么要求？
（3）知识运用
例1 已知ABC的顶点坐标A（4，3），B（5，2），C（1，0），求ABC外接圆方程.
变式训练 已知ABC的顶点坐标A（1，1），B（3，1），C（3，3），求ABC外接圆的方程.
例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB=36 m，拱高OP=6 m，每隔3 m
需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长（精确到0.01 m）.
变式训练 若方程x2+y2-2mx+2（m-1）y+2m2=0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数的取值范围.
巩固练习
1.下列方程各表示什么图形？
（1）（x-1）2+（y+2）2=0；
（2）x2+y2-2x+4y-4=0；
（3）x2+y2-4x=0；
（4）x2+y2+2ax-b2=0；
（5）x2+y2-4x-2y+5=0.
2.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ）.
A.D=E B.D=F C.E=F D.D=E=F
（4）回顾小结
圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用待定系数法求圆的一般方程.
（5）学习评价
双基训练：
1.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标为，半径r=.
2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3），半径为4，则D，E，F的值分别是.
3.经过点O（0，0），A（2，0），B（0，4）的圆的一般方程是
.
4.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与y轴切于原点，则D，E，F满足.
5.求满足下列条件的圆的一般方程：
a）经过点A（4，1），B（-6，3），C（3，0）；
b）在x轴上的截距分别为1和3，在y轴上的截距为-1.
拓展延伸：
6.等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并指出圆的圆心和半径.
一、比一比，温故引入
【案例】《百分数应用题》
我校六年级有学生50人，达到国家体育锻炼标准的45人，达标人数占总人数的几分之几？（师板书，生解答）
师：今天，我们将问题中的几分之几改成百分之几，思考一下又将如何解答？
学生根据已学的知识顺利解答了这道分数应用题后，又根据教师的引导同学们不难悟出，本道百分数应用题解题思路和计算方法与前一题完全相同，不同的是计算结果不用几分之几表示，而要用百分之几表示。即我们只要将结果的分数化成百分数就行了。
【案例】《圆锥的体积》
教学“圆锥体积”时，老师先出示几题求圆柱体积的练习，学生通过圆柱的体积公式，很快求出圆柱的体积。然后，让学生求圆柱体积的三分之一，并且告诉学生圆柱体积的三分之一就是与它同底等高的圆锥的体积。圆锥的体积是我们今天要学的内容。这时，学生有些茫然，趁此机会老师用等底等高的圆柱和圆锥做实验，用圆柱装满沙往圆锥里装，通过实验学生自然理解了：圆锥体积等于同底等高的圆柱体积的三分之一。
学生从具体题中感悟，加深记忆，加强新旧知识的联系，减轻对新知识的陌生感，使它们融为一体，减缓了知识的坡度，降低了难度，增强了学习新知识的信心。
二、品一品，激趣引入
【案例】《倒数的认识》
师：同学们，分别顺读和倒读这两句话“1、上海自来水来自海上。2、我爱妈妈。”细细品尝，你品到了什么？
生：第一句话顺读倒读意思完全相同。第二句话顺读倒读都是一句意思完整通顺的句子，真有意思。
兴趣是最好的老师，只有当学生对学习内容有足够的兴趣时，他们才会产生强烈的求知欲望，才会积极主动地参与到教学中去。这两句话为后面倒数认识作了有效的引导和铺垫。
三、剪一剪，操作引入
【案例】《环形面积》
生：在一张纸上画好两个同心圆，先用剪刀剪下来 。再剪下里边的小圆，观察余下部分。
师：余下部分我们就叫它环形，如何求其面积呢？
在小学生的语言逻辑思维和联想实际能力还不够发达的情况下，动作思维可以说成是他们理解事物的开端。小学生思维特点是按动作思维、直观形象的思维，再过渡到抽象思维这一顺序发展的。学生先动手，再从动手中去发现规律和数量关系。学生自然将操作进行心理图式化再抽象出来。
通过具体操作，同学们知道环形就是两个同心圆除去小圆剩余的部分。同时也从操作中知道了要求环形面积就要从大圆面积中减去小圆面积。
四、讲一讲，故事引入
师：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”
抓住小学生好奇、好胜、好动的心理特点，根据教材内容寻求有趣的小故事，充分集中学生注意力和激发学生强烈的求知欲，让学生积极主动地投入到新知识的学习当中去。
五、提一提，问题引入
【案例】《圆的认识》
师：教学圆的认识时，首先借助课本，让学生观察自行车、汽车、玩具车等车轮的形状。它们都是圆形的，试想一想，这些车轮能不能换成长方形、正方形、三角形等形状？同学们异口同声地回答：“不行，这样车子将高低不平，颠簸不定无法行驶。”
师：为什么车轮都是圆的呢？
关键词：高中数学；导入方法；案例分析
数学课堂应该是学生主动探究，教师作为一个引导者的角色来进行的，为了充分调动学生的积极性让学生自己主动学习，使教学效果达到事半功倍的效果。就要给课堂教学做一个合理的设计，也就是所谓的导入教学。
一、导入目的
课堂导入的目的就是为以后的学习做好铺垫，其实也就是利用学生现有的知识，让学生把知识和背景联系起来，补充新的背景知识，以激发学生对学习的探索。同时让学生总结已学的数学知识及理论等。
二、课堂导入方法
2.1复习导入，复习导入法也就是温习已经学习过的知识，用已经解决的旧知识导入到新的课程里面来，用这种方法导入，能够有效强化学生记住已学的旧知识，降低了对新知识的学习难度，让学生快速的掌握新知识。
2.2故事导入法，教师可通过讲一些和课堂内容有关的故事，比如：数学典故、数学家的故事等。
2.3演示导入法，演示导入法是教师通过一定的教学媒介导入，比如：挂图、多媒体等引导学生观察并激发学生学习的积极性和主动性。
2.4设置疑问导入法，教师可通过设置疑问引入到课题上，让学生在解决疑问的过程中，引起学生的思考，产生新的课题。
2.5实践法，教师通过让学生亲自动手做实验，从而解决某一个问题。从这个问题上引导到新课题上。
2.6类比导入法，类比导入法就是通过“旧知识”提出一个类似的“新问题”导入新课。这个方法可以有效降低学生学习新课题的难题，还能在学习新课题的同时巩固旧知识。
2.7情境导入法，就是教师通过设置一个和新课题有关的情境导入到新课题。
2.8直接导入法，直接导入法也叫点题导入法，是教师用简洁的语言直接点出课题，让学生直接进入学习状态。
三、案例分析
3.1复习导入法案例分析，案例：关于“对数的函数性质”
教师提问：“我们上节课学习了指数函数的图像和性质，那现在请同学们回忆一下对于函数的性质我们是从哪些方面来研究的？”学生作答。教师做一个总结：我们是从图像上观察到它的定义域、值域等来定义函数性质的，同样，对数函数性质是不是也一样能用这个方法来定义？
教师：好，那我们现在以同样的方法来研究一下对数函数的性质。
评析：教师通过用这种方式，创造出新知识。使得学生巩固所学的旧知识，又能掌握新知识。
3.2故事导入案例分析，案例：“等比数列的前n项和”用故事导入
在古代，有一位象棋大师，国王很赏识他的棋艺，就让其在国库中任意挑选宝物……。教师适时的提出问题，请同学作答。
评析：通过这样一个故事激发学生的求知欲望，从而引出求等比数列前n项和的公式。
3.3演示导入案例分析，案例：求“锥体体积”的导入
教师拿出一个事先准备好的圆锥形容器和圆柱形容器，并让学生观察容器的底和高是相同的，在同底同高的条件下，同时给这两个容器注入水，发现圆柱形容器要三杯才能满，而圆锥形容器只要一杯就满了，所以圆柱体积是圆锥体积的三倍。教师在这个时候向学生提出问题。
评析：这个方法是从实验过渡到推理上来。让学生自己发现问题并解决问题，以提高学生观察和发现问题的能力。
3.4设置疑问导入案例分析，案例分析：“极坐标”
教师设置问题让学生自己作答。
评析：这个方法不仅要注意教材的关键，主要是难点设疑。这个疑问要设置巧妙，不能太难，又不能太容易，太难了会打消学生学习的积极性。太容易了吸引不了学生的兴趣。
3.5实践法，案例：《椭圆及其标准方程》
教师在课前就把已准备好的圆形纸发给学生，人手一张，让学生进行下面的操作：
（1）在圆周上标记12个点分别为B1、B2、……B12等分圆周。
（2）在圆内取任何一点为圆心的点A。
（3）使圆周上的点B1能和点A折叠。并使圆周其余点都分别与A折叠，得到12条折痕。
（4）拆开这个圆，发现折痕没有覆盖到的地方刚好是椭圆的形状。
评析：实践法是通过学生自己动手操作的，增加了学生对新鲜事物的好奇和新鲜感，使同学充满好奇心，让同学对实践发现问题，并思考问题，解决问题。
3.6类比导入案例分析，案例：利用内接球三棱锥体积计算公式
教师：“我们都知道三角形的面积公式S=1/2底*高，三棱锥的体积是V=1/3底面积*高。你们能根据上述的这些方法探究出三棱锥体积与内接球半径的关系吗？”学生通过思考给出答案，教师根据学生给的答案总结出：“三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥四个面积和乘积的三分之一。
评析：运用类比方法要注意两种知识间的关系，并用恰当的与之贴切的类比，且这种类比要有可比性，让学生异中求同，同中求异。
3.7情境导入案例分析，案例：对数概念
对数概念是一个十分抽象的概念，老师可以手拿一张纸一次一次对折，这张纸会越来越厚，也可以让学生自己实验一次，自己对折，看纸张的厚度到底有多厚。
评析：这个方法的导入，是需要老师贴近现实生活的情境，或者是学生熟悉的，如果学生对情境不熟悉，那这个方法显然就是无效的。
3.8直接导入案例分析，案例：任意角的三角函数的定义
借助曾经学过的正弦函数、余弦函数等直接对学生提出问题。
评析：一开始就先把问题提出来直接进入主题，并用简短的语言说明这堂课的背景，直接引起学生的注意，让学生快速地集中注意力上课。
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