关键词:离散数学;计算机专业;教学研究;教学实践
教学质量是高校的生命线,如何提高教学质量一直是高校不断探索的课题。在教学过程中不断探索,根据学生的反映调整教学方法与教学手段,提高教学针对性,使教学更加适合学生的需求与实际,更能符合社会发展的要求,这是提高教学质量的一个重要策略。对基础课的教学更应该如此,学生质量的高低,取决于基础课教学的质量。保证基础课的教学质量是高校教学的重中之重,所有学校都安排最有经验的老师上基础课。
1离散数学教学现状
离散数学是很多专业的一门重要基础课,对离散数学的教学研究一直受到很多学者的关注。文献[1]提出用通模块化考核方式来激励学生学习的积极性。文献[2]提出了基于培养学生计算思维的任务驱动式教学方法。文献[3]提出了以服务计算学科为目标的离散数学教改方针,阐明了学生对该课程在计算学科中地位的认识有利于激发学生学习兴趣的重要性,探讨了在此教学方针和目标下课程教学方法的改革措施。文献[4]分析认为影响离散数学教学质量的原因是:1)内容抽象、理论性强,学生学习兴趣不高;2)知识点多,信息量大,学生难于掌握;3)“满堂灌”的教学方式不利于学生的能力培养;提出强调课程的重要性,提高学生的学习兴趣的教学方法。文献[5]提出从组织教学内容、改进教学方式、启发式教学、类比法和增加举例等方面来提高离散数学教学效果。文献[6]分析了离散数学在从事计算机及相关学科工作中的重要性。
纵观以上各种离散数学的教学方法,它们都能用不同的方式对该门课程进行尝试,对教学有一定的作用,但学生在学习过程中,很多时候都想了解为什么要学这些,如果没有实际应用实例引入,直接采用“定义―定理―证明―习题”的教学很容易让学生心里产生抵触情绪。因此,为每一个部分的引入找到一个合适的实例,对提高教学质量很有帮助。同一门课程针对不同专业学生,教学的侧重点与教学方式都应该是不一样的。离散数学是计算机科学专业的重要基础课,而且计算机专业和其他理工科专业有很大不同,该专业的一个突出特点是应用性强,学生只对他们认为有用的课程才感兴趣。
离散数学通常包含四个部分:数理逻辑、集合论、代数结构、图论。在进行教学时,教师很容易犯的一个错误就是把该门课程当成数学课来处理,计算机领域的相关联知识一点不讲,只讲课本的定义、理论;不讲这些知识的实际背景。对于这样处理的缺点是:1)学生感觉这门是数学理论课、跟计算机关系不大,因此不重视;2)由于没有实际的应用背景,造成学生学习没兴趣;3)全是定义、推理,让学生理不清头绪。
这样的教学肯定达不到应有的效果,即通过该门课的学习为学生后续的计算机理论的研究打下坚强的理论基础。因此,对该门课的引入,每一部的讲解都应结合计算机领域的实际应用背景进行,这样才能提高教学的针对性,提高学生的学习积极性,达到提高教学质量。研究如何为离散数学的每一部分找到贴切的计算领域的实例,通过实例阐述需要的知识,再过渡到离散数学的对应部分,让学生看到解决一个具体的实际问题需要这部分知识,从而激起学习兴趣,这是非常有意义的。
2离散数学课程的引入
在进行任何一门新课程的教学时,教师都必须对该门课程作一个整体的介绍,主要是找出一些实例,讲清该门课是怎样一门课,有哪些内容,为什么要学这门课。
对于离散数学这门课,教师应该讲清楚以下两个内容。
1) 什么是离散?其实很多同学学完了离散数学这门课后,都还不知道这门课为什么叫离散数学。在百度搜索,得出了下面6个答案:(1)“分散的、不连续的、独立的”的意思;(2)不是连续的数据;(3)分散的数据;(4)这应该是相对于分析数学中的连续来说的,一般来说离散数学的最基本研究单元是集合,主要分析各个集合之间的逻辑关系,很少用到数与数的对应关系,也就谈不上连续;(5)就是孤立的点集,像区间,它在每一点上都是连续的,而像整数集,它的每一元素之间都有一点的距离;(6)说不太清楚,虽然自己学过。所以,通过以上可以看出,对于这门课教师首先应该说明离散的含义。上面各答案对离散的解释都不够全面。教师可以在黑板上写出两个函数 。
第一个函数的自变量可以连续地取[0,1]区间上任意的值,这种变量叫连续量;而第二个函数的自变量只能取有限的几个值,这种叫离散变量。所以连续变量就是能够取某个范围中任意数值的量;而离散变量是只能取某个范围中有限个值的量。
2) 为什么要学习离散数学?因为时间、空间有限,计算机能存储的数据是有限的,因此,用计算机进行处理,任何一个变量都是离散变量。如在生活中,人眼见到的图像(非计算机里的)是连续的,经过数码相机的拍照(抽样和量化的过程)变成计算机可识别的照片,即成为数字照片。计算机里的照片就是离散的二进制比特流,图像(灰度图像)像素的灰度值在计算机里是从0到255(实际上是用二进制表示的),即0,1,2,3,...,255。0代表黑色,255代表白色,只有0到255的整数,没有其他整数,而且没有两个整数之间的小数,即不连续的,这是离散变量。因此,为了能更好的利用、研究计算机,有必要研究这些离散的变量,这就是为什么要学习离散数学。
3离散数学中数理逻辑部分的引入
在引入数理逻辑这一部分时,教师可以提出,在现实生活中时刻离不开推理判断,如偶数都能被2整除,6是偶数,因此可以推出结论:6能被2整除。但是,实际中碰到的很多问题,其推理就复杂多了,如一个医生能根据病人的病症判断出病人得了什么病,而一般人却很难做到,这是为什么?这是因为判断出病人得什么病需要很多前提知识,而这些前提知识是通过学习才能获得。那是否可以把这些前提知识,全部存入计算机,病人只要把自身的症状输入,计算机就能诊断出病人得了什么病,并开出处方,病人就不用去医院排队等候了呢?上述要求可以通过人工智能专家系统实现。数理逻辑就是人工智能专家系统的基础。
在人工智能的研究与应用领域中,逻辑推理是人工智能研究中最持久的子领域之一。逻辑是所有数学推理的基础,在人工智能上有实际的应用。采用谓词逻辑语言演绎过程的形式化有助于我们更清楚地理解、推理某些子命题。离散数学中数学推理和布尔代数章节中的知识就为早期的人工智能研究打下了良好的数学基础。
4离散数学中集合论部分的引入
教师可以数据库为例进行集合论部分的引入。在管理时需要把很多的信息放在一起,需要时可以把数据按要求列成一个表,打印出来,这就是数据库。把包含文字、符号、图形、图表和声音等多媒体信息放在一起,就构成了各种数据类型的集合,所以数据库就是一个集合。对数据的增加、删除、修改、排序以及数据间关系的描述等这些很难采用传统的数值计算,却可以很方便地用集合运算来处理。集合不仅可以用来表示数及其运算,更可以用来表示和处理非数值信息。因此集合论在数据库和知识库方面具有很广泛的应用;而且还得到了发展,如扎德(Zadeh)的模糊集理论和保拉克(Pawlak)的粗糙集理论等。集合论方法已经成为计算科学工作者不可缺少的数学基础知识。
关系数据库就是对一些二维数组进行检索、插入、修改和删除等操作。为此关系数据库必须向用户提供使用数据库的语言,即数据子语言。这种语言目前是以关系代数方法表示的,即它是以关系代数为其数学基础。由于引入了数学方法,使得关系数据库具有比层次和网状数据库更优越,现已代替这些类型的数据库,成为数据库中最有实用价值和理论价值的数据库。当今流行的各种大型网络数据库如Oracle、Foxpro、Sybase等都是关系型数据库。
5离散数学中代数系统部分的引入
关于代数系统部分的引入,教师可以纠错码为例。如在计算机通信中都要对信息进行编码,即把信息转换为0、1序列,然后传递0、1序列,接收端在得到0、1序列后,再把它还原为原来的信息。然而在传递过程中,由于受到外界的干扰,经常出错。在出错时,怎样判断所获的序列中哪些码出错,在出错时又怎样修改,这是计算机通信的重要内容。在计算机和数据通信中通常采用纠错码来避免这种错误的发生,而设计的这种纠错码的数学基础就是代数系统。纠错码中的一致校验矩阵就是根据代数系统中的群概念来进行设计的,另外在群码的校正中,也用到了代数系统中的陪集。
6离散数学中图论部分的引入
关于图论部分的引入,教师可以树在数据结构中的应用为例进行说明。树在图论中占有重要的地位,而树在数据结构中具有重要的应用。树是一种非线性数据结构,在现实生活中可以用树来表示某一家族的家谱或某公司的组织结构,也可以用它来表示计算机中文件的组织结构。二叉树在计算机科学中有着重要的应用,二叉树共有三种遍历方法:前序遍历法、中序遍历法和后序遍历法。通过访问不同的遍历序列,可以得到不同的节点序列,通常在计算机中利用不同的遍历方法读出代数表达式,就可以便在计算机中对代数表达式进行操作。
7结语
离散数学是计算机专业的一门重要的基础课,在计算机领域具有广泛的应用,可以说没有离散数学就没有计算机理论,也就没有计算机科学。然而在教学中,经常出现把离散数学讲成一门数学课,直接采用“定义―定理―证明―习题”的教学,忽视了它的应用背景,让学生感到学习该门课没用,从而降低学习兴趣,最终影响教学质量。本文针对计算机专业的特点,提出课程教学在内容引入时,应结合计算机相关领域中的实际例子,以激发学生的学习兴趣,达到教学的针对性,提高教学质量。通过笔者实际的教学检验,该教学方法效果良好。
参考文献:
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Discrete Mathematical Teaching Study and Practice with Glaring
Distinctive Computer Major Features
MO Yuan-bin
(School of Mathematics & Computer Sciences, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006, China)
关键词：计算机科学；离散数学；应用分析
之前是以微积分连续数学作为时代主流，随着科学技术的不断发展和计算机技术的广泛应用，离散数学逐渐出现在人们视野范围内并被重新认知。离散数学课程教学中所阐述的数学思想和数学学习方法被应用到计算机技术中并起到关键性作用。本文针对计算机离散数学发展现抓，对计算机科学中离散数学的应用进行具体分析和阐述，希望为我国计算机事业领域的发展的贡献出一份力量。
1.计算机科学中离散数学在关系数据库中的应用要点分析
1.1数据子语言
众所周知，我们通常所说的数据子语言就是关系数据库当中相应数据管理系统为计算机用户提供有利的数据库语言。而数据子语言以关系代数作为主要表示手段，其中谓词逻辑也是数据子语言表达的一种表达形式。上述内容主要是由数学方法进行详细阐述，并在此过程中使语言研究信息为关系代数研究以及相关逻辑谓词研究提供有利契机。
1.2笛卡儿积原理
因为在数据库子语言中会运用到数学表示方法，并且数学表示方法会使关系数据库条件变得更为优越，所以关系数据库的发展已是当前计算机信息时代中一种必然发展趋势。另外需要提到的一点是，离散数学学科中的笛卡儿积原理是一种较为正规的纯数学理论，并且迪卡儿积原理也是研究关系数据库系统中的一种极为重要的使用方法，其不可替代性是毋庸置疑的。
笛卡儿积可以为离散数学提供数学理论以及数学方法上的支持，更为重要的却是其也在一定程度上推动了数据库技术的研究以及数据库技术的发展等。此时相应关系数据模型是建立在有关集合代数基础之上的，且关系数据模型中的数据逻辑结构是由二维表来进行数据模型关系具体描述，而二维表则是由行和列进行表格组成。图为笛卡儿积关系代数运算示意：
图1 笛卡儿积关系代数运算示意图
各个实体集中域之间的可能性条件关系确定数据查询和各集中域域表结构设计维护功能以及各实体集中域件关系操作数据关系分析三者的查询实现与维护功能关系分解等问题都是由二元关系理论进行具体解决的。
2.离散数学在相关数据结构中具体应用要点分析
2.1数据结构知识应用
要想使得计算机正常平稳运行并能够合理解决其中要点问题，首先要做到的一点就是应该合理应用数据结构知识。而在处理问题信息数据问题的过程中，我们应从具体问题中进行详细数学模型抽取，之后在此基础上设计出能够解答数学模型问题的相应算法，只有这样才能对最后程序进行科学合理编排并能够通过测试环节以及调整环节等得到最后答案。
2.2数据模型选取
在对数据模型进行选取的过程其实质上就是对数据结构内容进行具体研究的一个过程，而对数据结构模型进行分析才是其中重点，从实质问题中进行操作对象提取并找出各个对象之间所包括的关系用数学语言对操作对象进行细节描述。我们通常所说的操作对象被相应数据结构将其关系分为四个种类，具体包含集合结构、线性结构和树形结构以及网状结构等。对数据库进行研究的过程中其内容主要包括数据逻辑结构和数据物理存数结构以及数据基本运算操作流程等。广义来讲，数据逻辑结构式数据结构操作对象中的重点针对环节，数据逻辑结构和数据基本运算流程二者操作方法是由离散数学理论中的数学离散结构来决定的。
2.3离散数学具体结构中结构知识要点
离散数学集合论、离散数学关系和离散数学图论以及离散数学树集体反映出了离散数学具体结构中的结构知识要点。最为重要的一点就是，离散数学集合元素组成中其元素实际上其是指较为客观的具体事物，离散数学关系则是指所集合各个离散数学元素之间所存在的一种特定关系。离散数学图论中的大多数古老题目还被现代离散数学所应用。离散数学树则是以反映事物对象关系为主的，离散数学树模型是组织结构图和二进制编码工作工程中主要模型基础，只有依照相应离散数学树型理论才能在一定程度上完备相应结构模型。
3.离散数学在社会编译原理中的相关应用要点分析
3.1编译系统程序
一般而言，编译系统程序中的计算机操作流程相对较为复杂，常用编译程序一般分为语法分析编译程序、中间代码生成编译程序和词法编译分析程序以及语义分析编译程序四种主要类型。需要提到的是，代码优化编译程序和错误检查处理编译程序以及目标代码生成编译程序等都是计算机编译程序中的重要组成部分。图为编译原理结构图示意：
图2 编译原理结构图示意
3.2文法计算模型
文法计算模型和有限状态机计算模型以及图灵机计算模型是离散数学计算模型中的主要模型讲解章节，而计算模型知识则是由语言识别知识、有限状态机知识、图灵机知识和语言知识以及文法知识等。短衣结构文法是按照相应生产类型来进行具体结构分类的，一般分为0型文法、1型文法和2型文法以及3型文法。综上所述，在运用上述知识点进行编译原理语法分析的过程中皆会起到关键性作用，所以我们应该了解到，要想对编译原理进行深入学习探究就必须对离散数学知识进行整体掌握。
结束语
综上所述，在我们进行语言程序设计、编译技术和数据结构以及相应算法设计分析时都会运用到离散数学。对离散数学进行具体学习，可以在对离散数学基本机构以及离散数据基本学习方法掌握的同时也可以为相应后续课程学习创造有利学习条件。其在关系数据库中和数据库结构中以及编译原理中都有着重要应用，本文根据离散数学在多个技术领域中的应用要点进行分析和阐述，希望为离散数学的探究和发展提供一些合理化建议。
参考文献
[1]王静.离散数学教学中关于命题符号化问题的讨论[J].科技信息（科学教研）.2008（25）
关键词：离散数学；数学文化；教学改革
离散数学是高等院校信息与计算机专业的一门重要的基础理论课，无论是对学习专业的后继课程，还是对以后参加工作，都具有重要的意义。然而，离散数学课程的高度抽象性和极强的理论性使得许多学生对该课程望而却步，但又不得不学，只好敷衍了事，学习态度极为消极。因此，许多专家学者对该课程的教学进行了积极的探索，提出了不少的方法和措施，如改编教材、改革教学方式和教学手段，等等。笔者在教学实践中，积极探讨如何将数学文化渗透到教学中去，取得了较好的效果。
1数学文化融入离散数学教学的意义
数学文化是人类文化的重要组成部分,也是推动社会发展的动力。学习数学文化有着十分重要意义，通过数学文化的学习，不仅能使我们对数学发展的来龙去脉有一个系统地了解，而且还可以了解和掌握伟大数学家解决问题的方法和思想，了解数学家在追求真理过程中体现出的坚强意志和精神，了解数学思想、数学理性精神在人类社会发展过程中所起的重要作用，同时提高了学生的数学素养以及做人做学问的品格。
离散数学作为一门重要的基础理论课程，它不仅具有数学学科所具有的高度的抽象性，极强的理论性，而且内容较多，涵盖数理逻辑、集合论、代数系统、图论等领域[1]前言，每部分内容都有大量的概念和结论需要理解和掌握，再加之课时紧张，致使教师在授课时基本采取满堂灌的教学方式，无法调动学生学习的积极性。
而数学文化的渗透和穿插，使得学生了解到高度抽象性数学内容后面，存在着一个丰富多彩，奇异美妙的数学文化世界，从而可以激发学生学习的兴趣。再者，与离散数学知识相关联的数学文化内容千姿百态，如何选取、穿插、讲解才能将数学文化渗透到离散数学教学中去？采用何种教学方式才能取得更好的教学效果？如何展示才能让学生更好地了解那奇妙的数学世界和数学人物？这都要求教师要掌握和熟悉与离散数学知识相关的数学文化知识，促使教师不断提高自身的数学休养。
2数学文化融入离散数学教学的实践
2.1教学状况
针对当前离散数学教学中存在的诸多问题，许多专家学者对离散数学教学进行了多方面的尝试，比如，针对不同专业进行有目的的教学改革[2-3]，结合我国著名教育家孔子的思想进行教学[4]，改进教学方式和教学手段[5-6]，优化教学内容，提高教学水平和质量[7-8]，结合应用示例进行教学[9]，等等。与此同时，笔者查阅了《离散数学》(左孝凌等著)、《离散数学教程》(耿素云等著)、《离散数学导论》(徐洁磐著)等25本国内出版的离散数学教材，内容都未提及相关数学家和计算机专家的数学历史背景。
笔者认为，将数学文化融入到离散数学教学的路还很漫长，原因是，许多一线教师和专家学者对数学文化并不重视，甚至没有想过把数学文化融入到离散数学教学中去；另一个原因是，大多数一线教师对数学文化并不了解，或者了解甚少，当然也无法将数学文化融入到离散数学教学中去。
2.2融入的前提――提高教师的数学文化素养
数学文化不仅仅包含一串串抽象的数学概念和定理，还包括伟大的数学思想和方法，数学问题及其形成与发展，数学家进行艰苦创作的过程以及数学家的故事，等等。因此，教师在离散数学教学中贯穿数学文化，自己必须拥有扎实的数学功底，而且要掌握诸如数理逻辑、集合论、图论、代数学等相关数学领域的发展史和思想史，以及其他数学领域丰富的数学文化知识，只有在此基础上，才能在离散数学教学中，根据讲解的概念、方法、结论和定理，随时渗透数学史和数学文化的内容。所以，教师要在平时工作和学习中，厚积薄发，通过不断积累相关数学文化知识，不断提高自身的数学文化素养，才能在离散数学教学中随心所欲地插入相关数学文化知识，做到得心应手。
2.3融入的方式――课堂教学
在课堂教学中可以采用多种方式融入数学文化，提高学生学习的兴趣和学习效率。
2.3.1讲解数学概念时融入数学文化
离散数学中概念极多，如何讲好概念是离散数学教学成功的关键之一。我们在教学中结合数学文化和数学史，强化数学概念的相关历史背景，适时地将概念的来龙去脉展示给学生，使他们从中受到启发，理解更加深刻。
例如，函数是一个非常重要的概念，如何让学生掌握函数的本质，我们结合函数概念的产生发展历史向学生介绍函数的概念。首先，介绍函数概念的发展历史[10]；其次，将函数的这些定义进行分类总结，可以大概分为变量说、对应说、关系说三种类型；第三，将这些概念与教材[1]147―155中函数的概念和关系的概念进行对比。通过这样一堂课，学生不仅对整个函数概念的发展历史有了一个全面的认识，也对初高中及大学数学课程中涉及函数的相关知识有了一个深刻的理解和掌握。
再如，“树”的概念是图论的基本概念之一，它不仅对学生继续学习图论的相关理论知识十分重要，而且在实现二叉搜索树、决策树、排序等相关算法过程中也起着重要的作用。因此，帮助学生深刻理解树的概念显得十分重要。事实上，“树”的例子非常多，而我们在教学中列举的关于贝努利家族中数学家 [11]的一个例子(见图1)，不仅从数学文化历史背景方面给学生一个冲击，而且使得学生通过了解贝努利家族中众多数学家，从而牢牢地记住并彻底地理解了“树”的概念。
2.3.2讲解数学命题时融入数学文化
数学问题是数学的心脏，是数学发展的动力，因此整个数学发展史实际上就是解决问题的历史。因此，如何将离散数学中涉及的相关问题的产生、发展、解决的历史与教学结合起来，是特别值得探索的。
比如，图论部分的概念和结论繁多，学生稍有不慎就会出错，因此，如果按照图论的基本概念和结论，抽象地进行讲解，学生不但毫无兴趣，而且极其容易出错。但是，图论中有名的数学问题很多，如哥尼斯堡七桥问题、周游世界问题、四色猜想等，都可以用来作为数学文化的内容融入到教学中去，学生对相关的概念和结论理解就会更加非常深刻。
再如，“五次及五次以上方程根式解”问题是数学历史上一个非常有名的问题[12]，离散数学代数系统中的群论内容就是随着该问题解决而诞生的。而群论内容一直都是教师教学中最为头痛的内容之一，同时大部分学生面对这些内容时也表现得力不从心，并对教师的讲解表示不知所云，甚至出现抵触这部分内容的情况，然而该部分内容却又在计算机科学中有着广泛的应用。为此，我们在教学中把“五次及五次以上方程根式解”问题的历史发展与群论及代数系统内容的教学相结合，收到了意想不到的教学效果。
首先从简单的一元一次、二次方程的根式解讲起，然后给出稍微复杂的一元三次、四次方程的根式解，最后提出一元n(n≥5)次方程是否存在根式解问题。学生对此非常感兴趣。面对学生的热情，我们首先介绍了挪威天才数学家阿贝尔(N.H.Abel，1802―1829)证明五次及五次以上方程根式解不存在的工作，以及阿贝尔虽然贫困但对数学锲而不舍地追求的人生经历。就在学生不时感叹时，我们马上提出了一个新的问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解呢？当我们介绍到这个问题被死时不到21岁的极具传奇色彩的法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811―1832)所解决时，所有学生都惊呆了，并一致表示愿意了解这位数学家所作的工作。为了帮助学生了解，我们以四次方程x4+px2+q=0为例，向学生简单地介绍了置换以及置换乘积等概念，而四次方程的四个根共有24个可能的置换，它们构成一个集合，这个集合连同置换乘积就构成了一个代数系统，这就是伽罗瓦给出的历史上第一个“群”的定义。而伽罗瓦进一步考虑了这24个置换中的8个特殊的置换，它们也构成了一个“群”即“伽罗瓦群”，伽罗瓦证明了“伽罗瓦群”满足一定条件时，方程才是根式可解的。后来，数学家陆续发现矩阵在乘法下构成群，四元数在加法下构成群，而后又有数学家提出无限变换群，等等。到了19世纪80年代，数学家对这些具体的群进行抽象，从而出现了我们现在教材中让学生接受起来感到非常困难的“群”的概念。在了解了“群”概念产生的历史背景基础上，许多学生表示没有想到这么抽象的概念背后竟有如此丰富的数学文化历史背景，也使得许多学生在学习群及代数系统的相关概念和内容过程中表现得十分积极主动。
当然，其他部分内容也有非常有名的问题可供我们使用，比如，集合论部分的连续统假设问题，自然数集与整数集、有理数集、实数集孰多孰少问题。
2.3.3教学内容融入数学文化
无论数理逻辑和代数系统的内容，还是图论和集合论的知识，大部分内容都是非常抽象的，如何在抽象的内容中融入数学文化，是数学文化融入离散数学教学改革的重中之重，也是教学改革的成败之所在，因此，也是最值得去研究、探讨、设计和实践的。
比如，在讲解基数概念及其相关内容时，我们首先结合两个故事来引导学生理解和掌握基数概念的内涵。第一个故事是[13]，伽利略(Galileo Galilei，1564―1642)在《关于两种新科学的对话》中借用两个人的谈话，谈论到自然数和它的平方数之间可以建立一一对应关系，但明显地是，所有自然数的个数是无限的，平方数的数目是无限的，……平方数的数目既不少于自然数的总数，而后者也不多于前者。第二个故事是希尔伯特旅馆问题[14]。实际上，这两个例子都在说明，在承认实无穷的情况下，若两个无穷集合之间能够建立一一对应关系，则就认为两个无穷集合所含元素个数一样多，并将其元素个数用一个符号来表示，则这个符号就表示这两个无穷集合的基数，当集合是有限集合时，该定义同样适用。然后，将极具传奇色彩的德国著名数学家康托(G.Cantor，1845―1918)的生平事迹和他所做的涉及基数的工作做了一个较为详细地介绍，不仅包括基数概念，还包括可数集合与不可数集合，基数的比较等内容。这些讲解不仅激起了学生强烈的好奇心和求知欲，而且使得学生对康托的工作及取得成就也非常感兴趣。学生正是在为康托的遭遇感到愤愤不平，又为他对数学的执着追求而深受感动的这种氛围中，了解了相关的数学历史背景，也顺利轻松地完成了教学任务。
2.4融入的分寸――融入度问题
“增之一分则太长，减之一分则太短；著粉则太白，施朱则太赤”。如何使用数学文化来为离散数学教学上妆，把握数学文化融入到离散数学教学中去的“度”的问题，实属非易。讲得太少，对学生理解相关内容帮助不大；讲得太过，冲谈了讲课的主题，容易分散学生的注意力，从而不能完成相应的教学任务。
这就需要教师，在把数学文化融入到离散数学教学中时，一定要清醒地认识到，数学文化是一个工具，数学文化的融入在教学中就像做饭添加佐料一样，其目的是让学生在吃离散数学这道大餐时感到更加美味可口。因此教师应该有目的地再现数学历史情景，帮助学生理解和掌握学生的思想和方法，促进学生对所讲授知识的掌握。切记，不可过分渲染，应该自然引出，否则会导致本末倒置，有喧宾夺主之嫌。
3教学效果
笔者在离散数学教学中，坚持将数学文化内容融入到离散数学中去，受到学生的欢迎，取得了非常好的效果。笔者曾对计算机科学技术和网络技术两个方向的两届学生做了一个调查，共有403名学生参加了调查，回收396份调查问卷，结果是387名学生认为穿插数学文化知识对教学效果有积极影响，有300名学生认为介绍的数学文化知识太少，应该加大力度。
参考文献：
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Research on Infusing Mathematical Culture into Discrete Mathematics Teaching
LIU Weifeng, LIU Lin, WANG Dongxiao, JIANG Ling
(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015, China)
关键词： 离散数学 计算机科学 数据结构
离散数学是计算机应用必不可少的工具，例如数理逻辑在数据模型、计算机语义、人工智能等方面的应用，集合论在数据库技术中的应用，代数系统在信息安全中的密码学方面的应用，图论在信息检索、网络布线、指令系统优化等方面的应用。
1.离散数学与其他课程的关系
1.1离散数学与数据结构的关系
离散数学与数据结构的关系非常紧密，数据结构课程描述的对象有四种，分别是线形结构、集合、树形结构和图结构，这些对象都是离散数学研究的内容。线形结构中的线形表、栈、队列等都是根据数据元素之间关系的不同而建立的对象，离散数学中的关系这一章就是研究有关元素之间的不同关系的内容；数据结构中的集合对象及集合的各种运算都是离散数学中集合论研究的内容；离散数学中的树和图论的内容为数据结构中的树形结构对象和图结构对象的研究提供很好的知识基础。
1.2离散数学与数据库原理的关系
目前数据库原理主要研究的数据库类型是关系数据库。关系数据库中的关系演算和关系模型需要用到离散数学中的谓词逻辑的知识；关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的连接操作需要用到离散数学中的笛卡儿积的知识，表数据的查询、插入、删除和修改等操作都需要用到离散数学中的关系代数理论和数理逻辑中的知识。
1.3离散数学与数字逻辑的关系
数字逻辑为计算机硬件中的电路设计提供了重要理论，而离散数学中的数理逻辑部分为数字逻辑提供了重要的数学基础。在离散数学中命题逻辑中的连结词运算可以解决电路设计中的由高低电平表示的各信号之间的运算以及二进制数的位运算等问题。
1.4离散数学与编译原理的关系
编译原理和技术是软件工程技术人员很重要的基础知识，编译程序是非常复杂的系统程序，包括词法分析、语法分析、语义分析、中间代码生成、代码优化、目标代码生成、依赖机器的代码优化7个阶段。离散数学中的计算模型[2]这一章的语言和文法、有限状态机、语言的识别和图灵机等知识点为编译程序中的词法分析和语法分析提供了基础。
2.离散数学在计算机学科中的应用
2.1数理逻辑在人工智能中的应用
人工智能是计算机学科中一个非常重要的方向，离散数学在人工智能中的应用主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用。人类的自然语言可以用符号进行表示。语言的符号化就是数理逻辑研究的基本内容，计算机智能化的前提就是将人类的语言符号化成机器可以识别的符号，这样计算机才能进行推理，才能具有智能。由此可见数理逻辑中重要的思想、方法及内容已贯穿人工智能的整个学科。
2.2图论在数据结构中的应用
离散数学在数据结构中的应用主要是图论部分在数据结构中的应用，树在图论中具有重要的地位。树是一种非线性数据结构，在现实生活中可以用树表示某一家族的家谱或某公司的组织结构，也可以用它来表示计算机中文件的组织结构，树中二叉树在计算机科学中有着重要的应用。二叉树共有三种遍历方法：前序遍历法、中序遍历法和后序遍历法。
通过访问不同的遍历序列，可以得到不同的节点序列，通常在计算机中利用不同的遍历方法读出代数表达式，以便在计算机中对代数表达式进行操作。
2.3集合论在数据库系统理论中的应用
集合论是离散数学中极其重要的一部分，它在数据库中有广泛的应用。我们可以利用关系理论使数据库从网络型、层次型转变成关系型，这样使数据库中的数据容易表示，并且易于存储和处理，使逻辑结构简单、数据独立性强、数据共享、数据冗余可控和操作简单。当数据库中记录较多时，集合中的笛卡儿积方便了记录的查询、插入、删除和修改。
2.4代数系统在通信方面的应用
代数系统在计算机中的应用广泛，例如有限机，开关线路的计数等方面。但最常用的是在纠错码方面的应用。在计算机和数据通信中，经常需要将二进制数字信号进行传递，这种传递常常距离很远，所以难免出现错误。通常采用纠错码避免这种错误的发生，而设计的这种纠错码的数学基础就是代数系统。
2.5离散数学在生物信息学中的应用
生物信息学是现代计算机科学中一个崭新的分支，它是计算机科学与生物学相结合的产物。由于DNA是离散数学中的序列结构，美国科学院院士，近代离散数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为离散数学的一个前沿领域。DNA计算机的基本思想是：以DNA碱基序列作为信息编码的载体，利用现代分子生物学技术，在试管内控制酶作用下的DNA序列反应，作为实现运算的过程；这样，以反应前DNA序列作为输入的数据，反应后的DNA序列作为运算的结果，DNA计算机几乎能够解决所有的NP完全问题。
3.结语
现在我国每一所大学的计算机专业都开设离散数学课程，正因为离散数学在计算机科学中的重要性，可以说没有离散数学就没有计算机理论，也就没有计算机科学。所以，应努力学习离散数学，推动离散数学的研究，使它在计算机中有更广泛的应用。
参考文献：
[1]朱家义，苗国义等.基于知识关系的离散数学教学内容设计[J].计算机教育，2010（18）：98-100.
[2]方世昌.离散数学.西安电子科技大学出版社，1985.
[3]陈敏，李泽军.离散数学在计算机学科中的应用[J].电脑知识与技术，2009，5（1）：251-252.
[4]B.Kolman，R.Busby&S.Ross.Discrete Mathematical Structure.
关键词：离散数学；基础；学习
中图分类号：G642 文献标识码：A
文章编号：1672-5913 (2007) 24-0062-03
1引言
“离散数学课程”是介绍“离散数学”各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，现已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程，IEEE&ACM的CC2001教程更是以十分显著的方式强调了这一点。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在"数字电路"、"编译原理"、"数据结构"、"操作系统"、"数据库系统"、"算法的分析与设计"、"软件工程"、"人工智能"、"多媒体技术"、"计算机网络"等专业课程以及"信息管理"、"信号处理"、"模式识别"、"数据加密"等相关课程中；它所提供的训练，十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到分布式系统，无不与离散数学密切相关。
2离散数学的教学内容
由于计算机无论多么先进，都只能处理有限的离散数据，正因为如此，才使得离散数学和计算机有了莫大的联系。那么，是不是所有研究离散结构的数学都归于离散数学呢？基于各种原因，许多具有离散结构的数学，并不一定属于离散数学。离散数学可以说是和计算机一起发展起来的学科，是一门新兴的学科，对于究竟什么属于离散数学，人们也没有完全一致的看法。如同我们的教材，把数理逻辑、集合论、群论、图论都归为离散数学。另外，不少学者把组合学、计数、排列也归为离散数学。其实，数学本一家，精确划分没有必要。但我认为，离散数学的核心应是组合数学和图论。只可惜，我们的教材中几乎没有组合数学，这一点，实在是一大缺憾。
离散数学包括的教学内容，对每一个从事计算机技术的人都要求掌握和了解。因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。总之，为了适应计算技术的要求及将来的发展，学生需要对离散结构有比较深入的理解。
3离散数学的教学方法
离散数学作为一门计算机专业的核心基础课，往往开设的比较早，所以很多同学在学习这门课的时侯还缺乏对其价值的认识。再加上对数学的敏感性，所以很排斥它。如何教好这门课，除了让学生对这些内容感兴趣外，还要让他们对其在计算机中的应用有些感性认识。因此，在介绍离散数学的每一分支时，都要分三步走：
第一，先要了解这一分支的悠久历史；
第二，学习它的基本概念、基本理论和基本研究方法；
第三，了解它在计算机科学中的应用。
(1) 各分支的悠久历史
数学推理与逻辑之间，有着密切的联系，早在两千多年前的古希腊，就有了逻辑学的萌芽。不过那时的逻辑称为古典逻辑，属于哲学的范畴。数理逻辑诞生于十九世纪中叶，源于古典逻辑。
群论诞生于十九世纪二十年代，由法国天才数学家伽罗华创立。有趣的是，他创立群论的目的是为了解决高次方程求根问题，如果他知道群论与现代的计算机学科联系如此紧密，一定会惊叹不已。
图论最早起源于一些数学游戏，相信对数学感兴趣的同学一定都听说过哥尼斯堡的七桥问题。图论与几何不同，几何讨论图的长短大小，而图论是讨论图的边和顶点之间的位置关系，正因为如此，莱布尼兹把她称为“位置几何学”。图论的问题非常有趣，往往答案很简单，但却非常非常难以想到。尤其是其分支拓扑学，更是如此。你知道九联环也是图论问题吗？
集合论起源于十六世纪末期，开始是为了追寻微积分的坚实基础，后来，德国的数学家康托教授发表了一系列有关集合论的文章，奠定了集合论的基础，集合论也从此发展起来。现在，集合论已经渗透到泛函、概率、函数论等各门学科。
(2) 各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法
数理逻辑又名符号逻辑，是一门用数学方法研究推理过程的科学。主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这些规则，通常称为推理规则。在逻辑学中，与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式。
集合论主要研究了集合的基本概念和运算，关系的基本概念以及全序、偏序等概念，函数的定义与性质。重点研究了关系矩阵和关系图的表示，关系的性质及判别方法；复合关系和逆关系的概念及其求法，关系的自反、对称、传递闭包的概念及其求法；等价关系的判定与相关等价类的求法、偏序关系的判定以及哈斯图的表示法。
代数系统部分需要了解代数系统以及同态、同构的概念，掌握代数系统运算的性质及各种特殊元素，几种特殊代数系统的判定及其性质和简单运算。
图论部分了解有关图的基本概念、图的同构，掌握图的表示方法，欧拉图及哈密顿图的判别方法，最小生成树的求解方法。
(3) 各分支在计算机科学中的应用
数理逻辑的学习，可以在形式证明、验证、密码学的研究与学习中增强理解形式证明的能力；用关系代数、谓词逻辑研究数据库等。
集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。
图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；近期，还研究用图论研究数据结构、操作系统的结构和死锁问题。
在计算机发展初期，利用命题逻辑，布尔代数理论研究开关电路，从而建立起一门完整的数字逻辑理论，对计算机的逻辑设计起了很大作用。在近期，利用代数结构研究编码理论，利用谓词逻辑研究程序正确性问题，利用能行性理论(如递归函数论)研究计算机中的可计算性理论。
4离散数学的学习
作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就这门课的特点做一个简要的分析。
(1) 定义和定理多
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。
(2) 方法性强
离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。
(3) 有穷性
由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化得来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”因此，要学好离散数学，就应该在平时多做些题目，强化对知识的理解。
5 结束语
以上是我关于离散数学这门课的一点教学心得，几轮的教学下来，我深深觉得我们要注意培养学生掌握获取知识、科学研究和发现新知识三种方法。在传授知识的过程中，要教会学生学习的方法和研究问题的方法，同时还要通过课内课外的各种教学活动来提高学生的能力，培养学生的素质。关于离散数学这门课程，可以让学生完成离散数学在计算机科学中的应用的相关论文，内容选择
• 可以是下列应用介绍之一:
C 群与编码.
C 鸽笼原理(pigeonhole principle)
C 传递闭包和Warshall 算法
C 布尔代数和电路设计
C 图和运输网
C 半群与机器简化
C 使用数论理论解释公共密钥技术(public key cryptography)
• 可以是离散数学难题, 如: 较难的思考题的解答
• 可以是与离散数学有关的趣味问题的考察
• 可以是任何您高兴研究的离散数学相关问题
这样，才能将僵化的知识与实践结合起来，才能激发学生的创造力，从而使学生真正认识到它的重要意义。
Talk About Discrete mathematical Teach And Study
Abstract: This paper discusses the important of Discrete Mathematics mainly from there aspects: teaching methods
teaching content and how to study. Based on this, Author proposes combine knowledge and ability, stimulating students' interest in learning and improves student’s creativity.
Keyboard:Discrete mathematics, base, study
参考文献
[1] 徐洁磐，惠永涛编著. 离散数学及其在计算机中的应用[M]. 北京：人民邮电出版社，1988.
[2] 徐洁磐. 离散数学导论[M]. 北京：人民教育出版社，1982.
[3] B.Kolman，R. C. Busby，S.C.Ross. Discrete Mathematical Structures, 4th[M]. 北京：高等教育出版社.
[关键词] 离散数学 案例教学 实践教学 网络教学
离散数学是现代数学的一个重要分支,也是计算机科学与技术专业的一门核心专业基础课程。它是很多计算机专业课程的重要基础。
为了让计算机专业的学生能真正掌握离散学知识,进一步改革和完善计算机专业的离散数学教学,本文从案例教育、实践教学和网络教学三方面对离散数学的教学内容、教学方法和手段作了探讨和分析。
一、计算机专业离散数学教学现状
现阶段计算机专业离散数学课程的教育教学存在许多问题,表现为:
1.离散数学一般设置在大学一二年级,但是这个阶段的学生一般更注重于一种计算机应用技能的获得,对于离散数学却难于产生同感。在教学中发现,学生认为离散数学概念抽象、定理繁多、抽象度高,普遍认为这门课程枯燥难懂、是一门纯粹的数学课程,发现不了对计算机的应用,产生不了兴趣,以至于对这门课程的学习失去信心。
2.任课教师更多地从数学的角度讲授课程内容,而不能从计算机专业的角度讲解离散数学和讨论对后续计算机专业课的影响。
为协调好教与学的双边关系,调动学生的学习积极性,使其由被动接受变为主动学习,就要在教学内容、教学方法、教学手段等方面进行相应的改革。
二、基于案例驱动的教学方法
在研究课程的教学方法时,因内容制宜,因学生制宜,采取不同的教学方法,将自学、讲解重点和难点、组织课堂讨论或在讲授中穿插讨论的方法相结合,注意调动学生的积极性,把原来“满堂灌”的过程改为在教师引导下师生共同探索的过程。为激发学生的学习热情,采用一些趣味案例进行教学,以达到最佳课堂效果,使其符合时展的要求。
例如,在介绍完命题逻辑,引出一阶逻辑时,可以提出“苏格拉底三段论”问题:所有的人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。教师故意让学生用命题逻辑的知识来表示这个推理,让他们自己发现这个简单而有名的苏格拉底三段论,却无法用命题逻辑予以正确表示。接着分析原因,说明命题逻辑具有不能表达出个体与总体的内在联系和数量关系的局限性,自然而然地引出一阶逻辑。一阶逻辑就是需要进一步将简单命题再细分,分析出个体词、谓词和量词,它由一阶逻辑基本概念、等值演算和推理三部分内容组成,教师可在这三部分内容学习过程中始终贯穿“苏格拉底三段论”。
介绍完一阶逻辑基本概念后,苏格拉底三段论用一阶公式表示为:F(x):x是人,G(x):y是要死的,a:苏格拉底,则三段论可表示为:((x(F(x) G (x))∧F ( a )) G(a)。
一阶逻辑等值演算和推理介绍结束,立即在自然推理系统中构造“苏格拉底三段论”的推理:
前提:(x(F(x)G(x)), F(a)
结论:G(a)
证明:
①(x(F(x)G(x))前提引入
② F(a)G(a)〗①UI规则
③ F(a)前提引入
④ G(a)②③假言推理
通过这个有趣案例,可以引发学生对理论解决实际问题的思考,又增加学生学习的成就感和创造意思,贯通了课程本身各部分之间的关系,不知不觉中就掌握了一阶逻辑知识。
三、理论教育与实践教育相结合
离散数学虽然是计算机专业理论学习中不可缺少的数学工具,但单单以纯数学科目来教学,使学生在教学中看不到离散数学知识在计算机科学中的具体应用背景,结果只能是学生对于离散数学的学习不重视,渐渐丧失学习信心和兴趣。因此,有必要将离散数学与计算机编程相结合来进行教学,激发学生学习离散数学及参与相关科学研究的兴趣。
首先,挖掘课程内容,建设完善的相关课程实践案例体系,形成“基础实验、提高实验和综合实验”三个层次组织的教学与实践案例。对于离散数学的基本问题,每个单元精心设计多个基础实验,通过这些基础实验案例,使得学生全面掌握基础知识;对于一些相对比较复杂的离散数学问题,即要求学生综合运用各章知识或多学科知识的问题,可由几个同学组成一个兴趣小组,一起完成问题的完整分析、求解和实现;对于一些学有余力、有兴趣的同学,引入一些难度较高的课题,要求他们自行设计问题描述模型和试验方案,开发实用的小型应用软件。对于这些三个部分,内容的编排方面尽量选取经典实例、力求新颖,吸引学生的兴趣。
然后,从提高实际应用能力和课程兴趣度的角度对学生展开教学,在讲解理论的同时,注重其实际应用案例的分析与算法的描述,通过把“基础实验、提高实验和综合实验”这三个层次的案例、课外研究课题等纳入课程教学内容,优化课内、强化课外,努力提高学生的综合能力。
这种融实践训练与创新活动于一体的教学活动为学生提供了自由发挥的空间,让学生成为活动的主体,教师由领导者变成学生的指导者和朋友,学生由被动学习变成“我要学习”。可以提高学生学习自主性与积极性,消除学生对离散数学的消极性,发挥学生的创造性,培养创新能力。
四、先进的网络教学手段
利用校园网,开设“离散数学辅助教学网站”,网站的设计注意“开方式教学”,“交互式教学”,“以学生为中心”的现代教学思想。除了在网站上集成教学大纲、教学日历、习题解答、电子教案等课程相关的基础教学资源,还在网站上集成实践作业管理、教学案例等,增强了师生间互动,也为学生的个性化学习提供了良好的条件。离散数学辅助教学网站的实践作业管理模块如图1所示,具有实践作业的、批改和成果展示等功能。
五、结束语
如何有效激发学生对离散数学的学习兴趣,调动学生的积极性,进而提高课程的教学质量,是离散数学教学研究的核心问题之一,要求教师在教学实践中不断探索的课题。本文结合案例教育、实践教学和网络教学,对离散数学在教学内容、教学方法和教学手段上进行了分析探讨。每位教师可从实际出发,充分调动学生的学习积极性,以达到良好的学习效果。
参考文献:
[1]牛江川,封筠,李素娟.离散数学教学方法的实践与探讨[J].中国电力教育,2008,(8):78-79.
[2]屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学[M].清华大学出版社.
关键词：离散数学 特点 学习方法 定理梳理
离散数学由几个数学分支综合在一起，内容繁多，非常抽象，学习起来非常困难。但由于离散数学在计算机科学中的重要性，计算机专业的学生必须牢牢掌握这门课程。离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对集合论、数理逻辑和图论有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用。
1、离散数学的特点和学习方法
1.1概念和定理多，须准确记忆
离散数学是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解和掌握是我们学习这门学科的核心。无论那本离散数学的教材，无论哪个教师讲课，都会给出若干定义和定理。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好离散数学的关键。
离散数学考试中很多题目是直接考察定义和定理的，这部分题目往往难度较低，本应该较好得分的，大家在复习中却容易忽视。在计算机科学与技术同等学力申硕考试中，经常出现直接考查对知识点识记的题目，对于这类题目，就看考生能否全面、准确的理解和记忆概念和定理，任何的疏忽和模糊，都会造成极为可惜的失分。因此笔者建议，在复习的时候，务必对知识点深刻理解、准确记忆，离散数学的定义和定理主要集中在数理逻辑、集合论和图论三个部分，而数理逻辑又是离散数学的第一个部分，对这部分内容的理解和记忆直接影响后续学习的思维和信心，因此本文主要介绍数理逻辑部分定理的记忆方法。
1.2解题方法性强，须勤加练习
离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高，证明题的方法性是很强的。离散数学的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法，如直接证明法、反证法、归纳法、构造最大最小最长等证明法。
如果知道一道题用什么方法，则很容易证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。离散数学的教材提供了大量课后练习，花费大量时间做完这些习题是不现实的，但是题目类型是有限的，在做练习的过程中注意总结，最重要的是要掌握证明的思路和方法。例如在命题逻辑部分，无非是这么几种题目：将自然语言表述的命题符号化，等价命题的相互转化。在平常学习中，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和此类题目的解题套路。多作练习，即使遇到比较陌生的题也可以较快地领悟其本质，从而轻松解出。
2、学习离散数学的第一步
2.1概念定理梳理的必要性
学习离散数学的重中之重是对概念的理解。没办法理解和掌握这些抽象的定义和定理，就无法进入状态，老觉得听完课好像没听过，不容易进入学习的状态。因此每学完一个部分都应该对这部分内容进行梳理和总结，争取准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。只有这样才能适应本课程的特点，并为后续学习打下良好的基础。
2.2数理逻辑的核心推理理论
2.2.1命题逻辑推理定律（12条）+四条重要的推理规则
2.2.3重要推理定律
关键词：离散数学；计算机科学；应用研究
1.离散数学在计算机数据结构中的应用
计算机科学中，计算机问题的解决往往需要借助数据机构的帮助，从而建立严格的数字模型。数据结构在计算机科学中发挥着重要的作用，它使计算机科学的数据模型得以建立，明确操作对象，并对操作对象进行分析，构建数字语言与计算机语言的契合点。计算机科学中，计算机数据结构主要分为树形结构、网状结构、现行结构以及图状结构，不同的结构有不同的数据结构形式，发挥着不同的作用。离散数学在计算机数据结构中的应用，能够为计算机处理员工绩效报酬以及相关事项提供有效帮助。
2.离散数学在计算机数据库中的应用
计算机数据库技术是进行数据处理和存储的重要技术，在社会生产生活的多个领域都有着广泛的应用。计算机数据库技术是计算机科学中的一项重要技术。离散数学在计算机数据库中的应用，主要是通过笛卡尔积这一重要理论有效地帮助数据库的建立。另外，离散数学中的理论也应用于数据库中的表结构设计以及域间关系，使数据库能够更加完善，能够在应用中具备更高的使用价值，提升数据库的整体质量。
3.离散数学在人工智能中的应用
人工智能的实现需要依赖于数学理论和数学推理，从而使人工智能能够通过逻辑推理产生作用。离散数学的逻辑推理在人工智能中的应用较为广泛，使人工智能能够实现正常的运行传导。离散数学在人工智能中的应用，体现为一种数学的分析过程和处理过程。离散数学中的布尔代数理论是一种数学逻辑语言，能够帮助人工智能实现逻辑的设计，帮助人工智能建立逻辑运转体系，促进人工智能实现智能化。
4.离散数学在计算机体系结构中的应用
在计算机的体系结构中，为了确保整体体系的结构性与有效性，需要进行科学的指令吸引设计，并对指令吸引设计进行内容的改进和完善。指令吸引设计能够通过操作码以及地址码来操作地址信息和相关的信息，实现指令的格式化。离散数学在计算机体系结构中的应用，应用了哈夫曼压缩概念进行问题的解决。哈夫曼压缩概念是对数学概率的加工利用，当事件发生的概率较低时，哈夫曼概念使用较长的位数进行相应的处理，当事件发生的概率较大时，哈夫曼概念则使用较短的位数进行相应处理。在应用中，哈夫曼算法能够建立哈夫曼树，从而使哈夫曼树发挥作用，对系统指令中的数据频度进行统计和分析，并进行适当的排列。另外，排列频度结点通过的序列则构成了哈夫曼编码，哈夫曼编码能够与指令编码相结合，最后达到使用目的。
5.离散数学在计算机科学中应用的发展趋势
在未来的发展过程中，计算机科学的硬件基础将会逐渐得到进步，离散数学的数学理论知识也将在计算机科学中得到更为广泛的应用，促进计算机科学实现更快更好的发展。离散数学的逻辑推理在计算机科学中的应用帮助着计算机的软件设计。离散数学的关联词概念则能够在计算机科学内用于二进制数据的运算。另外，离散数学在计算机科学中的应用，也通过数学集合论概念用于数据结构以及算法分析，帮助计算机数据库的建立和结构设计，使计算机数据库技术能够得到有效的进步发展。此外，离散数学中的布尔代数理论使计算机的网络通信系统得以建立，使计算机科学的人工智能得以实现。离散数学的逻辑推理理论使人工智能能够实现数学的分析和处理活动。离散数学在计算机科学中的应用会越来越广泛，在计算机科学的系统建立、逻辑设计等各方面都会充分发挥作用，实现与计算机科学的良好结合。在计算机科学中，人工智能会成为设计、发展和创新的一项重要理论，支撑着计算机科学的进步发展。
离散数学以离散性的结构以及相互间的关系作为研究对象，其在计算机科学中的应用，能够有效地指导数据库的建立，改进和完善计算机体系结构，提高计算机的运行效率与运行质量，未来应更加注重离散数学在计算机科学中的应用。
参考文献：
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