一、掌握函数的图象以及性质,解决一些简单的函数问题
例1.(2007天津)已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标。
分析:本题是用待定系数法求二次函数解析式的方法。
解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,抛物线过A(-2,0),B(1,0)、C(2,8)三点,得:
4a-2b+c=0,
a+b+c=0,
4a+2b+c=0.
解这个方程组得:a=2,b=2,c=-4.
所以该抛物线的解析式为:y=2x2+2x-4.
(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+)2-.
因此,该抛物线的顶点坐标为(-,-)
二、函数在日常生活中的应用,能更直观地分析问题,提高解决实际问题的能力
例2.(2007云南)某地在调整电价时,为了鼓励居民节约用电,采取了居民用电分段计价的办法:若每月每户用电量不超过80度,按0.48元/度收费;用电量在80∽180度(含180度)之间,超过的部分按0.56元/度收费;用电量在180度以上,超过180度的部分按0.62元/度收费。同时规定在实行调价的当月收费中,用电量的按原电价0.42元/度收费,用电量的按调价后的分段计价办法收费,以后各月的用电量全部按分段计价的办法收费。
(1)已知在调价的当月,小王家用电量按原电价部分所付的电费为12.60元,现请你求出小王家在调价的当月共需付电费多少元?
(2)若小王家在调价后的第三个月用电量为x度,请你写出小王家第三个月应付电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式。
分析:本题是考查学生在具体问题情境中正确建立函数模型的问题,以及不同的时间段内函数解析式的求法,有利于学生更好地理解数学知识,发展应用意识和能力。
解:(1)设小王家在调价的当月用电量为x度,则有×0.42x=12.60,
解方程,得:x=90(度),
按分段计价的用电量为90× =60(度).
60
按分段计价部分应支付电费:60×0.48=28.80(元)
小王家当月共需付电费:12.6+28.80=41.40(元)
答:当月小王家共需付电费41.40元.
(2)当0≤x≤80时,y=0.48x;
当80
当x>180时,y=0.48×80+0.56×100+0.62(x-180),即y=0.62x-17.20.
例3.(2005德阳)如图,一个中学生推铅球,铅球在点A处出手,在点B处落地,它的运行路线是一条抛物线,在平面直角坐标系中,这条抛物线的解析式为:y=
(1)请用配方法把y=化成a(x-h)2+k的形式;
(2)求出铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离和这个学生推铅球的成绩。(单位:米)
(2)抛物线的顶点坐标为(4,3)
铅球在运行过程中到达最高点时离地面的距离为3米。
当y=0时,(x-4)2+3=0,解得:x1=-2,x2=10
x>0取x=10,因此这个学生投铅球的成绩是10米。
三、运用数形结合的思想形象地解答函数图象的有关问题,加强与几何图形的结合,使函数与几何有机地联系在一起,激发学生学习的积极性
例4.(2007广东)如图,在直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点坐标A(3,0),B(3,2),对角线AC所在直线l,求直线l对应的函数解析式。
分析:利用矩形的性质与用待定系数法求一次
函数解析式。
解:设直线l对应的函数解析式为:CB
y=kx+b(k≠0)
依题意A(3,0),B(3,2)
可得点C(0,2)。
由A(3,0),C(0,2)在直线l上,得:
3k+b=0,
b=2.
解得:k=-,b=2
直线l对应的函数解析式为:y=-x+2
例5.(2007呼和浩特)如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点,A(1,n),B(-,-2)。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在点P,使AOP这等腰三角形?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
分析:用反比例函数、一次函数的待定系数法求解析式,并探索等腰三角形的多种形式是否全面。
解:(1)点B(-,-2)在反比例函数y=的图象上。
k1=2
反比例函数的解析式为
A(1,n)在反比例函数图象上;
n=1
A点的坐标为(1,1)
一次函数y=k2x+b的图象经过点A(1,1),B(-,-2)。
k2+b=1
-k2+b=-2解得:k2=2,b=-1
一次函数的解析式为:y=2x-1。
(2)存在符合条件的点P。可求出点P的坐标为
分值: 16分 查看题目解析 >19已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式（），若，是和的等比中项．23.求数列的通项公式；24.求数列的前项和．分值: 16分 查看题目解析 >20已知函数（为实数）．25.当时，求函数的图象在点处的切线方程；26.设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；27.已知，求证：．20 第(1)小题正确答案及相关解析正确答案
解析
当时，，，则，，函数的图象在点处的切线方程为：，即．考查方向
本题考查对导数的几何意义的理解与应用。解题思路
当a=1时，对进行求导得，即为图像在点处的切线的斜率，再将代入可得的值，从而可利用点斜式求得直线的方程。易错点
分不清是在点处的切线还是过点处的切线方程，计算不过关，对导数的几何意义理解不清。20 第(2)小题正确答案及相关解析正确答案
解析
，由，解得，由于函数在区间上不存在极值，所以或，由于存在满足，所以，对于函数，对称轴，①当或，即或时，，由，即，结合或可得：或；②当，即时，，由，即，结合可知：不存在；③当，即时，；由，即，结合可知：，综上可知，的取值范围是．考查方向
本题考查1、对函数极值的求解和应用。2、存在量词下的不等式关系。3、二次函数的最值问题。解题思路
1、由函数在区间上不存在极值，得或；2、由于存在满足，所以；3、对二次函数的对称轴在定义域上进行讨论，最后求并集得到的取值范围易错点
在求极值范围是，未取到等号。在讨论二次函数最值问题时不会分类讨论。20 第(3)小题正确答案及相关解析正确答案
解析
证明：当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，在处取得值，即，，令，则，即， ，故．考查方向
本题考查通过函数构造不等式，换元法，累加法等方法及创新思想。解题思路
关键词： 导数 工具 价值 研究函数
从导数本身的重要性和高考的发展趋势看，我们应该高度重视导数单元的学习.那么，我们应该采取怎样的学习策略呢？本文试图探讨这一问题.
1.剖析中学数学课程中导数的价值
《普通高中数学课程标准教学要求》中的“课程目标”明确指出：通过导数及其应用的教学，（1）理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；（2）掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用；（3）感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用及变量数学的思想方法，提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力.
由此可见，教学目标对导数及其应用的教学明显地呈三个递进的层面，其中（1）介绍了导数的文化价值，（2）（3）则突出强调了导数的工具价值.对中学生来说，后者无疑是重点.
2.导数的工具价值的主要体现
我们再从近几年的全国高考新课程卷的命题重点来看，利用导数研究函数性态的数学试题有上升的趋势.在这类试题中，导数只不过是一种工具，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及其应用，即以导数为工具，优化、深化函数的研究.
中学数学新课程中导数的工具性和应用主要表现在三个方面：切线的斜率（导数的几何意义）；函数的单调性；函数的极值和最值.
对这些内容学生应从基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、烂熟于心，形成完善的认知结构.认知心理学告诉我们，学生只有形成完善的认知结构才能转化为能力，从而解决更高层次的问题.
3.优化函数研究方法的应用示例
根据以上的剖析，我们应该把重点放在突出导数的工具价值，优化、深化函数的研究等方面，试举一例说明之.
例：已知函数f（x）=■x■-ax+（a-1）lnx，a>1，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a-1.
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），.
f′（x）=x-a+■=■=■.
①若a-1=1，即a=2，则f′（x）=■，故f（x）在（0，+∞）上单调增加.
②若a-11，故1
当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）>0.
故f（x）在（a-1，1）上单调减少，在（0，a-1），（1，+∞）上单调增加.
③若a-12，同理可得f（x）在（1，a-1）上单调减少，在（0，1），（a-1，+∞）上单调增加.
（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x，
则g′（x）=x-（a-1）+■≥2■-（a-1）=1-（■-1）■，
由于10，即g（x）在（0，+∞）上单调增加，从而当0
有g（x■）-g（x■）>0，即f（x■）-f（x■）+x■-x■>0，故■>-1；
当0
1.教材的地位
（1）本节在全书及章节的地位与作用
函数的单调性是研究函数分基石．函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
（2）本节内容在高考中的地位和作用
它是高考重点考查内容之一。在函数定性分析及与其他知识的综合上都有广泛的应用。它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
（3）新课程标准下它的变化
新课程标准下,高考要求新增内容和传统内容有机结合。函数与导数的综合、用导数解决函数单调性等问题就充分体现了如何使用新观点、新方法解决传统问题。
2.学情分析：
学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．学生容易理解概念，但是不能全面把握。
根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用以及学生的情况本节课应实现如下教学目标：
3.教学目标：
知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；
情感态度与价值观:在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．
4.教学重点和难点
教学重点：
（1）函数单调性的定义；
（2）用定义判断和证明函数的单调性
教学难点：
（1）函数单调性的知识形成；
（2）用定义证明函数的单调性
二、教法学法分析
为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2.在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
在学法上我注重教会学生：
1.乐于探究、勤于动手
2.尝试质疑、交流合作
3.分析讨论、归纳总结
这样利于学生发挥学习主动性，使学生学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
三、教学过程设计
函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节。
（一）创设情境，提出问题
（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐），观察某地区气温变化图：
[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[设计意图]从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，有利于定义的自然生成。
（二）探究发现 建构概念
[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．
[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，引导学生回答：对于自变量8
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：
问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1
[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．
[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：
问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？
最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．
[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．
【教师活动】设计问题串
设计意图：通过精心设问给学生更多的思考时间和空间，变被动为主动，深化了学生的探索活动，深刻理解定义，无形中突破了本节课的难点！
（三）自我尝试 运用概念
1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．
[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．
[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．
[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数 的单调区间时写成并集．
[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．
2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？
[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．
[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．
[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值 作差变形 定号 判断．
[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．
（四）回顾反思深化概念
[教师活动]给出一组题：
[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.
[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.
（五）任务后延——自主探究
[教师活动]作业布置
[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯。使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
（六）总结反思——提高认识
归纳小结：
1.函数单调性的定义
2.判断、证明函数单调性的方法：图象法、定义法、分类讨论、数形结合法
3.用定义证明单调性的步骤
一、导数在经济领域中的应用
高等数学中的导数边际分析是经济学中最长应用的一种分析方法，在经济领域中通过边际成本、消费以及收益的计算分析，可有效探索出经济市场需求量。笔者通过对边际的概念分析，对导数在经济领域中的应用进行了如下分析：
在函数G=f（x）中，函数自变量x取值为x1时，函数G将得到确定值G1。而当G=f（x）中x1处微小变化时，则代表函数G在G1处的变化，即函??G关于x在“边际上”x1处的变化率。在经济中将这种变化成为边际变化。
在经济市场中，某企业在生产既定量产品时，所投入的资金总额为产品总成本（包括固定成本、可变成本）。其中总成本中的可变成本是随着产品生产数量的变化而变化的，因此从数学角度出发，可以说总成本是关于产品产量的函数。例如，当产品生产量为y件时，其总成本用函数可表示为：Y=f（y），产品的平均产品为Y/y=f（y）/y。当产品产量增加y时，其成本增加为Y=f（y+y）-f（y），其中Y/y则代表产品产量由y增加到y+y时的产品成本平津变化率，其边际成本（总成本变化率）可表示为：Y/y=。
应用实例：建设某企业的产品总成本为y，产量为x，y是关于x的函数，其函数关系为：y=f（x）=30+3x+2x2。求：生产5件产品的总成本、平均成本以及边际成本。
解：生产5件产品的总成本为：y=f（5）=30+3×5+2×52=95；
生产5件产品的平均成本为：f（5）/5=95/5=17；
生产5件产品的边际成本为：f'（5）=（30+3x+2x2）'/x-5
二、定积分在经济领域中的应用
在经济市场中，需求函数与供给函数是十分重要的两个函数。与此同时，需求函数与供给函数都是有关于商品价格（P）的函数，代表经济市场对某一商品的需求量以及企业多所能够提供的产品量。用高等数学理论知识可表示为：商品价格P关于某企业产品数量x的函数。其中需求函数为“p=D（x）”，供给函数为“p=S（x）”。在经济市场中，影响市场产品需求与供给的因素有很多，但是在某种程度上，商品的“价格”起着决定性作用。价格的升高或降低致使市场经济对产品的需求以及企业供给产生相应的变化，通常情况下，该变化趋势为“单调性”变化。函数交代为经济学中的“供需平衡点”，其所处价格为“市场平衡价格”。
应用实例：假设经济市场对某产品的需求函数为p=D（x），当改产品的市场价格为pa时，与其相对应的企业供给函数则为xa（pa=D（xa）），用R表示受益，则R=xa×pa。
在现实实际中消费者消费能力、个性喜好的不同，对产品价格接受情况也就不同，如消费能力高的消费者，能接受更高的价格，则有价格比价pb（pb>pa）以及需求函数xb。当产品的市场价格相对较低时，消费能力高的消费者消费资金将产生剩余，可将其成为价格为pa消费者的剩余，用Uc（pa）表示。
基于上述分析运用高数理论知识可知，在[x，x+x]区间范围内，消费者剩余微元则为“dUc=[D（x）-pa]dx”，需求函数与供给函数从0积分到xa可得到“Uc（Pa）={D（x）-pa}dx=D（x）dx-Pa×xa”，当价格Pa变为Pb时，Pa相应的需求函数也经发生变化，变为“xb=（pb=D（xb））”而消费者剩余量的变化为“c=Uc（pb）-Uc（pa）=D（x）dx+paxa-pbxb”。
因此，在经济市场中通过利用高等数学计算出供需平衡点，探寻消费者满意度，进而实现对市场的有效调节，用以满足企业与消费者的共同需求，实现企业与消费者共赢。
三、微积分在经济领域中的应用
在高等数学微积分中，函数以及极限是微积分研究过程中的重点内容。因此，在经济领域中，微积分的应用于函数、极限方法具有密切的关联性。基于此，本文从函数理论知识出发，对微积分在经济领域中的应用进行了分析。
在经济领域中，要想利用高等数学知识有效、快速地解决经济学领域中存在的问题。应将经济问题转换为数学问题，并建立数学函数模型，寻求经济问题因素之间的关系，并进行计算。在经济中，常用的函数关系分为有y=y（x），其中y是自变量x的函数，当x=x0时，经济量y=y（x）的函数值则可表示“y0=y（x0）”。经过不断变化也运用于不同经济问题中，解决经济问题，如产品销售量预测、市场需求量饱和度计算等。
【关键词】备课 教材 有效
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）10-0154-02
使学生获得必要的高中数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，并能初步应用；体会概念、结论中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。巩固和提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。培养具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。发展数学应用意识和创新意识等是我们的教学目标。而无论学生方面还是老师方面都存在一些客观因素制约了我们教学目标的顺利实现，有待我们去研究、去突破。
一、高一新生普遍存在的问题
1.学生心理不成熟
高一新生的心理还不成熟，有相当一部分学生自我控制能力和意志较差。因此在教学中仍需经常提醒学生要认真、积极、自觉、主动地学习。
2.初、高中的教学难以有效平稳地过渡
高一教学进度快，教学难度大，思维方式和学习方法的骤然改变，使高一新生很难快速适应。很容易产生大面积的学困生，严重打击了新生学习数学的积极性。
3.学生遗忘率大，解题速度慢，不愿做解答题。
学生对一些概念、法则、公式等理解记忆不全或很快遗忘，学了后面又忘了前面。解题速度慢，求一个二次函数的值域或画一个二次函数的图象，要花很长时间。学习中新生存在的另一个大问题是计算能力差，学生只喜欢做选择题、填空题而不喜欢做解答题。但解答题在高考中占很大的比重，因此在以后的教学中，我们还要转变学生的观念，培养学生的分析、解答能力和书写作答的规范性。
二、针对高一新生出现的问题，提出对策。
教学关键之一是老师的备课，其二是老师的课堂实施，其三是课后作业、习题处理。而课堂的实施往往由于教师个人的性格特点和讲课风格基本上已经定型，是较难改变的，但备课方面，只要用心、尽力，是很容易做好的。我们知道备课要备教材（即教学内容）、备学生甚至备突发问题。备课内容要源于教材，紧密联系教材，但不能拘泥于教材，可以对教材进行灵活处理，使教学内容更适合学生。
1.对一些教学内容应作适当补充
例如高中数学必修1中对于函数的值域的教学，教材中只是一笔带过，甚至例题中只有求函数值，没有求函数的值域。对于高一新生来说，掌握求简单函数值域的方法也是必需的，教师必须补充教给学生。
如：求下列函数在定义域上的值域：①y=2x+3，x∈{-1，0，1，2}；②y=2x+3，x∈[-1，2]；③y=2x+3，x∈R；④y=x2-2x-3，x∈{-1，0，1，2}；⑤y=x2-2x-3，x∈[-1，2]；⑥y=x2-2x-3，x∈R。
当然，对于高一学生来说，有些求函数值域的方法应因材施
教，作适当调整。分离常数法：如 。换元法：如
。判别式法：如 。
2.对教材中的个别内容，甚至例题，应作适当调整。
如必修一函数的单调性的例题2，原题是：“物理学中的玻
意耳定律 （k为常数）告诉我们，对于一定量的气体，当
其体积v减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之。”这是高中教材的第一个证明题，而且此题目都是用字母表示，高一新生对于证明题基本上只会证明三角形相似或三角形全等，所以这一例题难度明显偏大，不适合高一新生的学情。其实我们可
换为其它学生容易接受的题目，如：证明函数f（x）=x+ 在[1，
+∞]上是增函数。本题紧扣单调性的定义。而且函数的定义域为x，函数值为f（x），函数在某区间上的（局部性质）单调性都能很好体现。而关键是紧扣学生习惯，高一新生容易接受。
3.对一些教学内容在讲授时应因材施教
如在讲授函数的表示方法时，特别是分段函数的表示时。我们可以对分段函数这一节的教学从以下几个例子逐层展开。（让学生体会函数的三种表示方法和各种表示方法的优点。比较三个函数的图象特征，得出函数图象的特点和异同之处）
例1：（课本P19）某种笔记本的单价是5元，买x（x∈﹛1，2，3，4，5﹜个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。（让学生低门槛地体会函数的三种表示方法）
解：这个函数的定义域是数集﹛1，2，3，4，5﹜，解析法可以表示为y=5x，x∈﹛1，2，3，4，5﹜。
列表法可以将函数y=f（x）表示为：
图象法表示，见图1。
例2：（课本P21）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①乘坐汽车5公里以内，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象。（让学生进一步体会分段函数的三种表示方法）
解：设票价为y元，里程为x公里。解析法表示为：
（x∈ ）
列表法可以将函数y=f（x）表示为：
图象法表示，见图2。
图1 图2
在学完前面的两个例子之后，我们可以移花接木地将课本 的习题7改编之后作为例3嫁接过来。
例3：（课本P45改编）2010年广州市个人所得税法规定市民每月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加计算：
按此规定回答下列问题：①写出函数的解析式并画出函数的图象。②设甲的月薪金所得为6000元，则甲须缴交的所得税款为多少元？③若乙某月份缴纳所得税款80元，那么乙这月份的工资、薪金是多少元？
解：设某人的当月工资、薪金为x，所应纳税额为y，解析法表示为：
图像法表示，见图3。
图3
得出：①由y=50+150+15%（6000-4000）=500，知甲须缴的所得税款为500元。②由y=80可知，80=50+10%（x-3000），解得x=3300（元）。
知乙这月份的工资、薪金是3300元。
可见通过将第45页的习题7作为例3嫁接过来，更有利于函数的三种表示方法的完善和比较，特别是突出分段函数的图象特点。通过3个例子比较可知：①图像法：能直观形象表示出函数的变化趋势，有利于数形结合解决问题。函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；②解析法：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，必须注明函数的定义域；③列表法：能直观地看出自变量取某个值时相应的函数值，选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征，但对于例3，用列表法就不好表示了。
由此可见，在我们的日常备课中，可以通过内容补充、适当调整、因材施教等方法灵活处理教材，使我们的教学更贴近学生、更贴近高考。
参考文献
1人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学（必修一）[M].北京：人民教育出版社，2007
小隐于野
例1：关于x的不等式ln（1+x）
分析：通常考虑通过分离常数，等价转化为求函数的最值或值域。但函数f（x）= 1n（1+x）/x（x>0）的最大值或值域不易求得，尝试用“众里寻他”法。
解：ln（1+x）
若a≥1，则x∈（0，+∞）时，h′（x）=1/1+x-a
h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数，有ln（1+x）-ax
即ln（1+x）
若0
h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1/a -1）上为增函数.
当x∈（0，1/a -1）时，
h（x）=ln（1+x）-ax>0不能使ln（1+x）
点评：本解法中，“R”即为“众”。先证明a≥1符合题意，实质上证明了充分性成立；再证明a≤0和0
大隐于市
例2（2010江苏高考，第20题）：设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数。其导函数f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）。
（Ⅰ）设函数f（x）=ln（x）+
（x>1），其中b为实数。
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）。
（ii）求函数f（x）的单调区间。
（Ⅱ）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1、x2∈（1，+∞），x11，β>1，若|g（α）-g（β）|
分析：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）由于g（x）是抽象函数，通过等价转化显然是行不通的，“众里寻他法”舍你其谁？
解：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）由题设知，g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2-2x+1），其中函数h（x）>0对于任意的x∈（1，+∞）都成立。所以当x>1时，g′（x）=h（x）（x-1）2>0，从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增。
1、当m∈（0，1）时，有a=mx1+（1-m）x2>mx1+（1-m）x1=x1，α
2、当m≤0时，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2，β=（1-m）x1+mx2≤（1-m）x1+mx1=x1。于是由α>1，β>1及g（x）的单调性知：g(β)≤g（x1）
3、当m≥1时，同理可得α≤x1、β≥x2，进而得|g（α）-g(β)|≥|g（x1）-g（x2）|，与题设不符。
综合上所述得所求的m的取值范围为（0，1）。
点评：此题运用“众里寻他法”来解倒不难想到，但以抽象函数为背景，是绝大部分考生始料未及的。这给平时惯用的以“导数”为工具来解决此类问题的思维方式提出了严峻的考验，体现了新课程理念所倡导的对数学思想方法本质的理解，也符合“构建共同基础，提供发展平台”的新课程理念，这正是命题者的“匠心”所在。
庐山面目
首先，请两位自告奋勇者上去按照案例讲解来实操高尔顿板问题．通过学生的示范操作，拉动全班同学的能动性和对原理知识的渴望．通过来自普通同学自己动手做的实验的展示，一方面，原本觉得高尔顿板实验深不可测的很多同学忽然意识到，原来就这么简单，我怕也可以做啊．这些类似的想法促进了“先学”意识进一步增强．另一方面，感性地体会到正态分布曲线的一个雏形的逐步形成的过程，也拉近了知识的受体跟这部分知识的距离．为同学们的“先学”扫清了障碍．在实践中笔者发现，通过高尔顿板实验会发现下落的一个个小球在实验的槽中的分布是遵循一定的原则的．或者说，通过实验可以说明它是遵循着某种规律的．所以自然地学习主体的能动性就被激发了，“先学”有了基础．
笔者再顺势提出了两个研究性问题:首先，请同学们在探究的过程中将实验中的球槽进行编号，然后通过计算每个槽内的小球的个数得出一个频率的分布表．然后，为了让我们的结果更加直观，我们可以根据频率跟组距的比值为纵坐标，以编号为横坐标画出一个频率分布的折线图．以这样的两个问题为“先学”的引导，笔者在课堂过程中也适时的作出引导，让一些已经掌握的知识作为新知识生长的土壤，促进学生对这部分内容的学习以及探究模式的创新．从实践效果来看这样的设计较好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，很多学生经过这样的导入过程不仅仅取得了很好的学习效果，学习方法也得到了一定的提高．
二、在“后教”中凸显老师引导，始终做好辅助作用
高中数学课程相对紧张，每节课都有固定的学习任务，所以作为主导作用的教师必须合理地设计框架，设计课堂并给与在学习中的学生必要的引导，促进课堂的高效、优质性．在“先学”过程中，会遭遇到很多的知识结构性矛盾，以及探究性陷阱．作为主导者要对发生和可能发生的问题有敏锐性，要能够主动的进行合理的引导．
例如，在高中数学必修1《函数的单调性》一课中，知识纷繁芜杂，而且比较抽象，从笔者的经验来看学生的掌握还是有点吃力的．学生不仅仅要体会函数的单调性的涵义，同时还要能够做到用数形结合解决一定的问题．而函数单调性的定义以及单调性的证明都需要我们在一节课中掌握．笔者设计了一个任务链让学生进行先学．首先，通过研究一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2这两个学生已经熟悉的函数的单调性为切入口进行探究活动．然后通过对函数的定义区间x值的变化，研究f(x)的变化．接着通过分析抽象，逐步形成概念．最后通过归纳，从图象、定义等多维度对函数单调性进行再分析，进一步论证结论．这节内容容量较大，同时容易出现偏差和错误．所以为了避免这些探究的偏差和错误的探究方向，教师必须要因势利导做好引导．
三、重视反思评价双向沟通，促进知识升华
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