一、端正渗透思想更新教育观念
纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困惑在无边的题海之中。
究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大运动量的机械训练呢？我们认为：坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。
二、明确数学思想和方法的丰富内涵
所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想，集合对应思想，转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。
不同的数学思想和方法并不是彼此孤立，互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。低层次是高层次的基础，高层次是低层次的升级。
三、强化渗透意识
在教学过程中，数学的思想和方法应该占有中心的地位，“占有把数学大纲中所有的、为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”这就是要突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识。这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。
四、制定渗透目标
依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能象消元法、换元法、配方法那样，达到在某一阶段就能掌握运用的程度。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，在初一年级时，可让学生知道在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这种水平正是我们走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。
五、遵循渗透原则
我们所讲的渗透是把教材中的本身数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。运用并逐步内化为思维品质。因而渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。
六、探索并掌握渗透的途径
数学的思想和方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。
1．在知识的形成过程中渗透
对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。
2．在问题的解决过程中渗透
数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想和方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力，此时的思维无疑具有创造性的品质。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，在整个初等方程及其它知识点的教学中，可以反复渗透和运用。
3．在复习小结中渗透
小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。
4．在数学讲座等教学活动中渗透
随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教育的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的提高具有巨大的影响。因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。可目前由于受“应试教育”的影响，数学教学中违背教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。
一
对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”［1］等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学结、课外学习等各个学习环节之中）［2］；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）［3］等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。
二
从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是3条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。
1．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动速度v＝v0＋at、产品的成本m＝m0＋at、金属加热引起的长度变化l＝l0＋at中再次抽象出一次函数f（x）＝ax＋b，显然要经过比较（它们的异同）和概括（它们的共同特征）。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。
2．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为180°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”［4］。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。
3．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。
三
从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”［5］。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下3点：
1．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。
2．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。②重视数学思想的挖掘和渗透。由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重数学方法的明晰教学。数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。
3．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机
制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。③要充分揭示数学思维的过程。比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤指导学生对学习活动进行评价。如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。⑥帮助学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。
四
根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等5类。相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这5类教学之中。这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈谈自己的认识。
1．根据学生的学情安排例题。如前所述，学习新知必须建立在已有的基础之上，从内容上讲，这个基础既包括知识基础，又包括认知水平和认知能力，还包括学习兴趣、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统方面的准备。因此，无论是选配例题，还是安排例题，都要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和安排中，可采取增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据学生情况，删去比较简单的例题或要求过高的难题。所谓调，即根据学生的实际水平，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。
2．根据学习目标和任务精选例题。例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识，应用知识，巩固知识；莫过于训练数学技能，培养数学能力，发展数学观念。为发挥例题的这些基本作用，就要根据学习目标和任务选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技能、某种数学能力等重点内容而增补强化性例题，或者根据联系社会发展的需要，增加补充性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起。
3．根据解题的心理过程设计例题教学程序。按照波利亚的解题理论，一般把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾等4个阶段。这是针对解题过程本身而言的。但就解题教学来说，还应当增加一个步骤，也是首要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生一种认知的需要。对于“进入问题情境”环节，要求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标，明确学习任务，激起认知冲突。而对其余4个环节，教师的行为可按波利亚的“怎样解题表”中的要求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前3个环节，却容易忽视“回顾”环节。
严格说来，回顾环节对解题能力的提高，对例题教学目的的实现起着不可替代的作用。对回顾环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为主要的是对解题方法的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。
4．根据数学方法指导的目的和内容适度调整例题。通常，人们根据问题的条件（A）、解决的过程（B）及问题的结论（C）的情况把数学题划分为标准题和非标准题两大类：如果条件和结论都明确，学生也熟知解题过程（即A、B、C三要素全已知），这种题为标准题（记为ABC）；A、B、C三要素中缺少一个或两个要素的题则为非标准题。如果分别用X、Y、Z表示对应于A、B、C的未知成分，则非标准题的题型（计6种）可表示为：ABZ，AYC，XBC，AYZ，XBZ，XYC。数学教材中的例题大多数是ABC型和ABZ型，有部分的AYC型和极少数的AYZ型。由于数学学法指导的一项重要任务是教学生会抽象、概括、归纳、演绎，会数学地思考和交流，会分析问题和解决问题，因而例题教学要特别注重教材中缺少的几种类型题的教学。其中最为重要的是“开放性题”（ABZ型和AYZ型例题中，Z不唯一）和“数学问题解决”中所指出的“数学应用题”（AYC型及AYZ型中所涉及的主题是数学以外的内容）。对于“开放性题”，由于它的结论不唯一，对培养学生数学思维有着至关重要的作用。对于“数学应用题”，则由于它的解决要用数学模型法，因而对培养学生运用分析问题和解决问题的方法是十分重要的。从数学学法指导的角度来说，适度调整例题很有必要。调整的策略有二：一是改，即将已有的题型变换为别的题型；二是增，即增加与知识点有关的“开放性题”和“数学应用题”。
一、以教为中心转变为以学生发展为中心
什么是教育？“把所学的东西都忘了，剩下的就是教育。”剩下的是什么呢？就是教育的积淀、精华、永远不会忘记和长期起作用的东西。数学教育的最深沉的积淀是什么呢？是数学的思想、方法、思维策略和个性化的学习方式。这是学生在学习数学的过程中，深度地亲身经历、体验和感悟方可获得的东西，这是数学的灵魂和精髓。数学也正是通过这种方式去影响人们的思维方式，进而影响人们的生活方式直至生存方式，以此来体现数学教育的文化价值。多年来，主导和控制我国中小学的课堂教学是唯一学业评价手段的教育教学方式，几乎成了教学管理和教师们教学的定势的评价行为，极大地束缚了学生个性化学习的发展和创新意识的形成。
经济、社会和科技的发展对人的素质要求是变化和发展的，在青少年阶段接受的知识不是终身够用的。因此，教师应由过去单纯以教为中心转变为以学生发展为本的观念，即以学生的今后甚至终身发展为本的教育观念。在数学教学中应谋求学生的发展为本的教学策略和方式，教学过程不仅要使学生习得基本知识和形成基本能力，更重要的是在这些过程中感悟和体验数学思想方法和数学思维的策略，形成个性化的学习方式和学习方法，使学生终身能受用。如在新教材中，第二章的函数应用举例与实习作业，采用函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和不完全归纳得出目标函数的方法以及利用二次函数处理人口增长和生产发展等有关的增长率的实际问题。这些思想方法是在教师引导下，学生对实际问题的分析、解决过程中琢磨和体验出来的。又如在第三章中关于数列的研究性学习课题，学生通过对几种分期付款的问题的社会调查实践和研究活动：确定课题、拟定计划方案、分工协作、收集筛选资料与数据、选择数学模型、处理数据、验证结果和得出实际问题的答案等，不仅能用数学知识解决实际问题，而且还初步形成了一种自主探究、合作交流和开拓创新的学习方式，这种学习方式对学生今后的学习和工作都具有远迁移的积极作用。又如在第十章中通过对随机现象和概率的研究，为应用数学解决实际问题提供了新的思想、方法：面对要解决的问题，调查研究、设计方案、制定策略、收集信息、处理数据、分析推断这一整套的思想方法。对学生今后的发展会有更大的作用，就能实现教学以学生发展为本的目标。
二、课堂教学以演算题目为重点转变为培养学生能力和创新意识为重点
目前数学课堂教学的状况是：多数教师给学生布置成套的题目进行模式化训练，数学应用的意识不强，即使由某些应用似乎是被迫的，培养数学实践能力和创新意识，也还停留在口头上。新教学大纲中的教学目的反映了社会发展和时代要求，反映了实施素质教育的重点，数学课堂教学应把重点放到培养学生能力和创新意识上来。数学能力一般由认知数学事实的能力、解决数学问题的能力和建构数学模型的应用能力等组成。其中认知数学事实的能力，包括了对数、式、数学符号、数量关系、对数与式变换的认知；对空间图形、形状、大小、位置关系、实物与图形的互相转化、图形中元素的认知；对命题结构、论证的一般方法的认知等。解决数学问题的能力包括提出问题，问题的识别、分解、转化能力、解题的探究和监控能力等。建构数学模型的应用能力包括掌握已知的数学模型、应用数学模型来理解与解释客观事物等。新大纲中的思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力都隐含在以上的数学能力之中。夯实“双基”固然重要，但要与培养学生能力和创新意识同时进行，不能认为必须有了前者才能进行后者，否则导致二者割裂，不能互相促进不利于二者的共同提高。从数学教育的整体上来说，教学过程中应突出培养学生能力和创新意识这一重点。
三、由教师的讲解灌输的教学转变为通过创设情景、问题探究、合作协商和意义建构的学生自主学习过程
建构主义认为，教学应当用情节、背景真实的问题引导出所学的内容，通过营造解决问题的环境，启发学生积极思考和自主探究，教师帮助学生在解决问题的过程中活化知识，变事实性知识为解决问题的工具。教学过程要以学生的互动学习和知识的意义建构为中心，教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，通过创设情景、问题探究、合作协商和意义建构等活动，使之成为学生自主学习的过程。学生是知识的主动建构者，教材中的知识不再是教师传授的内容，而是学生主动建构知识的对象，媒体也不再是教师讲解知识的手段，而是教师创设情景、学生合作学习和共同探究的认知工具。在这样的教学过程中，教师、学生、教材和媒体等教学要素都被赋予了新的涵义，成为新的角色。
四、教学媒体要从教师讲解的演示工具转变为学生的认知工具
目前多媒体辅助教学的使用存在不少弊端：⑴运用目的不明；大多数数学教师在平时教学中很少运用多媒体，甚至根本就没有运用多媒体，但在各类教学技能比赛或观摩评优教学中才运用多媒体，以为这样才能体现现代信息技术与数学课程的整合，究其目的是为了获取喝彩和好的评价。
如果一堂课没有用现代教育技术，纵使教师用“新”的教学方法讲授的再精彩、发人深省，也是难以得到认可，获不了奖的。这是值得我们深思的。其次，有的教师不是从学生的角度去考虑，也不从实际需要出发，仅仅是为了运用多媒体而运用多媒体，只是形式地表演，而不是致力于改变学生的数学学习方式。⑵用多媒体剥夺了学生思维的权力；多媒体可以让抽象的知识形象化、具体化，能够帮助学生理解所学知识。但应当给学生留下足够的思考时间和空间，让学生自己去思索、去想象，让学生自己提出问题，并能试图利用计算机去解决问题，这也是培养学生创新思维能力的一个好办法。
该文章转自《中华论文协会》：/lixue/mathematics/200808/lixue_30019.html⑶多媒体被误用为教师讲解的演示工具；多媒体辅助教学虽不排斥辅助教师的讲解，但其终极目的应指向学生的数学学习，即它应向学生提供更为丰富的学习资源，促使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中，应成为学生学习数学和解决问题的认知工具。从这个意义上讲，多媒体辅助的主要对象是学生，而不是教师的教学。⑷花哨的课件代替了教师的讲解和教学艺术；现在许多课件是越做越好，画面内容丰富多彩，甚至于声图并茂，动静结合，像演电影一样，美其名是吸引学生的注意力，更有甚者出现与教学内容无关的卡通动画画面。
结果片面追求课件的视听效果，没有注重教学的实际效果，甚至忽视多媒体辅助教学的真正目的——为了促进学生有效地学习数学。这样的课件不但分散了学生的注意，冲淡了教学主题，而且导致学生的注意力迟迟不能集中到需要关注的蕴涵着潜在数学内容和关系的对象上。加上学生平时没有或很少上过多媒体辅助教学课，而当花哨热闹的课件突然呈现在他们面前时，学生更多的是充满新鲜感，好奇感，只注重热闹的画面，而将数学学习任务抛于脑后。其次，多媒体的运用大大减少了教师的板书，教师只要轻轻叩击鼠标，图形、定义、公式、定理便可一一呈现，甚至连例题的细致分析，具体解答，作业布置也直接显示，大有书本搬家之嫌。⑸用屏幕代替黑板；就目前来讲，黑板是不能丢弃的，它的功能是多媒体所不能代替的。黑板具有灵活性，它能随时反映出学生的思维情况，多方面地去探索问题，并能展现出失败的一面，使学生更好地理解知识。多媒体课件由于受条件的限制，不可能把学生的所有思维都反映出来，如果教师仍然严格按照课件实施教学，一旦学生的思路出乎意料，不是你事先预好的，就会显得非常被动。
从而死板的课件排斥了课堂教学的灵活性，不可预知性和动态生成性。⑹功能开发不全；现代多媒体技术具有强大的功能，如图文色彩处理功能、闪烁运动功能、绘制功能、交互功能、数据分析功能、模拟工具功能、符号运算功能、观察规律功能、快速运作功能、直观显示功能。目前数学多媒体运用最多的是直观显示功能，其最大的缺点是没有把问题的背景、产生、发展、变化、过程、结构和本质特征等多形式多角度多层面地表现出来。更谈不上综合地、和谐地、交互地运用多媒体技术来创造积极和谐的数学学习情景，谈不上提供合作、交流、发现、实践的学习机会，构建师生互动的学习平台。
1、数学符号的科学性
数学符号是数学文字的主要形式，它是构成数学语言的基本成份。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，这十个符号是全世界普遍采用的，它们表示了全部的数，书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字，实际上却是印度人创造的，只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献，这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是，18世纪一位法国著名数学家曾说过：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它之如此绝妙非常，正是由于这种简易得难以估量。”
关于“位置上的意义”，指的是数字的进位表达。比如说724，它实际上是7×100+2×10+4，可是它只需简写成724就明白了。此外还有空位的问题，假若有个数字是7×1000+2×100+4，那该怎么写呢？现在我们是很容易回答了，不就写为7204吗？可是，在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示：72•4有的用一个方格来表示；有的干脆就拉开一点写，表示空一位；……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号，问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果年看72004这个数字，我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。
数学的简洁不只表现在数字符号上，还表现在其他符号上，表现在命题的表述和论证上，表现在它的逻辑体系上，总之，表现在思维经济上。
数学符号有许多种，除了前面提到的数字符号外，还有代数的符号，通常用英文字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代，以英文字母的开头几个表示已知数，如a、b、c、…，以英文字母的最后几个代表未知数，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常数，以x、y、z代表变数。现在，这已不是固定的了，在某种约定之下，a、b、c、…也可代表未知数，也可以表变数，x、y、z也可以代表已知数，也可以代表常数。还有一些特殊的常数，如π,e。还有另一些表现数量的符号，往往是其他类型符号的组合。
数字研究的对象已不只限于数，还研究形，表示三角形，表示四边形，表示圆。
数学研究的最一般对象是集合，而表示集合的符号常常用英文字母的斜体，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符号表示，例如，用N表示自然数集，而实数集则用R表示，N与nature(自然)一词有关，R与real（实的）有关。特定的集合组成空间，空间有时用S表示，S与space(空间)一词有关，但也用其他字母表示空间。这些符号的运用使得数学语言变得简练。
还有一类符号是表示关系的，通过种种关系起联结作用。常用的如等号=，近似等号≈，全等号≌或。还有不等号≠，＜，＞，<<。∥表示平行关系，表示垂直关系，与表示元素与集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系，表示蕴涵关系等等。
还有一大类是关于运算的符号。+，－，×，÷是四则运算符号。是开方运算符号，sin,cos,tan是三角运算符号，lim是极限运算符号，d，是微积分运算符号。表示若干项乃至无穷项求和，表示连乘（若干因子或无穷个因子），！表示阶乘，,是集合论中的运算符号。映射是比运算更普遍的概念，f，g，h等常被运用作映射符号。
微积分是英国人牛顿和德国人莱布尼茨彼此独立发现的，牛顿和莱布尼茨使用的微分符号却是不同的。牛顿创立了微分符号，比如说的微分用表示，可是牛顿的这一符号对于高阶微分并不方便，并且不宜于表现微分与积分的关系，因而实质上并不十分科学。相比之下，莱布尼茨的符号在这两方面都比牛顿的符号更加科学合理，它反映了事物最内在的本质，减轻了想象的任务。诸如这样的优美的式子，是在莱布尼茨符号下才能出现的。而英国人却以牛顿为自豪，这是无可厚非的，但是，由于他们长时间固守牛顿的符号，使英国数学的发展受到了严重的损害。
所以，数学符号的科学性直接影响着数学语言的质量，影响着数学及数学教育的发展。
2、数学语言的简洁性
数学语言非常简洁精确，它具有独特的价值，它是科学语言的基础。
从宏观来说，人们常以“成千上万”来研究多，再多就是“百万”、“千万”了，更多则是“亿万”。可是，数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示，比如说，1025、286243这样巨大的数字，一般语言就说不太清楚了。
从微观来说，日常语言之中，“失之毫厘，廖以千里”，用一毫一厘来形容微小，还有形容体积之小的，时间之短的，距离之近的。但是，没有比10-15，10-45这样一些表达更能说明问题，它也更简洁、更明了。
[a,b]仅由a、b、[]这三个数学符号表出，但如果比用一般语言描述就成为“大于或等于a，小于或等于b的一切实数的集合。”除去标点还得需要20个符号，其中18个汉字。
若对任何使得对任何n,m>N，有，则数列有极限。这是著名的柯西判别准则。如果要用一般语言是无论如何也表示不清的，
作为有理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数之间关系之一的式子，是各种数的大统一。用数学语言来表达是这样的简洁、明晰。
数学语言有其独特之处，有其独特的价值，它不仅是普通语言无法替代的，而且它构成了科学语言的基础。越来越多的科学门类用数学语言表述自己，这不仅是因为数学语言的简洁，而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。
我们看看下面几个式子，就能明白物理学是如何用数学语言来表述的。
F=0
F=
F=
第一、二两个式子分别表达的是牛顿第一定律和第二定律，第三个式子说的是万有引力定律。
惯性定律说的是，在没有外力的条件下，物体保持原有的运动（或静止）状态，然而简洁的数学式F=0（C是常数）表达了定律的实质。
第二定律说的是，力与质量和加速成正比，数学式子F=表达了这一点。当质量是常数的时候，式子可写为F=，又可用a表示加速度，因此牛顿第二定律又可以表示为人所共知的形式F=ma。
万有引力定律说的是，任何两个物体之间都有引力存在，其大小与两物体质量之积成正比，与距离的平方成反比，式子F=又是多么有力地刻画了这一思想。
3、数学语言的通用性
数学语言与一般语言相比，它具有无民族性、无区域性，它世界上唯一的通用语言。
数学语言是人类语言的组成部分，它与一般语言是相通的，而且可以说是以一般语言为基础的。一般语言掌握得如何，直接会影响数学语言的学习。但是，一般语言学得很好的人也不一定能掌握好数学语言，它们毕竟有差别。
一般语言具有民族性、地区性，一般语言与民族、地区文化有极密切的联系。不同地区语言的差别可以很大，这种差别主要指符号及法则体系的不同。例如，英语与俄语，不仅符号表示的差别很大，而且语言规则的差别也很大；至于汉语，它与英语、俄语的差别更大，从书写来看，汉语是方块字，从读音来看，英语、俄语是拼读法，语法的差别也特别大。
就是同一民族，书面语言完全相同而发音很不相同的情形更多，例如同讲汉语，北方与南方就有很大不同，北京话与广大话很不相同。而且，目前世界上的语言就多达2500—3000种，其中仅美洲语言即有1000多种，非洲语言也近1000种。100万以上人口使用的文字则只有140种。这140种之中，以汉语为母语的人最多，约占世界人口的20%；其次是英语，约占6%；再次是俄语、西班牙语、法语，使用这五种语言的人占世界人口的40%以上。
但数学语言没有地区性、民族性。全世界因为地区之不同、民族之不同而有二、三千种语言（远远超过全世界国家的数目），可是，全世界的数学语言只有一种。
这种语言符号，全世界的中学生大学生们都认识，同一种书写、同一个含义，只是读音一般有所不同而已。
从以上的探讨中我们可以发现，由于构成数学语言的数学符号科学、简洁，而导致数学语言具有不同一般语言的特殊性，也就是具有科学性、简洁性、相通性。对数学语言的研究，不仅能促进数学及数学教育的发展，而且也能对人类精神文明和物质文明的进步起到积极作用。
正因为数学语言是一种特殊的语言,那它在数学教育中也具有重要的作用:
1、掌握数学语言是学习数学知识的基矗一方面，数学语言既是数学知识的重要组成部分，又是数学知识的载体。各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。离开了数学语言，数学知识就成了“水中月，镜中花”。另一方面，数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握，实质是对数学语言的理解、掌握。一个对数学语言不能理解的人是绝对谈不上对数学知识有什么理解的。因此，从一定意义上讲。掌握数学语言是学习数学知识的基础，数学语言教学是数学教学的关键。
2、掌握数学语言，有助于发展逻辑思维能力。
逻辑思维是思维的高级形式。在各种能力中，逻辑思维能力处于核心地位。
因此，培养学生的逻辑思维能力是数学教学的中心任务。语言是思维的物质外壳，什么样的思维依赖于什么样的语言。具体形象语言有助于具体形象思维的形成；严谨缜密、具有高度逻辑性的数学语言则是发展逻辑思维的“培养液”。
3、掌握数学语言是解决数学问题的前提。
培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，是数学教学的最终目的。“对一个问题能清楚地说一遍，等于解决了问题的一半。”解决问题的过程是一个严密的推理和论证的过程，正确地理解题意，画出符合要求的图形。寻找已知条件，分析条件与结论之间的关系，有关知识的映象，解题判断的形成，直至解答过程的表述等，处处离不开数学语言。
4、掌握数学语言，有利于思维品质的形成。
数学语言的特点决定了数学语言对思维品质的形成有重要作用。严谨、准确是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”；清晰、精练对培养思维的独立性与深刻性有特效。
5、掌握数学语言，能激起学习数学的兴趣。
数学的语言美具有自己的特点，它是一种内在的美，表面显得枯燥乏味，其实却蕴藏着丰富的内涵。充分理解、掌握它，就能领略其中的微妙之处，感受其中的美的意境，从而激起学习、探究的兴趣。
数学语言作为一种表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体，包含着多方面的内容；其中较为突出的是叙述语言、符号语言及图形语言，其特点是准确、严密、简明。由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常成为数学教学的难点。一些学生之所以害怕数学，一方面在于数学语言难懂难学，另一方面是教师对数学语言的教学不够重视，缺少训练，以致不能准确、熟练地驾驭数学语言。
接下来根据数学语言的特点及数学要求，谈谈教学中的实践与认识。
首先，注重普通语言与数学语言的互译普通语言即日常生活中所用语言，这是学生熟悉的，用它来表达的事物，学生感到亲切，也容易理解。其他任何一种语言的学习，都必须以普通语言为解释系统。数学语言也是如此，通过两种语言的互译，就可以使抽象的数学语言在现实生活中找到借鉴，从而能透彻理解，运用自如。“互译”含有两方面的意思：一是将普通语言译为数学符号语言，也就是通常所说的“数学化”，例如方程是把文字表达的条件改用数学符号，这是利用数学知识来解决实际问题的必要程序。二是将数学语言译为普通语言。数学实践告诉我们，凡是学生能用普通语言复述概念的定义和解释概念所揭示的本质属性，那么他们对概念的理解就深刻。由于数学语言是一种抽象的人工符号系统，不适于口头表达，因此也只有翻译成普通语言使之“通俗化”才便于交流。
其次，注重数学语言学习的过程，合理安排教学
数学概念和数学符号的形成一般包括逻辑过程、心理过程和教学过程三个环节。逻辑过程能够揭示概念之间的各种逻辑关系，便于对数学结构从整体上理解，有助于学生对数学本质的理解与认识。心理过程是指学生从学习数学语言到掌握数学语言的过程，这种过程往往是因人而异。数学符号和规则从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实。学生只有在理解数学语言的来龙去脉及意义，而且熟练地掌握他们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对它们进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程则是教师具体对某个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程，教师在教学中要善于驾驭数学语言。
1．善于推敲叙述语言的关键词句。
叙述语言是介绍数学概念的最基本的表达形式，其中每一个关键的字和词都有确切的意义，须仔细推敲，明确关键词句之间的依存和制约关系。例如平行线的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的关键词句有：“在同一平面内”，“不相交”，“两条直线”。教学时要着重说明平行线是反映直线之间的相互位置关系的，不能孤立地说某一条直线是平行线；要强调“在同一平面内”这个前提，可让学生观察不在同一平面内的两条直线也不相交；通过延长直线使学生理解“不相交”的正确含义。这样通过对关键词句的推敲、变更、删简，使学生认识到“在同一平面内”、“不相交的两条直线”这些关键词句不可欠缺，从而加深对平行线的理解。
2．深入探究符号语言的数学意义。
符号语言是叙述语言的符号化，在引进一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的具体模型，形成一定的感性认识；然后再根据定义，离开具体的模型对符号的实质进行理性的分析，使学生在抽象的水平上真正掌握概念（内涵和外延）；最后又重新回到具体的模型，这里具体的模型在数学符号的教学中具有双重意义：一是作为一般化的起点，为引进抽象符号作准备，二是作为特殊化的途径，便于符号的应用。
数学符号语言，由于其高度的集约性、抽象性、内涵的丰富性，往往难以读懂。这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力，善于将简约的符号语言译成一般的数学语言，从而有利于问题的转化与处理。
3．合理破译图形语言的数形关系。
数学课堂上创设情境，有利于激发学生的学习兴趣、激活学生的思维，有利于突出知识的发生过程，“掐头去尾烧中断”的教学正在逐渐减少，创设数学情境正受到越来越多教师重视，但在实际教学过程中也有不尽如人意的地方，因此，避免数学课程改革的新误区，落实务实高效的课堂教学是当务之急.
7.1走出情境创设误区，避免两个极端
极端一认为教学不需要情境.我国的基础教育课程改革正在如火如茶地展开，但是传统教育观念根深蒂固，受教育评价制度，高考指挥棒，以及家长对孩子学习成绩的迫切要求的影响，有的教师重新又回到应试教育的现实中去了.有的教师只把教学情境当作点缀，作为课堂教学的摆设，在教学活动中谈的是探究教学，但操作的是应试教学，备的是启发式教学，上的是灌输式教学，出现了一种课改的扭曲现象.极端二认为无情境不教学.在新一轮课改中，有的教师由于对情境创设的认识上的偏差，认为情境创设每节课都需要，提出无情境不教学.教学的各环节都精雕细琢，每一个问题都力求有新意，每一个教学步骤都希望有出其不意的效果，结果不顾教学内容，不讲实效，教学为了情境而情境，在课堂上不同程度出现了赶时髦的现象，使情境创设走向了形式化趋向.表现为:(l)情境创设过分依赖多媒体，一切以多媒体为中心，追求课件的“花哨”，结果让学生视觉疲劳，眼花缭乱，学生长期处于各种图画的诱惑下，习惯了感官刺激而懒于思考甚至变得不会思考，同时也削弱了情境应有的作用，忽略了对知识的掌握.(2)课堂小组合作学习表现为无价值的讨论，闪电式的讨论和目标不明确的讨论.一些小组合作表面上是学生全员参与，而实际是一盘散沙，纯粹为合作而合作.这些合作学习，看似把学生作为学习的主体，实际上学生己成为教师操纵的木偶.这样的情境不是从学生的发展需要出发，不能促进学生认知的深化，更谈不上情境创设的实效.(3)有的教师以频繁、思维含量低的提问代替情境创设，提问由于缺少精心设计而不能激发学生的思维，升华学生的思维能力.(4)有的智力游戏、知识竞赛等活动与课堂内容毫不相关，由于一味追求课堂的趣味性，完全变成了活跃课堂气氛的工具，教学内容的外包装，其实质是忽视了学生的认知点，忽视了学科性，也忽视了对学生双基的培养和训练.这些不良倾向如不加以纠正，新课程理念的落实将成为一句空话.
7.2投身课程改革，切实转变教学观念
数学情境的创设方法很多，如何更好地结合数学教学的特点，针对各种课型，各知识块创设更有效的教学情境，如何增加情境化的教学内容的知识承载量，如何在课堂教学中妥善安排各种教学情境的主次地位，培养学生的创新思维，如何将情境教学与其它教学方式有机融合，如何梳理数学情境资源，需要我们不断的探索、总结和自身知识的不断丰富，需要我们对生活的热爱和对教育事业的热情.教师必须转变陈旧、落后的教育观念，树立符合新课程改革需要的新理念，具备新课程实施所需要的新技能，优化数学教学课堂，优化学生认知结构，由只重视知识的传授与各种能力的单项训练转向注重学生的全面发展.
7.3情境的创设与情境的展现都不能脱离教学实际
课堂教学要着眼于学生实际和教学实际，要考虑到因材施教的原则.情境的创设与情境的展现是统一的，创设是展现的基础，展现是创设的目的.它们是同一过程在不同阶段的具体表现.如果不考虑展现只是盲目的去创设，那自然会违背教育原则和数学教学的特点.教学是一门艺术，它更是一门科学.教师要依教材内容、难易程度、学生接受水平以及教材前后的关联而选用创设情境方式.创设情境应有利于教师“搭桥”，学生“过桥”，符合学生认知结构.如关于对称的学习，在小学、初中和高中都有相关的内容，但学习时侧重点显然应有所不同.但是，在实际教学中，教师们几乎都采用了相同的方法，利用多媒体技术在大屏幕上呈现形形的对称图形让学生观察.不同阶段的学生对于对称的认识和体验是不同的，是不是都必须呈现大量图形或进行演示，学生刁‘能够理解对称的含义和不同对称的特点呢?如果要演示，应该演示什么?要达到什么目的?这些问题应该在创设情境时都需要考虑.小学生的动手能力强，发言踊跃，如果对他们讲对称图形，与其在大屏幕上反复呈现各种对称图形，还不如让他们自己举例或动手折叠，那样获得的体验可能比仅观看大屏幕要深刻得多.初中生学习对称，对轴对称和中心对称特点理解还很不到位，如果教师在呈现很多对称图形的同时，能动态演示不同对称的翻转或旋转过程，将对学生加深对不同对称特点的理解有很大帮助，在高中函数的奇偶性教学时，教师如果再对学生直观演示大量对称图形，或让学生动手折叠，这对他们而言就没有多大意义了.此时学生的抽象思维能力己经达到了一定水平，他们不需要借助多媒体观察对称图形，也不需要动手折叠，就已经完全可以理解不同对称的含义和特点了.过多的、缺少挑战性的生活情境问题反而不能激发学生的求知欲望数学发展史表明，数学一方面来自外部，即现实社会发展的需要，另一方面源于内部，即数学自身发展的需要，如果把情境创设片面理解为情境的生活化，一味追求数学与生活的联系，而使数学淡化，那将是对数学情境教学的一大误解.有些已经解决过的数学问题完全可以看着新问题的一个情境，而不应该让情境生活化的思想框住自己的手脚，使情境创设僵化.
7.4教材应为教师创设情境提供丰富的素材
随着课程改革进程的加快，在数学课堂教学中创设数学情境，正得到不断地充实和完善，它的效果也在不断地呈现出来.但是，教师因为时间、精力、经验的不足，理解的偏差，在新课程数学教学中，对情境创设的探索与实践还不够充分，还有很多值得研究的地方，要创设一个恰当情境并非易事.因此，有关专家在教材编写时，如果能为教师配备可供灵活选择的情境素材，如课件、教具模型、背景知识等，供一线教师教学时参考，这样将便于教师创设情境，推动情境教学的健康发展
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我们的教育过分的把学习强调是任务，是使命，而忽视学习乐趣的做法是不可取的，这会给学生带来太大的压力。而兴趣，就如燃烧，可谓“星星之火，可以燎原”，它能诱使我们主动地去学习新的东西。数学家韦尔斯十年磨一剑攻克费尔马大定理，就是从小就迷上了这个世界难题。物理学家弗里希“科学家必定有孩童般的好奇心。要成为一个成功的科学家，必须保持这种孩提时的天性。”关键要激发学生的学习兴趣。
第一，建立和谐的师生关系，激发学习兴趣。“感人心者先乎于情”，教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们，爱护他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的困难。作学生的知心朋友，使学生对老师有较强的信任感、友好感、亲近感。当教师的情感灌注在教学内容中，激起了学生的学习情感时，学生就能够更好地接受教师所教的数学学科上了。达到“尊其师，信其道”的效果。和谐的师生关系，能产生情感期待效应，使每个学生都感受到教师的期待，教师对学生深切的爱，从而激发学生强烈的求知欲望，每一节课，教师要满腔热情，让学生从教师的“精神”中受到激励，感到振奋；要热爱关心每一个学生，尊重学生，使每个学生都感到“老师在期待我”，提倡“微笑教学”要用自己的眼神、语调、表达对学生的爱，创设一种轻松愉悦的课堂气氛。
第二，重视教学艺术的研究，激发学习兴趣。“学生的心理活动处于主动、活跃的状态，在轻松愉快的气氛中才会更有效地掌握知识”，引导学生积极参与探索知识的奥秘是激发学生学习兴趣的途径之一。正因为如此，教师必须明确学生的主体地位，在教学上要开动脑筋，不能拘泥于自己固有的教学风格,被老思路,老方法给束缚,从而陷入僵化的教学模式中。要知道教无定法，然不可无法，一成不变的风格，尽管能使学生少一种适应的过程，却也使学生少了一份新鲜感，长久，会使课少几分吸引力。高明的老师会根据需要，在不同的时候，采用不同的教学手段，不断改变自己的教学方法。同时不断探索研究，为学生度身量体，设计新的教学方法。我们有怎样的学生，决定了我们必须有怎样的教学方法。针对学生的学习习惯和学习思维的不足，课堂上我更多采用的是问题教学法、启发分析式教学、讲练结合法，并依据课堂的实际情况灵活运用。经过多年的教学摸索和研究，我总结出自己的教学指导方针：低起点，高要求，面向全体，突出个体。奠定了“充分暴露学生和教师的思维轨迹，通过双边关系，让思维碰撞出智慧的火花”的教学思路，在我的不知不觉的教学示范下，灵活的教法对学生的思维方法和学法起到了潜移默化的影响。重在引导，妙在开窍，教之以法，施之以练，学生逐渐领悟到学习数学的要领和表达知识技巧。让学生从您的课上感觉到学数学的乐趣。
第三、体验数学美感,培养学生的兴趣。在教学中让学生在学习数学的过程中感受数学的美感，从理论教学中，体验逻辑的缜密性，体会探究的乐趣，从实践活动中，感受数学的实用之美。初等数学中的线段的“黄金分割”比例为0.618：1,人们在探索自然美以及艺术美的过程中发现“黄金分割”之比具有一种悦目之美，和谐之美。平面几何中的三角形的重心内分中线为2：1，立体几何中的正四面体的重心内分高为3：1，这也是一种和谐美；数学公式都是那么简洁，整齐，和谐，等等都使人产生美感。生活中大量的图形有的是几何图形本身，有的是依据数学中的重要理论产生的，也有的是几何图形组合，它们也具有很强的审美价值，在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美，给学生最大的感知，充分体会数学图形给生活带来的美。在教学中尽量把生活实际中美的图形联系到课堂教学中，再把图形运用到美术创作、生活空间的设计中，产生共鸣，使他们产生创造图形美的欲望，驱使他们创新，维持长久的创新兴趣。
第四、让数学文化滋润学生的心灵，培养学生学习兴趣。体验数学是一种文化。我国古代的河图洛书就是数的“方阵”，《易经》中的卦象都用数来表示，我国古代兵书中的“运筹帷幄，决胜千里”中的筹就是数码。数学在其发展各个时期就与人类的生活及社会活动有着密切的关系，解决着各种各样的问题。教学中结合学习内容讲述数学发展的历史和历史上数学家的故事，象数学理论所经历的沧桑，数学家成长的事迹，数学家在科技进步中的贡献，数学中某些结论的来历，既可以了解数学的历史，丰富知识，又可以增加学生对数学的兴趣。诸如讲圆周率时，讲一讲祖冲之的成就；讲黄金分割时，介绍一下华罗庚的故事；在乘方概念引入课上，说一说印度国王想奖励国际象棋发明者，却给不出奖品的故事；八岁的高斯发现了数学定理；小欧拉智改羊圈；金冠之谜等等。通过数学史的学习，不仅可用数学家的勤奋治学精神激励学生努力学习，而且还帮助学生了解数学公式、概念等理论的创始与发展过程，特别是数学思维方法的形成，从而培养学生的兴趣。
目前世界上许多国家和地区都把培养学生的情感态度与自信心作为教育的一个目标，以此促进学生运用数学解决问题的动力与能力。数学的发展历史表明，许多辉煌的成果的取得，往往来源于敏锐的数学直觉、惊人的想象力及追求数学美的思想。所有这些都表明：数学能力不仅包括对知识的掌握，更离不开丰富的情感因素。美国心理学威廉•詹姆士通过研究发现，一个没有受到情感激励的人，仅能发挥其能力的20-30%，当他受到情感激励时，其能力可以发挥到80%-90%，也就是说，同样一个人在通过充分情感激励后，所发挥的作用相当于激励前的3-4倍。20世纪90年代，我国的基础数学教育已取得了丰硕的成果，在国际比赛中常常摘金夺银，但是我们必须看到“高分下的危机”，诺贝尔科学奖伴随着20世纪走过了百年历程，已成为全人类科学事业中最高荣誉，不愧为世纪辉煌！但迄今为止，尚无一位中国人获此殊荣。我们的数学“尖子”人材在科学研究中取得的创造性成果也并不多，这一现象与数学教学中不注重数学的兴趣、应用性是分不开的。这些缺陷，恰恰表现在学生缺少数学的直觉意识、想象能力、审美能力等情感因素。以往的精英教育模式把数学作为一个筛子，更多的是起到选择与淘汰的作用，其结果是导致一代又一代的年轻人对数学学习失去兴趣，很多人以一种被淘汰的心态走向社会，这种心态会影响他们一生的发展。因为，在新课改中数学的感情教育就显的尤为重要。
二、新课改如何培养学生的数学情感
首先是加强数学教师自身的情感修养。教师情感生活的核心是热爱学生，从某种意义上说，一个不热爱学生的教师永远不可能成为优秀教师。如果教师讨厌数学，学生便毫无例外地讨厌数学，这揭示了教师对数学的情感会耳濡目染地影响学生对数学学习的情感。在新课改的今天，要让学生的情感的健康发展，教师一方面要加强自身的情感修养，注意学习新的课程理论，学习教育学、心理学，加强艺术、文学等方面的修养，以丰富自己的情感。教师要把自己的真实情感，融化在教育教学中，自然而然地感染给学生，这样才能使学生受到无形的激励。另一方面数学课改强调要开展探究性学习，非常适合情感教育的需求。探究性学习重在增强学生学习的主动性，培养学生的责任感，在探究的过程中，学生体验复杂的情感历程，以情感为动力，解决问题，完成课题。比如学了“概率统计”知识后，让学生统计一下自己家庭近几年收入与开支情况，统计班上同学家购置手机、电脑的数据，制成统计图或统计表，与前两年作比较，分析数据增长的原因，让学生感受到随着时代的发展，生活水平大幅度提高，科技发展突飞猛进，从而激励学生更加努力地学习，也体验到数学的价值以及学习数学的成功和自信。
其次是加强情感投资，贵有爱心。作为一名数学老师，自己对数学的情感会潜移默化的影响到学生对数学的情感。教师应热爱自己的学科，应有严谨的教学态度，并有发自内心的对数学的感情和思维，把讲数学课当成是一种享受，那么对于你的学生而言，很自然的也会去爱数学，把听你的数学课当成一种享受。积极健康的情感的核心是爱，爱是营造轻松和谐的课堂的基石。每个学生都想得到老师的爱，每个学生都应该拥有老师的爱，老师的爱是和风细雨，能滋润学生的心田。老师的爱是催化剂，能激发学生更加积极的参与到学习活动中。教师爱学生，应该包括对学生的关心、信任、欣赏、宽容、尊重和严格要求等。宽松和谐的课堂，教师应该对每一位学生都充满爱心，爱得自然，爱的真切，爱得投入，爱得心甘情愿。正如赞可夫所说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的心理需要，这种教学法就会变得高度有效。”
三、新课改培养数学情感中注意的几点
在新课改的教育状况下，结合数学素质教育的需要，培养学生的数学情感应变被动为主动，激励学生自己去发现问题、解决问题。由于情感因素具有非理性、非逻辑的特点，其教育方式也是没有模式化的，好多情感是以渗透为主的。
初中数学是基础数学，也数学的入门时期，有很多时候学生学数学很苦，也很被动，教师教得更苦，这种局面，即使对应试教育也是不利的，情感教育的任务之一，就是要设置这样一个环境：学生能体会到数学的趣味性，通过与教师主动的情感交流，达到对数学学习具有主动的和旺盛的学习动机，要想方设法变学生“要我学”为“我要学”。
随着课改的深入，为了培养学生的数学情感，对学生进行赏识、表扬是一种最廉价、最常用的激励方法，受到老师们的重视，而对批评这一基本教育方法采取非常慎重的态度，不少教育家们也呼吁要推行赏识教育，对学生多表扬，少批评。其实，新课程强调对学生的尊重、赏识，但并不意味着对学生要一味表扬。在一些课堂上，经常有一些教师对学生取得的一点成绩随意性地大夸其辞：“你很聪明”、“你回答得最好”，这种过多的“廉价”奖励过分注重形式，缺乏激励性，甚至会误导学生，以为自己的答案真的很好而沾沾自喜，听不进不同意见，还可能导致学生浅尝辄止，不再深究。不论是采取何种评价，都要注意了解学生的内心体验，把握一定分寸，使评价符合实际，让学生心悦诚服，这样就会激发他们去努力扬长避短，使评价成为学生成长的“驱动器”。前苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“情感如同肥沃的土地，知识的种子就播种在这个土壤上。”可见，积极的情感是师生共同完成教学任务不可缺少的心理因素。
总之，在初中数学教学中的情感教育，对数学教学起着事半功倍地效果。只有数学教学更加符合素质教育的要求，更加贴近新课改的标准，不断提高情感教育的效益，通过情感教育更有效地提高初中数学课的教学质量。只有这样，我们才能将21世纪的教育真正落到实处。
参考文献：
［1］崔慧敏.素质教育下的初中数学教学［J］.教学交流（下半月）.
［2］盛小东.初中数学素质教育的探索［J］.校长阅刊，2007，(12).
［3］董书平.论初中数学教学与素质教育［J］.教苑荟萃，2008，(18).
［4］张俊红.素质教育与初中数学教学［J］.中国教研交流，2008，(4).
一、小学数学研究性学习的意义和目的
《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲》阐明了数学的重要作用：“数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具。它在日常生活、生产建设和科学研究中，有着广泛的应用。因此掌握一定的数学基础知识和基础技能，是我国公民应当具备的文化素养之一。”又指出：“小学数学是义务教育的一门重要学科。从小给学生打好数学的初步基础，发展思维能力，培养学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，对于贯彻德、智、体、美全面发展的教育方针，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义公民，提高全民族的素质具有十分重要的意义。”
小学数学教学要求我们以唯物辩证法为指导，理论联系实际，使学生在掌握基础知识的同时，发展智力，培养能力，激发学生学习数学的兴趣和求知欲，充分调动学生学习的积极性和主动性，小学数学的研究性学习则是在教师的指导下，是学生自己发现问题，带着问题运用观察、比较、分析、判断、推理等研究手段自己获取新的知识，使问题得到解决的一种学习活动。这种学习能有效地提高学生学习的兴趣，提高学生数学逻辑推理的思维能力，提高学生问题解决的策略能力，从而达到小学数学教学的目标要求。
施良方教授在《教育理论：课堂教学的原理、策略与研究》一书提到“广义的知识包括两大类：一类是陈述性知识，即‘知什么’；另一类是程序性知识，即‘知如何’，它包括理智技能和认知策略，此外还包括动作技能中的认知成分。”程序性知识中的智慧技能、认知策略的形成则是研究性学习所要达成的目标，尤其是认知策略，学生只有通过自己学，才能掌握有意注意，思维，记忆等过程的技能。使学生学会学习，只有在教师的指导下，学生对学习材料通过自己的研究性学习，才能在学习的过程中不断地领悟认知策略，才能逐步地掌握怎么学，才能使他们能够在走出学校之后，不断地有效地学习。
数学教育的核心是问题的解决。伟大的数学家希尔伯特说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。……数学研究也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”小学数学的研究性学习正是要引导学生去发现他所未知的问题，通过数学手段来解决问题，且能用数学解决问题的策略迁移到其它问题的解决上。小学数学习题的研究性学习，既要注意生活实际中显示的数学问题，更要注意一些有一定研究价值的体现数学方法的习题。如小学数学中的行程问题，小学生学习后可能今后再也不可能碰到这样的问题，那么这类问题有否研究价值呢？学习研究解决行程问题，恰是一种程序性知识的学习。研究这类问题将会告诉我们：如何从问题出发，寻找解决问题的条件，如何利用已有的条件探索条件之间复杂的隐含联系，从而创造出更新更直接的条件建立数学模型解决问题。这种问题解决策略正是通过对各种数学习题的研究性学习才得以形成。发现问题，研究问题，构建解决问题和认知策略，这就是小学数学研究性学习的目的和意义。
二、小学数学研究性学习的内容
研究性学习可以分成形成型研究性学习，应用型研究性学习等等。小学数学研究性学习的内容大致也可以有这几种。
数学新知识、新概念的学习与形成如果与学生已有的认知结构与具体经验很接近，即处于学生的最近发展区，这部分的学习内容可以作为研究性学习的内容。如：小数乘法的学习。学生已有整数乘法运算的知识与技能，小数乘法的计算方法的学习完全可以在教师的指导下完成。教师可以先让学生观察在整数乘法中，因数扩大或缩小和积扩大或缩之间的倍数关系，那么如果小数因数去掉小数点变成整数后计算得到的积和原来的积有什么关系呢？让学生思考研究。经过多题的比较研究，学生可明白因数扩大若干倍积也扩大相同的倍数，如果小数乘法变成整数乘法来计算，积扩大了若干倍，要恢复成原来的积，只要把扩大的积缩小相同的倍数即可。教师继续可引导学生去观察：小数乘法中积的小数位数与因数的小数位数之间的联系，找找规律，找找原因，学生就能得到小数乘法的计算法则。再如：学习三角形面积的计算，教师给出一个三角形图形，请学生量量算算它的面积大小，学生可能会用各种方法来试图计算它的面积大小，如用画方格的方法等。教师可以再给出一个完全一样的三角形，让学生想办法，看能不能用这两个完全一样的三角形，不用画方格的方法来计算出其中一个的面积。能不能用已学过的平行四边形面积计算的方法试一试，学生经过讨论、试验，会试图把这两个三角形拼成一个平行四边形，再测量出平行四边形的底和高的长度，并会发现这样一个三角形的面积恰好是拼成的平行四边形面积的一半，并计算出平行四边形的面积除以2就是等底等高三角形的面积。虽然拼的方法不同但计算的结果都一样，这样就顺理成章地推导出三角形面积的计算方法。象这类举不胜举的数学基础知识和概念的形成性学习材料，都可以作为小学数学形成型研究性学习的内容。
目前小学数学教学中教师普遍重视知识与技能形成性的研究性学习，而对另一种更重要的研究性学习，即问题解决的研究性学习或应用型的研究性学习却没有引起足够的重视。小学数学教学中对数学习题的知识功能较重视，而对它的教育功能不够重视，数学习题的解答往往停留在简单模仿的水平上，没有认识到数学习题是一个载体，通过解答数学习题可使学生的思维活动有一定水平的目的性、方向性、确定性和辨别性，从而成为培养学生良好的思维品质的重要工具。在数学习题解答的研究性学习中，有的放矢地转化解题方法，从一种途径转向另一种途径可以培养思维的灵活性。坚持数学运算速度的要求，同时使学生掌握合理的运算技巧和探索问题的方法，可以培养学生思维的敏捷性。分析数学习题条件的实质，以及条件之间的相互联系，发现其中的隐含条件，可以培养学生思维的深刻性。善于发现问题，提出质疑，及时摒弃自己的错误，可以培养学生思维的批判性。在解题中引导学生重视常规而又不墨守成规，寻求变异，从多角度，全方位考虑问题，可以培养学生思维的广阔性。在解题中鼓励学生主动地、独立地、别出心裁地提出新方法、新见解、不因循守旧，不迷信权威，善于联想、善于类比、可以培养学生思维的创造性。研究解答好思维性强的习题使学生得益匪浅。
如学生学习了分解质因数知识后，可以出这样一道题，两个整数的积是144，差是10，这两个整数分别是几？学生可能会把乘积是144的两个整数都找出来列成一表：
123468912
14472483624181612
这样可发现只有18与8是相差10，则18与8即是本题的答案。如果进一步提出还有没有别的方法可以解决这个问题呢？经过研究，可得到这样的一个结论，如果两个整数的积相等，那么这两个整数所含有的质因数的种类与个数完全一样，知道两个整数的积，只要把积所含有的质因数进行重新搭配，就能找出各种各样的乘法算式，如果因数是整数，则这些乘法算式的个数是有限的。同学们还会根据这个结论去编出很多相关的应用题。这样就把分解质因数这样一个数学知识巧学活用了。
再如学生学习了正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算方法后，让学生去研究这样一道题，由两个正方形组成的如图所示的图形，只知小正方形的边长为6，求阴影部分三角形的面积，开始学生会觉得很简单，因为它与知道两个正方形边长的题目很相似，再仔细一看，发觉缺少一个条件，即缺少大正方形边长，于是陷入一种困惑。
这时，不妨让学生试一试凭直觉你觉得面积应是几？很多人会猜是18！那么为什么呢？不妨再让学生去假设大正方形边长为已知条件，长度可以随意定，让学生去计算阴影部分面积，于是大家发现结果惊人的一致，都是18。这又是为什么呢？学生可以肯定阴影部分面积与小正方形有密切关系，而与大正方形没有多大的关系。此时让学生去观察三角形AEF与梯形CBEF的大小，有没有办法证明是一样大。再观察三角形AHB与三角形CHF的大小关系，会发现这里有一个等量替换的关系而恍然大悟。象这样：猜想----假设----验证----推理的研究过程将会激发学生极大的学习兴趣，也可能悟出一些问题解决的策略。要使数学习题成为小学数学的研究性学习的内容，仅依靠现有的教材是不够的，需要我们教师不断地根据学生的知识现状与能力去创造，从而使数学习题的教育功能得到充分体现。当然这部分研究性学习的内容并不是每个学生每一次都能得出研究的结果，因此在内容的选择上，应该从易到难，从简单到复杂，而且要强调研究性学习中团队合作的精神，一个人想不出不等于大家想不出，一个人在一个问题中思考研究出一个方面，群体就可以解决一个较难的问题。数学习题的研究性学习是一个很重要的内容，必须引起我们数学教师，尤其是小学数学教师的关注。
三、小学数学研究性学习的策略
[1][2]
在课堂教学的改革中，在对有意义的接受性学习研究的同时，研究性学习越来越受到大家的重视。小学数学的研究性学习主要是通过学生自己的研究去发现认识数学知识，或利用数学知识去解决实际问题。因而在小学数学研究性学习中一般采用这样一些策略。
第一，教师要准备可供研究的材料，要根据儿童的心理特征设计内容，抽象逻辑思维也具有很大成分的具体形象性的特点，教师要设置问题情境，引导学生观察各种数学现象或数字的显著特点，并逐步缩小观察范围，把注意力集中于某个中心点。教师提供材料开始都应该是直观形象的。
第二，直观形象的材料要让学生经过实际操作，动手算算、划划、分分、拼拼，引导学生提出假设，适时提出问题，引起学生思考、分析、比较，对各种信息进行转换与重新组合，以事实为依据来验证假设，并且不断地对假设进行修正和完善，以推导出概括性的结论。
第三，教师在整个研究过程中，要帮助学生理清思维过程，并能用比较清晰的、有条理的语言来表述整个思考与研究过程，这样有利于学生通过研究获得新知识与认知策略，并纳入到自己的认知结构中。
第四，教师还可以提供相类似的材料，以便学生将研究所获得的结论或方法，运用于新的问题情景中，使其得以巩固和深入，形成问题解决策略的迁移能力。
第五，教师要适当地组织学生分组，最好能按学生学习能力的强弱交叉分组，发挥互补优势，以体现互助合作精神。
下面仅以一例，说明以上策略的应用。教师给出一个问题解决的材料，现在有一个比萨饼，如果切10刀，最多能切出多少块大大小小的比萨饼。（这个问题适宜于中、高年级的学生思考）。教师可先引导学生去画一个大圆代替比萨饼，然后用直线代替切刀，先试切一刀，二刀，三刀……等等，学生动手操作，最后结论可能是不同的！切一刀，都是二块；切二刀，就有三块、四块之分；切三刀；更有四块、五块、六块、七块等多种答案。教师应及时提醒学生介绍他是如何切的。学生可能一开始也不是能切出7块的，可能也是4块与5块，但他及时注意到了问题的特殊要求，再继续尝试，结果切出7块。这时教师要让学生分组讨论，让他们讨论切4刀怎么样？怎样切才能使分成的块数最多。经过讨论，学生会得出这样的假设，如果以直线代替刀，则要使每两条直线都相交，并且交点不重叠，才有可能分出最多块。然后再让学生试5刀、6刀，这时学生会发现第5条直线、第6条直线已经很难画上去，圆也越画越大。教师可适时提出，我们能不能对已研究得出的结果排列出一张有序的数据表，来思考一下其中的规律呢？结果形成这样一张表。
观察结果，学生会发现前一个块数加上后一个直线条数，即是后一个分成的最多块数。这样就很顺利地推导出切5刀，切6刀，甚至切10刀的块数。学生的研究性学习获得了第一个成果。教师这时应提出更高的要求，提出更新的问题。如果要切49刀，50刀等，这样推算是不是太麻烦？能不能找出2，4，7，11，16……这样一串数与1，2，3，4，5……之间的关系，找找有什么规律性的东西，学生分组讨论研究，在小组讨论的基础上，由小组代表发言，形成大组讨论的形式，最后能推导出一个计算公式：（刀数＋1）×刀数÷2＋1＝块数，然后再进行逐个数据的验证，证明是切实可行的。这样就完成了一个完整的研究过程，取得了研究成果的高级形式----直线分割平面的方法和计算。最后还需请几个学生用完整的语言叙述整个研究的过程以及其中的思维活动，以利于学生构建认知结构与问题解决的策略。这样一个从形象到抽象，从具体到一般，再回到具体的研究思维过程。是源于教师在其中的指导作用是参谋而不是主谋，到位而不越位。
四、小学数学的研究性学习和接受性学习
小学数学的研究性学习优点是明显的。
第一，促进智力的发展。通过学生自己的发现、研究去学习，可以使学生按照促使信息更迅速地用于解决问题的方式去获得信息。
第二，激发学生的学习兴趣。学生体验到研究中的乐趣，从而将学习的外部动机转化为内部动机，调动学生学习的积极性。
第三，培养学生掌握问题解决的策略和研究的方法。有利于学生再学习，而这种研究方法的雏形对将来进行科学探索和研究具有十分重要的价值和迁移作用。
第四，提升学生记忆品质。学生自己研究得到的成果，会把整个研究过程形成的记忆产生丰富的“再生力”而长期保持下去。
但是研究性学习也有其明显的局限性：第一，通过研究性学习来掌握知识，效率较低。第二，研究性学习有一定的适用范围。第三，研究性学习要求学生具备相应的实践经验。对于小学生来说，如不能实践操作的，就不能建立有效的假设，那么研究的结果就变成一种盲目乱猜，变成一种形式主义。第四，一个人不可能只凭发现、研究去学习，没有扎实的知识基础，任何研究都是不现实的。
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