五年级线上教学教案
授课学科： 数学
授课内容： 《因数与倍数》
授课日期： 2020年4月10日
一、教学目标：
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系，掌握找一个数的因数和倍数的方法。
2.在探究的过程中体会数学知识之间的内在联系，在解决问题的过程中培养学生思维的有序性和条理性。
3.培养学生的探索意识以及热爱数学学习的情感。
二、教学重、难点：
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系
2.掌握找一个数的因数和倍数的方法
三、准备教学：
教学课件
四、教学过程：
（一）创设情境，引入新课
人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是？
（父子、母子、母女关系）我和你们的关系是？（师生关系）
在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这节课，我们一起研究两数之间的因数与倍数关系。
（二）探究新知-理解因数和倍数的意义
教学例1：
1．观察算式的特点，进行分类。
（1）仔细观察算式的特点，你能把这些算式分类吗？
（2）交流学生的分类情况。（预设：学生会根据算式的计算结果分成两类）
第一类是被除数、除数、商都是整数；第二类是被除数、除数都是整数，而商不是整数。
2．明确因数和倍数的意义。
（1）同学们，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷6=2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
（2）在第一类算式中找一个算式，说一说，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（3）强调一点：为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
3．理解因数和倍数的依存关系。
（1）独立完成教材第5页“做一做”。
（2）我们能不能说“4是因数”“24是倍数”呢？表述时应该注意什么？
4．理解一个数的“因数”和乘法算式中的“因数”的区别以及一个数的“倍数”与“倍”的区别。
（1）今天学的一个数的“因数”与以前乘法算式中的“因数”有什么区别呢？
课件出示：
乘法算式中的“因数”是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数、分数；而一个数的“因数”是相对于“倍数”而言的，它只能是整数。
（2）今天学的“倍数”与以前的“倍”又有什么不同呢？
“倍数”是相对于“因数”而言的，只适用于整数；而“倍”适用于小数、分数、整数。
（3）交流汇报。
（三）探究新知-找一个数的因数
教学例2：
1．探究找18的因数的方法。
（1）18的因数有哪些？你是怎么找的？
（2）交流方法。
预设：方法一：根据因数和倍数的意义，通过除法算式找18的因数。
因为18÷1=18，所以1和18是18的因数。
因为18÷2=9，所以2和9是18的因数。
因为18÷3=6，所以3和6是18的因数。
方法二：根据寻找哪两个整数相乘的积是18，寻找18的因数。
因为1×18=18，所以1和18是18的因数。
因为2×9=18，所以2和9是18的因数。
因为3×6=18，所以3和6是18的因数。
2．明确18的因数的表示方法。
（1）我们怎样来表示18的因数有哪些呢？怎样表示简洁明了？
（2）交流方法。
预设：列举法，18的因数有：1，2，3，6，9，18。
集合图的方法（如下图所示）。
3．练习找一个数的因数。
（1）你能找出30的因数有哪些吗？36的因数呢？
（2）怎样找才能不遗漏、不重复地找出一个数的所有因数？
（四）探究新知-找一个数的倍数
教学例3：
1．探究找2的倍数的方法。
（1）2的倍数有哪些？你是怎么找的？
（2）想方法：利用乘法算式找2的倍数。
因为2×1=2，所以2是2的倍数。
因为2×2=4，所以4是2的倍数。
因为2×3=6，所以6是2的倍数。……
（3）2的倍数能写完吗？你能继续找吗？写不完怎么办？
（4）根据前面的经验，试着表示出2的倍数有哪些？（预设：列举法、集合图的方法）
2．练习找一个数的倍数。
你能找出3的倍数有哪些吗？5的倍数呢？
（五）我的发现-因数与倍数的特征
举例子，找规律，勾画知识点，读一读。
预设：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。1是所有非零自然数的因数。
（六）智慧乐园
1．在练习本上完成下列填空题。（独立完成后，师订正答案）
一个数的最大因数是17,这个数是( ),它的最小的因数是( )。
一个数的最小倍数是17,这个数是( ),它( )最大的倍数,17的倍数的个数是( ).
一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（ ）。
2.在练习本上完成下列判断题。（独立完成后，师订正答案）
（1）在算式6×4=24中，6是因数，24是倍数。 （ ）
（2）15的倍数一定大于15。 （ ）
（3）1是除0以外所有自然数的因数。 （ ）
（4）40以内6的倍数有12、18、24、30、36这5个。 （ ）
（5）34的最小倍数是34；34的最小因数是17。 （ ）
（6）1.2是3的倍数。 （ ）
（七）全课总结，交流收获
这节课我们学了哪些知识？你有什么收获？
【教学内容】
内容：冀教版小学数学四年级上册第51-52页的《2和5的倍数的特征》
本节内容位于冀教版小学数学四年级上册的第五单元第三个课时，这部分内容在掌握倍数概念的基础上进行教学的。这部分内容将为以后学习3的倍数打下基础，同时它也是学习分解质因数、通分和约分的重要基础知识。因此，掌握本节课的内容至关重要。
【学情分析】
从学生年龄特点看，学生的归纳概括能力还比较弱。而本节课的内容比较抽象,对于四年级的学生来说有一定的难度，因此在讲授这节课时，要鼓励学生从多角度思考问题，调动学生的学习积极性。让学生自己去观察自己去思考。
【教学目标】
1．经历自主探索5和2的倍数的特征的过程。
2．知道2和5的倍数的特征，会判断一个自然数是否是2或5的倍数。
3．积极参与探索活动，愿意与同学交流自己发现的结论，并尝试用语言描述2和5的倍数的特征。
【教学重点】
归纳、概括2和5的倍数特征。
【教学难点】
通过探索2和5的倍数特征，判断一个数是否是2、5的倍数。
【教学准备】
课件、数位表纸片
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、旧知铺垫
1．说出1到30以内2所有的倍数（点名让学生回答）。
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30
二、探索新知
（一）．2的倍数的特征。
1.
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30（30以内的数）
师：同学们，2的这些有倍数有哪些特征？
（用红颜色把个位上的数字强调出来，方便学生更清楚观察出来）
生：这些数的个位上是0、2、4、6、8。
师：那同学们这些数都是什么数？
生：这是数都是偶数。
师：不是2的倍数的数是什么数？
生：不是2的倍数的数是奇数。
2.
师总结：（板书）
2的倍数特征
l
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
l
2的倍数都是偶数，不是2的倍数就是奇数。
3.
课件出示数字卡片；
例一：在1～100的自然数中，找出2的所有倍数，用黑笔圈出来
师：不用计算，谁能快速说出来？并且向大家分享一下你的方法（点名让学生回答）
生：（说出具体数字）我是根据2的倍数特征的得出来的。
（二）5的倍数的特征：
1．师：同学们学完2的倍数特征，我们再来一起探讨一下5的倍数有哪些特征？请同学们拿出练习本，写出50以内5所有的倍数。
师（点名让学生分享自己写出的数）
生：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50
师：这些数字有哪些规律？（把个位上的数字用红颜色表示出来，方便学生观察）
生：这些数的末尾不是0就是5。
2．教师总结：（板书）
5的倍数特征
个位数上是0或5的数都是5的倍数。
3．课件出示数字表
例二，在同一张数字表上（2的倍数已经在例一的时候圈出），圈出5的倍数，
师：提出要求，不计算，快速准确的圈出来，并且分享方法。
生：根据5的倍数特征，快速准确的圈出来。
4．师：同学们，在这张数字表上有哪些数比较特殊？为什么它们同时拥有两个圈？
生：因为它们既是2的倍数，同时又是5的倍数。
（三）2和5共同的倍数特征：
师：这些数有哪些特征？
生：这些数的末尾是0.
师总结：板书
2和5共同的倍数特征：末尾是0。
三、巩固练习，学习课堂检测。
1．圈出2的倍数。
324
693
80
35
77
2．圈出5的倍数
90
99
65
130
521
285
3．说出2和5共同的倍数。
24
35
67
90
99
15
60
75
106
130
521
28
四、进入游戏环节
此阶段共分两个游戏：
第一个游戏：
请四位同学上台，每人拿一个数位，每人说出一个不大于9的自然数，让其他同学判断是不是2的倍数，或者是不是5的倍数。（此游戏主要是加深学生对于判断是否是2和5的倍数时，个位的重要意义。）
第二个游戏：
找三名同学，一名同学出题，一个同学答题，最后一名同学来判断答题人答题是否正确，出题人考察的知识点。（加深学生对知识点的认识）
【作业布置】
课本“练一练”3、4题。
【板书设计】
2和5的倍数的特征
1．2的倍数特征：
1)
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2)
2的倍数都是偶数，不是2的倍数就是奇数。
2．5的倍数特征：
个位数上是0或5的数都是5的倍数
3．个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
总复习
第1课时
因数与倍数的整理复习
【教学目标】
1.
归纳整理“因数与倍数”单元内的有关概念，理解并掌握概念间的内在联系，形成认知结构。
2.
经历数学知识的整理过程，培养观察、分析、比较、概括、判断等逻辑思维能力。
【教学重点】明确各种概念之间的联系和发展，运用所学的知识解决实际问题。
【教学难点】归纳和整理知识点，形成知识网络。
【教具准备】多媒体课件，磁力知识卡片
【教学过程】
一、课前复习
课前板书：因数与倍数
上课的前一天老师布置学生自己整理学习过的与因数倍数有关的知识：
1.要求对每个知识点的意义理解并熟练掌握。
2.把自己的整理写在作业本上。
二、创设情境，导入复习
1.顺承课前对作业的检查，老师板书2,3，4，5，请学生用昨天复习的相关知识来描述这两个数。
2.根据学生的回答，老师适时贴磁力知识卡：自然数、合数、偶数、因数、倍数、奇数、质数、质因数。并请学生分别说出这些数的含义。
三、回顾整理，建构网络
1.初步构建知识网络：
过渡：同学们，怎样整理才能简洁、有序地体现出以上知识点间的联系呢？
引导学生进行思考，然后得出结论：画出知识网络结构图。
（1）分组整理
老师出示整理建议，然后请学生以小组为单位组织学生对知识点进行分组整理。（每组分配一个磁力板和写有知识点名称的磁力知识卡）
整理建议：
1.翻一翻课本，想一想，这些知识点之间有什么联系？
2.用箭头或线条把这些知识点按一定的顺序连起来，形成一个知识网。
（2）交流
①各组把磁力板展示在黑板前，请每个小组的代表说整理思路，小组的其他同学可补充。
②组织学生评价各个小组的整理：你比较欣赏哪个组的整理？为什么？
③结合同学们的评价，师生共同调整刚才的整理，形成一个相对完整、科学的知识网络。
2.二次融入知识网络：
（1）2、5、3倍数的特征
①引导学生回忆2、3、5的倍数的特征，老师贴“2、5、3的倍数”这个知识点。
②指名举例2、5、3的倍数。
③师生共同把“2、5、3的倍数”这个知识点融入上面的网络图。
（2）分解质因数
①引导学生回忆分解质因数的方法，老师贴“分解质因数”这个知识点。
②师生共同把“分解质因数”这个知识点融入上面的网络图。
（3）
公因数，公倍数
①
导学生回忆什么是公因数，什么是公倍数，老师贴“公因数”“公倍数”这个知识点。
②指明举例如何去找12和30的公因数，公倍数。
③在找出12和30的公因数和公倍数的基础上，找出最大公因数和最小公倍数。
④请学生总结出求最大公因数和最小公倍数的方法。
⑤师生共同把“公因数”“最大公因数”“公倍数”“最小公倍数”这些知识点融入到上面的网络图。
3.优化再建：
四、重点复习，强化提高
1.基础知识：
（1）书第106
1题，并稍加修改
1-20的数中。
①奇数有（
）个，偶数有（
）个。
②（
）是质数，（
）是合数。
③既是质数又是偶数的数有（
），既是合数又是奇数的数有（
）。
（2）请你把18分解质因数。
2.
拓展延伸：
（1）（手机密码破译）
我的手机号码：A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
请注意：每个字母代表一个数字
A
——既不是质数也不是合数
B
——5的最小的倍数
C
——8的最大的因数
D
——比最小的合数大1
E
——最小的奇数的3倍
F
——最大的一位数
G
——既是6的倍数又是6的因数
H
——既是2的倍数又是3的倍数
I
——6和10之间的偶数
J
——比最小的质数大4
K
——9的质因数
破译结果：
——————-————---——-——
①小组合作，共同破译老师的手机号密码。
②指名订正
（2）填质数游戏
4=（
）+（
）6=（
）+（
）
8=（
）+（
）
10=（
）+（
）12=（
）+（
）
……有思考吗？哥德巴赫在300年前就有这样的思考了！
是不是所有的大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？
哥德巴赫猜想
100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？这就是“数学王冠上的明珠”。当然，这些只是“哥德巴赫猜想”的一部分，那么有兴趣的同学可以课下进一步了解。
五、课堂总结，完善提高
1.评价完善：
师：同学们，时间过的真快，马上要下课了，让我们一起来回忆一下，通过整理和复习，你有什么收获？
一、情境创设——求“实”
数学是一门逻辑性很强的学科，很多数学知识前后都存在密切的联系。因此，在小学数学课堂上有时候可以依据数学知识之间的逻辑关系，围绕教学重点“巧”设情境，能给学生的新知探究带来意想不到的精彩。
【案例扫描】 “整十数乘整十数的口算乘法”教学片段
例如，一位教师在教学“整十数乘整十数的口算乘法”一课时，先出示这样两组题目给学生口算：
第一组 4×1= 3×2= 13×3=
第二组 4×10= 3×20= 13×30=
学生完成以后，教师提问：同学们，比一比第二组题与第一组题中每道题目的因数和积，你发现了什么？通过上下比较，学生发现了这样的规律：一个因数扩大10倍，另一个因数不变，积也同时扩大10倍。
接着，教师出示第三组题目：
40×10= 30×20= 130×30=
师：同学们，观察这一组每道题目中的因数，有什么特征？
生：都是整十数乘整十数的。（引入课题）
师：整十数乘整十数又应该怎么口算呢？请你们先试一试。
……
学生学习“整十数乘整十数的口算”的原有认知基础是表内乘法、一位数乘整十数的口算。以上教学片段中，教师大胆地舍弃了教材中的情境图，利用两组算式创设情境，短短两分钟，学生不仅做了六道口算题，有效回顾了表内乘法、一位数乘整十数的口算等知识，而且发现了两组题目之间存在的规律：“一个因数扩大10倍，另一个因数不变，积也同时扩大10倍”。这个规律正是学生学习新知的“生长点”，在接下来的探究中学生利用迁移规律又发现了“一个因数扩大10倍，另一个因数也扩大10倍，积扩大100倍”的规律，为接下来学生自主探究“整十数乘整十数”的口算方法奠定了坚实的基础。
二、自主探究——求“质”
周玉仁教授提出：“凡是学生能自己探索得出的，决不替代；凡是学生能独立思考的，决不暗示”。但是，学生的探究活动也需要教师的在效引导，这样才能让每一位学生都真切体验探究的全过程。
【案例扫描】 “圆的周长”教学片段
《圆的周长》一课时，我是这样引导学生经历探究“圆的周长与圆的直径的关系”的过程：
师：同学们，老师给你们每一个小组都准备了一些圆形的物体，请你们在小组内分工量一量这些圆形物体的周长和直径，并记录下来。再想一想你发现了什么？
各个小组开始操作探究活动，大概4～5分钟后每组都完成了，我组织学生进行汇报学习情况。
师：同学们，通过刚才的活动，你们发现了什么？
生：每个圆形物体的周长除以直径，所得的商非常接近3。
师：这说明了什么了，你们有什么猜想？
生：圆的周长可能是直径的三倍左右。
师：你们都是这样认为吗？
生：是的。
我拿出两个大小不同的圆，量得大圆的直径是4厘米，小圆的周长约是8厘米。
师：不对呀，圆的周长是直径的2倍左右，不是3倍。
生：老师，您的这两个圆的大小不一样的，所以不是3倍多。在同一个圆内周长是直径的3倍多。
师：说得真好。在同一个圆内，圆的周长是直径的3倍多一点。
以上案例中，学生在教师的引导下通过操作探究得出了“圆的周长是直径的3倍多一点”这个结论。在这个过程中培养了学生数学能力，发展了数学思维。可见，学生在开展探究活动的过程中，教师的有效引导和帮助能让学生的探究活动更具实效。
三、练习设计——求“思”
有效的活动往往要关注学生解决问题的思维过程，暴露学生的思维过程，让学生尽可能地用语言来表达自己对数学题目的理解。
【案例扫描】 “小数加减法”教学片段
在教学“小数加减法”我给学生设计了这样一道习题：
用彩色笔在左图中画出三条线。使各条线上所有数的和分别满足下列条件。①正好等于1；②接近18；③最大。
怎么解决这个问题呢？有些学生说我把每条线上的三个数算出来，再比较得出答案。当然这也是一个方法，但是，学生在数学学习中思考水平的不同，所采取的解决问题的策略也不同。不能只满足子求出答案。
师：同学们，请你们仔细观察题目中的各个数字，想一想，能否不通过计算很快做出来？
生：老师，我有一个好的方法，要满足第一个条件“正好等于1”，那么线上的数都必须小于1，所以我观察了一下数字，发现只有斜着的一条线上0.3、0.51、0.19都小于1，再一加，正好等于1。
这个学生的回答让大家倍受启发。许多孩子频频点头。
师：那其它两题，你们有没有好方法？
生：要满足“接近18”这个条件，肯定得找大的数，我发现16.9这个数跟18接近，就观察有16.9的两条线，发现0.3+16.9+
6.01=23.21，而0.25+0.51+16.9=17.66所以0.25+0.51+16.9的结果更接近18。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）06A-0071-03
小学数学“综合与实践”是一类基于学生直接经验，紧密联系现实生活，综合运用知识技能，以问题为载体，让学生参与为主的数学学习活动。它具有生活性、实践性、研究性、自主性、生成性和开放性等特点。加强数学“综合与实践”的教学，有助于推进素质教育，有助于开发学生的潜能并促进其身心和谐发展。然而，笔者在教学实践中发现，许多教师对数学“综合与实践”活动的认识不是十分清晰，对基本课型不够熟悉，对实施策略体会不深，从而不能满足课程改革的要求。在此背景下，我们展开了《小学数学综合实践活动课课型及教学策略研究》的研究，重在研究数学“综合与实践”课不同课型的特点、实施要求及教学策略。以下笔者结合自己执教的《铺贴地砖》这一则典型课例，谈如何融合“社会实践”与“课题研究”两大课型的特点，激励学生研究不同方案，并学会优选合适方案，从而提高解决实际问题能力和创造能力。
一、教学目标
1.引导学生运用因数和倍数、长方形和正方形的面积计算方法，物体搭配的规律等知识综合解决实际生活中的铺地问题。
2.让学生经历设计铺地方案、优选铺地方案的过程，发展数学思考，积累活动经验，有机渗透初步的数学思想，提升数学应用能力、实践能力和创造能力。
3.培养学生主动关注现实生活、积极参与社会实践的意识，激发数学学习的兴趣。
二、教学重点和难点
教学重点是运用因数和倍数、长方形和正方形的面积计算方法、物体搭配的规律等知识综合解决铺地问题；难点是综合运用知识解决实际问题，设计并优选铺地方案。
三、教学资源
多媒体、课件、学生测量的视频、调查表、学生活动单等。
四、教学过程
（一）创设情境，激发兴趣
导入：在我们美丽的学校周边，矗立着一幢幢学区房（多媒体出示图片）。楼房从开工到居住，需要人们付出艰辛的劳动。
1.师生谈话：你想做一名装潢设计师吗？请喜欢装潢设计的小组介绍测量活动，说明测量地面长和宽的意图（设计铺贴地砖的方案）。
2.教师揭示课题：铺贴地砖。
3.调查小组汇报家庭购房需求统计情况，帮助学生了解人们购房时需要考虑的一些因素。
【设计意图】课伊始，趣已生。本节小学数学“综合与实践”活动课贴近生活，关注实践。教师从现实生活出发，以学区房的地砖铺设问题为引线，以家庭购房需求的调查情况为素材，使学生对如何选择地砖铺地产生兴趣，激活了学生自主探索的欲望。这样的情境创设紧贴生活实际，紧扣学生心弦，具有一定的开放性、实践性和启思性，有利于发展学生的数学应用意识和创造意识。
（二）问题导引，优选方案
1.教师提问：一间客厅地面长5.6米，宽3.2米，现在店里提供了三种瓷砖，你准备选择哪一种？
2.教师相机板书：只铺一种；正好铺满。
3.学生完成活动一：优选合算的方案。
一间长方形客厅，地面长5.6米，宽3.2米，如果正好铺满一种瓷砖，怎样铺贴比较合算？
（价格表）瓷砖1规格：80cm×80cm，每块价格：90元；
瓷砖2规格：40cm×40cm，每块价格：25元；
瓷砖3规格：30cm×20cm，每块价格：10元。
（1）同桌说一说：你准备怎样铺？
（2）独立算一算：需要多少块？一共多少元？
（3）组内比一比：选择哪一种瓷砖比较合算？
（4）展示汇报。
①学生先说一说怎样铺，再算一算、比一比。
②教师巡视指导，注意关注学生不同的方法，适时进行评价、点拨；对于学生可能出现的问题进行个别指导。
预设1：
5.6米=560厘米；3.2米=320厘米
560÷80×（320÷80）×90=2520（元）
560÷40×（320÷40）×25=2800（元）
因为：2800元>2520元
所以：铺贴边长80厘米的比较合算。
预设2：（560×320）÷（30×20）有余数，地面的面积不是长方形瓷砖面积的整数倍，不能正好铺满……各小组推选代表展示汇报，交流数学思考的过程。
③教师借助图示进行点评，与学生谈话小结：当长方形的长（m）、宽（n）均为正方形瓷砖边长（a）的整数倍时（或者m是a的倍数，n也是a的倍数），一定能正好铺满。
可以运用以下解决问题的模型求一共的块数：
④借助多媒体直观显示：用30cm×20cm的瓷砖不能正好铺满。
师生交流：无论怎样铺贴，地面面积总不是每块瓷砖面积的整数倍，用这样的瓷砖不能正好铺满地面。
教师板书：mn÷（ab）不是整数倍，不能正好铺满。
让学生选择80cm×80cm瓷砖铺地，算出怎么铺总价最少、价格合算。
【设计意图】小学数学“综合与实践”是以问题为引领，学生自主参与，综合运用已有知识、经验解决实际问题的活动。在“活动一”中，学生自主探索“如何选择一种不同价格的瓷砖”，经历了说一说铺法、算一算块数、比一比价钱的活动过程，积累了丰富的活动经验，学会对不同的方案进行比较并优选。教师没有停留于解决具体问题的层面，而是继续引领学生观察，建构解决问题的模型：当长方形的长（m）、宽（n）均为正方形瓷砖边长（a）的整数倍时（或者m是a的倍数，n也是a的倍数），一定能正好铺满，可以用这样的方法求块数：m÷a×（n÷a）或mn÷a2。另一方面，教师继续引导学生进行思辨：无论怎样铺贴，如果地面面积总不是每块瓷砖面积的整数倍，这样的瓷砖不能正好铺满地面（但这句话不能说明：无论怎样铺贴，只要地面面积都是每块瓷砖面积的整数倍，这样的瓷砖能正好铺满地面）。
优选方案是学生不断深化数学思考的过程，当学生对倍数与因数、面积知识等学会了灵活运用，思维经验就会得到提升，优化解决实际问题的能力也会增强。
（三）合作探索，设计方案
师生谈话导入：人们在生活中经常将不同种类的瓷砖搭配起来铺地。
1.师生共同设计铺设方案。
（1）地面最外面一层铺满长方形瓷砖（多媒体展示铺贴过程），提问：最外面一层铺了多少块？
（2）里面如果正好铺满另一种正方形地砖，可以怎样铺？同桌交流。
（3）重点突出：560-20×2、320-20×2都是40的倍数，但都不是80的倍数。
小结：里面长、宽都是40的倍数，能够用边长40厘米的瓷砖正好铺满；里面长、宽都不是80的倍数，不能用边长80厘米的瓷砖正好铺满。
2.完成活动二：设计不同的方案
如果在客厅地面最外面一层正好铺满一种正方形瓷砖，里面正好铺满另一种瓷砖，可以怎样铺贴？
（1）组内分工合作，一人做好记录。
（2）我们小组的设计：最外面一层铺贴_______；里面铺贴__________。
研究过程：
我们的研究结论
（3）全班交流。
①请同学们尝试用不同种类的瓷砖搭配起来铺地，完成活动二。
②学生分工合作，教师指导小组活动，注意对有困难的小组或学生进行点拨。
预设1：最外面一层铺贴80cm×80cm的瓷砖，里面铺贴40cm×40cm的瓷砖
（560-80×2）÷40=10（块）
（320-80×2）÷40=4（排）
560÷80×2+（320-80×2）÷80×2=18（块）
10×4×25+18×90=2620（元）
预设2：最外面一层铺贴80cm×80cm的瓷砖，里面铺贴30cm×20cm的瓷砖
（560-80×2）×（320-80×2）÷（30×20），不是整数倍，里面不能正好铺满……
③指名小组展示汇报，学生互评、补充。
④师生共同谈话：在不同的搭配方式中，关键是求出里面地面的长和宽，看能不能正好铺满。对于不同的方案，可以计算出总价，比较哪种更合算。
【设计意图】数学是思维的学科，实际问题的解决需要学生主动探索、积极思考。活动二从“人们在生活中经常将不同种类的瓷砖搭配起来铺地”这一生活中的常见现象出发，精心设计开放性问题：如果在客厅地面最外面一层正好铺满一种正方形瓷砖，里面正好铺满另一种瓷砖，可以怎样铺贴？让学生再次经历不同方案的设计，综合运用物体搭配的规律、因数和倍数以及“活动一”归纳出的问题解决模型等解决更为复杂的挑战性问题。这一活动充分融合了“综合与实践”中“社会实践”课型与“课题研究”课型的特点，需要学生关注生活、想象“模拟生活”情境；面对问题，学生必须在合作研究的基础上进行方案的选择、优化，验证方案是否可行。最后，师生谈话小结：在不同的搭配方式中，关键是求出里面地面的长和宽，看能不能正好铺满。对于不同的方案，可以计算出总价，看哪种比较合算。
这一活动具有丰富性、复杂性和严密性等特点，学生的活动经验在画画、算算、比比等操作、思考活动中愈加深刻。尤其是最外面一层铺贴正方形地砖后，里面可以怎样铺需要学生借助图示深度思考。由提出方案，到验证方案是否可行，再到得出结论，这样的过程是一个科学探究的过程，有利于学生掌握探究的方法。
（四）交流体会，拓展延伸
1.说一说课堂学习的收获，并提出一些有待继续研究的问题。
2.课后延伸：请同学们继续挑战。
我来挑战：
（1）如果在长方形客厅和两间卧室分别铺贴一种不同的瓷砖，都是正好铺满，你认为怎样铺比较合算？（图略；瓷砖价格同活动一）
客厅地面长：7.2m 宽：4m
房间1地面长：4.8m 宽：3.6m
房间2地面长：4.8m 宽：3.2m
（2）一间长方形客厅，地面长4.2米、宽3.6米。如果在最外面一层正好铺满若干块边长30厘米的瓷砖，里面正好铺满另一种正方形瓷砖。
①最外面一层一共铺贴了多少块？
②里面瓷砖的最大边长是多少厘米？一共铺贴多少块？
【设计意图】本节课的小学数学“综合与实践”从问题出发，最终回到一些更高层次的问题，让学生带着问题继续探索，这很有价值。教师鼓励学生提出问题，也注意从课堂生成的问题中精选话题。另一方面，练习设计突出了开放性、实践性和综合性，让学生继续运用物体搭配的规律寻求优化的方案。
五、总体设计反思
本教学设计贴近现实生活，较好地激发了学生的探索兴趣。小学数学“综合与实践”课与现实生活联系紧密，具有很强的实践性。本节课能够充分利用生活资源，结合人们的购房需要、用一种或不同种方砖铺地、选择合算的铺地方案等内容，巧妙地设计不同层次的铺地问题，激发了学生的探索兴趣，使学生在解决生活问题的活动中体验数学思维的愉悦，感受数学应用的乐趣。
（一）体现课型特点，灵活运用策略
波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是通过自己的实践活动去发现。”小学数学“综合与实践”活动有利于学生积累数学活动经验，培养应用和创新意识。同时，活动课型丰富多样，教师只要准确把握各种课型的特点、结构模型和实施要求，灵活运用各种课型的模型和方法，就一定会取得良好的教学效益。
这节课很好地体现“社会实践”课型、“课题研究”课型等特点。从社会实践的角度看，教师在课前组织学生到附近的学区房进行实地测量、搜集数据，组织学生进行社会调查，了解人们购房的一些需求，通过明确问题、参与实践、展示成果等活动过程，使学生的数学思考和实践意识得到了激活，实践能力和综合素质也得到了提升。
同时，这节课也力求体现“课题研究”之特点。以“活动二”为例，学生重点围绕“如果在客厅地面最外面一层正好铺满一种正方形瓷砖，里面正好铺满另一种瓷砖，可以怎样铺贴？”进行具体研究。由提出初步方案，到验证是否可行，再到得出结论，学生经历了科学探究的过程。教师在这一过程中灵活运用策略，通过精心组织合作、鼓励画图思考、探究不同方案、比较优化方案等方式引领学生丰富解决问题的路径，体验方案的多样性，提升了学生的综合运用能力和创新能力。
（二）启迪发散思维，优化解决方案
在“综合与实践”活动中，教师应积极启迪学生的数学思维，让学生充分发挥自主性和创造性。在“活动一”中，学生经历算一算、比一比的过程，并结合已经学过的因数、倍数和长方形、正方形的面积知识思考哪种方法是不可行的，哪种方法是合算的；模型的建构更加深化了学生的数学思考。在“活动二”中，学生的思维更加活跃，思路更加开阔，在确定最外面一层铺设不同的正方形地砖之后，就对里面的铺设产生了不同的方法。在学生进行发散思维之后，教师又引领学生回归问题解决的关键之处：在不同的搭配方式中，关键是求出里面地面的长和宽，再看能不能正好铺满。最后，又进一步优选合算的铺设地砖的方案。
（三）注重设疑引申，促进素质发展
教学的境界不是教学生无疑，而是让学生有疑，“小疑则小进，大疑则大进”。“综合与实践”活动综合性强，课堂生成性问题较多。这节课有一个结论：无论怎样铺贴，如果地面面积总不是每块瓷砖面积的整数倍，用这样的瓷砖不能正好铺满地面。对此，学生容易产生这样的想法：无论怎样铺贴，只要地面面积总是每块瓷砖面积的整数倍，这样的瓷砖就一定能正好铺满地面。对于这一问题，教师可以让学生课后去探讨：当地面面积是每块瓷砖面积的整数倍时，用这样的瓷砖铺地，一定能正好铺满吗？课结束，教师又设计了这样的练习：如果在客厅和两间卧室分别铺贴一种不同的瓷砖，都是正好铺满，你认为怎样铺合适？练习的设计促进了学生的再提升和再创造。
总之，本节课的设计力求体现“综合与实践”的自主性、开放性、实践性与综合性，注重融合“社会实践”与“课题研究”两大课型的特点，从现实生活出发，以社会实践为立足点，以综合运用知识解决实际问题为着力点，灵活运用多种策略，激励学生研究不同方案、优选合适方案，使学生在丰富的活动中深化体验，在积极的探究中深化认识，最终使解决实际问题的能力和创造能力得到了发展。
案例一：找一个数因数的初次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
师：（过渡）刚才通过把12个小正方形摆成不同的长方形，我们写出了一组乘法算式。
1.想象摆，找36的因数。
（1）师：你会用36个小正方形摆成哪些不同的长方形？你能用乘法算式有序地来表示你的摆法吗？要求做到既不重复，又不遗漏，可以吗？请大家边想边写。
（2）生独立写算式：
1×36=36
2×18=36
3×12=36
4×9=36
6×6=36
（3）交流算式：
还要继续写吗？为什么？到怎样的情况就不要找下去了？
2.说因数
（1）根据算式你能写一写36的因数有哪些吗？
学生自己练习找36的因数。
教师反馈不同的情况。
（2）小结方法：对，为了能把一个数的因数找全不遗漏，我们可以一对一对地找；但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这个教学过程中，本课的重点探究内容“怎样找一个数的因数”被“你会摆成不同的长方形吗？你能用乘法算式有序地表示出来吗？”这样的要求牵制着，探究的目的性从原来的探究“怎样找一个数的因数”转变成了“怎样摆长方形”，而且整个探究的过程分成一系列连续的小步子，学生在这种引导下，只有了一种思维模式，只能“用乘法算式来表示摆法”，事实上找一个数的因数还可以想除法算式。在整个学习过程中，学生只是执行教师命令的操作员，就好像一台台电脑，教师编好程序，点击鼠标，他们就开始工作。这样的教学如果从掌握知识的角度来说，的确省时、高效，可是从“发展学生自主获取知识的能力”的角度分析，可以发现，留给学生自主探究的空间过于狭窄，在学习的过程中，学生的思维活动连一点“旁逸斜出”的机会都没有了，创新精神更是无从谈起。
案例二：找一个数因数的再次教学尝试
（教学完因数和倍数的概念后）
1.练习：3、5、18、20、36，任意选取两个数用倍数和因数来说一说。
生1：3是18的因数，18是3的倍数。
生2：3是36的因数，36是3的倍数。
生3：5是20的因数，20是5的倍数。
生4:18是36的因数，36是18的倍数。
2.过渡：刚才的五个数中，哪些是36的因数？
生：3、18、36是36的因数。
师：3、18、36都是36的因数。那么36的因数只有这三个吗？你能把36所有的因数都找出来吗？（小组探究）
（1）提出要求，明确方法：
①提出探究要求，把36所有的因数都找出来。
②有困难的求助小组成员，也可以求助老师，争取把36的所有因数都找出来。
③找到后填在学习纸上，如果能把找的方法写下来更好。
④小组交流分享。
（2）自主探究，教师巡视。
（3）搜集典型，交流评价：
展示作业一：因数没有找全的1、36、2、18、3、12、4、9
师：看了这位同学找的36的因数，你有什么想说的呢？
生：没有找全，有遗漏。
展示作业二：因数有照错的1、36、2、18、3、13、4、9、6
师：这位同学找的对吗？
生：不对。
师：哪个因数不对呢？
生：13不是36的因数。
师：为什么13不是36的因数呢？
生：3×13不等于36。
展示作业三：找全的，排列无序的1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：有错的吗？有遗漏的吗？有重复的吗？真了不起，想不想听听这位同学是怎样做到不遗漏、不重复的？
生1：我是这样做的：36÷1=36，36÷2=18，36÷4=9，36÷6=6
生2：我是这样做的：1×36=36，2×18=36，3×12=36，6×6=36
师小结方法：第一个同学用36去分别除以1、2、3…除到重复就不除了，除数和商就是36的因数。
第二个同学想几乘几得36，从1开始乘起，乘到重复就不乘了，两个乘数就是36的因数。
相应板书：（）×（）=36
36÷（）=（）
师：谁来评价一下这种找因数的方法？对于这样的排列你能评价一下吗？
生：无序、乱。
师：你觉得怎么写好呢？
生：从小到大。
展示作业四：找全排列有序的1、2、3、4、6、9、12、18、36
师：这样好吗？为什么？
生：从小到大，很整齐美观。
（4）小结方法
师：对，为了能把一个数的因数找全但不遗漏，我们可以一对一对地找，但为了写出的数更有条理、更美观，我们可以从小到大地写。
案例反思
在这两个教学过程中，尽管教师给了学生探究的机会，但案例一的探究更显得机械化，而案例二的探究更具备人性化，更符合孩子的认知水平，更能给孩子广阔的思维空间，思维得到了更好的锻炼，这样探究活动就有了更好的价值。
1.教师找准了真探究的基础――正确地把握了学生的知识起点。那就是已经找到了36的几个因数，还能找到36的其他的因数吗？标准指出，数学课程：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”所以，我们在进行探究内容选择时，应根据自己学生的基础采取适度的原则。在一般情况下，探究问题的解决所需的能力应在学生的最近发展区之内，对这样难度水平的问题学生通过努力可以解决。即选择的探究内容对于学生来讲，通过对他们已有的知识、能力的提取和综合，是可以进行探究并能得到结果的，但是，这些内容对学生来讲绝不能毫无疑问、不费努力即可解决。
2.教师营造了真探究的空间――案例二的教学为学生提供了充分的探究空间。“你能把36的所有因数都找出来吗？先独立思考，有困难可以寻求帮助。”“以学生为中心是探究教学的一个基本特征”。让学生成为数学学习的主人，自主地进行学习活动。作为教师应定位于组织者、合作者、引导者的角色，定位的宗旨是对学生适时有效地提供必要的帮助与引导，而不是直接给出解决问题的方案，对于案例一来说就是教师直接给出了找因数的方法――想乘法算式，而案例二是由学生自己获得数学猜想，并与同学分享自己的探索成果，最后在集体中一起验证交流、修正猜想，而不是直接肯定或否定他们的猜想。在教学中，我们设置的探究问题间域要宽，截距要长，思维坡度要大，给学生提供一个充分自由的探索空间。
“小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍；......”
“小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍；......”
然而，现代汉语的权威工具书《现代汉语词典》对“倍”的解释却是：“与原数相等的数”。因此，黄伯蓉、廖序东主编的高等学校文科教材《现代汉语》以及张志公、胡裕树等汉语名家的专著都一致界定：“倍”只使用于数的增长、扩大，不能使用于数的减少、缩小。
以数学课本上的应用题为例：“一个农场刚建场时有耕地580亩，现在耕地的面积比原来扩大10倍。现在耕地的面积有多少亩？”（五年制数学课本练习四第12题）根据上面所引的表述，只需将小数点向右移动一位，便可得出答案：“现有耕地5800亩。”但是客观事实却应该是这样的：580亩扩大一倍是1160亩，580亩扩大二倍是1740亩，......580亩扩大10倍是6380亩。也就是说："扩大"后面如果不加连词“到”，汉语里就应该按有表示完成时态的助词“了”来理解，即扩大后的总数应该是扩大数加上原有基数（5800＋580）。这样就出现了两个答案，哪一个是错的呢？显然是前者。下面再以该题为例来看缩小的客观事实。根据“倍与原数相等的数”推论如下：580亩缩小一倍是0亩，缩小二倍是？亩，......缩小10倍是多少亩呢？如果依据本文开头所引的表述，那么只需要将小数点向左移动一位即可得到"580亩缩小10倍是58亩"这个答案。但是这个答案经不住客观事实的检验：原数减去现有数得到实际缩小数（580－58＝522）。也就是说，小数点向左移动一位之后，连原来的一倍（580亩）也没有缩够，只缩小了原数的9／10。事实上，任何数缩小一倍就成了零，根本不可能缩小两倍以上，更不要说缩小十倍百倍千倍了。只有这样理解，才不致于跟"倍：与原数相等的数"相悖谬。在小学数学课本中，小数教学是在整数学习之后系统进行的。但是从数学本身的理论系统来看，要真正弄清小数的实质，应该先教学分数后教学小数，要进一步认识小数也只有在对分数有了初步认识之后才行。因为小数就是把十进分数改写成不带分母的形式的数。
综上所述，建议九年义务教育小学数学教科书的编者和广大教师，在对小数性质中小数点位置移动引起小数大小的变化进行表述时，精心斟酌词句，力求表述得既准确科学又符合现代汉语规范。笔者试表述如下作为引玉之砖：
一、 典型案例
【案例1】 “毫米、分米的认识”教学片段
1. 认识1毫米
师：同学们打开二号信封，赶紧观察科学家的尺子，你有什么发現？（学生交流）
课件演示1毫米长度，指出毫米可以用mm表示。
师：同桌互相指或画画直尺上的1毫米。
2. 感受1毫米
师：指1毫米不难，想不想进一步感受1毫米有多长。
师：从学具袋中找一找哪个物体的厚度大约1毫米？选一样，摸一摸、捏一捏。（学生展示交流）
师：通过刚才感受1毫米，能不能用小手比划出1毫米？（一生比划，教师测量）
师：用同样的方法，同桌检查。
师：通过感受1毫米，你有什么话要说？（学生交流）
师：闭上眼睛，把1毫米记在心里。
师：現在同学们心中的尺子更丰富了，你能比划出2毫米吗？（学生比划）
师：是几小格？用尺子量量，准吗？
师：5毫米呢？10毫米呢？
……
【案例2】“3的倍数的特征”教学片段
1. 在数位表上摆小棒
……
引导学生通过摆小棒得出只要小棒根数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（师在黑板贴：小棒根数的和）
2. 用计数器拨珠子
师用计数器拨出345，引导学生发現这个数是3的倍数，而且共用12颗珠子。
师：请同学们闭上眼睛，在脑中想象计数器，随意拨一个数。（学生闭眼想象）
师阅读屏幕上出現的想象提示：
（1） 各个数位上是几颗珠子，一共拨了几颗珠子？
（2） 这个数是多少？算一算它是3的倍数吗？
学生交流，教师根据学生的回答板书。
师：想一想，珠子的颗数与3的倍数有什么关系？（学生小组交流）
集体交流，得出：珠子颗数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（师在黑板贴：珠子颗数的和）
3. 归纳抽象3的倍数的特征
师：現在我们不拨也不摆了，想想到底什么样的数是3的倍数呢？（学生小组讨论，集体交流）
师：看来大家达成共识了，只要各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师用“各个数位上数的和”盖住“小棒根数的和”与“珠子颗数的和”。
4. 验证
师（指黑板）：它适用于所有的数吗？我们举个数试试。
……
二、 案例反思
看似两节没有关联的课，但有一个最大的共同点是两位教师引导学生进行操作后，都用到了“闭上眼睛”：“闭上眼睛，把1毫米记在心里。”“请同学们闭上眼睛，在脑中想象计数器，随意拨一个数。”“現在我们不拨也不摆了，想想到底什么样的数是3的倍数呢？”
很多教师都认为让学生经历了，学生就会理解了，就能掌握了，因此课堂中非常注重学生的动手操作，通过动手操作使学生经历知识的产生过程。但笔者发現，动手操作固然重要，确实使学生经历了知识的形成过程，但难道操作了就一定能使学生牢固掌握新知了？就能使学生灵活运用了吗？其实不然，要想使学生进行牢固掌握，必须使其将所学知识表象进行内化、抽象，达到真正意义上的理解、掌握。
在“毫米、分米的认识”的教学片段中，在学生认识了1毫米，并从实物中找到了1毫米，用手比划出1毫米后，教师让学生闭上眼睛将1毫米记在心里，然后再引申到2毫米、5毫米等，这个过程使学生对1毫米的认识越来越准确，对毫米的认识越来越清晰。“闭上眼睛”使学生在热闹的实践后及时冷静地将1毫米的表象记在心里，进行了知识的内化，从根本上使学生经历了知识的建模过程。
在“3的倍数的特征”的教学片段中，教师引导学生利用小棒、计数器这两个学生熟悉的学习数、研究数的工具来研究3的倍数的特征，使学生经历了知识由具体到抽象的建模过程，即由“小棒根数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”“珠子颗数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”水到渠成地得出3的倍数的特征（各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数）。其中在学生经历了在数位表上摆小棒的操作后，教师又引导学生利用计数器进行研究，但此次学生并没有进行动手操作，而是教师示范用计数器拨出345，引导学生发現这个数是3的倍数，而且共用12颗珠子。随后引导学生闭上眼睛，通过教师的语言提示在脑中想象拨珠，不但使学生从单纯地依靠动手操作获得感性经验中解脱出来，将知识逐渐进行抽象，为后面的“我们不拨也不摆了，想想到底什么样的数是3的倍数呢？”奠定基础，而且使学生初步感知”想象比划“也是学习数学的一种重要方式。
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