关键词：案例教学；幼儿数学教育；课堂；活力
众所周知，数学跟其他的学科不一样，它是一门逻辑性很强的学科，而且还带有些抽象的概念，不易被学生理解，很多学生在数学学习过程中都会感到有些枯燥、无聊、乏味，那么，如何让枯燥的数学教学课堂变得生动、充满活力，让学生都喜爱数学这门最基础的学科，下面，本文对幼儿数学教学进行简单的研究叙述。
一、案例教学的叙述
1.案例教学含义
所谓“案例教学”，其实就是一种开放性、互动式的新型教学方式，并不是教师在课堂中为说明讲解一定的理论或概念进行的举例分析，而是一种开放式、互动式的新型教学方式，是一种以案例为基础的教学方法。
2.案例教学特点
案例教学法不同于以往的传统教学方法，传统的教学方法只告诉学生如何去做，这样显得乏味无趣，而案例教学法则是让学生主动去思考、去想象和创造，使乏味的教学学习变得生动有趣，并且还培养了学生对知识的转化能力和在教学中更加重视学生对问题的思考方向和解决问题的方式方法，所以，可以得出案例教学具有以下三点特点：
（1）培养学生独立思考的能力。
（2）加强学生对知识转化能力的提升。
（3）锻炼学生双向分析问题、解决问题的能力。
二、案例教学的方法
1.精心选择案例，提高教学时效性
在“幼儿数学教育”课程中，其主要涉及的内容就是向幼儿讲授一些有关数、量、时间、空间等内容的学习和指导，其内容、基本概念繁多，所以，教师在幼儿数学教学中要学会取舍，并且对选择的案例进行深度的分析，使其在课堂教学中达到举一反三的效果。例如，在讲幼儿数学10以内加、减法的教学中，教师可以与生活中可以用数量概念表达的物体结合。比如，苹果、橘子、荔枝、鸭梨等，这样可以提高孩子学习的兴趣，也可以让学生知道数学在日常生活中的重要性，让学生知道日常生活中有许多和数学相关的知识，并且学生在以后学习10以内加、减法时，可以联想起原来学习时的案例，使学生的印象更加深刻，并且还活跃了课堂的气氛。
2.实施幽默教学，增强课堂感染力
作为教师，尤其是幼儿数学教师，就必须具备丰富的数学知识和一些其他学科的基本知识，这样就能够在课堂教学中熟练运用，并且适当地运用一些幽默的语言，还可以使数学课堂变得更加幽默、有趣，使本来枯燥、乏味的数学课堂变得具有感染力。例如，在讲幼儿对图形的认识时，比如，三角形、圆形、椭圆形等，教师适当地运用一些幽默的语言给幼儿进行讲解，比如，把圆形比作大饼或太阳或者锅；把椭圆形比作鸭蛋、鹅蛋等，这样用幽默的教学语言来对数学知识进行表示，使学生更容易接受和理解，印象更加深刻，课堂氛围更加轻松、融洽，幽默的语言还可以拉近师生间的距离，让学生对数学的学习充满激情，同时，使课堂更富有感染力。
3.建立和谐课堂，促进学生学习积极性
所谓的“和谐课堂”，简单地说，就是在教师传授知识的过程中，学生对教师的配合程度和对教师的接纳态度，也就是说师生之间的和谐关系。只有师生关系处理好了，才能使幼儿数学课堂充满活力，这就要求教师和学生之间要互相尊重，相互信任，真正地做到信任、接纳、理解对方，只有这样，教师在课堂上所讲授的内容才能被学生所接受和认可，尤其是在幼儿数学教学中，幼儿本来就有些调皮、淘气的特点，这就要求教师采用适当的方法处理好师生关系，这样才能使学生学习的积极性有所提升。例如，在讲幼儿数学教学20以内加、减法时，教师首先应该让学生对10以内的加、减法重新叙述一遍，要达到脱口而出的效果，并且让学生懂得加法和减法是一个互补的关系，一定要在10以内加、减法中讲解清楚，这样能提高教师在孩子心目中的信任程度，同时也增进了师生之间的关系，彼此都对对方产生了信任与理解，学生在学习20以内加、减法时就变得更加轻松，进而进一步增强了学生对教师的信任程度，使原本枯燥、乏味、紧张的数学课堂，由于师生之间的和谐关系变得更加充满活力，使学生对数学学习的积极性进一步提升。总之，新课程改革的实施过程中，提出了案例教学的重要性，并且本文通过对案例教学在幼儿数学教育中的应用，同时也证明了构建和谐课堂的重要性，这样不仅提高了教学时效性，增强了课堂感染力，更进一步促进了学生对学习的积极性，使课堂充满了活力，为学生今后其他学科的学习起到一定的促进作用。
参考文献：
［1］王彦力.学校文化特色的典型案例研究［J］.教育现代化，2015（11）.
随着建构主义教学方式的应用，目前在小学教学过程中，教师除了要带领学生进行相关知识的学习之外，还应当引导学生思维进行有效的拓展，小学生在进行数学的学习阶段，除了要掌握相关知识的同时，还应当注重思维能力的培养。在建构主义教学的发展下，能够有效地促进学生更好地在学习过程中互相进行相关知识内容的协商，从而使得学生能够更加主动地探讨相关知识。本文在对建构主义教学进行分析的过程中，主要结合相应的案例进行具体的分析，以此更好地促进教与学。
二、莱司特的减法教学课
建构主义教学虽然在教学中有了一定的发展，但是对我国大部分的小学生而言，在进行数学课程的学习过程中，还是存在一定的被动性，为此这就在很大程度上引起了一些数学教育工作者的高度重视。而对于莱司特而言，其将建构主义教学在不断地实践中证实了建构主义教学对于学生的帮助是十分巨大的。他在教学实践中主要展示了重组在减法学习中的运用以及探索了运算之间的关系。
第一，减法教学中的重组。重组教学方式对于加法的学习具有一定的促进作用，同样，在小学生学习减法的过程中，重组能够让学生更好地理解减法，学生在探求过程中能够通过对自身问题的提出，对学生数学学习具有一定的突破。
在教学过程中，莱司特主要在课堂中通过利用数字和游戏的方式进行教学。例如，在他的课堂上，莱司特会提出“原有40个棒冰，在通过游戏中用掉了22个，问学生最后还剩多少个棒冰？”当学生在进行计算之后，莱司特会把所有学生算出的答案写在黑板上，让学生自己再次观察答案的不同，并让学生说出那个答案是自己最怀疑的，然后让学生自己进行分析思考，在答案中出现了29个数字，一些学生并不赞同这种说法，认为这个数字是不可能出现在这样的减法运算中。于是，莱司特就让学生对自己的看法进行了相应的说明，一名学生说道40减去20，就好像是4减去2一样，所以最后的答案应当是28。而这时，莱司特并没有做出任何的回应，他只要是希望有学生能够意识到这是一个错误的答案。当那位同学把答案说出的时候，立马就由学生进行了相应的反驳，认为40减去20等于20，而20再去掉一个2，怎么说也是小于20的，通过积木得出了最终答案是18，这也就是最终的正确答案了。在这个过程中，两个同学通过互相地交换意见，并尊重对方说出的观点，在互相学习中提高了自身的学习水平，对此这就更好地体现出了建构在教学中的重要性。
第二，探索运算之间的关系。在课堂上，赖司特向学生提出：“我骑车要到沃蒙特，而两地间的距离总共有54英里，在骑到27英里路时候，我停下车喝了一杯咖啡，问我还要骑多少英里路才能到达沃蒙特？”同前面方式大致一样，赖司特还是让学生们先算出自己认为的答案，然后将不同的答案都写在黑板上，同样让学生提出质疑，然后学生与学生之间展开讨论，而这时学生甲认为最不能理解的答案是35，这时学生乙同样赞成，他认为，50减去20等于30，这个正确答案肯定是小于30的。这时学生丙认为这个答案可以以27为底数向上数到54。而同学丁则认为可以通过积木先数够54个数字，然后再从中抽取掉27，剩下的答案就是最终的结果了。也就是说，加法和减法在运用的过程中同样可以运用到一道题中进行计算，只是计算的方式不同。通过对不同的算法进行探讨分析，在实践中不断进行推敲，在得出的答案中需求最正确的答案，学生通过一系列的探讨之后，最终学生之间在通过互相探讨中，用不同的拼凑方法，使学生能够激发自身的潜能，从而了解到运算间的关系。
三、启示
在上述实例当中，我们可以清晰地了解到，莱司特的数学教学方式能够引导学生从多方面对相应的问题进行解决。比如说，一道应用题当中可以采用加法、乘除等方式进行一种减法的运算。在莱司特的教学过程中，学生们用加法对数字进行比较，并通过将十位数转换成个位数的方式进行分析。例如，一辆卡车可以载36个士兵，现在需要将1128位士兵运往训练营地，问需要多少辆卡车？学生在进行计算的过程中，学生通过利用除法进行相应的运算，在结果中显示，当1128除以36等于31，但是在结果中余数是12，于是部分学生就认为答案是31，但是还是有部分学生认为答案是32，在进行数学教学的过程中，对于一些计算是可以将余数忽略不计的，但是对于一些较为实际的问题，这就需要结合真实的场景进行问题的分析，对此，教师在进行教学环境的设计过程中要对学生的学习情境进行分析考虑，要将学习情境和知识运用情境进行有效的结合。
关键词： 小学数学教学 合情推理 归纳法 类比法
一、合情推理的概念
合情推理就是合乎情理的猜测方法，是从观察、实验入手，在推理者个人数学经验、数学直觉等背景的影响下，根据已知的某些数学事实，运用某种非严格的但合乎情理的推理形式，作出新的判断的思维过程，主要有归纳法和类比法。
归纳法，又称归纳推理，指的是通过对某类数学对象（或事物）的个别或部分进行研究，得出关于一类事物的一般结论的方法[1]。小学数学中常用的是不完全归纳法，也就是：仅仅通过对一类事物部分对象的考察，就作出该类事物具有一般性的论断[2]。这种推理方法得到的结论并不一定可靠，需要作进一步证明，但在小学数学中只需多举例验证就可以。
类比法，又称类比推理，是指根据两个不同事物之间，某些方面的相似点而推理出它们在其他方面也可能存在相似或相同的推理方法[3]。波利亚指出，类比的关键就是将两个事物在某些属性上的相似之处化为明确的概念，若将它们变成清楚的概念，也就阐明了类比关系。类比推理是数学创造性思维活动的重要方法，就如波利亚所说：“类比是个伟大的引路人。”对于数学猜想而言，类比推理的意义就在于“触类旁通”、“旁敲侧击”，它提供了数学发现和数学求解的线索。
合情推理是数学发现的基本方法之一。与合情推理相比，论证推理是可靠的、无可置疑的，数学论证推理主要用来对数学发现的、体现事物的性质和数量关系的猜想或模式的雏形进行本质性的考察，判断或验证其真实性，从理论上和逻辑上进行严格论证，为新模式和新理论的形成提供保障。虽然论证推理是可靠的、无可置疑的，合情推理在数学中却有广泛的应用，其中归纳法与类比法最普遍、最重要。许多数学结论及相应的证明只有靠合情推理才能得以发现。
二、合情推理案例分析
（一）归纳思想案例分析
案例一：在方框内填入适当的数（人教版小学数学课本三年级上册第二单元课后练习P26）。
这个题对于我们来说非常简单，只要掌握了三位数的连续退位减法后，将竖式计算化为推理就可得出答案，如下：
但这个题对于小学生来说就没有那么简单，要理解如何得出答案的过程就不太容易。学生仅知道答案是远远不够的，教师要做的是为学生呈现解题过程，启发学生思考这个题的结果是怎么得来的。一位教学经验丰富的老师用了下面的方法启发学生：
先计算下面的式子：
19-1=？摇？摇 19-2=？摇 ？摇19-3=？摇？摇
19-4=？摇？摇 19-5=？摇 ？摇19-6=？摇？摇
19-7=？摇 ？摇19-8=？摇 ？摇19-9=？摇？摇
计算后得出如下答案：
19-1=18？摇 ？摇19-2=17？摇 ？摇19-3=16？摇？摇
19-4=15？摇 ？摇19-5=14？摇 ？摇19-6=13？摇？摇
19-7=12？摇 ？摇19-8=11？摇 ？摇19-9=10？摇？摇
从以上计算可以看出：“19减掉任何一个1位自然数后，其结果都是两位自然数。”由此得到启发：被减数的十位被个位借走了“1”。只有在这样的情况下，差才会是两位数，才与方框里要填数的特性相符。从“19-9=10”可以得到启发，10被借走“1”后恰好是一个个位数，减数的十位上可能填9，如下面的竖式：
为了进一步验证减数和差十位上填9是否准确，还需推算出它们个位上的数。十位上借走了“1”，个位上要填的数一定是比7大的数，它们是8或9，所以有：
经计算，上面的推算正确，进一步验证了减数十位填9的猜想。
考虑到小学生的思维发展水平，需要通过教师的指导找到一种明了的解题思路。在教师的指引下，学生从自己熟悉的算式中，采用不完全归纳法，以一类事物若干个别对象或子类具有某一属性为前提，而得出该类事物都具有这一属性的推理形式，从这个推理形式中归纳出他们自己可能还未意识到的结论。案例一中的推理遵循如下基本推理规则：
19-1的结果是两位数
19-2的结果是两位数
……
19-9的结果是两位数（其中减数1，2，…，9都是一位自然数）
————————————————
所以，19减去任何一个一位自然数都是两位数。
其中，19-1，19-2，…，19-9是“19减去任何一个一位自然数”的个别对象或子类。
这个题中不仅包含了“减去任何一个一位自然数后，其结果都是两位自然数”的结论，还包含了“18减去任何一个比9小的自然数，其结果都是两位数”这一结论，对这些结论的认识也属于科学认识的范畴。科学认识的过程，需要经历一个从个体到一般的发展过程，即从积累大量的观察、实验材料，到转化成一般原理的过程。通过个性可以认识和发现共性，在这个过程中，需要以归纳法发挥作用，归纳出客观事物的个性中蕴含着共性，在这里的“共性”是指：用归纳法从案例一中发现的两个具体结论，它们指导学生找到解决问题的方法。那么从发现的结论中可以判断出：被减数197的十位被个位借走了“1”、减数的十位上填9，从而找到解决案例一的突破口。
小学阶段的学生以形象思维为主，学生学习某个新概念之前需要接触大量的具体事例，再从这些事例中发现概念，学生发现的概念就是隐藏在客观事物中的共性，这就是归纳思想的体现。
（二）类比思想案例分析
案例二长方形（正方形）与长方体（正方体）的类比，如下图：
图 长方形与长方体的类比图
长（正）方形各边的关系与长（正）方体各面之间的关系相似：长方形每一边恰与相对的一边平行，而与其余的边垂直；长方体的每一面恰与相对的一面平行，而与其余的面垂直。平面几何中的直线就相当于立体几何中的平面。比如，要知道一般位置的四个平面（构成一个三棱锥）把空间分成几个部分，可以先找出平面上一般位置的三条直线（交点互异）把平面分成几个部分，然后再用类比的思想，将其与空间的四个平面作比较，进而得出结论。
平面与空间之间有同一性，因此可以类比，但具有同一性的任何两个不同事物必有相异性，正是这种相异性限制了类比的范围。如果类比的结论正好揭示了它的同一性，则结论正确。事实上，长方形各边之间的关系与长方体各面之间的关系相似，类比的结果正好揭示了它们的同一性。三棱锥与交点互异的三条直线也有同一性，可以类比，它们两者间的类比关系要更复杂些。三棱锥各边、各面与交点互异的那三条直线之间有相似关系；同时，三棱锥四个面的交点与三条交点互异直线的三个交点之间也有相似关系，可以类比。根据它们两者之间存在的相似性，用推算“交点互异的三条直线将平面分成7个部分”的方法，推算出一个三棱锥将空间分成15个部分。
当我们遇到一个新问题或一些比较复杂的问题时，不能立即找到解法，可以先找到类比问题的解法（这个类比问题的解法比待解问题简单）。通常情况下，在类比过程中进行推测、联想，将各个知识点串联起来，不仅能开阔视野、拓宽思路，还能强化解题技巧，两者配合使用，相得益彰。
参考文献：
[1]吴炯圻，林培榕.数学思想方法——创新与应用能力的培养[M].厦门：厦门大学出版社，2009.8：156.
关键词：“三自主”教学；函数单调性；教学设计
教学背景
函数的单调性是函数的一个重要性质，函数单调性的学习对于今后学习函数其他性质以及研究基本初等函数具有重要意义，在其他方面也有着广泛的应用，在高考中有着重要地位.在前几届的高一教学中，对于函数的单调性，笔者都是按照传统模式上课的，教师引入――提问――讲解――总结，学生思考――回答――练习――小结. 但是实践下来，学生对单调性概念中的“任意”两字理解还是不深刻，一些易错的地方总是要出错，如反比例函数在定义域内为什么不单调，定义法证明的步骤不规范、不严谨等. 究其原因有两点：一是学生上课前没有预习，缺少对概念的基本了解，学生被教师牵着鼻子走，没有自己的见解和思想. 二是虽然教师在讲解时作了适当的引入和铺垫，但由于课堂时间的有限性，还是导致学生参与的太少，因此无法深入理解概念. 本文是笔者在函数单调性概念课开展“三自主”教学的一次成功尝试. “三自主”模式是为探索适合我校实际，为提高学生学业成绩和自主学习能力而开展和实施的一种教学模式. “三自主”即课前自主预习、课内自主探讨交流、课后自主练习. “三自主”模式是指学生学习过程中的三个环节：课前预习环节让学生自主预习，完成学案中的问题导引和尝试习题；课内自主探讨交流环节是指在学生完成学案的基础上，师生探讨交流，教师进行有针对性的讲授，然后完成课内过关练习，教师当场组织校对答案，及时反馈课堂教学效果；课后自主练习环节是在完成课堂教学任务后，学生自主完成教师精心设计的课外提高训练.
下面就这一课时的问题导引和尝试练习的编制及教学探讨笔者的设计思路及看法.
学案的设计
问题导引和尝试练习是“三自主”数学学案的两个重要模块，它们的编制要围绕教学目标的达成而设计. 现对教学目标作如下分析：（1）知识与技能：理解函数的单调性、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用定义证明简单函数的单调性，同时体会数形结合的思想方法.（2）过程与方法：通过学生自主预习且完成学案，引导学生举出实例，画出函数的图象，观察、猜想、操作、验证、抽象、概括，形成概念，通过探讨、交流、体验，由直观感知到符号表示、由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律，经历和感悟定义形成及数学知识的发生、发展过程. （3）情感态度与价值观：经历自主学习、探讨交流的过程，体验数学的思考和研究问题的方式，提升数学阅读理解能力及数学素养，培养勇于探索、求真务实的科学自主精神. 围绕这个教学目标，笔者编制了如下的问题导引和尝试练习：
1. 问题导引的设计
（1）函数的表示法有哪些？你能用图象法举出函数的几个具体的生活实例，并结合图象说明函数的变化规律吗？
设计意图：复习上一节内容的同时，通过具体的生活实例让学生观察函数图象的上升、下降，使其形成对函数增减性的直观感知，认识到研究函数增减性的实际意义.
（2）试用图象法说明在定义域内函数y=x2随x的增大，相应的y的值如何变化？
设计意图：借助熟悉的二次函数图象，引导学生归纳出函数图象在定义域内不总是上升或下降，进而提问学生如何更准确、更具体地刻画图象的有升有降，让学生体会引入区间来刻画升降的必要性，说明函数的增减性是相对于某一具体区间而言的.
（3）试用列表法分析和判断f（x）=x2的增减性.
这种分析方法完整和严密吗？为什么？
设计意图：引导学生把从图象上得到的单调性变化规律转化到用数学关系来表述. 由直观到抽象，揭示知识的生成过程；使学生认识到自变量取值的无限性，即自变量是无法用表格一一列举完全的，激发学生的寻找有效证明方法的兴趣；从而引导学生想到能代替无限取值的两个任意自变量x1、x2，进而去比较f（x1）与f（x2）的大小. 从而突破了教学难点，让学生明白增减性定义形成的必然性和价值.
（4）试用解析法，即代数推理的方法，证明f（x）=x2在区间［0，+∞）上f（x）随x的增大而增大？
设计意图：让学生体会判断函数单调性与证明函数单调性的差别，尝试用定义法去证明单调性，虽然步骤不完整，但因为有了事先对教材的阅读，学生基本上都能想到此法. 同时引导学生得出比较两数大小的基本方法：作差法.为用定义法描述和证明单调性作了第一次铺垫.
（5）增函数（减函数）的定义怎样？请指出哪些是关键词，并说明这些关键词的作用与含义. 定义中“当x1
设计意图：促成学生对概念的深刻理解，引导学生去探究概念的本质，达到对概念的完整认识，建立斜率与导数的几何形式的联系. 特别要引导学生理解以下两方面；一是定义表述中强调了给定区间，就是说函数的单调性是相对于某一具体区间而言的；二是定义表述中的“任意”x1、x2，隐含了两方面的含义：第一x1，x2必须是同一个单调区间上的两个自变量；第二x1、x2在同一个单调区间上必须具有任意性，否则定义将不具备充分性.
（6）什么是函数的单调性？什么是单调区间？单调性与增减性有什么联系？
设计意图：为学生理解相关概念提供思考的问题，引导学生在自主预习中作深入思考，理解概念的本质. 单调性分为增函数和减函数两种情况，若一个函数在某区间上它既有增又有减，那它在该区间上就既不是增函数也不是减函数，即在这个区间上不单调；为了能局部地描述图象特征，因此引入了单调区间的概念，也就是说确定在哪个范围是增的，哪个范围是减的，因此函数的单调性是针对某一范围来讲的.
（7）仔细阅读书上第29页例2，体会函数单调性在物理学中的应用，并总结用定义法证明单调性的步骤.
设计意图：掌握证明函数单调性的方法及基本步骤，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事，将代数证明程序化、符号化，同时体会单调性在实际问题中的应用，呼应了问题1研究函数单调性的实际意义.
2. 尝试练习的设计
例1 如图1所示，此函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
设计意图：能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间.
例2 填表
设计意图：以表格形式呈现有益于掌握这三个基本初等函数的单调性，同时体会定义域是研究单调性的前提，单调区间一定是定义域的子集. 其次二次函数和反比例函数是学好单调性的很好载体，把这两个函数弄清楚了，以后其他的函数也就没问题了. 引导学生用两个很形象的语句来描述这两个函数单调性的特征，二次函数的特征是“一国两制”，同一个函数两个不同的单调性，这里对于反比例函数单调性组织学生讨论，最终得出其特征是“军阀割据”，尽管在（－∞，0），（0，+∞）上都是增或减的，但它们各自为营，互相独立，不能将区间合并，同时总结如何用反例否定函数的增减性.
例3 已知函数f（x）=x+（x≠0），证明函数在［1，+∞）是增函数.
设计意图：通过学生板演，暴露学生的错误及表达的不规范性，然后让学生自我纠错，完善解题步骤. 最后师生总结书写的注意点及解题中关键步骤“变形”的目标和基本技能，形成“取值―作差―变形―定号―判断”这一基本步骤.
例4 已知函数f（x）=ax2－2x+3在（－∞，3）上为单调函数，求a的取值范围.
设计意图：对单调性的拓展与延伸，使学生理解“在某个区间上具有单调性”与“函数的单调区间是某个区间”这是两个不同的概念，前者是后者的子集；同时巩固一次与二次函数的单调性知识，渗透分类讨论的思想：其一是对二次项系数是等于0、大于0还是小于0的讨论，其二对单调函数要分成单调增和单调减两种情况考虑.
“函数单调性”的“三自主”教学反思
1. 开展“课内探讨交流”前，教师需要充分了解学情
“三自主”模式提出把课堂还给学生，表面上好像解放了教师，其实不然. 教师需要对学生及其学习的知识点的情况有很高的熟悉程度，课前需要对学案进行检查和批阅，以便教师更好地在课堂中起启发、引领的作用. 譬如例4的解答，在检查学案时发现学生的解答条理不清，不会分类讨论，其次还是用单调性定义在证明. 这说明学生不知道一次函数和二次函数单调性的结论可以直接运用. 此时就需要教师及时点拨、引导和总结. 同时，由于在课堂上可能出现更多、更复杂的一些即兴情况，这就需要教师站得更高，根据实际及时来调整课堂.
2. 教师要设计“有效”的问题导引和尝试练习
张奠宙教授提出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态” .学案中的问题导引和尝试练习是学生的指路明灯，它起到指引学生进行自主预习、促进学生由浅入深理解概念及学会运用概念的作用，问题导引和尝试练习编制的质量好坏直接关系到“三自主”上课的成败. “三自主”教学模式基于问题导引和尝试练习的定向设计，使得学生易于接受和理解教科书上的冰冷的学术形态. 同时，学生在完成学案和探讨交流中暴露出来的问题， 使得教师易于捕捉学生存在的问题，从而进行“有的放矢”的教学，以致提高课堂教学的有效性. 最关键的是，“三自主”教学以学生自主预习为前提，以学生探讨交流为重心，易于培养学生良好的自学习惯和提高学生的自主能力，最终达成培养学生分析问题、解决问题和总结反思能力的目的.
小学一年级阶段，孩子计算错误率高令低年级数学教师感到困惑。每当遇到学生计算出错了，一些教师总是一味地批评学生：“你太粗心了！”造成学生计算错误的原因其实有很多。怎样提高低年级计算教学的有效性，值得教师思考、研究。
一、创设数学情境，激发学生的计算兴趣
计算教学比较枯燥，学生学习起来比较抽象，不容易掌握。在计算教学中教师要结合具体教学内容的特点和本班学生的实际情况创设数学情境，激发学生计算的兴趣。
如在教学“两位数加一位数（进位）”时，我尝试创设数学情境。我让学生先复习已学过的口算“24+3”，再让学生试着改变算式中的一个数字，成为个位上满十的新算式。学生在富有挑战性的数学情境中，积极观察、思考，开放性地提出了24+9、34+8、29+3、47+8、57+6等诸多新算式，对自己创造的算式兴趣很浓，急着想算出答案，很好地激发了计算兴趣。创设数学化的教学情境同样激活了计算课堂，收到了与生活化情境异曲同工的效果。
二、注重动手操作，加深学生对算理的理解
传统的计算教学只注重计算结果，忽视算理的推导，学生的学习只停留在算对、算快的层面上。新课程下，我们注重计算方法的提炼，寻求算理与算法的结合点，使学生不但会算，还明白计算的道理，也就是准确理解算理。由于数学知识本身的抽象性和低年级学生思维的直观性，理解算理成了计算教学的难点。
在计算教学中，我们可以让学生动手操作，比如通过摆小棒、拨计数器等活动帮助学生加深对算理的理解与感悟，突破难点，促进学生思维能力的提高。
例如在教“两位数减两位数的退位减法”时，不妨让学生多次经历动手操作的过程，摆小棒，在计数器上演示算理，让学生借助直观深刻领悟笔算算理，充分感悟到：当个位上不够减时，要先从十位上退一当十，再减。在巩固练习阶段，教师应适当加强训练，这样学生对算理的理解和感悟才会深刻和透彻，抽象算法才会顺畅和快捷。
三、创设错误情境，引导学生自主纠错
一些学生在计算时错误百出，如抄错数字、符号、弄错运算顺序等，教师为学生的错误而烦恼、困惑。其实，在学习中出错是难免的，当学生出错时，教师不要急于指出错误，说明正确答案。如果直接给出正确答案，就可能造成学生一听就懂，一过就忘，一用就错的局面。若能将错就错，创设错误情境，让学生自我教育，则不仅能充分发挥学生在学习中的主体作用，还能提高学生的计算技能和计算正确率。
在计算教学中，我创设的错误情境主要包括两个方面：一是教师故意创设错误情境，让呈现内容与学生已有的思维发生冲突，激发学生寻找错误的强烈动机；二是在进行作业反馈时，除展示正确的答案外，还展示错误的答案，让学生在正确、错误的对比中辨明是非，减少计算错误。
关键词：小学数学；凑十法；进位加法；退位减法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）07-0064-02
在人教版小学一年级数学上册教材“进位加法”讲到了“凑十法”，它的原理是：把加法算式中两个加数中接近10的一个凑成10。方法是：离10近的那个数缺几够10，就从另一个加数借几凑成10。然后再用凑成的10加另一个数被借走后剩下的数。通过教学探索，我发现：（1）凑十法并不局限于教材中所涉及的形式；（2）也不仅局限于进位加法，在退位减法中同样适用；（3）数学教学不应该脱离学生的生活实际，特别对于低年级小学生来说尤为重要。
低年级小学生抽象思维能力较差，思维还是以形象思维为主。教师设计教学方案在充分了解教材的同时，还应充分了解学生，了解他们的知识基础、生活经验。只有充分利用好这些因素才能顺利完成教学目标。
一、凑十法在进位加法中的运用
在最初的教学中，我采用教材中的形式教学，由于多方因素，教学效果不是很理想。当时我就想：怎样才能让学生学会进位加法呢？此时学生对“10加几”和“几加10”的计算已经很熟练了，能不能利用“几加10”这一知识架设桥梁呢？
于是我重新设计了教学方案。大致如下：
（一）复习导入
4+10= 5+10=
7+10= 6+10=
通过学生练习回答，进一步巩固了“几加10”的计算。
（二）教学新课
1.出示例题：7+9=
2.教师引导，学生思考。
师：“7+9=”这个算式你能利用前面“几加10”的知识来计算吗？
生：把7+9变成7+10
师：如果把7+9变成7+10，多加了几？
生：多加了1。
师：多加的还要怎样才能和原来计算结果相同？
生：多加了1，还要再减去1。
教师板书：7+9=7+10-1=16
小结：“几加9”可以把9看成10，“几加10”再减1，因为加10比加9多加了1，所以一定要减1。
在这个设计里，充分利用了学生“几加10”的已有知识，把9转换成“10-1”取得了良好教学效果。
在后面教学“几加8”、“几加7”……的进位加法时，我也充分利用了学生对前面“几加9”的知识基础，把8转换成10-（ ），把7转换成10-（ ），利用类比推理的方法，触类旁通，教学效果也不错。我想这种算法也应算“凑十法”吧。
建构主义的学习理论认为：学习不应被看成对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构；学习活动是一个“顺应”的过程，即不断地对主体已有的认知结构作出必要的发展或变革。这一点我在退位减法教学中深有体会。
二、凑十法在退位减法中的运用
在人教版小学一年级数学下册教材“十几减几”的退位减法中，教材里主要讲了三种方法：
（1）破十法：即把被减数“十几”分成10和几，先用10减去减数，所得的差再加上被减数分出的“几”。例如：12-9=10-9+2。
（2）连减法：先从被减数中减去“零数”――也就是被减数中个位上的数，被减数变成了10，还缺几没减够，就再减几。例如：14-8=14-4-4。
（3）想加算减法：根据进位加法逆算退位减法。例如：因为8+7=15，所以15-8=7。
破十法：充分利用数位知识，简单易学，教学效果良好。连减法：易于掌握，教学效果也很不错，但从长远来看，影响学习口算退位减法速度。想加算减法：前提是进位加法一定要熟练，否则，就很难熟练运用。
现在，人们的生活水平有了很大提高，家长给孩子的零花钱也多了。孩子们花钱买东西的经历自然不用说了。根据孩子们的花钱经历和学生对十几减10的计算熟练程度，我对“十几减几”的退位减法教学做了新的尝试。重新设计了教案。
在“创设情境，导入新课”这一环节，我创设了这样一个问题情境：同学们，买一只转笔刀要9元，假如你有15元钱，要买一只转笔刀，你会怎样付钱？有的说零钱够的话就用零钱付；有的说零钱不够就拿10元付，让售货员往回找给钱呗！
我借机转入新课，如果这15元刚好由一张10元和一张5元组成的（这样假设是考虑到15的数位组成），谁能算一算付清钱后还剩几元？这时很多学生举起手。回答的结果都是还剩6元。我指名班里平时成绩较差的学生说一说是怎样算的。他回答说：从15元里拿出10元，还剩5元，本应该付9元，却付了10元，多付了1元，售货员还得找回来1元，这样一共剩6元。
接下来我就直接出示了“16-9=”这个算式，请学生计算。他们很快就算了出来。我又指名说算的过程，他们的回答是：16-9=16-10+1。我问：“为什么要加1呢？”学生异口同声地回答：“该给9，却给了10，多给了1，当然要要回1来了。”理解得多透彻啊！
“若是减8呢？”
“那就减10再加2呗！”
“若是减7呢？”
“那就减10再加3呗！”
“若是减6呢？”
“那就减10再加4呗！”
“你们发现了什么规律？”
“把减数凑成10来减，多减了几，就再加上几。”
这种源于学生生活经验的算法是否也可称为“凑十法”呢？
关键词： 动态生成资源 课堂预设 课堂错误 课堂亮点
叶澜教授在《新基础教育》中提出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”也就是说，要从生命的高度，用动态生成的观点看课堂教学。课堂教学应被看做师生人生中一段重要的生命经历，是他们生命的有意义的构成部分。“要把个体精神生命发展的主动权还给学生”，师生在交往互动中也时时生成课程资源。如果说教师、学生本身这些资源是静态的话，那么课堂互动中的资源则是动态生成的，它稍纵即逝，弥足珍贵。所谓课堂“动态生成”就是指在教师与学生、学生与学生合作、对话、碰撞的课堂中，现时生成的超出教师预设方案的新问题、新情况。它随着教学环境、学习主体、学习方式的变化而变化，根据教师的不同处理而呈现出不同的价值，使课堂呈现出动态变化、生机勃勃的新特点。“动态资源”指课堂即时产生，教师预想之外动态产生的教学资源，这种资源是学生真实体验的一种反映，是一种转瞬即逝的非常宝贵的教学资源。由于动态资源是即兴的、灵动的，是来自学习者自身的，这就需要教师在课堂中眼观六路、耳听八方，心中要有目标的调控和组织来挖掘、利用、调动课堂动态生成资源。这是新课程对教师提出的又一新的挑战，教师如何运用课堂教学中的动态生成资源，使之成为提高学生知识、能力、情感的催化剂呢？下面我谈谈自己的实践体会。
一、巧用课堂预设，充分挖掘课堂动态生成资源
教师精心设计预案，为学生“生成性资源”的重组留有足够的空间和实践，生成性教学的主体是学生，一切知识经验的获得依赖学生的自主建构、自我内化，新课程理念下未知的、随机的课堂教学要求教师应当为生成性教学充分预设，精心设计灵活的预案，改变以往为教而写教案的意识，将主要精力用在服务于学生主体学习的预案设计上，针对学生的学情预测更多的可能，并准备应对策略，以便当课堂上生成相关问题时，能及时、灵活、合理地调整教学预案，让预设真正服务于课堂的有效生成。
案例一：在教学“小数的加减法”时，执教老师从“整数的加减法”复习导入，再引入“小数的加减法”。教师先引导学生自己尝试练习，学生结合整数的加减法轻松地笔算出小数的加减法算式。此时学生学习兴趣盎然，学习积极性很高，接着教师又让学生练习了几题，再让学生小结笔算小数加减法的计算方法，学生有了笔算整数加减法的铺垫，自己总结出计算方法，生成整数中的“数位对齐”在小数中就是“小数点对齐”，更方便笔算小数的加减法。
在整个教学过程中教师紧扣教学目标，由浅入深，循序渐进，精心预设一些典型题型，抓住学生思维的“生长点”，不仅促进课堂教学动态生成，还用智慧将课堂演绎得更精彩。
二、活用课堂错误，充分利用课堂动态生成资源
心理学家盖耶认为：“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”真正的课堂会因错误、发现、探究、进步的良性循环而充满活力。教师在课堂上要积极关注这种动态资源，从科学角度认识学生在学习中出现的错误，以发展的眼光理解这些错误的价值，引导学生自己剖析，从而达到提高学生的解题能力，避免灌输，让学生自悟的目的。
案例二：在教学“口诀求商”时，学生很容易将被除数和除数相乘得出商。如6÷2，学生想都不想就得出6÷2=3，其实在教学例题的时候是从解决问题“10个小朋友打乒乓球，每2人一组，分成了几组？”导入的，学生根据除法的意义得出它的结果，推理出可以用乘法口诀“二（五）一十”算，商是5。可当碰到被除数和除数是两个比较小的数时，学生就会用错乘法口诀。
此案例中，在小结口诀求商的计算方法时，可让学生比较除法算式和乘法口诀的联系，他们发现乘法口诀中的积，其实就是除法算式中的被除数，这样大大降低了计算的错误率。学生用自己的思维方式比较了除法和乘法口诀间的联系，不仅从错误中吸取了教训，避免类似错误的再次产生，而且培养了思维的批判性，达到了在相互启发、相互交流中共同提高的目的。
三、善用课堂亮点，充分调动课堂动态生成资源
在教学过程中发生的意外事件，有些具有一定的教学价值，完全可以开发成有效的教学资源。因此，教师要根据课堂上获得的信息，善于抓住契机，充分利用课堂上有价值的教学生成资源，及时调整教学方案，不断地激发学生的创造才能。
案例三：“认识厘米”一课，教学画一条长“4厘米的线段”时，教师巡视，发现学生正确率很高，学生基本掌握了画线段的方法，可意外发生了。一位学生说：“老师，我的尺子断了，怎么办呢？”教师说：“哦！”略微停顿接着说：“小朋友们，他的尺子断了，上面只显示了12～20厘米，还能画一条长四厘米的线段吗？”这个学生说：“可以，他可以从12厘米开始，画到16厘米结束，也是长4厘米的线段。”还有学生迫不及待地说：“也可以从13厘米画到17厘米，也是4厘米。”不时有学生举手，说出不同的答案。
本节课中教师表扬了学生的这个亮点，短短一节课，学生在高昂、兴奋的情绪中度过。由于善用了教学生或资源，从而激活了其他学生的思维，迸发了智慧的火花。可见课堂中学生的回答往往会不经意地出现一些亮点，这是学生学习的顿悟、灵感的萌发、瞬间的创造，稍纵即逝。教师必须用心倾听，善于利用和给予充分肯定，让智慧闪耀光芒。
苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于预见到课的所以细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生的不知不觉中作出相应的变动。”只有尊重生成，弘扬学生的课堂，巧用生成，保证资源的有效利用，我们的课堂才能充满智慧的灵光，我们的学生才能充分投入到主动学习、积极探究的活动中，从而获得思想启迪，加深知识理解，促进思维拓展，真正实现自身的价值，享受获得知识的甜蜜，品味心灵成长的幸福。
参考文献：
[1]史宁中.《数学课程标准》的若干思考[J].数学通报，2007（5）：1-5.
[2]曾莉华.数学课堂的预设与动态生成[J].小学数学教育，2005.10.
教学设计案例
在“退位减法”的教学中，教师首先提供了“6捆”、与“6根”小棒，代表66，然后教师拿出8根，问学生怎样列算式，学生说：“66-8=”这时，教师让学生说出计算结果是多少，一个小男孩边摆边说：“先摆6根――再摆6捆――6-8不够减――从6捆中拿出10根组成16根――然后再拿出8根――这时还有8根――数一数就是58根。”他的演示与回答赢得了大家的掌声。然后第二个学生重复了第一个的做法，也获得了正确的结论。然而，当教师把题目修改为“66-38=”时，问题出现了，小棒不够用了，这时候，教师只好把题目改回了“56-38=”，显然，遇到障碍便选择回避。此时，教学过程因此而失去了一次由特殊、个性化走向一般规律的机会;而且除了摆小棒这一教师设计好具有一些思维价值的学习过程，师生再也没有尝试任何其他解决问题的办法，整个实践过程也中规中矩、按部就班地执行教师设计过程而结束。
第二环节教师终于要从数学实践引向数学方法了，但教师提出的问题却是“怎样用竖式来解决摆小棒所能解决的问题”。这样，就直接迈过了由生活化的数学实践到一般性的数学抽象环节，教学过程取代了学生的思考和尝试，因为学生在学习两位数加法时已经掌握了竖式问题，所以学生很容易得出“56-38”转化为竖式，这时，教师开始讲两位数减两位数的减法要注意的问题是什么：一是相同数位对齐;二是从个位减起;三是个位不够减，要从十位上退一，在个位上加10，再去减。这个时候，要在十位上加上退位点。学生按照教师的指导，很快呈现出了一个正确的算式。
第三环节是做教科书第19页的练习题，笔者在这期间巡视了课堂，发现出错的学生寥寥无几，也就是说，教学结果是学生都会了。
教学设计评价
教师稍加分析就不难发现，在这节课上，实践探索环节与学生学习“退位减”的过程是脱节的：摆小棒来演示的是隐含的“借”，“零”向“整”借“1”，这一过程没有在教学中总结提升。因此，第二环节的教学事实上是从“零起点”开始的，仍是教师主导学生，甚至称之为灌输，是以教学设计的的完整性来取代学生突破思维冲突的灌输结果。结果是学生会做题了，但前提是这一教学内容从知识本身来说是简单的，已经学过个位数减法与两位数加法，特别是“进位加”之后，学生可以借助“摆小棒”之类的实践活动以及借助“进位加”的规律推演、归纳出“进位减”的基本运算规律。然而教学呈现的是两个没有关联的教学活动，所以最终演化为教师告诉学生“计算规则”，而学生记住规律就会做题。对于学生来说，缺失了关联，数学实践、数学思维、数学方法都未曾感悟，数学经验与思想都没有得到生成。
其实，在学生运用木棒解决问题以至引出竖式后，可以追问学生是怎样思考的，让学生将竖式计算与现实生活、动手实践等活动结合起来思考问题，这样，属于数学的探索才产生了，教学才有了过程。
在三年级“连续退位减法”一课教学中，教师直接呈现问题“517-348=”，让学生用竖式来计算。此时学生出现了三个答案：159、169、179，这时候，教师让学生开始思考与研究“为什么会出现三个答案”“这个答案是怎样得来的”。这一学习过程不是为了追求标准答案，而是让学生去主动“试误”，探究性的学习过程便呈现出来了。十几分钟后，学生开始汇报研究过程，不仅说出了“517-348=169”是怎样得来的，而且说出了“517-348=159”“517-348=179”的错误结论是怎样产生的。此时，教师仍然没有就结论得出而停止探究，而是让每位学生都用自己理解的最规范的话，将“连续退位减法”的计算过程和注意事项说出来，过程性的学习让一个个清晰的数学模型在学生的脑海中慢慢建立起来。
教学设计反思
教师要实现真正的探究，有时候并不在乎问题本身的难度如何，而在乎如何运用这个问题进行一种有思考力的、有追问性的学习。在教学中，教师在考虑“学生必须学会的”知识时，是需要利用更多外延拓展来实现教育功能的。
设计问题，还要设计过程，带领学生走向知识，有捷径固然轻负担也高质量，在过程中多做停留才是学习的关键。学习过程是一个“双向建构”的过程，其一是学生对所学得的知识、能力、情感的综合建构;其二也是学生对自我认知的建构。而这两个过程都需要借助学生真实参与的学习过程来实现。
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