1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。
（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）
二次函数的教学设计
马玉宝
教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标：
1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．
(1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．
(2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题．
2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．
3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．，全国公务员共同天地
教学建议
教材分析
(1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．
(2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．
(3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．
教法建议
(1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．
(2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．
教学设计示例
对数函数
教学目标
1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．
2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．
3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．
教学重点，难点
重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．
难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．
教学方法
启发研讨式
教学用具
投影仪
教学过程
一.引入新课
今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．
提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?
由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：
由得．又的值域为，
所求反函数为．
那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．
2．8对数函数(板书)
一.对数函数的概念
1.定义：函数的反函数叫做对数函数．
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
二．对数函数的图像与性质(板书)
1.作图方法，全国公务员共同天地
提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．
由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．
关键词：初中数学；函数教学；图形；问题
函数是初中数学教学中的重要内容，也是其教学难点，在整个初中数学教学中占有重要的地位。在教育改革不断深入的背景下，初中数学教学从教学理念、教学方法、教学评价等方面进行了全面改革。众所周知，初中数学的教学内容极为丰富，函数作为其重要的教学内容，在教学过程中采用有区别性的教学方法，能提高课堂教学效率，使学生更容易理解和掌握函数知识。
一、初中数学函数教学分析
函数是初中数学中的重要内容，是数学中的一种对应关系，每一个输入值会对应一个输出值，一般情况下，使用x表示输入值，f（x）表示输出值。函数有多种类型，在初中数学中，主要的函数类型包括三角函数、一次函数、二次函数以及反比例函数。这些类型的函数是考试的重点，也是以后高中数学学习的基础。函数内容贯穿于整个初中数学教学中，从初一较为简单的方程、整式、坐标系，到初二的一次函数、二次函数以及后来的反比例函数，整个初中阶段，学生要学习不同形式的函数，函数的内容也在不断地深化。因此，只有选择适当的函数教学方法，才能为学生掌握复杂的函数内容理清思路。
初中函数的内容较为复杂，包括三角函数各个角之间的关系，三角函数的表示公式以及图象复杂的二次函数等内容，在具体的教学过程中存在很大的难度，加上在考试过程中这些函数内容往往会综合在一起出现，而学生对知识点理解有限，对此类题型往往无从下手，因此学习时具有较大的难度。新课标对函数教学提出了新的要求，函数作为考查学生数学综合能力的重要知识，促使函数教学不断改革创新，取得较好的教学效果。
二、改革初中数学函数教学的方法
面对新课标对初中数学函数教学提出的新要求，在整个初中数学教学改革的背景下，教师要积极寻求改革函数教学的方法，以提高初中数学函数教学效果，提高学生的数学综合能力。
（一）有效区分函数与其他数学教学内容
初中数学的学习不仅要帮助学生提高基本的计算能力、思维能力、空间想象能力，还要促使学生将学到的数学知识应用到具体的实际生活中。通过对数学知识的理解和运用，将复杂的生活问题用简单的数学知识化解。数学教学是一个循序渐进的过程，不同的知识点之间存在一定的联系，只有进行有效的区分，才能更好地进行其他内容的教学，使学生能够理清各个知识点之间的关系，更好地掌握函数知识。一次函数、二次函数与其他数学内容的不同，是教师教学函数知识的关键。通过回顾以往的知识，对不同的知识点进行对比、分析，总结不同知识点之间的关系，可以加深学生对函数知识的理解，避免知识点的混淆影响整个函数的教学效果。
（二）利用图形辅助教学，提高学生的思维能力
初中阶段是学生思维能力提高的关键时期，而函数作为初中数学的重要内容，其主要的数学思考方法就是逻辑思维方式。因此，在具体的函数教学中，教师应该重视学生思维能力的提高与培养。函数是一个较为抽象的概念，单纯依靠教师的讲解与教材的实例，不能使学生完全理解和掌握函数知识。在这种情况下，教师可以在课堂上引进多媒体，利用图形辅助的方式，构建图文并茂的函数教学内容，使学生能够比较容易理解。另外，图形辅助可以提高学生的学习兴趣，也能让学生发现数学问题中存在的函数关系，对提升学生的思维能力具有非常好的作用。
（三）设计巧妙的问题，提高学生的思考能力
数学学习的目的是解决实际问题，而函数教学就是让学生掌握解决实际问题的能力。在具体的函数教学中，教师可以设计一些巧妙的问题，以加深学生对函数知识的理解，提高其思考能力。例如，在人教版初中二年级数学教学中，学生在分析正方体表面积与棱长的关系时，教师可以与实际的生活联系起来，将生活中遇到的问题与二次函数结合起来，调动学生的思考能力。另外，在教学存款问题时，本息与存款年利率之间的关系就可以利用函数关系来表示。这些问题的设计，是教师针对性的问题设计，能够帮助学生真正理解函数的内容，并将其运用在实际的生活中，解决相应的问题。
在新课程改革的背景下，重视初中数学中的函数教学，有效区分函数与其他数学教学内容；利用图形辅助教学，提高学生的思维能力；设计巧妙的问题，提高学生的思考能力等，都能有效提高函数教学的效果，培养学生的数学素养，促进初中数学教学改革。
参考文献：
[1]李慧.初中数学二次函数教学探讨[J].才智，2015（24）：141.
【关键词】指数函数 对数函数 大纲 体系 教学建议
在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质，随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上，引入幂函数、指数函数、对数函数，学习其相关性质与应用。通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数函数广泛的实际应用。掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的影响。
一、大纲分析
数学课程任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。通过教学发展学生的数据处理、工具运用等技能，培养学生观察、分析与解决问题等数学能力。
大纲建议指数函数与对数函数部分为12课时，本教材新授部分11课时，复习小结1课时。
大纲规定学习应达到的能级要求包括4项了解（幂函数、积商幂的对数、对数函数的图像和性质、指数函数与对数函数应用），3项理解（有理数指数幂、指数函数的图像和性质、对数的概念）以及2项掌握（实数指数幂及其运算法则、利用计算器求对数值）。
二、知识体系
三、教学建议
本章内容的学习基于已掌握的函数相关概念、性质以及幂的概念、运算等知识。教学过程中应创设让学生主动探究、合作学习的教学氛围，注重运用类比、归纳等教学方法，将构建“知识体系”作为学习的策略和目标，切实激发学习的兴趣，提升学习的能力，达成教学目标。下面，笔者按节就设计思路、教学目标、内容要点、教学建议（分课时）四个方面进行教材解读，给出教学建议。
（一）§4.1实数指数幂（2课时）
设计思路：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，引导学生理解识记n次方根以及根式的概念及性质，引出分数指数幂的概念，将幂指数由正整数推广到有理数范围。通过用计算器求幂的值及阅读“读一读”的内容，让学生体验到无理指数幂也有意义，进而将有理指数幂推广到无理指数幂的范围。通过探究，让学生体会到运用整数指数幂的运算性质，当幂的指数是任意实数时，尽管表达式不同，但运算结果相同，可得出“整数指数幂的运算性质在实数范围内适用”这一结论。
第1课时
本课的学习是在学生初中所学过的平方根概念、立方根概念、二次根式的概念、整式概念等知识的基础上进行的。
1.探究：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，识记n次方根以及根式的概念及相关性质，引入分数指数幂的概念，将幂的指数由正整数推广到有理数范围。
2.概念核心要素：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；当n为偶数时，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根。
第2课时
本课的学习是在初中所学过的整式的基本运算性质及上节课所学的实数指数幂等知识的基础上进行的。
1.探究：教材第94页给出了三组式，每组两式。借助所掌握的运算性质及计算方法，利用计算器运算出相应的值，分析计算结果，类比所学整式的相关运算法则，大胆猜测整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算。学生举例、讨论、交流，得出结论。
2.概念的核心要素：整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算。
3.例题反思：
例3（教材第94页）直接运用公式4.3-4.7进行计算。
例4（教材第94页）是公式的进一步应用。当遇到根式相乘除时，基本方法是先将根式化为分数指数幂的形式，再运用实数指数幂的相关运算法则进行计算。
4.问题解决：能够得到的结论（教材第95页）是：实数指数幂的形式能解决实际生活中的相关问题。通常可以先通过审题以获得相关信息，再理解所求元素与所给幂形式之间的对应关系，明确自变量与因变量，体验用函数思想、方程思想解决实际问题的方法。
（二）§4.2幂函数（1课时）
设计思路：通过比较一次函数、二次函数、反比例函数这三个基本初等函数的解析式中常量与变量的特点，发现幂函数的特点，得出幂函数的定义；通过观察具体给出的幂函数的图像，尝试写出幂函数的定义域，感受幂函数的定义域不是确定的这一特点，体验数形结合的思想。
本节的学习是在学生掌握了函数相关概念、表示方法、性质的基础上进行的。
1.探究：教材第96页通过比较一次函数、二次函数、反比例函数这三个基本初等函数的解析式中常量与变量的特点，发现幂函数的特点，得出幂函数的定义。定义主要从其解析式的形式、指数的取值范围两个方面考虑；幂函数的定义域应根据具体情况而定。
2.概念的核心要素：符合幂函数定义形式的函数是幂函数，否则不是；幂函数没有统一的定义域。
3.例题反思：
例1（教材第96页）是根据幂函数的定义，判别所给函数是否是幂函数的题型。解题的关键在于函数关系式的“形式”是否与定义相一致。
例2（教材第96～97页）通过观察具体幂函数的图像，尝试写出幂函数的定义域，发现“幂函数没有统一的定义域”这一特点，体验数形结合的思想。在思考幂函数的定义域时，也可以从函数解析式本身有意义的角度思考自变量的取值范围。
4.思考交流：
能够得到的结论（教材第97页）是：幂函数的定义域根据具体情况而定；在具体问题情境中，利用幂函数的函数关系式解题关键在于，将解析式中各部分的对应关系搞清楚。
（三）§4.3指数函数（2课时）
设计思路：通过情境、语言、图表和数学符号等多种方式让同学体验到数学模型在数学学习中的意义，通过探究、分析、类比、归纳等数学方法的应用，引出指数函数的定义、定义域，了解指数函数与幂函数的区别。通过实践，让学生进一步掌握“作图”的技能，通过对图像的比较、观察、归纳，得出所给出的具体指数函数的性质。通过观察不同类型多个指数函数的图像，结合对具体指数函数的性质的表述，得到指数函数当a>0与a
第1课时
本节的学习是在理解了函数概念及性质、幂函数概念的基础上进行的。熟悉用描点法作函数图像，能根据所给函数的图像描述函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）。
1.探究：教材第98～99页通过实例让学生发现一组数的规律，写出这个变化过程中两个变量之间的函数关系式。得到指数函数的定义。同学们举出指数函数的实例，讨论交流。
2.概念核心要素：符合指数函数定义形式的函数是幂函数，否则不是；指数函数的定义域是R。
3.例题反思：
例1（教材第99页）在同一坐标系中用描点法作指数函数的图像是初中已经掌握的知识与技能。需要注意的是列表的关键在于准确、适量选取自变量的值，取值遵循“能简则简”的原则。
4.问题解决：
能够得到的结论（教材第100页）是：根据指数函数的图像描述指数函数性质主要从以下几个方面来表述：定义域、值域、图像所过的特殊点、图像位置、单调性等等。这与前面函数部分所学的函数性质知识体系是一致的。
第2课时
本节的学习是在了解指数函数的概念，能表述两类指数函数（a>1，0
1.探究：教材第100页通过实例让学生观察所给指数函数的图像，通过分析图像中的信息，描述它们的性质并总结得出指数函数的性质。
2.概念核心要素：底数a>1的指数函数性质相同；底数0
3.例题反思：
例2（教材第102页）是根据给定的条件，求函数关系式的问题。用待定系数法求出函数关系式。
例3（教材第102页）是比较数的大小问题。通过比较所给数的形式发现两个数都是幂的形式，它们同底数不同指数，是同底的指数函数的不同值。利用指数函数的单调性可以比较其大小。
如果遇到与数1进行比较时，由a0=1（a≠0）可得，数1可以化为与所比数同底的0次幂，再利用指数函数的单调性进行大小比较。
4.问题解决：
能够得到的结论（教材第102页）是：指数函数y=ax（a>0且a≠1）与指数型函数y=Aax（A是常数，a>0且a≠1）虽然是不同的函数，但前者的相关性质后者也相应具备。
（四）§4.4对数的概念（1课时）
设计思路：通过实例引导学生再次思考ab=N（a>0，a≠1）一式中如何用底数a、幂值N来表示指数b，引出对数的相关定义。通过比较对数式与指数式，让学生发现两种形式之间的内在关系，并能将指数式、对数式进行互化并通过对数概念在自然科学中应用的实例，让学生体会对数的重要性。
本节的学习基于学生对式ab=N（a>0，a≠1）形式的了解。该式中底数a、幂值N可以表示指数b。熟悉幂函数与指数函数的定义与性质有助于更好地学习本节内容。
1.探究：教材第104页引发学生思考：式ab=N（a>0，a≠1）中如何用a、N来表示b？例如对于三个数2，3，8，用2和3可以表示8，即23=8，用3，8可以表示2，即■=2，如何用2，8来表示3呢？
2.概念的核心要素：对数是个形式概念，它解决了式ab=N（a>0，a≠1）中，用底数a、幂值N来表示指数b的问题。需要注意的是，真数N大于零，底数a>0且a≠1。
3.例题反思：
例1、例2（教材第105页）是将对数式与指数式互化的问题，关键在于理解定义。
4.问题解决：
能够得到的结论（教材第105页）是：通过对数概念的学习，可以解决式中ab=N（a>0，a≠1），用底数a、幂值N来表示指数b的问题。b=logaN（a>0，a≠1）。
（五）§4.5对数的运算（1课时）
设计思路：通过探究活动让学生观察、归纳、发现对数的运算性质；通过积的对数的运算性质证明，体会运算性质的推导依据，感觉数学逻辑思维之美。
本节的学习基于学生知道了什么是对数，怎样将对数式与指数式进行互化，能求简单对数的值。熟悉实数指数幂的运算性质对积、商、幂的对数运算性质的推导十分有用。
1.探究：教材第106～107页通过表4-8给出了三组式，利用上节课所学求对数值的方法分别求出相应的对数，分别比较其底数、真数、计算结果，发现规律，获得数学猜想，在教师的指导下，推理论证得出结论并理解提升。
2.概念的核心要素：对数的积、商、幂的运算性质成立的前提条件是对数式本身有意义，在此基础上，相关运算性质均适用。
3.例题反思：
例题（教材第107页）为直接运用对数的积、商、幂的运算性质进行计算的题型。解题中应当注意公式运用的准确性及对“数感”的培养。
4.思考交流：能够得到的结论（教材第108页）是：当a>0，且a≠1时，logaab=b。
（六）§4.6对数函数（2课时）
设计思路：通过对对数函数作图的实践，感受图像的变化趋势，发现图像的特点，经历类比、归纳、交流等学习过程，总结得出规律。
本节的学习是在理解对数及其运算性质以及对指数函数概念、性质等知识有一定建构的基础上进行的。熟悉对数的概念、指数函数的定义及性质，明确对数与指数两个概念的区别与联系有助于学好本节内容。
2.概念的核心要素：与指数函数的性质类似，对数函数的性质描述的着眼点与指数函数的性质描述相同。
3.思考交流：能够得到的结论（教材第111页）是：与指数函数类似，根据底数a的取值范围，对数函数也可以分为a>1、0
不难发现：对数函数性质的表述、分类与指数函数相同，可以将二者类比掌握。
4.例题反思：
例1主要通过对给定对数函数图像的观察，结合所学，类比指数函数性质的学习，叙述对数函数的性质。一般从其定义域、值域、图像位置（过特殊点）、单调性等几个方面进行叙述。
例2（教材第112页）通过给定函数图像上的点的坐标，类比教材第102页求指数函数关系式的方法求对数函数关系式，并根据关系式，求具体的对数值。一般采用待定系数法，用代入的方法求出对数函数的关系式。
（七）§4.7利用计算器求对数值（1课时）
设计思路：通过例题的实践让学生掌握求任意底的对数值的一般步骤方法。知道即使不用换底公式也能求一般底的对数值。
本课的学习基于学生已经掌握了对数的概念、性质，熟悉整式的运算法则，对所使用的计算器的基本功能有一定了解。
1.例题反思：
2.能够得到的结论：
在解指数方程的时候，可以先将指数式化为对数式，再利用求对数值的相关办法求得方程的解。转化思想是解题中常用的方法之一。
（八）§4.8指数函数、对数函数的实际应用（1课时）
设计思路：通过体验运用指数函数和对数函数知识解决简单现实问题的过程，感受从函数角度观察思考生活情境和自然现象，尝试用数学眼光解释生活中的某些现象，培养应用数学解决问题的能力。
本课是在学习了幂函数、指数函数、对数及其运算、对数函数等内容的基础上进行的。熟悉幂函数、指数函数、对数函数的相关概念及性质、了解指数函数与对数函数的区别与联系、能将对数式与指数式进行熟练互化等，有助于解实际背景下相关函数应用类型题目。
1.例题反思：
例1（教材第117页）给出了指数型函数的实际背景。指数型函数不是指数函数，但其性质与指数函数类似。求解时需要将指数式化为对数式，再利用计算器求得最后结果。
例2（教材第117～118页）遇到给出了对数型函数的实际背景的问题时，可以通过式的变型转化为熟悉的类型求解。
2.能够得到的结论：
1.函数概念的教学
在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系，它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。函数概念不仅与中学数学中的重要内容(如数、式、方程等)有密切联系，而且是近代数学的主要基础。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就使中学数学能接近数学科学的现代水平，进而使学生获得基本的深刻的有用的高等数学思想方法［1］。
关于函数与函数值函数的传统记号是f(x)或y=f(x)或f(x，y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x，y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。函数f是指将f(x)指派给x，如lg是将lgx指派给x。
例1.f(x)=2x+1，求f(x-1)，f［f(x)］，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。
解：f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1
f［f(x)］=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3
显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域、值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。
例2.已知y=f(x)的定义域为［0，1］的函数，求f(x-1)的定义域。
分析：f(x-1)中自变量应是“x”，而非“x-1”，因此求定义域，即求x的取值范围。
解：由已知0≤x-1≤1有1≤x≤2，
解之得1≤x≤或-≤x≤-1，
f(x-1)定义域为{x|1≤x≤或-≤x≤-1}。
例3.判定函数f(x)=1，f(x)=sinx+cosx二者是否为同一函数。
从形式上讲，无论如何也不能断言这两个函数相等;而从本质上讲，对于任意实数x，sinx+cosx=1又无可非议，因而f(x)=f(x)，所以不管对应法则如何千变万化，抓住函数概念的实质便不会产生理解上的歧义。又如函数f(x)=x，f(x)=是不同的两个函数。因此正确理解函数的概念，要从函数的三要素(定义域、值域、对应法则)入手，逐一考查。
2.函数性质的教学
研究函数的性质，不仅可以加深对函数的认识、理解、掌握，更重要的是可以利用函数的性质解决相关的数学问题［3］。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，我们已经形成初步认识。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性，亦即“变中不变”的性质。作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣。目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程。其实，对于如何用探究的方法对“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，并进行了尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破。
3.教学案例及分析
课例1：函数的单调性。
授课时间：2008年11月14日。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：理解函数单调性的概念，把握函数单调性的实质;掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。
教学过程：
（1）启发引入阶段。
师：请同学们作出下列三个函数的图像：(1)y=-x；(2)y=|x-2|；(3)y=。(教师巡视)
(几分钟后，请两位学生画(1)，(2)和(3)的图像，请其他学生与黑板上的核对有什么不同。)
(2)阅读书本阶段。
师：对照书上给出的单调性定义，强调增函数、减函数是在区间上。而区间很重要，是自变量与函数值的关系。这里x，x的任意性是非常重要的。对照书本再看一下概念，单调区间。
（3）解疑、训练阶段。
例题讲解，证明函数f(x)=-x+1是R上的减函数。简析：这个课例比较明显地表现为一个学生学习的发现过程，比较多地表现为概念形成过程。教师呈现了一个观察三个函数的共性的问题情境，通过这个情境，引导学生认识函数单调性的本质。然后在这一理解与认识的基础之上给出书上的形式化定义，完善学生对于单调性的数学理解，并通过证明练习，巩固新知识的获得，整个过程设计得完整、合理，符合学生的认知与思维特点。
案例2：函数的概念。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：
（1）知识与技能
①了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素。
②了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示。
（2）过程与方法
①进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数概念中的作用。
②通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想。
（3）情感态度与价值观
①能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考。
②函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点。
教学过程：
实例1：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中恩格尔系数随时问(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
从图表中的数据可以看出我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少。
4.结语
针对教学现状，结合函数历史，我认为中学函数教学应该加强以下几点。
(1)重视函数的概念教学
我国的教学一贯是注重运算推理与解题技能，而对知识的产生过程漠不关心，其结果只能是空中楼阁，所以我们应该重视函数的概念教学。调查结果表明，学生对函数的认识是多样的，历史上不同时期、不同的数学家的观点也是各不相同的，因此概念的教学还应该多样化［4］。例如在解决有关指数函数、对数函数的定义域和值域的问题时，采用“变量”观点给出的定义，这样便于突出y随x的变化情况;在讲述反函数概念时，应采用“解析式”观点给出的定义，以显示原函数和反函数在定义域、值域、对应法则上的联系;在引入一些特殊的函数时(如问题4中的D)，使用“映射”观点给出的定义;在处理关于函数的单调性、对称性、周期性等综合性问题时，不妨借助于图形，使用“图像”观点给出的定义［5］。
(2)丰富和修正学生的函数表象
由于函数表象和函数定义的分离学生对函数的认识并不理想。学生在某场合是利用函数表象来处理问题的，而错误和狭隘的表象会给学生造成障碍。在教学中，我们应抛开课本和参考书的局限，尽可能多地让学生接触函数例子和相关问题(Clement，2001)，尤其在高中阶段对函数有了一定的认识之后。从历史上看，人们对函数概念的认识是通过一些具体函数来深化的，如柯西根据函数y=x(x≥0)-x(x＜0)和函数y=是同一函数而修改了前人的定义;狄里克雷也是由于发现了著名的狄里克雷函数而重新定义了函数。
(3)为学生提供充分的讨论机会
在历史上，函数概念正是在众多数学家的讨论和争辩中发展和完善的，一种定义、一个函数都要经过他人的检验和接受［6］。因此在正常教学的基础上，我们应当多创设机会，让学生对一些典型问题展开讨论，在讨论中明辨是非，巩固概念，全面地认识函数的各个方面。
(4)在教学中应用现代信息技术
教学与信息技术的整合势在必行，我国(至少是教育落后地区)在这方面差得很远，测试中没有一个学生能把函数看成是“加工机”或“程序”等，而国外早就有这方面的案例(Tall 1992;Kieran 1993)。利用图像对问题进行分析，或根据图像设计问题，这样对函数的图像教学及对函数的理解都会有帮助作用［7］。
(5)将函数的历史融入教学
历史对教学的作用己经受到关注，HPM研究方兴未艾。学生的函数定义与历史上的定义具有相似性，学生学习中遇到的疑惑在历史上也存在过，因此在函数的教学中，如果能恰当地融入历史，无疑会改善我们的教学［8］。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.
［3］张维忠，汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化［M］.北京：北京大学出版社，2006.
［4］徐永忠.“阅读材料”教学现状分析与建议［J］.数学通报，2004，4.
［5］尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课程的目标［J］.数学教育学报，2002，11（2）：43-44.
［6］林全.我国数学课程改革的新发展［J］.中学数学研，2000，（5）：1-2.
［7］刘晓玫，杨裕前.关于推理能力问题的几点思考［J］.数学教育学报，2002，11（2）：54-55.
函数是中学数学中最重要的内容之一，它揭示了事物运动变化的规律和相互关系的本质，作为一条主线贯穿于中学数学的始终。初中阶段采用传统定义把函数看成变量之间的依赖关系，在教学中多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础。怎样进行函数教学呢？笔者结合自己的教学实践谈一孔之见，以就教于方家。
一、弄清概念，回归生活
函数比较抽象，对于刚刚接触函数的初中生不是很容易理解。所以，在函数的教学过程中，我们要尽可能的利用简单易懂的语言。“函数”，是对两个变量而言，研究函数关系，就是研究两个变量之间的关系，两个变量之间不同的数量关系对应着不同的函数关系。
通过引导，学生是能够把生活中的实例和函数结合起来的。例如：在讲完了函数的入门知识后，给学生留一个“作业”：自己搜集数据资料，并通过所学到的知识，来分析这些数据，并通过分析的结果，提出新的问题。可以给几个参考：电费；水费；煤气费。这样的题目有点像应用题，但解决起来又比应用题更难。有的同学回家向家长要各种交费单据，有的同学则自己测量并收集数据。其中，有一个同学很出乎我的意料，他收集的是学校旁边的一个公共停车场的停车数量，每次下课的10分钟就看一次，并记下停车的数量，得出初步结论，并提出问题：“在一天的什么时间里，停车位最好找？”这个问题甚至我都没想过，虽然这并不完全符合函数的概念，但这个问题可以称为经典问题，这个学生的数学运用能力非常不一般。
二、整体思想，提纲挈领
整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用集成的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。例如：已知y+b与x+a（a，b是常数）成正比例，（1）试说明y是x的一次函数：（2）如是x=3时，y=5，x=2时，y=2，求y与x的函数关系式。解决这个问题（1）时，我们就要把y+b与x+a都看成一个整体，设y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，从而说明y是x的一次函数，解决问题（2）时，当我们把握两组数值代入解析式y= kx+ak-b中后得到一个三元二次方程组，显然不能求出每个未知数的值，但我们可以把ak-b看作一个整体，就可以求出k=3， ak-b=4，从而求出y与x的函数的关系式是y=3x-4，在这个问题中两次运用到整体思想方法。
三、数形结合，化难为易
数形结合思想方法是数学中非常重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
解析法、列表法、图象法等函数的表示方法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。在借助图象研究函数的过程中需要注意以下几点：
首先，经历绘制函数图象的具体过程。对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
其次，不急于呈现画函数图象的简单画法。在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
第三，把握研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
四、比较分析，发现规律
有数学专家说，数学规律的得出不外乎几种方法：分析、归纳、比较等。对于函数学习而言，比较是一种比较好的方法，例如，如果两直线有交于某一点，则此点的坐标为两函数共同的解；如果两一次函数有共同解，则此解一定为两直线的交点等规律的发现，也可交由学生在比较中得出。
需要强调的是，在实际教学中作出这样的选择，有两个关键认识：一是从教学理念上，对于学生自己跳一跳、摘得到的知识点，一定要敢于放手，不能包办，而一个知识点是否属于这种性质，则需要教师结合自身教学经验，研究学生的实际情况，然后作出准确判断；二是要给足学生的时间与空间，因为学生的自主学习一定会出现许多意想不到的情况，所用时间一定大于教师讲授所用的时间，而学生在自学过程中，还有可能需要生生互动，需要下位交流等，这时教师都要给足学生自由。否则，自主学习的理念便不可能落实，自主学习就沦为形式主义了。
五、类比教学，举一反三
不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为“类比教学”。
关键词:初中数学 函数教学 数形结合
初中数学中变量与函数概念的引入,标志着数学由常量数学向变量数学的迈进。尽管初中函数内容只是讲述了函数的一些最基本、最初步的知识,但是其中蕴含的数学思想和方法,对培养学生观察、研究、解决问题的能力是十分有益的。不仅如此,函数概念还是高中代数的核心部分,学好初中函数的有关知识,可以为研究高中数学中的各种初等函数奠定一定的基础。因而,初中函数概念的基础性作用是显而易见的。在教学中应从四个方面引导学生正确理解函数的概念,进而掌握函数的特征和性质。
一、正确理解三组关系,系统把握函数概念
点的坐标的定义与点与坐标的一一对应关系;函数定义中某一变化过程和自变量与函数的对应关系;函数图象定义中的自变量值。函数值有序数对点的坐标点图象,加强这三组关系的理解,有利于把函数的解析式、点的坐标和函数图象结合起来,建立起较完整的函数概念。
二、理清知识结构,构建知识体系
■
用这样一个知识结构图,可以把平面直角坐标系、点、图象和解析式有机地结合起来,并从中可以找到相互之间的联系和问题的转化方式。
三、树立运动变化的观点
函数概念的核心意义是反映在某一变化过程中两个变量之间的依赖关系,即一个量的变化随着另一个量的变化而变化。这就使得原本静止的数的概念之间产生了一种动感的联系。
在教学过程中,应引导学生通过寻找、发现身边的事例来体会这种变量关系。例如,生长期的身高随着年龄的变化而变化;一天中的气温随着时间的变化而变化;工厂的收入随着产量的增加而增加;二元一次方程的无数解,在方程3x-2y=1中,当x的取值发生变化时,y的值随着x的变化而变化……
在阐述这种运动关系的同时,还应该用式子、表格、图示的方法来举例描述,以加深学生对这种抽象的运动关系的直观认识,这样就可以逐步地帮助学生树立一种“运动变化”的观点。
四、培养数形结合的思想
数学教学过程应该体现明暗两条线:一条是明线,即数学知识内容的教学;另一条是暗线,即数学思想方法的形成。由于数学思想方法既是数学的基础知识,又是将知识转化成能力的桥梁,用好了数学思想就是发展了数学能力。因此,在教学中老师要注重培养学生对数学思想方法的渗透、概括和总结、应用能力的提升。
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。何为数形结合的思想方法?我们知道,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学知识体系中两大基础概念,把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合,将抽象思维和形象思维有机结合,根据研讨问题的需要,把数量关系的比较转化为图象性质或其位置关系的讨论,或把图形间的待定关系转化为相关因素的数量计算,即数与形的灵活转换、相互作用,进而探求问题的解答,就是数形结合的思想方法。
在函数这部分内容中,蕴含着丰富的数学思想,如坐标的思想、数形结合的思想等,其中最重要的是数形结合的思想。那么在函数的教学过程中如何渗透与应用数形结合的思想方法,就显得尤为重要。例如,一次函数就是一条直线,这条直线上的点的坐标无论怎样变化都满足解析式。直线是由点组成的,点可以用数来描述。反过来,直线就反映了数的变化特征。一个函数可以用图形来表示,而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点,这为数学的研究与应用提供了很大的帮助,教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透,将会收到事半功倍的效果。在初中数学教学中常见的体例有:(1)数与数轴的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)集合元素和几何条件为背景建立起来的概念;(5)所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。
当然,以上谈及的几点内容仅仅是本人在教学实践中的一点体会,事实上,初中函数部分的内容及要求是极其丰富的,培养学生的思维能力以及能够灵活地应用知识才是我们学习的最终目的,在讨论社会问题、经济问题、跨学科综合等问题时,越来越多的运用到了数学的思想、方法,其中函数的内容占有相当重要的地位。因此,我们一定要在教与学的过程中认真钻研教材,深入挖掘教材中蕴含的思想、方法和观点,以达到提高学生的思维能力、应用能力和认知水平的目的。
关键词：函数图像；数学思想；教学
一、加强定义教学，理解函数的概念
在学生产生了变量之间是存在相互联系的意识后，那么理解函数概念的准备工作就已完成，此时可以及时地给出函数定义。向学生讲清楚“某一过程两个变量，一个变量任意取值，另一个变量唯一确定的值与之对应”的意义。在教授函数概念时，要重点强化这两种意识，让学生清醒地感受到这两种意识，然后再教给学生自变量、函数的一些名称，并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系。
接着我们在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵，例如在相似三角形中，每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系等。用这些具体例子使学生清楚地认识到两个变量之间的依存关系，认识到它们的共同特征，这样就加强了学生对函数性质的理解。
二、建立函数模型，渗透建模的思想
函数知识体现了数学建模思维的过程，要根据提供的信息与材料，对问题进行变形。在解题过程中，重要的就是据题意列出方程，从而使学生懂得，数学建模过程就是根据实际问题，通过观察、类比、归纳、概括等，通过变换问题构造新的数学模型来解决问题。结合课题的学习，培养学生建立数学模型能力、实践能力及创新能力，拓展数学建模形式的多样性与活泼性。数学模型这一思想方法贯穿于整个函数知识学习过程，建立函数表达式等都孕育着数学模型的思想。为了完善学生的数学建模思想，应该培养学生这样的能力：理解实际问题的能力，抓住系统知识点的能力，抽象分析问题的能力，把实际问题用数学符号表达出来的能力，形成数学模型的能力和把结果用数学语言表达的能力，运用数学知识的能力。只有学会建立数学模型，才能对数学知识触类旁通，举一反三，才能解决实际问题。
三、彰显数学思想，体味万变不离其宗
如果加强对学生进行方法指导，并且对学生将数学思想进行潜移默化的培养，其学习效率一定会大大提高。笔者在教学时做了如下实验：每人点燃一柱长度为26cm的香，让学生回答观察到的实验现象。学生通过实验知道：香的长度随着时间的推移逐渐变短。紧接着让学生思考：香的长度y和香的燃烧时间x之间到底有怎样的函数关系呢？学生无法回答。然后再次实验：每隔1分钟，记录一下香的长度，根据记录的数据，要求学生：从这张表格中能获取哪些信息？
（1）用x轴表示香的燃烧时间，用y轴表示香的长度，建立平面直角坐标系：分别描出点（0，26）、（1，25.3）、（2，24.59）、（3，23.9）、（4，23.18）、（5，22.5 ）。
（2）把所画的几个点连起来，选择部分学生所画的图形，利用实物投影仪进行投影，比较学生自己所画的图形，从中发现了什么？
（3）一炷香的长度为26 cm，香的长度y（cm）和点燃时间x（min）之间的函数关系式是y=26-0.7x。在此基础上质疑：函数y=26-0.7x是什么类型的函数？由此猜想，一次函数的图像很可能就是一条直线。通过实验，学生获得一次函数图像的初步印象。
四、层层剖析，展示多样化手法
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