第3单元
第1课时
倒数的认识
设计说明
“倒数的认识”是在学生学习了分数乘法的基础上进行教学的，它既是分数乘法计算的后继内容，又是学习分数除法的基础，起着承上启下的作用。这部分知识主要
包含两部分内容：一是倒数的意义；二是求一个数的倒数的方法。基于以上的教学作用和内容，本节课的教学设计如下：1.游戏激趣，迁移揭题。上课伊始，通过
反义词知识，帮助学生理解“互为”的意义，为构建新知扫清语言理解上的障碍，然后通过知识迁移，自然地导入倒数知识的学习。2.发现、讨论、探究新知。教
师以组织者、引导者、合作者的身份，让学生主动参与到整个学习的过程中，为学生提供发现、讨论的机会。先让学生观察乘积是1的算式，引出倒数的意义，再根
据倒数的意义求一个数的倒数。
学习目标
1.使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。
2.培养学生观察、归纳、推理和概括的能力。
3.培养学生严谨好学的学习态度。
学习重点
理解倒数的意义。
学习难点
掌握求倒数的方法。
一、激趣导入。（7分钟）
1.引导学生理解“互为”的意义。2.根据每组字的规律填数。
3.导入新课，板书课题。
仔细观察每组分数的分子和分母，它们之间有哪些关系？这节课我们就根据这样的位置关系来学习新知识——倒数的认识。
二、探究交流解决问题。（20分钟）
1.明确倒数的意义。
先计算，再观察，看看有什么规律。
(1)引导学生认真计算并思考，发现规律。
(2)交流发现的问题。
(3)教师说明这样的两个数就互为倒数，并引导学生总结这几组算式的共同特点，尝试描述倒数。
(4)明确倒数的意义。(板书)
(5)指名举例说出什么是倒数。
2.探究求倒数的方法。
课件出示教材28页例1。
(1)学生独立解答。
(2)指导学生分小组讨论：怎样才能快速地找到一个数的倒数？
(3)组织学生讨论：1的倒数是多少？0有倒数吗？
(4)师生共同总结求倒数的方法。
三、巩固练习，应用反馈。（10分钟）
1.写出下面各数的倒数。
2.游戏：互说倒数。
组织学生进行分组游戏，两人一组，一名学生说出一个数，另外一名学生快速说出它的倒数。
四、课堂总结。（4分钟）
1、理解倒数的意义，掌握求倒数的方法，能正确地求出一个数的倒数。
2、培养学生举例、观察、比较、抽象概括能力。
3、通过自主探究、相互合作获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
教学重点：
理解倒数的意义，会求各种数的倒数。
教学过程：
一、启发生疑、确定目标
如果把吞、杏、士、甲这些字的上下部分调换一下，会成为另外一个字。这种有趣的现象，在数学上也有，今天我们就来学习倒数。
看到“倒数”这个新名词，你会想到哪些问题？
（1）什么是倒数？（2）倒数是不是倒着写？（3）怎么求倒数？（4）倒数有什么用？（5）倒数是怎么来的？……
带着这几个问题，自学课本第24页，看看从书中能不能找到答案。
二、自主学习、尝试解疑
通过看书，你找到哪个问题的答案？
生：我知道了什么是倒数，乘积是1的两个数互为倒数。
你们能写出两个数相乘得1的算式吗？
学生独立写。
汇报交流（学生写出的都是分数乘法的算式）。
想想以前学过的算式有没有乘积是1的？
生：1×1=1 0.2×5=1 0.1×10=1……
使生明确：只要两个数的乘积是1，这两个数就互为倒数。
结合上面写出的算式，说一说谁和谁互为倒数。
“互为”是什么意思？
倒数是指两个数之间的关系，这两个数相互依存，只能说谁是谁的倒数，单独一个数不能叫倒数。以前我们学过的知识中有没有类似的现象？
结合算式，说一说哪个数是哪个数的倒数？
通过看书，你还知道了什么？
生：只要把一个分数的分子、分母调换位置，就可以求出它的倒数。
写出78 、52 、16 的倒数。
讨论可不可以写成 78 = 87 。用倒数的意义验证。
刚才我们知道了整数、小数也有倒数，我们以前还学习过带分数，怎样求它们的倒数？
三、合作解疑、展示交流
四人一组，选择你们喜欢的一种数来研究。
交流汇报，老师板书例子，并用倒数的意义验证。
总结求倒数的方法。
四、引领提升、比照实践
1、求出下面各数的倒数。
47 116 7 18 1 149 0.24
2、判断。
（1）56 ×65 =1，所以56 是倒数，65 是倒数。
（2）34 + 14 =1，所以34 和14 互为倒数。
（3）真分数的倒数大于它本身。
（4）假分数的倒数小于它本身。
（5）一个数的倒数一定比这个数小。
（6）1的倒数是1,0的倒数是0。
（7）因为x×y=1(x≠0,y≠0),所以x和y互为倒数。
3、选择。
（1）假分数的倒数（ ）。
①大于1
②小于1 ③小于或等于1
（2）如果a是自然数，且a≠0,那么（ ）。
① 1a 是倒数 ②a和 1a 互为倒数 ③a和 1a 都是倒数
（3）当a﹥1时，a与a的倒数比较（ ）。
①a一定大 ②a一定小 ③相等
（4）下面各组数中，互为倒数的是（ ）。
①73 与34 ②0.5与12 ③54 与0.8
五、总结反思、拓展延伸
上课开始我们提出的问题，哪些得到了解决？还有哪些问题需要解决？课后查资料交流。
教学反思：
“倒数的认识”是一节概念课，内容看似简单，但实质内涵非常丰富，有很多值得注意的地方。本节课我采用了许昌市魏都区中小学“351” 课堂教学模式，即“学习发现，确定目标???自主学习、启发质疑???合作解疑、展示交流???引领提升、比照实践???总结反思、拓展延伸”， 引导学生通过自学、思考、探索、交流等活动，让学生经历提出问题、探究问题、应用知识的过程，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高提出问题和解决问题的能力。
1、学生主体地位的真正落实。
（1）学生自己提出问题，确定目标。
提出问题往往比解决问题更重要。上课一开始我用一些有趣的文字引出本节课所要研究的问题——倒数，看到“倒数”学生提出了很多问题：（1）什么是倒数？（2）倒数是不是倒着写？（3）怎么求倒数？（4）倒数有什么用？（5）倒数是怎么来的？…… 学生带着自己提出的问题来学习，才能使学习真正成为学生的需要。
（2）学生自学课本，尝试解疑。
通过学生自学课本，尝试着找到自己的疑问，在一过程中学生知道了倒数的意义，找到了求一个分数的倒数的方法。
（3）小组合作解疑，展示交流。
合作是一种学习形式，合作的过程既是互助的过程、解疑的过程，也是交流分享的过程。在研究求整数、小数、带分数的倒数时，我采用合作学习，四人一组，选择喜欢的一种数来研究，重在利用“兵教兵、兵练兵、兵强兵”的生生互动，提高学生探究、解决问题的能力，让学生成为课堂的主人，享受学习的乐趣。
2、教师主导作用的有效发挥。
每一节成功的公开课都要有设计上的亮点呈现，在学生初步认识了倒数的基础上，紧接着就要教学“除0外的自然数的倒数、带分数和小数的倒数、1的倒数的特殊性、0没有倒数”这些极其重要的知识点。以往教学“倒数的认识” 多次，这些环节都是让学生小组合作，交流讨论等，但无一例外都是为完成教学任务而刻意安排的独立片段。总觉得欠缺点什么，设计不够新颖，没有什么亮点，借鉴名师的教学片断发现，特级教师黄爱华老师在教学“倒数的认识”时设计了这样一个环节：
在学生初步经历了求倒数的方法后，出示“写出下面各数的倒数：27、1、0、”。学生看清题目后，老师不急于让学生动笔练习，而是先组织学生交流：
师：同学们，这组数中，你最喜欢求哪个数的倒数？为什么？
学生听到老师的问题，兴趣盎然，争着回答。
……
师：这组数中，你最不喜欢哪个数的倒数？
……
如果说数学知识是一盆淡而无味的“白面”的话，那么优化的学习素材则是帮助学生进食的“调味剂”。见到黄老师设计的这个环节，眼前为之一亮，“0没有倒数和1的倒数是1”教学被黄老师穿插在练习中，让学生在解答时自主选择，在学生集中注意力进行思维活动体验知识发生的过程中，既巩固了新授知识，又轻松、顺利地教学了“0”没有倒数和求“1”的倒数这两个极其重要的知识点，也突破了求带分数的倒数的难点。这样的练习设计，教师把学习的主动权交给学生，使学生有了创造的机会，思维有驰骋的空间，知识运用更灵活、有创意。黄教师驾驭教材，灵活处理教材，适度调整教材的能力令人称道。
【教学片断】
在学生初步经历了求倒数的方法后，出示“写出下面各数的倒数：5、1、0、0.875”。
学生看清题目后，老师不急于让学生动笔练习，而是先组织学生交流：
（1）引导：同学们，这组数中，你最喜欢求哪个数的倒数？为什么？
生：我最喜欢求1的倒数，因为1的倒数就是1，很有趣，所以我喜欢求1的倒数。
生5：我给×××补充，还可以这样想，因为1×1=1，所以1的倒数是1，我也喜欢1的倒数。
（教师板书：1的倒数是1）
（2）追问：这组数中，你最不喜欢哪个数的倒数？
生1：我最不喜欢求0的倒数，因为0不能作分母（0不能作除数），0好像没有倒数。
生2：再说0乘任何数都等于0，也不等于1呀，0肯定没有倒数。
（教师板书：0没有倒数）
（3）0.875的倒数怎么求？谁有好办法？怎么转化？
提问：想一想，怎样求一个小数和带分数的倒数？
第一次试教，选择了一个较好的班级，发现孩子们对这个教学环节兴趣盎然，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望，教学效果非常不错，磨课组的老师们也都感觉这个教学环节的设计是一大亮点，值得借鉴。如果选择一个普通的班级试教，情况会怎样？于是进行了第二次试教，没想到这次试教让我有了新的发现……
追问：这组数中，你最不喜欢哪个数的倒数？
生1：我最不喜欢求0的倒数，因为0不能作分母（0不能作除数），0好像没有倒数。
生2：再说0乘任何数都等于0，也不等于1呀，0肯定没有倒数。
生3：不对，我觉得0有倒数，你想啊，老师的题目是写出下面各数的倒数。0也在其中，说明0肯定有倒数，只不过我们一时想不到什么数乘0等于1，说不定那个数是我们没学过的一个数，所以我最不喜欢求0的倒数。
好家伙，好像说得有理有据，这时居然有几位同学赞同他的说法。这下，可把我给僵住了，前面试教过一次，没出现这种情况，大家都明白0乘任何数都等于0，不可能等于1，0没有倒数。沉思少许，我郑重向学生道歉，对不起，0确实没有倒数，老师不应该把0放进这题的练习里。老师这道题设计时没有关注细节，出得不够严谨，你观察得很仔细，审题也很认真，这是一种严谨的学习态度，希望同学们向他学习，教室里响起了热烈的掌声。
“倒数的认识”是苏教版第11册的内容，是在学习了分数乘法的基础上，延伸到理解两个数的关系。本课的目标是经历倒数意义的形成过程，构成合理的认知结构，掌握求倒数的方法，培养学生的数学能力。下面是两个教学片段。
二、案例
案例一：
课前谈话，呈现成语：颠三倒四。
1.激趣导入，探究新知
师：联想研究的分数，猜猜看是哪个分数。
师：联系分数乘法，计算它们的积。
生：乘积都是1。
揭题：乘数是1的两个数互为倒数。
提问：观察这些数，说说看什么是倒数。
生：倒数就是分子、分母颠倒过来。
追问1：怎样的两个数互为倒数关系？为什么要说“互为”倒数？
小结：倒数是形容两个数之间的关系。
2.教学求倒数的方法
（1）师：你能试着找出这些分数的倒数吗？
齐说它的倒数，指名说说是怎样想的。
（2）提问：5的倒数怎么求？
生：用这个整数做分母，1做分子，就是它的倒数。
追问：1的倒数？0的倒数？
（3）小数的倒数呢？
生尝试，指名交流（0.25的倒数）
案例二：
1.复习导入
结合已学知识，任意选择两个数使它们结果为1。
（1）学生尝试，也可同桌合作。
2.探究新知
（1）尝试将算式分类。
学生四人一小组合作学习研究。
学生出现多种分法，引导按运算方式分类，今天就来研究乘积为1的这组。
（2）揭示概念，理解倒数的意义。
像刚才这些乘积为1的两个数，我们说它们互为倒数关系。
①追问：满足什么条件才是倒数？
②学生举例，理解倒数的意义。
（3）探究求倒数的方法。
分数、整数、小数，都可以利用乘积为1的特点求倒数。
三、分析
案例一以熟悉的成语引入，激发了学习兴趣。其目的很明确，就是借助倒数的特点来展开学习，但思维被限定在颠倒的分数的研究上。案例二中充分考虑到学生的认知结构，教学起点定位在“数的运算”，带着原有知识背景、活动经验和理解走进学习活动，通过独立思考、与他人交流和反思，建构对数学的理解。
通过以上案例可看出，教师思想认识不同，对学生主动性发挥产生不同影响。
1.主动探究情境的不同
案例一呈现的数据较单一，导入的成语奠定了研究的主体是分数，容易造成片面认识。受教师主导，学生更多地停留在回答上，缺乏主动认知。案例二立足于学生的发展，提供了丰富的材料，放手让学生解决问题，探究空间大，主动性得到发挥。
2.学生知识建构的不同
案例一中两个分数间建立“相乘”的关系，是教师直接给予的，并不是学生自己主动得到的，其目的是为得到乘积为1，为概念的揭示铺垫。这样的设计对学生来讲，缺少对知识内在联系的形成过程。案例二“乘积为1”是学生在分类的基础上，得到了和、差、积、商为1的不同情况，然后教师再引导到乘积为1的研究上，学生经历了观察、分析、归纳的体验过程，数学能力得到培养的同时，主动建构对“倒数”的理解。
3.目标的达成不同
案例一目标定位分数的倒数认识，逐步过渡到整数、小数的倒数的认识。从结果来看，目标形成较单一。案例二目标定位在学生自主建构对于倒数的理解，不局限在认知，注重能力培养，放手学生来逐步认识倒数，有利于学生全面发展。
四、启示与收获
1.关注学生发展，树立以学生为主的师生观
现代教育理念的核心是发挥学生的主观能动性，促使学生主体参与，因材施教。教学设计应体现学生探究发现的学习轨迹，即凸显学生在学习活动中的主体地位，让每一位学生根据自己的认识经验对新问题产生大胆猜测，再借助教师的引导，通过对问题情境进行分层次的独立思考、合作探究，实现对学习内容的自我感悟、自我发现、自我验证。学习数学的过程，从根本上讲是一个数学认知过程，即要把所学的数学知识结构转化为学生自己的认知结构的过程。
2.创设自主探究的氛围，让学生基于经验主动建构
通过创设开放自由的教学情境，给学生提供选择、自主探索的空间，促使学生积极主动地参与学习，体验探索学习的全过程。建构主义认为，学生并不是一张白纸，他们已经形成了丰富的经验，具备了一定的知识能力。即使是有些问题没有接触过，但当问题呈现出来时，他们往往可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力形成对问题的理解。我们要基于学生的发展，敢于让学生去借助已有知识经验去探究新的知识，体验知识形成过程，感悟概念的理解过程，锻炼数学能力的养成。
3.让学生基于教学目标多元化主动建构
众所周知，倒叙是语文中的修辞手法，倒叙并不是把整个事件都倒过来叙述，倒叙特点是根据表达的需要，把事件的结局或某个最重要、最突出的片段提到文章的前边，然后再从事件的开头按事情原来的发展顺序进行叙述的方法。采用倒叙的方法，能增强文章的生动性，使文章产生悬念，更能引人入胜，同时也可以避免叙述的平板和结构的单调。在教学中应用倒叙能打开学生的深层记忆，让学生把知识记牢固。对于应用型课程来说就是符合“实践—认识—再实践—再认识”的认识规律。基于问题解决来建构知识，通过问题解决来学习是建构主义者提出的许多教学改革设想当中被广泛采用的基本思路。
二、“倒叙案例式”教学法在教学改革中如何实施
传统类课程一般从教授理论内容出发而引出实例，对于理论内容以案例支持，属于传统的由“理论—实践”的教学过程，但是设计类课程中大多数理论知识并不像理工文史专业那样内容复杂，设计类专业课程通过实践总结出的内容占多数。因此，对设计类课程实行课堂教学改革，应在教学中尝试“实践—认识—再实践—再认识”的课堂授课模式。“倒叙案例式”教学法打破传统先讲述理论知识的授课方式，以倒叙的案例出现在课堂上。这种课堂教学改革思路基本如下：1.教师展示优秀的设计案例（实践感知）。2.师生共同提出完成该作品设计需要解决的问题（提出问题、有的放矢）。3.讲解、提炼、归纳设计作品所需要的基本理论（理性认知）。4.根据章节设计相应作业，启发学生运用理论知识完成设计（理论联系实际，启发学生对抽象知识的掌握）。5.总结通过案例使学生自主理解的理论知识（学生已经具备相当的理论知识和基本的实践能力，使理性知识在指导实践的过程中得到发展）。6.教师针对学生实践当中出现的共性问题和疑惑进行系统的分析讲解（再认知）。7.学生再实践（巩固认识）。以《3dsMax》课程为例，下表是3dsMax的授课安排。可以看出3dsMax是一门很典型的应用型课程，讲授课时与实训课时基本相同，目的就是让学生有充足的时间练习教师所讲授的知识，从而掌握技能，怎样运用“倒叙案例式”教学法是成功教学的关键。我认为，应该把每个章节的知识点设计成与实际生活密切相关的经典案例，在授课前展现给学生看，告诉学生要想完成这样的案例需要学习哪些知识点，再开始讲授相对应的知识，学生就会带着问题去学习，印象会很深刻，紧接着的实训课时就让学生亲自操作，遇到问题时教师及时帮助解决，以学生为主体主动学习、主动发现问题和解决问题。在各章节知识点都学会后，教师再引入一个综合案例，巩固所学知识，掌握系统流程，最终可达到预期的教学效果。
三、“倒叙案例式”教学法给我们的启示
【关键词】 生成资源 课堂 生命活力
【中图分类号】 G42 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）07（b）-0126-01
在新课程理念下的课堂，教师要关注学生发展，注重课堂生成，构建动态课堂、和谐课堂、使课堂呈现出生机勃勃的气氛。
1 精心设计问题，预约动态生成
教学是一个有目的有计划的活动，预设是其基本的要求。
在教学“倒数的认识”前，关于0的倒数的教学，我根据教材编排和学生认识水平，有意将找0的倒数放在“找出下列各数的倒数”的练习中，让学生试做，引起争议，再让学生讨论，达成共识。
课堂教学中，学生出现了不同的意见：0的倒数是0、0的倒数是任何数、0没有倒数。
师：究竟哪一个答案是对的呢？希望通过你们的辩论，准确找出正确的答案。
生1：因为1的倒数是1，所以0的倒数是0。
生2：0乘任何数都得0，所以0的倒数是任何数。
生3：两个数的乘积必须是1，两个数才互为倒数，0和什么数相乘能得到1呢？没有，所以0没有倒数。
生4：1和0都是特殊的数，1的倒数是它本身，0的倒数也应该是它它本身。
生5：1的倒数虽然是它本身，但是，因为1×1=1，符合两个数的乘积是1。
学生的争论更加热烈了，我没有叫停。我感到学生们思维异常活跃。他们的想法需要吐露，观点需要交流。这也正是我的预设所要的效果。
生6：还有，大家看，一个数的倒数就是原来的数的分子分母交换了位置，那0倒数是，没有这样的分数呀？
生7：0不能作分母，所以0没有倒数。
师：有太多的理由都能说明0是没有倒数的。
片段中，当学生出现三种不同的意见时，尽管教师心里也清楚谁是谁非，但却没有发表任何意见，而是以鼓励的语气激励学生自己动脑筋解决问题。
许多教学实践证明，课前的预设越周密，考虑越详尽，实现动态生成课堂的可能性就越大。当然，这种预设必须是多维的、灵活的、开放的、动态的立体式设计，使课堂动态生成更具有目的性和方向感。
2 把握学习起点，促进动态生成
尽管我们强调“认真钻研教材，精心设计教案，以达到教学效果最优化”，但学生个性突出、接受新事物快，他们在进教室之前，很有可能对我们要教授的知识有所了解，甚至有所掌握。我们要根据课堂需要，变预设为“生成建构”，让学生在“生成”中建构属于自己的认知结构，促进学生的终身可持续发展。
如：教学乘法口诀的时候，我们教师按照预设去揭示口诀的形成过程。但是学生已经会背很多口诀。和教师的预设就有冲突。教师就抛开预设，放手让学生自己进行展示证明口诀的形成过程。
我灵活捕捉这一起点资源，通过摆学具、画图形、写算式、说想法等，巧妙地引导学生充分展开探究的过程，动态生成新知，并扎根大脑。教师要有良好的教学态度，才能审时度势，相机调整教学预设，以保证学生有充分的时间主动学习、积极探究，加深知识理解，促进思维拓展。
3 捕捉思维亮点，调控动态生成
在课堂中，学生的回答往往会不经意地出现一些亮点，所以，我们要给学生说话的机会，并用心倾听、准确捕捉和充分肯定，让其智慧闪光。
在教学圆柱体的体积后的练习中，我出示了这样一个问题：一个圆柱体的侧面积是62.8平方厘米，底面半径是2厘米。求它的体积是多少立方厘米？
62.8÷（3.14×2×2）×（3.14×22）=62.8（立方厘米）。
为了加深学生的理解，我再次把解决这一问题的思路强调了一遍。正当我要出示下一个问题时，一个学生大声地喊到“老师，向丽还有一种方法。”我让向丽上黑板写出了他的解法。
62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）=62.8立方厘米。
生：我认为，他这样是错的。他并不是紧紧围绕底面积乘以高在算。
向丽充满信心地说：“我们在学习圆柱体公式推导时，是把圆柱体沿直径和高平均切成若干等份，拼成了近似长方体。这样转化后的长方体的体积就是圆柱体的体积。在这个长方体中，高是62.8÷12.56，宽是半径2，长是3.14×2×2÷2，所以长方体的体积62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）就是圆柱体的体积。”
显然，学生的空间思维被激活了。
生：我可以改进一下他的算式。写出算式：62.8÷12.56×2×（3.14×2），指着“3.14×2”解释说：“这是半圆弧线的长，成了转化后长方体的长。”
生：我们把转化后的长方体睡下来，圆柱体的侧面正好有一半成了底面，“62.8÷2”就是底面积，圆柱体的半径2成了长方体的高。根据“底面积×高”得体积，所以62.8÷2×2=62.8就是圆柱体的体积。
一、让静态习题动态化
教材虽然只呈现给我们静止的知识，但教师要善于发挥自己的教学机智，将静止的知识动态化呈现。
例如：在教学内容“圆的周长和面积”时，课后有一道习题是这样的：一个长方形的长是6.42米，宽是3米，这个长方形的周长与一个圆的周长相等，这个圆的周长的半径是多少米？
分析这个题目我们发现，本题不但考查了圆的周长的知识，还考查了前面学习的长方形的知识，因此，我将解题设置如下：
1.先引导学生回顾长方形周长的计算方法，算出本题中长方形的周长。
2.再引导学生回顾圆的周长计算方法，本题中长方形的周长就是圆的周长，因此，很容易就计算出圆的半径。
3.引导学生思考：在本题中，长方形的周长和圆的周长相等，那是否它们的面积也相等呢？为什么？
在这个案例中，题目虽然只考查了圆周长的内容，但我并没有就题论题，而是将圆的面积知识也融入其中。同时，因为题目中提到长方形和圆形的周长相等，所以我让学生进一步思考是否它们的面积也相等，同时找到为什么。这样不仅能引导学生将所学知识有机结合，同时也能动态化呈现题目，丰富学生对圆的认识以及和其他图形的区别，拓宽了题目的广度，帮助学生实现系统知识的整合。
二、让点状习题线条化
在实际教学中，很多习题练习往往因为缺乏“画龙点睛”，从而导致习题功能的弱化和学生知识获取的片面。因此，在教学中，教师要善于结合学生学情和教材内容，精选习题进行“画龙点睛”，从而实现拉长练习的“线”，拓展习题练习的有效性。
例如：在教学内容“倒数的认识”时，有如下一道习题：当a在哪个范围时，a的倒数一定大于a？当a在哪个范围时，a的倒数一定小于a？当a为何值时，a的倒数一定等于a？
教材安排这个题目的用意是考查学生对倒数的认识以及对倒数的掌握情况。在教学中，为了让学生通过对这个题目的练习巩固倒数的知识并形成技能，我将教学安排如下：
1.给学生出示一个数轴，数轴划定点0、1。
2.然后引导学生观察为什么我要将点0和1划定出来？划定出来的区间的数有何特征？写出来。
3.按区间分析当a属于0到1之间、等于1或大于1时，a的倒数与a的大小，从而获得本题的答案。
通过对这样的题目进行“点睛”指导，不仅有利于学生形成对小于1的小数、等于1的数和大于1的数倒数的整体认识，同时也引导了学生的独立思考，从而通过自主探究获得对知识的认识。
三、让单一习题多元化
习题的主要作用是巩固复习和提升，因此，习题练习不仅要建立在学生的原有认知结构上，更要使学生获得更深更广的认知。
例如：在教学“用百分数解决问题”时，习题设计是这样的：学校种植100棵树，其中有30棵松树，有50棵柏树，剩下的全是柳树。一段时间后，总共有70棵树成活了下来，其中成活的松树、柏树分别占成活总数的40%和50%。问：（1）松树和柏树分别占种植树木的百分之几？（2）本批树的成活率为多少？柳树总计成活了多少棵？
通过这样的题目设计，不仅涉及了“用百分数解决问题”中的占比、成活率等问题，同时也涉及了百分数的多种计算。这样既能实现习题的作用，又能完善学生对知识的整体把握，从而实现以点带面、扩充学生练习面的目的。
四、让平凡习题递进化
数学是一个有机的整体，数学知识之间必然存在不可分割的联系，而数学习题更是充分将这种联系体现出来。因此，教师要善于利用习题对知识的统一性分层推进解析，深化训练点。
例如：在教学“分数、小数四则混合运算”时，可以将习题设计如下：
（1）学校舞蹈队原来女生人数占总人数的1/3，后来又有6名女生加入，这时女生人数占舞蹈队总人数的4/9。现在舞蹈队有女生多少人？
（2）如果将（1）中的有女生加入换成有女生离开，离开后的占比为2/9，原舞蹈队有多少女生？
"自主学习，合作探究"是目前"减负增效"培养学生学会学习一直倡导的方法。多年来，一直学习魏书生老师的培养学生自学的学习方法，到洋思、田家中学等观摩听课，他们以小组合作的方式，通过预习、自学、小组合作交流、探究、教师的点拨，完成一节课的新知获得过程。
众所周知，良好的学习习惯应从小学抓起，学生的自学的学习方法也应从小学培养，而我所观摩这种方式教学的多半是中学，那么怎样能把"自主学习，小组合作探究"在小学培养，形成良好的学习方式呢？根据多年的教学经验，我认为在小学阶段培养小学生的自学方法，打造高效课堂应从四方面入手：一是学生的预习，二是课堂上的自学与小组合作探究，三是教师的精心点拨，四是精心设计的练习题。下面我分别谈一谈我的想法：
1.说一说学生的预习
如果说能让学生在课堂上自学充分，在小组合作学习过程中异质互帮互学，同质探索出新的解题思路，新的知识亮点。必须预习，但怎样预习呢？对于中学生能够主动学习，自学方式也很多，但对于小学生说预习，他们能真正的预习了吗？虽然我们的学生每天也写预习笔记，但想一想：学生在家预习的过程是怎样的？方法怎样？效果又怎样？老师可能都知道。于是我想，要想让学生预习充分，我们这些学生的引导者应该精心设计每节课的预习方案，布置预习任务，同学们带着明确的预习任务去进行预习。因为学生预习时不知从何下手，这时教师设计好预习任务，细化预习过程中应做什么，让同学带着任务去预习，有的放矢，针对性强。这样，就要求教师对自己提出高标准，严要求，对相关学习内容要进行认真研读，提出既有一定的价值，又有吸引力，能促使学生产生浓厚的学习、探索兴趣的预习内容。教师布置任务时，可以采取表格的形式或者提问的形式让学生去预习。例如：在学习《倒数》这节课时，布置的预习内容是这样的：布置一组练习题：计算：12×2、23×32、49×94，… 2、观察每一题两个因数有什么特点？结果有什么特点？3、结合教材说一说什么叫倒数。4、自出几个分数，试求出它们的倒数。并说一说是怎么求的。学生能这样逐条去预习，效果应该不错。
2.学生自学，为了不流于形式，在小组交流过程中有实质问题进行讨论，教师就要设计每一节课的自学内容
如本节课的基础知识点、重点、难点，应该突破的内容应体现出来。使学生在自学后基础知识点弄懂，对重、难点的知识优秀的学生应理解，相对弱势的学生应一知半解，然后在小组合作交流过程中，优秀的学生可带动身边相对弱势的学生，把它们还处于模糊的知识弄清楚。例如：《倒数》一课，在自学过程中，教师设计一组练习，因为他们已经预习，因此可以直接求一组数的倒数，在交流过程中，互相检查，出现错误由会的学生讲解，弄清求一个数的倒数的方法，说一说是怎样求的，并会运用。
3.教师的点拨，点拨的内容要根据实际情况
面对不同的学生给予不同的点拨，即使同一个问题，点拨的策略也不同，对于优秀生可以侧重方法，规律性的点拨，可以提高学生的分析问题解决问题的能力，培养学生的发散思维与创新意识上，而对于学困生则以知识点，具体过程为主，把重心放在知识层面的掌握上，对于中等生则两者兼顾，要因人而议，因具体问题而议，有时学生找不到自己的知识盲点，这时教师应根据具体内容设计问题，一般都是重、难点 。如《倒数》一节，我会设计如下两道题。
(1)判断：因为23×23=1所以23是倒数，32也是倒数。
(2)求下列各数的倒数：
13 1 212 0.5 0
通过这组题的设计，明确倒数是两个数之间的关系，是相互的，不能单独成立。另外这四个数具有代表性，可说明特殊数的倒数的求法及0没有倒数的特点。
4.练习题的精心设计，教师必须深入研读教材，练习题的设计
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