关键词： 古典概型 基本事件空间 等可能
在学完人教A版数学《必修3》古典概型后，练习中出现了这样一道练习题：
例1：据天气预报，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，求这三天中恰有两天下雨的概率。
学生普遍采用下述解法：
若某一天下雨则用Y表示；若不下雨则用表示，因此基本事件空间为：
Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
设事件A={三天中恰有两天下雨}，则事件A所包含的基本事件为：
YY，YY，YY
由古典概型概率计算公式得：P（A）=。
摘 要： 本文由一道练习题引出在解决古典概型问题时要首先考虑我们所构造的基本事件空间中的基本事件是否是等可能的，并讨论了如果不是等可能的应该如何构造等可能的基本事件的方法。
关键词： 古典概型 基本事件空间 等可能
在学完人教A版数学《必修3》古典概型后，练习中出现了这样一道练习题：
例1：据天气预报，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，求这三天中恰有两天下雨的概率。
学生普遍采用下述解法：
若某一天下雨则用Y表示；若不下雨则用表示，因此基本事件空间为：
Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
设事件A={三天中恰有两天下雨}，则事件A所包含的基本事件为：
YY，YY，YY
由古典概型概率计算公式得：P（A）=。
乍看之下这种解法似乎没有什么问题，但它忽略了一个重要问题：这是否为古典概型问题？也就是基本事件是否满足“有限、等可能”。问题中的基本事件“有限”是没有问题的，那是否是“等可能”的呢？在“每一天下雨的概率为40%”的前提下，基本事件显然不是等可能的，比如和Y。因此，这不是一个古典概型问题，学生在现有的知识下无法解决这个问题，所以这个题目是“错误”的。
若将此题中“每一天下雨的概率为40%”改为“每一天下雨的概率为50%”，那么上述解法就正确了。当然，原题利用独立重复试验的知识易得：P（A）=C0.4（1-0.4）=。
无独有偶，课本第134页B组第1题:
例2：某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？
学生大多采用下面的方法：
设4把钥匙为a、a、b、b，其中a、a是能打开门的钥匙，则：
Ω={a，a，ba，ba，ba，ba，bba，bba，bba，bba}
设事件A={第二次才能打开门}，则A所包含的基本事件为：
ba，ba，ba，ba
从而由古典概型概率计算公式得：P（A）==。
这种解法的问题与例1相同，也就是如此构造的基本事件空间中，基本事件发生的可能性不相同，比如a与ba，因此这不是一个古典概型问题，不能利用古典概型公式求解。
为了利用古典概型解决本题，我们可以构造“一次试验”：开两次门（不管第一次是否把门打开，都要试第二次）。因此，基本事件空间为：
Ω={aa，ab，ab，aa，ab，ab，ba，ba，bb，ba，ba，bb}
Ω中的每个基本事件发生的可能性都相同，因此是古典概型。设事件A={第二次才能打开门}，则A所包含的基本事件为：ba，ba，ba，ba。因此，由古典概型概率计算公式得：P（A）==。
在解决排列组合和概率问题时，列举法是一个好方法，但有时候，过于相信自己所列出的“所有情况”，也会导致出现上面问题的出现。
例3：设A={1，2，3}，B={2，3}，从A、B中各取1个元素作为直角坐标系中点的坐标，求点落在直线2x+3y-12=0上的概率。
学生的解法是这样的：
设事件C={点落在直线2x+3y-12=0上}，基本事件空间：
Ω={（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，事件C所包含的基本事件为：（3，2），从而由古典概型概率计算公式：
P（C）=。
此解法与前面例1、例2出现的问题是一样的。由于题目没有要求A、B中哪个集合的元素作为横坐标或纵坐标，因此上述基本空间中点（1，2）与点（2，3）出现的可能性是不相同的，因此也它也不是一个古典概型问题，无法使用古典概型概率计算公式。
我们可以将集合A和B中的2，3区分开，然后列举出所有基本事件，构成下述基本事件空间：
Ω={（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}
则每个基本事件发生的可能性相同，从而它是古典概型。事件C所包含的基本事件为：（3，2）和（3，2），由古典概型概率计算公式得：
P（C）==。
【关键词】 概率 古典概型 基本事件 有限性 等可能性
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（b）-0193-01
在古典概型下，随机实验所有可能的结果是有限的，而且每一个基本事件发生的概率是相同的.例如：掷硬币的实验中，在一次实验中只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，所以出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的.
求解古典概型问题，一般要从以下三方面入手：
首先，分析问题性质，是不是古典概型的问题：（1）样本空间的元素（即基本事件）只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.有限性和等可能性是古典概型的两个特征：只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
其次，掌握古典概型的计算公式；基本事件A发生的概率为：
最后，根据公式要求，确认n和k的数值：（1）要计算出事件A所包含的基本事件k；（2）要计算出样本空间中所含的基本事件总数n；（3）利用古典概型的计算公式进行计算.
1 古典概型在高中数学中的常见例题
例（摸球问题）设一只口袋中装有a只黑球，b只白球，现随机地把此袋中的球一只只的摸出来.试求第m（）次摸到黑球的概率.
分析：若，即求第一次摸到黑球的概率，显然为，
解 ：将a只黑球可以随机地放置在a+b个位置中的任意a个位置上的所有可能的放置结果取做样本空间，则基本事件总数，因第m个位置放置黑球只有一种放置结果，余下的a-1只黑球可以放置在a+b-1个位置中的任意a-1个位置上，有种放置结果.故A所包含的样本点数为：
于是，由古典概型计算公式得
2 古典概型解题方法中两种常见的错误及其解题技巧
古典概型看似模型简单，但其解决方式充满了技巧性，从而不容易掌握古典概型的解题的规律.会出现两种常见错误，通过对古典概型问题性质的探讨，总结和归纳了古典概型问题，从而在对规律总结基础之上得出古典概型问题的解决方法和解题的技巧，帮助我们分析题解方法及解题思路.
第一种错误：不符合古典概型条件
不符合古典概型条件造成的错解
例 将一枚正六面体的骰子抛掷两次，求朝上一面数字之和为6的概率.
解 随机试验E是抛掷两次正六面体的骰子，设随机事件A表示朝上一面数字之和为6的事件.
错误的作法 抛掷两次，朝上一面数字之和共有2，3，4……12 这11种结果，基本事件的总数n=11，而A中所包含的基本事件数m=1，所以.
错误的原因 这样取基本事件是可以的，问题就出在这些基本事件发生的可能性不同，即不符合古典概型公式的条件，所以这个基本事件空间不能用古典概型.
正确的做法 取基本事件（i，j），其中i，j=1，2……6；={（1，1） （1，2）…（1，6）（2，1）……（6，6）}
这些基本事件发生的可能性是相同的，所以基本事件的总数n=36，A={（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）}
即A中所包含的基本基本事件数m=5，所以.
第二种错误：分不清构成基本事件的对象造成错
分不清构成基本事件的对象造成错解，对有些问题分不清以谁为主来考虑，往往会造成问题复杂化或错解.
例 三封信随机的向标号为1，2，3，4的四个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入两封信的概率.
解 设事件D 表示第2个邮筒被投入两封信
错误的作法 第1个邮筒可以收到三封信中的任一封，有3种不同的方法.同理，第2第3以及第4个邮筒都有3种不同的收信方法，从而得到基本事件的总数n=3=81，组成D的不同投法是先从三封不同的信选一封出来，再从除第2个邮筒之外的3个邮筒任选一个来放这封信，所以z，.
关键词： 古典概型 概率统计 解题技巧
古典概型是概率论中最基础和经典的一种概率模型，指的是样本空间样本点数有限且每个样本点发生的可能性相等的随机试验。
2.三类古典概型
虽然古典概型的问题有多种背景，变换多样，但是多数问题可以归结为三类，接下来对每一种问题进行探讨。
2.1摸球问题
例：一个盒子中装有9个红球3个白球，现从中随机抽取两个球，分别在以下两种抽样模式下计算A，B，C三个事件的概率。
（1）有放回抽样：即每次抽取之后放回盒内再抽下一个。
（2）不放回抽样：即每次抽取后不放回，直接抽下一个。
A={第一次抽到红球，第二次抽到白球}
B={抽到一个红球一个白球}
解：（1）样本空间是从12个球中有放回取球两次。第一次取球是从12个中取一个，第二次取球仍是从12个中取一个，则共有12■种可能。
对于事件A，第一次从9个红球中取一个，第二次从3个白球中取一个，共有9・3种可能。
又如：箱子里面有10瓶酒，其中有3瓶是假冒品，现随机抽取3瓶，求抽到1件假冒品的概率。
将正品和假冒品看做红球白球，这就是一个摸球问题。
2.2分盒问题
再如：现有8人随机地被分配到12个房间，求恰好有8个房间其中各住一人的概率。
上题可看做将8个物品放到12个盒子中。
2.3排序问题
将一些数字或者字母等按照一定要求进行排序的概率求解问题。
例：从0到9中任选三个组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率。
解：组成三位数时，百位不能取0，有9种选法。十位除了百位已取走的数，也有9种取法。个位除去百位和十位的数，剩下8种取法。则n=9×9×8.另外计算被5整除的可能性，末位是0或5。若末位是0有9×8种可能性，末位为5有8×8种可能性。
类似的题目如：把C，C，E，E，I，N，S这7个字母随机排成一行，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率。
3.解题技巧
古典概型在求解时除了直接利用公式计算外，还可以通过一些技巧简化运算。如在上文2.1取酒的问题中直接计算需要讨论一个、两个或三个假冒品的情况，可考虑反面，用一减去一个假冒品都没有的情况即可。
考虑到的前面，中间，后面的概率是一样的，所以每种情况的概率均是1/3。这是利用了对称的思想。
在古典概型的运算中这些简便的方法多种多样，需要根据题目灵活应用，巧妙解题。
4.结语
以上我们简单总结了古典概型的常见类型和解题技巧。在实际操作中还需要多做练习，才能将各种方法融会贯通，顺利解决各类概率运算问题。
参考文献：
古典概率抽签原理放回抽样不放回抽样在古典概率模型中，公平的抽签模型是一种很重要的古典概型。该模型是这样的：
袋中有a个白球，b个红球，k个人依次在袋中任取一个球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i（i=1，2，…，k）人取到白球（记为事件B）的概率（ka+b）。
解：（1）放回抽样的情况，显然有：
（2）不放回抽样的情况。
可见，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相等（例如在购买时，各人中奖的机会是相同的），且与抽样是否放回的方式无关，都可看作与第一人抽到白球的概率相等。这就是“抽签原理”。从而，在古典概率的计算中，只要是包含两种元素，不管是放回抽样还是不放回抽样一次，取到其中一种元素的概率均可用“抽签原理”来解题，下面举例来说明。
例1.某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地去试用这串钥匙中的某一把去开门。
（1）每把试开一次后除去；（2）每把试开后仍放回去，求第k次打开门的概率（k≤n）。
解：这是古典概率问题。将能打开自家门的那把钥匙看作“白球”，其余的n-1把钥匙看作“红球”，“每把试开一次后除去”，相当于“不放回抽样”，“每把试开后仍放回去”，相当于“放回抽样”。因此，运用抽签原理，对问题（1）和（2），概率均为1n。
例2.某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通电话的概率。若已知最后一位数字是一个奇数，那么此概率是多少？
解：这是古典概率问题。将正确的那个数字看作“白球”，其余的数字看作“红球”，这里相当于“不放回抽样”。可以运用抽签原理。因此，对于第一个问题，第一次、第二次和第三次接通电话的概率均为110，从而拨号不超过三次而接通电话的概率为310。对于第二个问题，第一次、第二次和第三次接通电话的概率均为15，从而拨号不超过三次而接通电话的概率为35。
我们还可将上面的答案进行推广：随意地拨号，拨号不超过k次（k≤10）而接通电话的概率为k10。若已知最后一位数字是一个奇数，拨号不超过k次（k5）而接通电话的概率为k5。
从以上的举例可看到，在古典概率的计算中，若能恰当地运用“抽签原理”，能达到简化运算的效果，而且也不容易出错。当然，值得指出的是，应该事先验证是否满足“抽签原理”运用的条件，否则，运用不当，会带来错误的结论。
参考文献：
[1]吴传生.经济数学——概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
一、古典概率
在高中必修③古典概型问题的教学时，大多数学生具备了初中的概率知识，对古典概率模型及概率计算公式有着初浅的感性认知，因此，古典概率问题的教学难点并不在于概念的理念，而在于对“基本事件”的理解．
例1．一盒装有标号为1，2，…，5的5张标签，求下列事件中的基本事件．（1）一次性取出两张标签；（2）先取出一张标签并记录其序号后（不放回），再取出一张标签并记录其序号；（3）先从盒子中取出一张标签并记录其序号后放回，再从盒子中取出一张标签并记录其序号．
评析：本例是必修③（人教A版）134页A组 第5题的改造题，在问题的解决过程中，着力研究在具体问题中，如何正确理解“古典概率模型”和“基本事件”．问题（1）中标签的选取是“无序”且“不重复”的；问题（2）中标签的选取是“有序”且“不重复”的；问题（3）中标签的选取是“有序”且“可重复”的．三个问题中所包含的基本事件如下表所示：
常用列举法研究研究古典概率问题中所包含的基本事件数，为了避免出现计数失误，我们经常按照数据的规律顺序进行列举，有时也使用列表、树形图等辅助列举计数．
变式题：一盒装有标号为1，2，…，5的5张标签，先从盒子中取出一张标签并记录其序号后放回，再从盒子中取出一张标签并记录其序号，求两张标签上的数字和为6的概率．
思路1．仿例1（3），不难得到所求概率为 ．
思路2．取出的两张标签的数字之和，最小2，最大10，因此，“取出的两张标签上的数字之和”包含事件“2，3，4，5，6，7，8，9，10”，所以所求概率为 ．
不同思路，得到不同的结果，究其原因，就在于对古典概率模型的理解了，思路1中，把基本事件找分成表（3）所示的25种情况，是符合古典概率的原理的，把变式题中概率模型中的事件按思路2划分成“2，3，4，5，6，7，8，9，10” 共9个事件是可行的（符合不重复且不遣漏的原则），但这9个事件并不能作为“基本事件”，这是因为事件“2”中包含（1，1）这1个基本事件；事件“3”中包含（1，2）和（2，1）这2个基本事件；事件“4”中包含（1，3），（2，2），（3，1）这3个基本事件；…．因此，思路2中事件的划分不具备古典概率模型中基本事件的“等可能性”的要求．正是因为这一原因，例1（3）的基本事件数不能列举成如右表所示．
古典概率模型的最基本的特性就是“有限性”和“等可能性”．
二、几何概率
当所研究的概率问题中，基本事件的总数有无限个（且具备等可能性）时，就不能使用古典概率模型的知识与方法．这类问题往往需引入几何图形，进而使用几何图形的测度来计算其概率（几何概率）．
例2．假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：30~8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？
评析：本例是必修③（人教A版）第137页 例2，问题解决的关键在于“设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为y”之后，引入几何图形对x，y以及它们的范围作出合理的几何解析．
例3．如图，在 中,∠ABC=300,， BC=6，在 内任作射线AD交边BC于点D，求 为锐角的概率．
在 中,由∠ABC=300,， BC=6，可判定 为等腰三角形（AB=AC）．
由于平面图形中点、直线的无限性，因此本题应考虑使用几何概率模型求解．
思路1：使用“线段长”为几何概率模型的测度．
如图，过A作AEAB，交BC于点E．
在 中，可求得BE=4．
因为当点D在线段AE（不含两端点）时， 为锐角，所以所求概率 ．
思路2：使用“角”作为几何概率模型的测度．因为 ，所以所求概率 ．
思路3：使用“面积”作为几何概率模型的测度．在 内作取一点F，连结AF，记AF的延长线与BC的交点为D．要使 为锐角，须且只须点F在 的内部，因此，所求概率 ．
面对不同的答案，到底是哪一种错了呢？究其原因，还在于对概率模型的理解．在原问题中，“过点A任作射线AD”，表明“射线AD”的作法上具备了“等可能性”，而使用选取点D或选取点F的方法，其等可能性就受到质疑（实际上，即使具备等可能性也须经过证明两者等价后才能使用，否则仍应判定为解答错误）．
"追踪历史起源策略，就是要引导学生去揭示或感受知识发生的前提和原因、知识概括或扩充的经历以及向前发展的方向，引导学生在重演、再现知识发生过程的活动中，内化前人发现知识的方法和能力。使学生在掌握知识的同时，还能占有镌刻于知识产生中的认识能力，这种认识能力正是构成创新思维能力的核心"［1］
基于这个思想理念，我设计了古典概型概念课的教学。不足之处还请多多批评指导。
古典概型
教学目标
知识与技能
(1)理解古典概型及其概率计算公式；
(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过问题层层深入让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。观察，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了转化和化归的重要思想。
情感、态度与价值观
树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受生活中处处是数学。鼓励学生通过观察类比提高分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点
理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
教学难点
如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
教学过程
一、创设情境，激趣入题：
1.实例引入
1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？
学生积极思考。针对教师的问题，发表个人观点。
教师引导：（1）赢得机会即赢得概率是多少？根据我们已学的知识可以解决这个问题吗？
（2）是否一定要进行大量的重复试验，用"梅勒赢"这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确，有没有有更好的解决方法吗？
学生活动：根据已有的知识回答问题.
学生们凭自己的经验来解决这个问题，会出现谁也说服不了谁的情景。这种思维的冲突，激发了学生的学习热情。
点明内容，引出课题
二、生活实例，形成概念：
1.基本事件的概念和特点
教师问：（1）掷一枚质地均匀的硬币的结果有哪些？
（2）令事件A"正面朝上"； 令事件B"反面朝上"；这两个事件是否可以再分？
（3）事件A与事件B之间的关系？
（4）事件和基本事件的区别？
学生活动：被点名的同学回答单独回答。根据回答问题直观感受基本事件的概念和特点。
教师层层深入的提问，学生根据教师的引导，思考问题并积极回答，加深对概念的理解。
锻炼学生的观察能力和语言组织能力
2.古典概型的概念
练习：
（1）掷一个质地均匀的筛子的实验中，有哪些基本事件？
（2）从字母a ,b ,c ,d中任意取出两个不同字母的实验中，有哪些基本事件？
教师引导学生发现这两个练习基本事件的共同特点。
学生活动：练习，观察并回答，提炼出古典概念的概念。
培养学生的探索、归纳能力。
培养学生的归纳类比的能力
3古典概型的概率
练习：掷一枚质地均匀的骰子的实验中计算向上的点数是偶数的概率？
学生独立完成练习，小组交流归纳，得到古典概型概率的计算公式。
培养学生的自主解决问题的能力。
锻炼学生从特殊情境总结归纳一般结论的能力。
三、循序渐进，深化概念：
口答题：
（1） 1.士兵参战的基本事件：生或死。那么事件A"士兵生还"概率为12 ？那怎么又会有"九死一生"的成语。
2. 掷两枚质地均匀的硬币的试验中，结果是两个正面的概率是多少？
教师提出问题，引导学生自己解决问题。由于思维的矛盾，学生对问题产生了浓厚的兴趣，大家通过合作交流，加深对使用古典概型的概率计算公式前提重要性的理解。
通过对这个问题的辨析，强调要使用古典概型的概率计算公式的前提是古典概型。加深对概率概型概念的理解。
培养学生通过交流解决问题，寻求真理的态度。
四、应用数学，课堂练习：
例1：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
引申：
1.若是一道双选题呢？
2.若是一道三选题呢？
3.若是不定项选择题呢？
例2．本节课引入题：
如何分配赌桌上的60个金币的赌注的问题。
学生分析例题，和教师一同完成结题过程。
学生通黑板板演，发现困难，教师适时引导，师生共同评价。
教师帮助学生分析，还需要在玩几局就一定可以分出胜负？一共有几种结果?其中梅勒赢得概率是多少？学生借助本节课所学知识解决问题。
1. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
2. 锻炼学生的应用能力。
3. 培养学生规范和严谨的书写习惯。
4. 锻炼学生归纳出解决问题的方法和步骤。
五、介绍历史，培养人文素养
由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学的历史过程。（附在表后）
教师介绍数学历史史实。
告诉学生应用科学解决问题的重要性和必要性。
六、归纳小结，总结概念：
1.基本事件，古典概型的概念；概念中的两点缺一不可。
2．古典概型概率的求解枚举法（枚举要按一定的规律）；
学生互相交流收获与体会，谈感想并反思。
关注学生的自主体验，反思和发表自己的体验，激发学生的学习兴趣。
七、学以致用，作业布置
1.教材习题第1、2、3、4题．
2.补充题：连续掷3枚硬币，"恰有两枚正面向上"的概率？
若连续掷4枚硬币呢？
层次1独立完成，补充题可以互相交流。
通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学知识，并为学有余力的学生提供一个学习的机会。
介绍历史，培养人文素养
赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。 ［3］
由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。由于在日常生活中经常碰到概率问题，所以即使人们不懂得如何计算概率，经验和直觉也能帮助他们作出判断。但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会错得离谱。所以我们应该让概率在生活中起到指导作用，科学理智的生活着。
结束语：波利亚认为：数学家的创造和发现并不像从魔术师帽子里跳出一只兔子那么突然，而是经历了漫长而复杂的思维过程，但同时每一个复杂问题的原始想法都是比较简单的。［2］从而在一定的程度上增强学生对学习数学的信心。帮助学生体会概念的形成的过程，是我们教师义不容辞的责任。
参考文献
［1］ 李正银.数学教学中怎么融入数学史［J］.数学教学通讯，2006（7）
【关键词】有限性 等可能性 空间 简解 对称性 顺序性 关系
古典概型是特殊的数学模型，由于它在概率发展初期曾是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称之为古典概型，古典概型在概率论中占有重要地位，学习古典概型中应注意以下几个问题：
有限性和等可能性
有限性是指实验的所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性是指每个基本事件出现的可能性相等，我们可以用古典概型的这两个特征，判断一个事件是否为古典概型。两者缺一不可。
判断下列事件是否为古典概型。
⑴.向一个圆面内随机的投射一个点，假设该点落在圆内任意一点都是等可能的。
⑵.随机的向靶心射击，命中10环、9环、8环、7环、6环、5环和脱靶。
解：⑴.不是古典概型，因为实验的所有结果是圆内的所有的点，结果个数是无限的，虽然每个结果出现的可能性相同，但这个实验不满足古典概型的结果是有限性的条件。
⑵.不是古典概型，因为尽管实验的所有结果只有7种，但是脱靶和命中其它各环不是等可能的，不满足古典概型的等可能性的条件。
巧选样本空间，简解古典概型
同一个古典概型问题由于考虑的角度不同，其解法繁简差别较大，因此选取样本空间时抓住事件的本质，抛开其它无关的因素，以便简化求解过程。
袋中装有个白球，个黑球，每次从中任取一个，取后不放回，求第次（）取得白球的概率。
分析：因为古典概型属于等可能型概率问题，每个球所处的地位完全一样，所以只考虑第次取球。
解：设 “第次取得白球”，试验的基本事件总数，第次抽到白球的基本事件总数，故
评注：结果与无关，表明每次抽到白球的概率相等。这就是通常所说的抽签原理，即抽签结果与先后无关，因而对每个人都是公平合理的。
例3. 个人围圆桌而坐，求甲乙两人相邻的概率是多少？
解：不妨考虑甲先坐好，则还有个等可能的位置，若乙与甲相邻座，只有两个位置可选，所以所求概率为：。
三．注意活用对称性
例4. 数字1,2,……n随机排列，求：⑴．2紧接在1后的概率是多少？⑵.2在1后的概率是多少？
解：⑴.设1,3，……n个数字已排好，则2有n个等可能位置可选，若紧跟在1后面，只有一种情况，故所求概率为：。
⑵.由于1和2可以不相邻，所以2在1的后面和1在2的后面的总数是相等的且2在1 的后面与1在2的后面的排法之和为基本事件总数，所以2在1的后面的概率为：。
评注：利用对称性可轻松获解，避免了繁琐的计算。
四．注意顺序性，有序还是无序
例5 从3个蓝色杯子和2个红色杯子中任选2个，求两种颜色杯子都取到的概率是多少？
分析：从5个中取2个，若按 记录结果，有5种可能，有4种可能，但和是相同的，所以试验的所有可能结果是=10 （种）
解：从5个中取2个，包含的所以结果有=10）（种），记=“两种颜色的杯子都取到”则中包含所有可能结果有（种），故。
评注:分析该题目时一定要区分是否有序，避免重复地列举，造成错误。
五．注意事件的关系，对立或互斥
在求解较复杂事件的概率时，注意借助事件的关系，互斥事件或对立事件，灵活求解。
例6. 3男2女围圆桌而坐，求2女不相邻的概率。
解：记A=“2女不相邻”则=“2女相邻” 由例3可知P（）==
有。
类似地，读者可以求解下题。
在中国象棋棋盘上，任放一只“红车”和一只“黑车”求它们能够相互吃掉的概率。（17/89）
例7 在大小相同的6个球中，2个红球4个白球，若从中任取3个球，则选取的三个球中至少有1个是红球的概率。
以杨小凯教授为主要代表人物而创立的新兴古典经济学，其思想萌芽于中国本土，其体系则形成于美利坚和澳洲大地，而今已成长为一颗枝繁叶茂的理论大树。近几年它被介绍到中国大陆，在青年学子中激起了热烈反响，并得到迅速传播。诺贝尔奖得主阿罗称赞，杨小凯“使斯密的劳动分工论与科斯的交易费用理论浑然一体”。这句话点出了杨小凯教授对经济学的主要贡献。要领略新兴古典经济学之美，我们必须洞悉其分析框架、分析工具以及研究方法的实质。
一
新兴古典经济学有一个非常大气的分析框架，此框架能将现代经济学的各个流派尽收囊中，从而整合成一个新的经济学主流学派。同新古典经济学相比，新兴古典分析框架有如下特征。第一，它扬弃了新古典规模经济的概念，而用专业化经济来表征生产条件。第二，它没有纯消费者与企业的绝对分离，而新古典框架则是纯消费者和纯生产者绝然两分。第三，在新兴古典经济学中，交易费用对经济组织的拓扑性质具有决定性的意义。
如果初次接触新兴古典经济学，则恐怕难以理解这种新的分析框架之于经济学的含义，从而也就难以切身感受其魅力。让我们从这样一个问题开始：为什么要提出这一新的分析框架？答案很简单，新古典分析框架的一些缺陷限制了经济学的发展。如果我们空泛地讨论新古典分析框架的缺陷，恐怕难以令人信服。现在，我们以新古典框架下的迪克特－斯蒂格利茨（Dixit and Stiglitz，1977）、克鲁格曼（Krugman，1979）以及福济塔－克鲁格曼（Fujita and Krugman，1995）等人的模型为例，看看新古典分析框架究竟缺陷何在，以及新兴古典分析框架又如何克服这些缺陷。
大家公认，迪克特、斯蒂格利茨、克鲁格曼等人的理论对新贸易和新增长理论的形成起到了开创性的作用。他们的模型改变了过去增长模型中关于规模报酬递减或总规模报酬不变的假定，引入了规模报酬递增的假定，使增长理论的解释力大大提高。正是在他们的推动下，规模经济在1970年代以后成为国际经济学界的一个热门话题。尽管如此，他们的理论却面临如下困境。第一，他们关于经济增长等现象“当且仅当”厂商平均规模扩大时才能发生的预见与现实不符。在他们看来，厂商规模之所以扩大，是因为存在无止境的规模经济，而厂商规模决不可能变小，因为这意味着规模不经济。但是，OECD国家、亚洲新兴工业化国家（地区）以及中国的经验证据（参见张永生，2000：《厂商规模无关论：理论与经验证据》）却显示，厂商平均规模不是越来越大，而是越来越小，总体呈倒U型变化趋势。无疑，递增报酬现象是经济增长史上最激动人心的情节，但正如阿伦·杨格在他著名论文（1928）中指出，递增报酬的实现机制是分工与专业化，规模经济是对分工与专业化经济的一个错误描述。第二，在他们的模型中，企业只是一个“黑箱”，企业为什么出现以及企业制度本身的经济含义则不能被解释，对现代商业社会中种种有趣的“新发展现象”，如企业规模变小、生产外包、合约出让、提高企业核心竞争力、特许连锁经营、贴牌（OEM）生产、电子商务等等，则更是无从解释。他们的框架无法将企业制度内生，如果要内生企业制度，则他们所有的结论都会随之改变；而如果没有先天就存在的企业，他们模型中所有的故事又都不会发生。第三，交易费用在他们模型中没有实质性的含义，企业规模扩大等现象皆不存在交易成本。而经济学之所以在1970年代后解释力有了质的提高，以科斯为代表的新制度经济学家将交易费用引入经济分析是重要的原因之一。
那么，能不能在不改变分析框架的前提下，对这些理论进行修正，从而走出上述困境？琼斯、达斯格普特等人和国家研究委员会（参见C.Jones，1995a，b，1996；Dasgupta ，1995；National Research Council，1986）的做法或许对我们有一些启发。他们在发现否定R&D等新内生增长模型的经验证据后，提出了在原有框架内进行改进的方案。琼斯（C.Jones ，1995)，杨（Alwyn Young，1998)和西格斯托姆（Segerstrom，1998)建议了几种方法来避免R&D模型中的第V类（研究与开发投入）规模效应。但是，琼斯自己也承认，“这种改进后的模型也是不完善的，因为它又产生了人口（第I类）规模效应”。而新古典内生增长模型中如果缺少了规模效应，则内生增长就不会再出现。这些经验研究表明，新古典内生增长模型并没有对经济增长背后的驱动机制提供令人信服的解释（Jones，1995a，pp.508-509）。新古典增长理论将递增报酬归于规模经济，而规模经济的来源对它又是一个不解之谜。
如果仔细读过斯密的《国富论》、杨格1928年发表在The Economic Journal上的“递增报酬与经济进步”，以及斯蒂格勒1951年发表的“市场容量限制分工”等经典文献，我们就能理解为何斯密－杨格定理被称为经济学中最重要的一个定理。经济增长中的递增报酬并非来源于规模经济，而是来自于分工和专业化经济。专业化经济是一个比规模经济恰当得多的概念。迪克特和斯蒂格利茨、克鲁格曼等人模型的缺陷在于分析框架，只有在分析框架上进行改进，才能从根本上克服其局限。不幸地是，规模经济的概念由于更接近人们的直观，而且符合人们力图改造世界的决心，以致于误导了很多经济学家。如果用专业化经济替代规模经济，我们就不需再求助漏洞百出的规模经济概念来产生递增报酬。
可见，以斯密分工理论为代表的古典经济思想更能解释我们周围的经济现实。但是，仅有分工理论还不够，斯密的分工理论中没有企业理论。如果我们不幸生活在一个自给自足的社会之中，那如何才能演进到一个以企业制度为特征的高度分工的现代社会呢？新古典经济学无法解决这个问题。于是，科斯就出现了。他说，分工不足以产生企业，因为市场的功能就是组织分工；对风险的厌恶也不足以产生企业，因为保险市场可以解决这个问题。企业制度产生的根本原因在于节省交易费用。张五常（1983）则进一步指出，企业的出现是因为劳动力交易费用低于产品交易费用的结果。但是，科斯等人的交易费用理论中却没有直接的经济增长含义。而贯通斯密、杨格、科斯和张五常等人理论的，则正是杨小凯等人。他们将分析框架建立在以个人自利决策交互作用的基础之上，在模型中引入交易费用，同时内生出企业制度、经济增长、递增报酬、厂商规模等现象，从而彻底克服了新古典增长理论中的上述缺陷。他们的模型将企业制度在分工中内生，在企业理论中直接注入了经济增长的含义。这样，一个新的理论通途就开辟出来了。
新兴古典分析框架对经济学的贡献是非常明显的。同新古典经济学及其各分支学说的左修右补相比，新兴古典经济学真可谓气薄云天。在它看来，经济学只需要一个框架。在新兴古典框架下，当代向新古典经济学挑战的新思想，包括交易费用经济学、产权经济学、新贸易理论、新内生增长理论、演化经济学、信息经济学、对策论等等，将汇聚成一条汹涌澎湃的主流经济学大河。
贺学会的文章说，杨小凯教授的贡献更在于“内生经济分析”。此话当然一点不错。但是，这样说却不能准确刻画出新兴古典与新古典经济学之间的本质区别。迪克特、斯蒂格利茨、埃塞尔、克鲁格曼、罗默等人都是对新贸易和新增长理论做出过重大贡献的经济学家，其直接标志就是提高了经济分析的内生化程度。但是，他们的理论往往处于这样一种两难境地：此方面内生化程度大大提高，而彼方面的预见却又同现实大相径庭。他们的理论中，总有一些自相矛盾的东西挥之不去。究其原因，就在于他们沿用的分析框架扼制了其理论的生命空间。当你在新古典框架内左冲右撞总也找不见出口之时，你不妨因循杨小凯指点的途径前行，你会发现世界顿然变得开阔。无疑，新古典经济学是博大而精深的，也正是植根于这种博大精深，才有了新兴古典经济学的天高云阔。没有新古典经济学充足的养分，也就不会有今天的新兴古典经济学。 二
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