一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(
)
A．7
B．8
C．15
D．16
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(
)
A．
B．
C．
D．
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(
)
A．150
B．－200
C．150或－200
D．400
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10
，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(
)
A．1
025
B．1
024
C．10
250
D．20
240
5．已知公差d≠0的等差数列{an}
满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(
)
A．30
B．20
C．10
D．5或40
6．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(
)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
7．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(
)
A．3n－1
B．
C．
D．
二、填空题
8．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
9．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
10．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.
11．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________.
三、解答题
13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
14．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
参考答案
一、选择题
1．答案：C
解析：由题意得4a2＝4a1＋a3，4a1q＝4a1＋a1q2，
q＝2，S4＝＝15.]
2．
答案：B
解析：显然公比q≠1，由题意得
解得或S5＝＝＝.]
3．
答案：A
解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，
因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.
4．
答案：C
解析：log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，xn＋1＝2xn，且xn>0，
{xn}为等比数列，且公比q＝2，
S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10
250，故选C.]
5．
答案：A
解析：设等差数列的公差为d，
因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，
即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，
解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，
所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.]
6．
答案：ABC
解析：[q≠1，＝＝1＋qm.而＝＝qm，A正确；
B中，m＝3，＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正确；
C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8.又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，C正确；
D中，＝q3＝9，q＝≠3，D错误，故选ABC.]
7．
答案：A
解析：由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{
an}各项均为正数，且a1＝2，an＋3an－1＞0，an－3an－1＝0，即＝3，数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.]
二、填空题
8．答案：－1
解析：由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．又Sn＝3n＋k，
由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.]
9.答案：2
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝，1＋q＝3，q＝2.
10．答案：2n－1
解析：设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，
则S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，
因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，
整理得5d2－10d＝0，d≠0，d＝2，
an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]
11．
答案： 2
解析：设数列{an}共有2m＋1项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，
q＝，Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2，故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.]
12．答案：2n－1 2n＋1－n－2
解析：因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
三、解答题
13．解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，
由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
数列{an}的项数为偶数，q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，a·q3＝64，得a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×.
14．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10
＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2
101.
15．解：(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.
笔者从事高中数学教学已有30多年，经历了多种高中数学教材版本，觉得真正把生活与数学融为一体的还是新教材。数学的许多概念和结论源与生活，只要我们细心观察、仔细研究就不难发现，教材中的所有概念都能在实际中找到原型。
【案例情境】 北京时间2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3,东经103.0）发生7.0级地震。震源深度13公里。震中距成都约100公里。成都重庆等地均有较强震感。2008年5月12日，四川省汶川发生了8.0级强烈地震。试问：这两次地震的破坏程度有多大的区别？
【案例分析】早在20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量能量的等级，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为
这说明8级地震与7级地震虽然仅差1级，但8级地震的最大振幅却是7级地震的最大地震的10倍。
【案例评价】“对数与对数的运算性质”是高中数学教材中一个非常重要的概念，对数知识在日常生活中的应用很广泛，几乎无处不在。如银行复利的计算，生产效益的估计，职工奖金的发放，商品价格的变化，古董价值的确定等。地震等级的测定，是对数知识最典型的应用。
案例2 穷人向富人借钱
【根植教材】（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。（人教版《数学5》第37页）
(2)一般地，如果一个非零数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。（人教版《数学5》第49页）
【案例情境】从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。请你思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
【案例分析】这里涉及到两个不同的数列，富人给穷人借钱的数目构成以1为首项，1为公差的等差数列（单位：万元），穷人给富人还钱的数目构成以1为首项，2为公比的等比数列（单位：分）。30天后，富人共借给穷人：
【案例评价】“等差数列与等比数列”是中学数学教材中非常重要的知识点，它们是函数知识的延续。在旧社会，广大劳苦人民饱受剥削阶级的压迫，一些有钱人仗着自己有钱读书而欺负穷人没有读书识字，用欺诈的手段麻痹穷人。通过这个案例，我们既可以教育学生发奋学习，激发学习兴趣，又可以很自然地引入等差、等比数列的有关概念。
案例4水污染治理方案比较
【根植教材】一般地，如果一个非零数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。（人教版《数学5》第49页）
【案例情境】一活水湖上游河道有固定流量的水流入,同时下游有河道流出,湖水的体积保持在200万立方米左右由于受到上游水流的污染,湖水中某种不能分解的污染物浓度已达到0.2克/立方米,目前上游污染已经得到治理,流入湖中的水已不含污染物,在污染终止一天后,测得水中的该污染物的浓度下降为0.199克/立方米,环保机构希望湖水中该污染物的浓度不超过0.05克/立方米,若不采取其他治理措施,湖水需要多少时间才能达标?
【案例分析】现在有两种方案来降低水库中水的污染程度：
方案1：水库先不放进上游的水，而是先放掉水库中体积为Q1m3的水，再引入上游的水Q1m3;
方案2：水库先不放出水，而是先从上游引入水库体积为Q2m3的水，然后再从下游河道排放的水Q2m3。
关键词：高中数学；数列章节；问题教学
数列章节是高中数学知识结构体系的重要构建要素，是高考数学试题命题的重要环节，也是学生学习能力技能培养的重要载体。数列是刻画离散现象的数学模型，是高中数学的重要内容，数列章节问题案例以其多变的形式和灵活的求解方法而备受高考试题命题者的关注，历年都是高考命题的热点。当前，技能型学习人才已成为新课改下能力培养的目标和归宿。近年来，本人在数列章节问题案例教学活动中，通过自身的教学和学生的解答活动，深刻认识到数列章节问题案例教学对高中新课改能力培养目标要求进行了有效实施，生动表现出了问题案例教学对学生能力培养所起的促进和提升作用。本人现结合数列问题案例教学实践体会，简要论述利用数列问题案例培养学生能力发展方面的策略和体会。
一、利用数列问题案例探究性，鼓励学生开展合作探究活动
常言道，千里之行，始于足下。学生进行问题案例解答活动，就是学生之间互助合作进行问题探究、分析、解答的过程。合作探究能力的培养，对高中生有效探索解题要领和方法，具有显著的推动和促进作用。高中数学教师在数列问题案例教学中，要善于利用数列问题案例在展现知识要点要义上的概括作用，设置具有探究合作特性的问题案例，让学生在群体合作中，开展问题探索分析活动，实现互助合作探究问题能力的有效提升。
如在“等比数列的前n项和”问题课教学中，教师根据“等比数列的前n项和公式、性质以及与函数的关系”等内容，设置了“已知等比数列{an}的前n项和为2，其后为2n项的和为12，求再后面3n项的和”问题案例，引导学生开展合作探究问题活动，学生组成小组合作探析问题活动时，认识到该问题是考查学生等比数列的性质以及求和公式的应用。此时，学生之间结合问题条件，共同讨论问题案例解题方法，通过集体探讨认为，由已知条件，利用等比数列的性质，根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程，解出a1和q关于n的表达式。此时，学生进行问题案例解题活动。学生在集体合作的探究问题过程中，探究问题能力得到了锻炼，探究效能得到了提升，实现了学生合作意识和探究能力的双提升。
二、体现数列问题案例发散性，引导学生开展创新思维活动
发散性是数学问题案例的根本特性之一，数列章节问题案例同样具有此种特性。高中数学教师可以将发散性数列问题作为学生思维灵活性、全面性特性培养的重要抓手，鼓励和引导学生找寻解题不同“突破口”，实现学生创新思维活动效能的提升和进步。
如在“等差数列的通项公式”问题课教学中，教师根据“等差数列的通项公式”教学重难点，将该节教学内容考查知识点融入渗透到“若数列{an}是等差数列，且a15=33，a45=153，求a60”问题案例中，引导学生开展问题解答活动。在该问题解答中，教师采用“小组探究”的形式，让学生组成学习小组开展问题探究分析活动，学生认识到，该问题是关于“等差数列的性质的灵活运用”的问题案例。此时，教师要求学生结合等差数列的性质进行该问题案例思路的探析，在探析过程中，有的学生提出，可先利用a1和d求得通项公式，再求a60，有的学生提出可以利用等差数列通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求得d，也有的学生提出可以利用等差数列中等距离求出各项组成的新数列仍为等差数列的性质求a60。此时，教师让学生进行解题活动。最后，教师对学生创新思维活动进行肯定性评价。这一过程中，教师通过学生合作探析发散问题的不同解题思路及方法，思维活动更加灵活，思维活动更加全面，有效提升学生思维创新能力。
三、放大数列问题案例综合性，开展综合辨析活动
笔者在数列章节知识体系的研析和问题案例的教学实践中，可以看出，数列章节知识点与函数、方程以及不等式等章节知识内容存在密切联系。同时，数列命题也已逐步与函数、方程、不等式以及几何等知识综合，以内涵丰富、思想深刻的综合性问题形式出现，成为培养学生数学综合运用能力的有效抓手和综合性解题技能培养的重要载体。
如在数列章节复习课问题教学中，教师设置了“已知数列{an}是等差数列，且a1=50，d=-0.6，（1）从第几项开始有an＜0，（2）求此数列的前n项和的最大值”问题。通过对该数列问题案例的分析，可以看出此案例是要运用到不等式以及二次函数等知识内容的综合练习题。如在（1）解题时实质上是解一个不等式，但要注意n∈N，（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，通过分析发现，由于等差数列中的Sn是关于n的二次函数，可用二次函数的方法求最值。学生对该类形式新颖、构思巧妙的综合性问题进行解答时，能够对学生函数与方程思想策略的有效运用起到促进作用。高中数学教师在实际教学中要善于运用综合性问题案例开展有效教学，提升学生学习思想和素养。
关键词：数学教学；数学能力；学法；设计；反思
当前深入推进的素质教育，其核心就是要培养创新型人才。这是我国同现代化教育接轨的历史性进步，为了体现队素质教育质量的考核与评估，近年来高考命题的试题也由以知识立意转向以能力立意，在考查学生掌握基础知识和基本技能的同时，侧重考查学生运用知识的能力。从数学试题上分析，与以往相比，更加侧重考查学生对数学知识的理解及运用能力，而减少了对学生解题的熟练程度的检查。从学生解答情况来看，经常出现“不教不会，新题不会，甚至是讲过多遍也答不对”的情况，究其原因主要是我们数学教师在培养学生的能力方面做得还不够。因此，在数学教学中如何加强对学生能力的培养，提高学生在未来激烈科技竞争中的实践能力不仅关系到每一名的高考，更关系到我国未来的发展，每位数学教师都必须对此高度重视，并应在教学实践中把培养学生的创新能力放在首要位置：
一、注重学法指导,培养学生的学习能力
素质教育的主体是学生，学生掌握了科学的学习方法，就能更快更好地理解、接受知识和提高能力，也只有学生自己“会学”，才能使学生的主观能动性得到充分发挥，各方面的能力得以加强，教学质量才能稳步上升。俗话说得好“授人以鱼，不如授人以渔”，说的也是指导学生掌握正确的学习方法，提高他们自我获取知识的能力的重要性。前苏联教育家巴班斯基认为，学习能力主要包括组织能力（合理安排时间、内容）、吸取学习信息的能力（阅读、记忆、使用工具、情报信息）和进行智力活动的能力（学习动机、领会教材、记忆理解教材、解决问题、独立练习和自我检测能力）。为了培养学生的各种学习能力，教师在日常教学中，要有针对性地对学生进行学法指导，要指导他们如何合理安排时间、内容，如何读书、使用工具，如何利用课外资料，以及如何对所获取的知识进行归纳、整理，如何解决在学习中遇到的困难，如何进行同学间的互助学习等等。只要学生们能够掌握正确的学法，不断提高他们的学习能力，就能在以后的学习过程中取得较好的效果。
二、优化课堂设计方案，培养学生的思维能力
数学教学的大量活动在45分钟的课堂之中，培养和发展学生的数学能力与课堂教学密切相关。德国教育家第斯多惠说：“教育的艺术不在于传播的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”课堂教学的设计应着重体现这种“激励、唤醒、鼓舞”。因此，课堂教学方案的设计要考虑到在传授知识的同时，是否更有利于培养学生的能力，那些学生参与程度高，有利于激发学生兴趣和促进思维活动的方案，对学生能力的培养会更好。比如对等比数列的概念的教学，可以有以下几种设计方案：
方案一：先复习等差数列的定义，再结合几个常见的等比数列的例子由教师给出等比数列的定义，然后由学生根据定义判断一些数列是否为等比数列。
方案二：先复习等差数列的定义，然后请学生看以下几个数列：
“1，2，4，8，16，……；3，-9，27，-81，243，……；2，2，2，2，2，……；1，0.1，0.01，0.001，0.0001，……”让学生研究这几个数列的共同特征，并归纳出等比数列的定义，然后举出其它等比数列的例子。
方案三：复习等差数列的定义，然后点明课题，让学生类比等差数列的定义试给出等比数列的定义，并举出一些等比数列的例子。
以上几种设计方案，在培养学生能力上是有很大的差异的，方案一是属于注入式的结论性的教法，学生只学到一些知识，谈不上什么能力的培养；方案二是在学生观察、分析的基础上，进行抽象、概括而形成新的概念，对学生分析问题、归纳总结、抽象概括的能力得到了训练；方案三由于教师所提供的信息较少，学生要解决问题，就必须进行独立地思考，其智力参与程度更高，思维活动量更大，从而其分析问题、解决问题的能力得到了更大的训练，也就是说，方案三在体现学生能力培养方面效果会更好。
可见，对于同一内容的教学，不同的设计方案，对学生能力的培养是有很大的差距的，这就要求教师在日常备课中，要注意自己的教学方案在传授知识的同时是否有利于培养学生的数学能力，只有这样才能取得更好的教学效果，才能适应新一轮教学改革的要求。注重反思，发展学生的数学能力。在数学教学过程。
关键词：合情推理；数列；归纳类比
美国著名的数学家数学教育家G·波利亚说过：“创造的过程是一个艰苦曲折的过程，数学家创造性的工作是论证推理即证明，但这个证明是通过合情推理而发现的．” 不少省市进行新课改已经多年了，无论是在教材还是教法上和以前传统的教育教学有了很大的改变．从教材的角度来看，新教材在去掉旧教材诸多繁冗的知识点之外，又引入了一些新的章节，如算法、导数、推理证明等等． 对这种在教材内容上的重大改革，开始之初非议之声不绝于耳． 很多反对之声不乏著名的数学教育者及教师，尤其是谈到推理与证明这一章时不少人认为这一章是没有必要的，认为我们平时在做题、讲题时不就在用它吗，感觉这一章的引入是多此一举． 笔者认为不然，想想远古人类第一次用火做饭烤肉时，有多少人能够明白生火的原理所在呢？笔者恰恰认为这是新课改在教材改革上的重大飞跃之一，从知识传授转而向方法上的传授． 在数学的教育教学中应当灌输方法论的教育． 笔者在进行数列习题教学中，在这一方面作了一些探讨，下面就以用两个案例来展示笔者在习题教学上的一些实际操作．
案例1：已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=n2+bn（b为常数），且对于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k成等比数列，数列的前n项和为Tn（n∈N*）．
（1）求数列｛an｝的通项公式．
（2）求使不等式Tn
（3）试求出所有的正整数m，n（2
教学分析：笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问比较简单，已知数列的前n项和Sn求数列通项公式an只需用递推式an=S1，n=1，Sn－Sn-1，n≥2 推出an=2n+b－1；然后根据恒等式?坌k∈N*，a=ak·a4k得b=1，则有an=2n；至于第1问那就更为熟悉了，因为数列｛an｝是等差数列，所以对于数列的前n项和用裂项相消法即可，推算出Tn=；
教师：第一问和第二问处理起来相对容易些，因为所涉及的知识点相对熟悉些，我们在平时的复习中也进行过类似的训练，那么对于第3问我们应当如何处理？这样的问题我们熟悉吗？
学生：这个问题平时我们在数列学习中不太熟悉，但是根据题目的条件T2，Tm，Tn成等比数列，能列出相应的等式T=T2·Tn；即有2=，稍微处理一下得=；下面该如何处理就不得而知了？
教师：不可否认从知识点的角度来看我们已经尽力了，不能够继续进行的缘故是相应方法或者知识点的缺失． 我们对于这种类型的推理题该如何处理？其解决手段在选修课本中做了一些介绍，如合情推理与演绎推理，对于这两种形式的推理方式相应的作用就不必多说了，简单地来说合情推理是发散的思维模式，有助于我们发现解决问题的方法；演绎推理是收敛的思维模式，能够帮助我们得出正确的结论！
学生：对于这样一道推理题我们应当用什么样的合情推理来发现这一问题的解决呢？是归纳还是类比呢？
教师：问得很好！我想我们不妨两个角度都试一下，不过我突然想起现实生活中的有趣的事例，不妨试着去类比看看． （囚徒论）说有一位警察抓住了两个犯罪嫌疑人，想通过对他们的审讯交代自己所犯的罪行，如果你是那位警察该从怎样的空间、怎样的人物开始下手呢？
学生：我想应该先把两个犯罪嫌疑人分开即将其开关在不同的房间里，然后从他们中关系最简单、相对单纯的犯罪嫌疑人开始下手．
教师：（全班一阵欢笑）将他们分开关闭使他们信息分隔，有利于从心理将其一一击破，从最简单开始先审讯相对单纯的犯罪嫌疑人也似乎是合情合理的． 现在看看我们这道题的第3问所得的等式吧：=；如果我们将m，n看成是我们抓住的两个犯罪嫌疑人，从等式的角度来看m，n已经被关在不同的房间了． 现在我们要开始“逼供”了，请问先审m还是n呢？让谁先交代？
学生：当然是n啦．因为n看起来简单多了，可以先对n下手逼着它先交代m是谁？（全班又是一阵大笑）
教师：通过怎样的方式怎么让n交代呢？
学生：先将等式右边常数24移到左边去，即得到=；然后从等式的右边开始对n进行这样处理=
从上述案例中可知这道题解决的灵感来源于我们现实生活中的有趣的案例，事实上我们社会生活中有很多科技产品发明不少都是从其他自然界类比而产生的． 下面给出的数列习题的案例从另一种角度发现解题的思路，即从归纳推理的角度给出思路．
案例2：设｛an｝是公差不为零的等差数列，Sn为其前项和，满足a+a=a+a，S7=7．
（1）求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列｛an｝中的项．
教学分析：同样笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问相对较简单，只是涉及数列基本量计算，设首项为a1，公差为d代入所给的两个等式a+a=a+a，S7=7中去就可以了．
教师：直接这样做对于第一个等式可能麻烦一些，不妨将其转化成a－a=a－a，即有（a2+a5）（a2－a5）=（a4+a3）（a4－a3）． 由性质得－3d（a4+a3）=d（a4+a3），因为d≠0，所以a4+a3=0，即2a1+5d=0．
学生：这样做法确实不错，运算上简化了，又由S7=7得7a1+d=7，这样算出a1=－5，d=2，所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－7，前n项和Sn=n2－6n．
教师：现在我们可以将精力放在对第2问的思考上，怎么办？对于式子打算怎么办？
学生：我们可以先将式子等价转化为，判断此数是否为数列｛an｝中的项，只要看式子能否写成2n－7的形式，即寻求满足条件的正整数m，n使等式=2n－7成立．
教师：对上述等式能否像上一案例那样去寻求解题的思路呢？
学生：（学生思考）好像不行，对n处理不能将其等式放缩，无法将其等式转化为不等式．
教师：我们要明白有关此类数列的推理题，思维不能只局限在一个小圈圈内，如果实在想不出具体的方案那就先猜猜吧！从简单的开始比方说m=1，2，3，4，5，6…试试吧？
学生：认真计算发现m=1，2，3，4，5，6时相应项的值分别为－15，3，－，，，；经过仔细判断六个数中只有m=2时符合要求，即m=2时等式为3，算出此数为数列｛an｝中的第五项．
教师：除此之外，难道我们就没有别的收获了吗？要明白此等式为数列｛an｝中的项首要条件必须是整数才行．
学生：哦！明白些了，我发现从m=3，4，5，6也许往后的数都是分数吧！好像我们应该来说明这一点才对．不错！应该是这样的！
教师：很好！这确实是一个不错的点子．该如何说明这一点呢？等式要成为整数该满足怎样的条件？
一、链接生活，生动导入
数学的众多知识都是来源于生活，生活是生动的，数学是抽象的，可以说数学是生活实际的模型化。在实际的教学中，我们可以返璞归真，将知识还原到生活中，通过知识链接生活，生动导入课堂。
必修五第二章开启了数列的教学，数列就开始进入学生的视线。数列的概念比较简单，但是变式复杂，有着多种多样的变式。这时候就需要抓住本源，从根本处理解知识。在引入等差数列概念时，我选用了一个生活实例。王老板开了一家饭店，随着事业的发展，他面临一项投资的选择。方案一：一次性投Y5万元，6年后收益12万元。方案二：一次性投资7万元，第二年收益1万元，以后每年收益比前一年多0.5万元。比较两种方案。这一案例提出之后，引起了学生的积极讨论，学生身临其境，仿佛自己就是饭店老板一样，都兴致勃勃地想管理自己的“财富”。第一种方案的收益很明显，利润所得即为收益-投资=10-5=7万元，这就作为一个比较标准，与方案二进行对比，关键要看方案二的收益模型。首先看6年后的收益，每年累计求和为1+1.5+2+2.5+3+3.5= 13.5万元。那么6年之后所得利润=13.5-7=6.5万元，6.5万元小于方案一中的7万元。从相同的投资期来比较的话，方案一所得利润更大。但是如果将方案二的投资期再延长一年，二者所得的利润就相当了。如果再延长一年，方案二将超过方案一。方案二的增长模型就是一个等差数列，虽然起点低，增长慢，但是一直有增长，最终会取得一个数值很大的结果。
通过这样一个贴近现实的例子，就生动地引出了等差数列的概念，并且隐含地带出了数列求和的意义与需要。只将数列变成一列数字，其概念是晦涩难懂的，各种公式也将变成一种单纯的数字符号，求和、变换等也将变得失去实际的意义。
二、自主归纳，深化意识
数列中最为重要的可以说就是求和公式了。但是如果公式只是要求学生进行背诵的话，容易造成遗忘，对学生自身的思维能力的提高也没有积极的影响。因此，作为教师要善于“让权”，引导学生自主总结归纳公式。
等差数列的公式比较简单，适合学生自己去探索。在推导等差数列的前n项和的时候，我引入了一个经典的加法给学生启示思路。题目是“1+2+3+…+98+99=？”这道题目我们在小学就曾经破解了。题目的解答是采取巧妙的方式，加法式中共有99项，第一个数与最后一个数相加的和是100，第二个数与倒数第二个数相加是100，以此类推。那么整个式子就可以归结为49个100相加，再加上一个50，结果即为4950。那么这种思想就可以延伸到等差数列求和当中，学生以此为启发探究等差数列的前n项和。我们记数列前n项和为Sn，首项为a1，公差为d。学生经过1到99加和的启发，将前n项和相加分为了奇数项数和偶数项数两种。对于偶数项数，正好分为 n个首末项相加的和，用符号表示即为Sn= n×（a1+an）= n（a1+a1+ （n-1）d）=na1+ n（n-1）d。对于奇数项数，则会多出来一项，这项是第
项。此时的求和则是Sn= （n-1）×（a1+an）+a（1+n）/2= （n-1）（a1+a1+ （n-1）d）+a1+ d=na1+ n（n-1）d，这时候学生就会发现虽然进行了分类讨论，结果却能统一，经过自身的推导，结论掌握的程度要超过教师讲解。
数列的求和公式往往是能统一成相同形式的，但是数列的种类越积越多，仅仅凭借背诵记忆是很容易混淆的。正因为这样，让学生自己进行推导，掌握的知识就更加牢固，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。
三、多元交流，引导反思
一个“1”再加一个“1”，结果是“2”；但是一种思想“加”另一种思想，结果可能就是很多种思想。所以说，学习中的交流是必不可少的，课堂上的交流不仅只是教师与学生之间，更应该普及在学生与学生之间。
以一道例题的讨论为例。题干如下：已知等差数列的前5项和S5=10，前10项和为S10=30，求数列的前15项和S15。学生大多数采用的是先求数列的公差，然后求出首项，进而得出通项公式。有了通项公式，整个数列就相当于已知了，代入所求的前15项和的要求，问题即可解决。一般到了这里，问题就算结束了，但是此题还有更巧妙的解法，我没有点破，只是让学生各自结组讨论。很快就有小组发现了，已知与所求的角标有着特殊的联系，5，10，15构成了一组等差数列。该小组提出这一发现后，其他小组有意识地将结果进行横向比较，回顾刚才的运算结果S15=60，大家发现S5，S10-S5，S15-S10也是呈等差数列分布的。一石激起千层浪，规律就这样被发现了，进而又有其他小组借助这两个小组的“科研发现”，找到了这种理论的依据，即为S5，S10-S5，S15-S10的意义是第一个5项和，第二个五项和，第三个五项和这样分布的，这样也构成了一个“大”的等差数列。
如果按照常规的解法，恐怕整个班级都要用同样的传统解法来解数列求和的题目。“众人拾柴火焰高”，通过学生的多元交流，新的规律就可以被发现，新的方法就会被传播，可以引发学生自我的反思与提高。
关键词： 数学章节;学习能力;培养策略
一、强化数列知识丰富性，设置情景，增强高中生合作学习能力
在数列章节教学中，教师培养学生合作意识和能力时，应从情感激发方面入手， 利用数列知识内容的生活应用性、现实趣味性、深厚历史性等特征，设置有效教学情境，让学生在教师设置的融洽数列知识教学情境中，合作意识显著增强，合作观念显著增强，主动进入到教师设定的“合作学习”教学“轨道”.
如,在“等差数列的前n项和”新知教学活动中，教师抓住等差数列的前n项和公式的推导以及相关性质内容，为激发学生的合作学习“欲望”，设置“堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？”生活中经常性运用到的现实问题情境，这样，教师通过现实问题引出求等差数列前n项和的问题，激发起学生主动学习潜能，使学生了解“等差数列的前n项和公式”的意义，从而在组织学生开展合作探知等差数列的前n项和新知问题时，自觉主动参与.教师引导学生合作探究的方法多种多样，情景式教学只是其中一例.实际操作中，教师应紧扣教材、紧贴学生、尊重学生，这样才能实现学生主动合作、愿意合作.
二、利用数列问题深刻性，强化指导，培养高中生探究实践能力
问题：已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则ann的最小值为多少？
在该数列问题案例教学时，教师采用探究式教学策略，让学生组成学习小组开展探究活动，学生在探知问题条件下认为，上述案例主要是考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性.因此在解题时需要运用递推数列的通项公式的求解以及数列与函数的关系内容进行解答.解题过程：
解：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…+(n-1)］+33=33+n2-n.所以ann=33n+n-1
设f (n)=33n+n-1，令 f '(n)=-33n2+1>0，则f (n)在(33,+∞)上是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f (n)有最小值.
又因为a55=535，a66=636=212，所以，ann的最小值为a66=212.
在上述问题教学过程中，教师将探究能力培养渗透到问题解析过程中，引导和指导学生开展问题探究分析活动，找寻问题解答的关键点和解题方法，有效提升了学生探究解答问题的能力水平.
通过上述案例教学过程可以发现，高中数学教师在教学活动中，要凸显学生主体地位，利用数学知识发展过程性，设置探究实践平台，让学生在能动探究过程中，在教师有效指导下，掌握探究方法，获取解题策略，提升探究效能.
三、放大数列内涵联系性，善于联系，提高高中生综合思维能力
数学学科是一个知识点之间、章节之间紧密联系的有机整体.数列章节知识体系同样如此，通过对数列章节知识体系整体分析，可以发现，数列与函数、概率、不等式以及程序框图等知识之间联系深刻、运用广泛.这就为设置数学数列方面的综合性问题案例提供了条件，也有利于提高学生综合应用数学知识、总体把握应用的思维能力.
问题：已知等比数列{an}的首项为a1=1/3，公比q满足q＞0且q≠1.又已知a1，5a3，9a5成等差数列.（1）求数列{an}的通项.（2）令bn=log31an，求证：对于任意n∈N，都有1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1≥12.
（1）解：因为2•5a3=a1+9a5,因为10a1q2=a1+9a1q4,所以9q4-10q2+1=0.因为q>0且q≠1,所以q=13,所以an=a1qn-1=3-n.
（2）证明：因为bn=log31an=log33n=n,1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1. 所以1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1.1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1≥12.
通过对上述问题案例条件及内容的分析，可以发现这是一道关于数列与不等式之间联系的问题案例，在该问题案例教学中，教师先引导学生对数列知识点内容和不等式知识点内容进行复习，并找出两者之间的内在联系，然后引导学生进行问题条件分析，找寻出解题的关键和策略，学生在问题分析探知过程中认识到，解题的关键和困难在于第二个小问题，在解答时，应该把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，采用裂项相消法，求出数列之和，由n的范围证出不等式.这样，学生解答时就能轻车熟路，水到渠成，有效解答.
笔者在本文就数列中的函数思想、特殊化与一般化思想、类比思想、分类讨论思想、化归思想和模型思想，进行简单介绍与说明，帮助学生更好的理解数列中的数学思想.
一、函数思想
高中数学数列教学以函数思想为指导思想，让学生认识函数和数列之间的关系，强调数列项的排序为函数自变量.从苏教版教材中对数列概念、等差数列与等比数列运算等介绍均体现了函数思想，如数列是正整数集，以一系列离散点为图像，数列通项公式为对应函数解析式.等差数列为一次函数，等差数列前n项和为关于n的二次函数（常数项=0）；等比数列为指数函数.数列具有函数一般性质.
二、特殊化与一般化思想
数列章节中关于数列、等差数列、等比数列概念的引出，先给出教学特例，引导学生从特殊中归纳总结一般，得出概念，然后在概念的基础上，应用概念解决问题.另外，等差数列通项公式和求和公式、等比数列通项公式和求和公式的推导，也是从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想.
三、类比思想
数列章节中等差数列和等比数列的相关内容都是函数类比得出的，如等差数列、等比数列是数列项类比于实数的加法、乘法.等差数列概念、通项公式、前n项和、性质等，类比后得出等比数列特征.数列、等差数列、等比数列等相关问题，可以类比函数概念、表示方法、性质得出.笔者梳理等差数列和等比数列的类比，如表2所示：
四、分类讨论思想
在等差数列和等比数列中均有分类讨论思想的体现，如等差数列中，结合公差d的正负情况分为不同数列；在等比数列中，结合公比q和首项a1范围进行数列分类；等比数列前n项求和Sn，可以结合公比q进行分类讨论，具体如表3所示：
五、化归思想
因为学过等差数列和等比数列前n项和，因此对于一般数列求和，应尽可能将其化归为等差数列或等比数列，然后再求和，体现了数列中的化归思想.
六、模型思想
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