1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2—P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
一、通项公式
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1.等差数列的概念;
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法
启发式数学
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6;①
10，8，6，4，2，…;②
③
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)
(n≥2)
对于数列③(n≥1)
(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式(n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.21，2
二、1.预习内容：课本P116例2—P117例4
2.预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1.(n≥2)
教师的问题一出，教室里马上反应强烈.这样的游戏，谁不玩，如果你加入我们的QQ群，你会发现，我们班里每个人都在玩.其实我早就以假的身份加入到了他们班级群中.提出这样的问题，只是想引起学生的注意.
教师：既然每个人都在玩QQ农场，我李清是QQ农场的“新农民”，进入QQ农场首先应该了解游戏规则，请同学们给李清介绍QQ农场的游戏规则是什么？
学生七嘴八舌，我让学生相互讨论，并总结归纳回答：
1.锄地+3；2.播种+2；3.浇水+2（帮别人+2，金币+1）；
4.除草 +2（帮别人+2，金币+1）；5.除虫+2（帮别人+2，金币+1）；6.购买装饰获得经验： 购买装饰时有说明，以页面提示为准；7.每级升级所需经验为：N*（200点）；8.种植作物获得经验：购买作物时有说明，以页面提示为准.
上述讨论的问题具有可操作性，学生有讨论的基础，学生的互动使学生的思维有一个充分预热过程.
教师（问题）2：在李清玩QQ农场的游戏时，他发现有很多数列问题.你是否遇到一些数列的问题？请举例与李清来共同探讨！
学生1：种6块地，一块地得3分，3，3，3，3，3，3构成一个数列；
学生2：锄地5块，每次得3分，3，3，3，3，3构成一个等差数列；
学生3：那我收获9块地的番茄，可以获得：18，18，18，18，18，18，18，18，18构成一个数列.
……
学生4：等级提升的经验值：200，400，600，800，1000，1200，1400，1600，…构成一个等差数列.
学生5：当我经验值提升到等级7级时，我就可以新开垦一块土地；当我的经验等级提升到等级9级时，我又可以开垦一块土地…如此7级、9级、11级、…构成等差数列.
学生在玩种菜的游戏过程中，有许多这样的数列碰到.在教师没有提出这样的问题时，可能不会想到数列问题.而教师的特殊引导，使学生在现有生活中感悟到数学文化无孔不入，无处不在.学生提出的数列大部分是常数列，学生4和5很为自己提出的数列感到自豪.
教师：非常好！李清是新入门的QQ农场用户，他需要有多少经验值分数，才能把他的经验提升到等级3？
学生1：那还不简单，600分.不过不可能，一天到不了！
学生2：不够的.需要200+400+600=1200分，才能提升到经验等级3.
因为这是一个人人在玩的游戏，游戏的主要目标是提升自己的经验等级，所以学生有深刻的感受.此时，大部分同学赞同学生2的观点.学生之间也有了相互的争论与交流.通过生生的互动，学生得到规律，这是一个等差数列前几项的求和问题.这为教师提出后续问题作了良好的铺垫.
教师：那现有以下问题，请同学们快速帮李清解决（用数列来解析）：
①那种6块地可以获得多少经验值？
②那锄5块地可以获得多少经验值？
③那经验等级由0级提升到等级8需要获得多少经验值？
学生很快解决了第一和第二个问题，种6块地可以获得经验值6×3=18分，锄5块地可以获得经验值5×3=15分.大部分学生在忙于第三个问题.
其实前两个问题可以看成常数列的前n项和的问题.对于常数列（实际的问题）的求和，学生非常快，因为这是小学三年级的问题.而对于问题3，大部分学生是从200一直加到1600，虽然用的方法不是很难，但对于学生也够麻烦了，200+400+…+1600=7200分.花了很长的时间.
教师：那我想经验等级由0级提升到等级24（最高等级），需要获得多少经验值？
这时，大部分职高学生已经感到有难度了，所以很多同学都放弃了原来的想法，不再参与课堂的教学过程.有的学生说，我管他需要多少经验值，反正我努力种地、收获、浇水、除草就是了.
教师：即使是游戏，我也希望我们比别人玩得有头脑，玩得溜.当我们碰到困难时，我们不应退，而应积极探究.刚才我们的计算办法虽然有点烦，但总也可以解决问题.学习数学的宗旨就是化繁为简.那么我们有没有简单的方法呢？现在我们隆重请出大数学家高斯.
投影高斯的画像，并介绍高斯九岁时解决的问题：
1+2+3+4+5+…+100
=1+1002×100=5050.
学生1：这种方法我知道的，小学就做过.
学生1的回答引起了一些学生的共鸣，但不多.说明学生数学文化的局限性.教师就不失时机地请同学们来了解一下高斯.组织学生组间讨论.接下来，请学生以组为代表发言.
结果学生根本不知道高斯的一点点生平事迹.教师用大屏幕投影“高斯是一对普通夫妇的儿子….”
学生对高斯的成就比较羡慕.但马上就有这样的声音：“高斯太聪明了，我们是无法比较的.”
教师：对，我们无法和高斯相比，但不妨碍我们对高斯的了解，从而对高斯产生的仰慕！我们再看看高斯九岁时解决问题的方法，能不能帮助我们解决今天的问题？
学生：老师，那我能做了，200+48002×24=60000分.
教师：为什么？
学生：高斯是第一个数加最后一个数乘以100除以2 ，所以升到24等级：应是第一等级200分加上第24等级4800分乘以等级24除以2.
教师：如果用等差数列的“行话”来解析呢？
教师让学生相互讨论得到：首项加末项乘以项数除以2.
教师：那用公式呢？
学生：Sn=a1+an2×n.
教师：如果李清的经验值分数是11000分，他可以从“新农民”提升到经验等级几？
学生唧唧喳喳，也没个切入口.
教师：上述公式中 求和公式可以转化为： Sn=na1+n（n-1）2d.
关健词：问题系统高中数学实验
问题系统引导教学法实验，是从教学思想、教材、教法及课堂结构等方面进行的一次综合性的改革实验，它从目标与检测、自学、情感这四个因素来全面落实数学问题系统，将教材中的数学习题进行了扩展。从主体上说，就是将传统的教材向具有科学性、生动性、启发性和导向性的问题系统进行转化，在编排上根据中学生的认知水平和心理水平进行安排，将死板的教学变成了生动活泼的乐学，实现了当前倡导的“面向全体学生，负担轻，速度快，容量大，效果好”的教学目标。
我校编写了一套高一的《代数》和《立体几何》教案本。在两年的教改实验中，我们进行了多次的研究教学和观摩教学活动，收到了良好的教学效果。
一、教案本与问题系统引导教学法实验课例
目前高考的知识点大部分来自于教材，但是所遇到的题型和解题方法都是没有见过的。也就是说，即使学生熟练地掌握了教材，也不一定能在高考中取得好成绩。针对这一问题，提出了问题系统引导教学法。我们将教材的每一节知识编成了相应的教案本，教案本将每节课都问题化，目的是让学生主动去思考，教师只是引导，通过这样的方式来培养学生的自学能力。此教案本是为了高考而特制的，在课堂教学中，课前能当预习辅导材料，课后又能作为习题本。
下面就问题系统引导教学法具体的课堂实例进行介绍，以等差数列的前n项的和公式一节课为例。
课题：“等差数列的前n项的和公式”。
研讨课题：如何使用实验教材引导学生进行系统的自我学习、探索、发现和概括？
教学过程：
教师：今天，我们学习实验教材《数列》第一章的第五课“等差数列前n项的和公式”，同学们先看教案本中的学习提要和问题1的两个问题。
学习提要：等差数列的前n项的和公式有哪两个形式？如何导出的？如何应用等差数列前n项的和公式解题？
评述：实验教学每节课开始，都是以几个小问题的形式呈现，提出本节课的教学目标、学习任务，教学知识的重点，这样有利于教与学的顺利开展。
问题一：
1.在等差数列{an}中，若自然数n，m，p有关系q，n+m=p+q，则an，am，ap，aq有关系an+am=ap+aq。
2.如何计算1+2+3+…+100？
评述：问题一迁移性问题，为引出以下的新知识起到了铺垫作用，如第1题是为了解释a1+an=a2+an-1=…，第2题则是推导等差数列Sn的方法原型。
教师：同学们看问题二与问题三中部分公式的推导。
问题二：
1.如何计算5+6+7+8+9+10+11？
2.在等差数列{an}中，如果记Sn=a1+a2+…an，称Sn为等差数列{an}的前n项的和，问Sn具有怎样的表达式？
问题三：
1.试用下面竖式计算题1中七个数的和：
S7=5+6+7+8+9+10+11，①
S7=11 + 10 +9+ 8 + 7 + 6 + 5。②
①+②得：
2S7=（5+11）+（）+（）+（）+（）+（）+（）
=7×16。
S7=7×8=56。
2.一般地，设有等差数列a1，a2，…，an，它的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an。
仿上题列竖式：
Sn=a1+a2+…+an-1+an，③
Sn=an+an-1+…+a2+a1。④
③+④得：
2Sn=（）+（） +…+（）+（）。
a1+an=a2+ （）=……
2Sn=n・（a1+an）。
由此得到等差数列{an}的前n 项和公式。
公式（1）Sn=n（a1+an）12，求Sn需知三个条件，再由等差数列的通项公式an=a1+代入上式，得到等差数列Sn的另一形式。
公式（2）Sn=na1+n（n-1）12d，这里求Sn要知道的三个条件是：。
教师叫学生写出公式（1）、（2），然后用语言表达推导公式的方法，应用公式求Sn的方法需要知道的三个条件。
评述：这两个问题从浅到深来安排，主要是希望让学生根据规律逐渐掌握数列的求和公式，由学生自已动笔去推导这些公式，印象深刻，对知识理解到掌握。
现通过两个例题组织学生进行讨论。
例1一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和.
（1）若这个数列前n项和最大，求n的值.
（2）求该数列前14项的和.
分析：（1）s3=s11，说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正、负分界项，便得到n的值.
（2）s3=s11，显然不能求出a1和d的具体值，为此，只有设法探求s14与它们的关系.
解：（1）由已知s3=s11，得
a4+a5+a6+…+a10+a11=0，
a4+a11=a5+a10=…=a7+a8=0.
因数列首项为正，故公差d0，a8
（2）设{an}首项为a1，公差为d，s3=s11，
则3a1+3（3-1）12s=11a1+11（11-1）12d，
整理得2a1+13d=0.
故s14=14a1+14（14-1）12d=7（2a1+13d）=0.
例2设数列an是等差数列，Sn是它的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{|Sn1n|}的前n项的和，求Tn。
解：设数列{an}的公差为d，则
7a1+21d=7，
15a1+105d=75，解得a1=-2，
d=1。
所以Sn=n（n-5）12.
设bn=Sn1n=n-512，则{bn}是等差数列，故S′n=b1+b2+…+bn
=n2-9n14.
令bn=n-512≥0，解得n≥5.
所以b1，b2，b3，b40.
所以当n≤5时，
Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=-（b1+b2+…+bn）
=9n-n214.
当n≥6时，
Tn=|b1|+|b2|+…+|b5|+…+|bn|
=-（b1+b2+…+b5）+b6+…+bn
=-S′5+（S′n-S′5）
=S′n-2S′5
=n2-9n+4014.
所以Tn=9n-n214（n≤5），
n2-9n+4014（n≥6）。
评述：对所学知识进行及时的反馈，通过练习，帮助学生开发自己的思维。教师不需要对习题进行讲解，完全由学生自己直接解答，由师生共同讨论完成解答步骤。
由此可以看出，实验教材不仅是教师的教案，还是学生的练习册。在课堂上，既节省了教师的板书、提问，学生的抄笔记等活动，在一定程度上减轻了学生的课业负担，使课堂高速、高效。
二、实验总结
实验取得了相当满意的效果，这当然取决于我校学生有良好的素质和刻苦学习的精神，效果体现在以下两方面.
1.减轻了教师的负担
从学生方面来说，问题系统引导教学法的实验培养了学生自觉学习的习惯，学生只有在每节课之前做好预习，才能正确地完成教案本上的内容，这就等于完成了课本中的一些容易的练习题了，这样，学生就可以不必去做课本上的习题了。针对学习差的学生则需要加强对教材习题的训练。从教师方面来说，有了教案本，备课的工作量大大减少，作业批改量也很少，甚至是没有，从而减轻了教师的负担。
2.学生的学习能力大幅度提高
经过这一年的实验教学法的实施，在每次的测试中，有的学生能得满分，这在以前的教学中是没有的，学生学习成绩的提升，激发了学生学习数学的热情，学生的学习能力也得到了提高。
总之，运用问题系统引导教学法实验在实际的教学中取得了很好的教学效果，为此，在高三年级也应该进行此种方法教学，现在已经相应编好了高三教学用的数学专题讲座。希望在以后的教学中，问题系统引导教学法实验更加完善。
参考文献
王岳庭。数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集。北京：海洋出版社。 1998年。
一、对现有的传统的中职数学课堂模型进行改革，要求彻底改变中职数学教师参与数学课堂的方式
改变教师参与中职数学课堂的方式重点在于教师角色的彻底转变，要求中职教师由“指导者”向“促进者”转变，由“导师”向“学友”转变，由“信息源”向“信息平台”转变，由“统治者”向“平等的首席”转变。由“园丁”向“人生引路人”转变。为此要求中职教师必须具备课程开发的能力，增强对课程的整合能力，教师的参与方式很多，但是关键是让学生在教学中动起来，让学生能够充分主动地参与教育教学活动，教师不再是课堂的表演者，应该是幕后鼓励学生学习的主导者。在课堂上，中职数学老师应该经常使用一些鼓励性的语言，使学生能够自觉主动地学习。
案例一：在中职数学课堂上经常会看到这样的情景：当一名学生正确地回答了教师提出的问题或一名平时不爱发言的学生把问题回答正确，教师会说：“同学们，鼓励他！”全班同学会热烈地、带有节奏地鼓掌；有的老师还会用亲切的语调说：“回答得非常好！”我想：就这样一句话，会使这名同学全天都能愉快地学习，甚至，从此就喜欢上数学。
中职教师一定要善于表扬学生，尤其是对学习没有兴趣的学生和学习有困难的学生。有的老师会说，这样的学生没有优点，怎么表扬他呢？做一个细心的教师，只要发现学生有一点点进步，哪怕是微不足道的，你也应该及时表扬他、鼓励他，使他感到我也有优点，我也能进步。如上课时，当你提出比较简单的问题时，让他回答，及时表扬他、鼓励他：“他回答得非常正确，进步很大。”有的学生上课举手发言，即使他回答错了，你也要鼓励他：“看你能大胆发言了，虽然问题回答得不完全正确，但是你已有了很大的进步，我相信下一次你一定能把问题回答正确。”由此他会对学习产生兴趣，会认真听课，积极发言，这样中职老师就成功地实现了自我角色的改变。老师通过启发和鼓励，培养学生从参与课堂与到兴趣课堂。
二、对现有的传统的中职数学课堂模型进行改革，要求彻底改变中职学生参与数学课堂的方式
苏霍姆林斯基说：“不能使学生参与是教师的最大过失。”这就是说，只有让学生主动参与教学活动的过程，才能引起学生对教学内容的高度关注，才能有兴趣关心现实问题，才能主动地探究问题，才能真正强化教学效果。因此，教师必须努力更新教育理念、改进教学方法、优化教学过程，营造良好的教学环境，创造参与机会，充分调动学生参与的积极性，提高学生参与教学活动的程度。“学案导学”教学法不失为一个适合中职学生发展需求的，能够保证每个学生参与中职数学教育教学活动好方法。“学案”教学能够让学生真正参与到学习中，改变以前那种沉闷的学习气氛，不再是课堂上老师与几个优秀学生的表演，而是所有学生都有事做，老师只是引导者，连后进生也由原来的旁观者变成参与者，并且争先发言。“学案”教学很好地处理了不同学生间的差异，提高了学习兴趣，消除了大部分学生的茫然。这种以“学案”为载体，老师讲得少了，学生讲得多了，学生思维活了，问题多了，同时解决问题的方法多了，学生视野也开阔了。也就是教师的角色真正转变了，课堂上不是老师提问而是学生提问，师生共同解决问题。在这样的课堂上，学生主要是在自主学习，课堂容量大大增加，建立了民主平等的师生关系。学生可以根据学案清楚地掌握老师的教学思路，提高课堂听课效率，每张学案都有适当的课堂练习，并且注重学法指导，“先学后教”，以问题承载知识，导学导练，当堂达标，这样老师和学生之间的思维差距便会缩小，很容易融合。学案是面向全体学生，是为了让每个学生都有收获感，因此“学案导学”要求课堂以学生学会学习为宗旨，以学案作为学习依据，以教师为主导，以学生为主体，实现学生的自学能力、合作能力、创新能力和整体素质共同提高的一种教学模式。
案例二：等差数列的概念：一、学习目标：（一）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。（二）运用等差数列的通项公式解决相关问题。
二、学习重点：等差数列的概念及通项公式的推导和应用。
三、导学过程：（一）自主探究：
1.等差数列定义：？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇这个常数叫？摇？摇 ？摇 ？摇通常用字母？摇？摇 ？摇？摇表示。
2.结合等差数列的概念，再举出几个生活中等差数列的例子。
3.等差数列中前项减后项是同一个常数吗？这个常数是等差数列的公差吗？常数数列是等差数列吗？它的公差是多少？
4.等差数列的单调性：等差数列的公差d？摇？摇 ？摇？摇时，数列为递增数列；d？摇？摇 ？摇？摇时，数列为递减数列；5.等差数列的通项公式：？摇？摇 ？摇？摇=推导过程：
还有其他推导方法吗？
6.要证明数列为等差数列，只需证明：当n≥2时，？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇
7.等差中项的定义：？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇根据等差中项的概念，若三个数a，A，b成等差数列，你能写出等差中项的公式吗？它还有哪些变形？你能发现等差数列的一些性质吗？
（二）典例剖析：例1、判断下列数列是否为等差数列：（1）7，7，7，7，7；（2）m，m+n，m+2n，2m+n；（3）a-d，a，a+d
例2：已知数列的通项公式为a =6n-1，这个数列是等差数列吗？若是等差数列，则其首项和公差分别是多少？变式：已知数列{a }的通项公式为a =pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？反思：证明这个数列是等差数列必须强调从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数。
例1.已知等差数列{a }
（1）若a =80，a =100，求a 的值.
（2）若a +a =12，a =7求a .例2.（1）已知等差数列8，5，2……试求此数列的第20项.
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13……的项？如果是，是第几项？
三、对现有的传统的中职数学课堂模型进行改革，要求改变中职数学教材参与中职数学课堂的形态
数学是一门具有高度抽象性和概括性的自然科学。正因为它的高度抽象性和概括性，使得数学在中职学习中成为学生的“拦路虎”，要让适于具体形象思维的中职生学习抽象的数学知识就必须把高度抽象的数学知识，先把具体形象的方法呈现给学生，然后让学生通过由“具体―形象―抽象”的思维规律认识掌握数学知识，并通过多次这种思维方法训练，培养发展中职生的抽象思维能力。这就是说，运用具体形象的方法教学中职数学知识，既是使学生理解掌握数学知识的科学方法，又是培养发展学生抽象思维能力的必要手段。因此，如何把中职数学知识用具体形象的方法呈现给学生，如何在教学中用具体形象的方法让中职学生认识研究抽象的数学知识，我们就需要将中职数学教材根据中职学生的需要与多媒体教学结合起来或采用数学实验的方法。
案例三：平面与平面平行的判定【实验准备】
1.两根小棍子，数学课本。2.四人小组。
【实验目标】1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理；2.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
【实验导航】1.目标：满足哪个最简单的条件才能够说明平面与平面平行。
2.创设环境：（1）将课桌面看成一个平面。将数学课本看成一个平面。
（2）实验“课本所在平面内最少有几条直线与桌面平行才能够说明课本所在平面和桌面所在平面平行”？
3.实验步骤：（1）一条情况说明：通过一条直线可以确定无数个平面；两面未必平行；而且与已知平面平行的平面有且只有一个。
（2）两条平行直线情况说明：一个平面内的两条平行直线与已知平面平行，这两平面未必平行，还有可能相交。
（3）两条相交直线情况说明：一个平面内的两条相交直线与已知平面平行，这两平面一定平行。
一、链接生活，生动导入
数学的众多知识都是来源于生活，生活是生动的，数学是抽象的，可以说数学是生活实际的模型化。在实际的教学中，我们可以返璞归真，将知识还原到生活中，通过知识链接生活，生动导入课堂。
必修五第二章开启了数列的教学，数列就开始进入学生的视线。数列的概念比较简单，但是变式复杂，有着多种多样的变式。这时候就需要抓住本源，从根本处理解知识。在引入等差数列概念时，我选用了一个生活实例。王老板开了一家饭店，随着事业的发展，他面临一项投资的选择。方案一：一次性投Y5万元，6年后收益12万元。方案二：一次性投资7万元，第二年收益1万元，以后每年收益比前一年多0.5万元。比较两种方案。这一案例提出之后，引起了学生的积极讨论，学生身临其境，仿佛自己就是饭店老板一样，都兴致勃勃地想管理自己的“财富”。第一种方案的收益很明显，利润所得即为收益-投资=10-5=7万元，这就作为一个比较标准，与方案二进行对比，关键要看方案二的收益模型。首先看6年后的收益，每年累计求和为1+1.5+2+2.5+3+3.5= 13.5万元。那么6年之后所得利润=13.5-7=6.5万元，6.5万元小于方案一中的7万元。从相同的投资期来比较的话，方案一所得利润更大。但是如果将方案二的投资期再延长一年，二者所得的利润就相当了。如果再延长一年，方案二将超过方案一。方案二的增长模型就是一个等差数列，虽然起点低，增长慢，但是一直有增长，最终会取得一个数值很大的结果。
通过这样一个贴近现实的例子，就生动地引出了等差数列的概念，并且隐含地带出了数列求和的意义与需要。只将数列变成一列数字，其概念是晦涩难懂的，各种公式也将变成一种单纯的数字符号，求和、变换等也将变得失去实际的意义。
二、自主归纳，深化意识
数列中最为重要的可以说就是求和公式了。但是如果公式只是要求学生进行背诵的话，容易造成遗忘，对学生自身的思维能力的提高也没有积极的影响。因此，作为教师要善于“让权”，引导学生自主总结归纳公式。
等差数列的公式比较简单，适合学生自己去探索。在推导等差数列的前n项和的时候，我引入了一个经典的加法给学生启示思路。题目是“1+2+3+…+98+99=？”这道题目我们在小学就曾经破解了。题目的解答是采取巧妙的方式，加法式中共有99项，第一个数与最后一个数相加的和是100，第二个数与倒数第二个数相加是100，以此类推。那么整个式子就可以归结为49个100相加，再加上一个50，结果即为4950。那么这种思想就可以延伸到等差数列求和当中，学生以此为启发探究等差数列的前n项和。我们记数列前n项和为Sn，首项为a1，公差为d。学生经过1到99加和的启发，将前n项和相加分为了奇数项数和偶数项数两种。对于偶数项数，正好分为 n个首末项相加的和，用符号表示即为Sn= n×（a1+an）= n（a1+a1+ （n-1）d）=na1+ n（n-1）d。对于奇数项数，则会多出来一项，这项是第
项。此时的求和则是Sn= （n-1）×（a1+an）+a（1+n）/2= （n-1）（a1+a1+ （n-1）d）+a1+ d=na1+ n（n-1）d，这时候学生就会发现虽然进行了分类讨论，结果却能统一，经过自身的推导，结论掌握的程度要超过教师讲解。
数列的求和公式往往是能统一成相同形式的，但是数列的种类越积越多，仅仅凭借背诵记忆是很容易混淆的。正因为这样，让学生自己进行推导，掌握的知识就更加牢固，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。
三、多元交流，引导反思
一个“1”再加一个“1”，结果是“2”；但是一种思想“加”另一种思想，结果可能就是很多种思想。所以说，学习中的交流是必不可少的，课堂上的交流不仅只是教师与学生之间，更应该普及在学生与学生之间。
以一道例题的讨论为例。题干如下：已知等差数列的前5项和S5=10，前10项和为S10=30，求数列的前15项和S15。学生大多数采用的是先求数列的公差，然后求出首项，进而得出通项公式。有了通项公式，整个数列就相当于已知了，代入所求的前15项和的要求，问题即可解决。一般到了这里，问题就算结束了，但是此题还有更巧妙的解法，我没有点破，只是让学生各自结组讨论。很快就有小组发现了，已知与所求的角标有着特殊的联系，5，10，15构成了一组等差数列。该小组提出这一发现后，其他小组有意识地将结果进行横向比较，回顾刚才的运算结果S15=60，大家发现S5，S10-S5，S15-S10也是呈等差数列分布的。一石激起千层浪，规律就这样被发现了，进而又有其他小组借助这两个小组的“科研发现”，找到了这种理论的依据，即为S5，S10-S5，S15-S10的意义是第一个5项和，第二个五项和，第三个五项和这样分布的，这样也构成了一个“大”的等差数列。
如果按照常规的解法，恐怕整个班级都要用同样的传统解法来解数列求和的题目。“众人拾柴火焰高”，通过学生的多元交流，新的规律就可以被发现，新的方法就会被传播，可以引发学生自我的反思与提高。
关键词：学案；导学；高考备考
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）20-0072-04
一、问题的提出及研究的理论依据
1.问题的提出。随着国家对职业教育重视程度的不断提高，面向中职生招生的高职院校不断增加，有升学意愿的中职生人数也在不断增长，高职高考成为中职生人生道路上的一个重要转折点，其意义不亚于普通高考。然而，面对数学基础参差不齐、学习习惯不好的中职生，在复习课上很多教师却只能无奈地选择“满堂灌”的教学方式，能力的提高无从谈起，数学高考成绩成为学生总分上线的主要绊脚石。在职高三年级数学复习教学中，怎样才能最大限度地调动学生的主动性、积极性，培养学生的学习能力呢？如何在有限的时间内实现复习课的优质高效？笔者认为，运用学案导学教学模式是解决这一问题的有效途径。所谓“学案导学”是指以学案为载体，以导学为方式，以学生的自主性、探究性、合作性学习为主体，以教师的指导或辅导为主导，师生共同合作完成教学目标的教学方式。不同的课型有不同的学案，本文所指的学案是指在数学高考第一轮复习中使用的学案。
2.中职数学高考复习课实施学案导学的理论依据。
（1）学案导学符合现代教育理论的要求。建构主义认为，学生是学习的主体，教师在教学中起主导作用。但是，学生在第一年和第二年的学习中重专业课轻文化基础课，因而在数学第一轮复习中犹如新课学习，几乎每个知识点都要重新讲解。再加上高考内容的增加（近三年高职数学高考增加了统计概率一章，共计九章书）、备考时间短，于是教师滔滔不绝讲到满头大汗，但学生面无表情、笔记抄到手软的情况常常发生。学案导学旨在变教为诱，学生可根据复习目标，带着问题翻书―收集资料―自学―听课―解决问题，拥有更多学习、思考和练习的机会，真正实现学生主动学习。
（2）学案导学符合高考精神的要求。高职高考的《数学科考试大纲》中指出：数学科考试旨在测试考生对数学的基础知识、基础技能和基本的数学思想方法的掌握程度，以及观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。复习中采用学案，通过知识问题化、教法讨论化、训练方法化，既让学生掌握好知识，也锻炼学生思维，提高能力。
二、复习学案的设计原则和内容结构
1.学案的设计原则。学案编写是学案导学的基础，也是发挥学案导学作用的重要步骤。为达到最佳的课堂教学效果，编写时应注意以下三个原则：①启发性原则。学案的编写强化对学法的指导，对学生难以理解的问题作适当提示。通过一个个有效问题的设置，启发学生思维；②层次性原则。问题的设置由浅入深，帮助学生重拾数学学习的信心；③问题化原则。将知识点转变为探索性的问题点、能力点。导学案的问题设计是最为关键的环节，要紧紧围绕高考考纲的要求，对学生起引导作用，调动学习积极性，启发思维。
例如，一元二次不等式的解法在求函数定义域、值域、集合运算等问题中起重要作用，几乎每年高考都会考查此知识点，因而复习时务必要引导学生透彻理解其解法。学案中设计问题如下：①请画出二次函数 y=x2-x-2的大致图形，并标出抛物线与x轴交点的横坐标；②观察图形y>0时，x的取值范围是什么？y0、x2-x-20。学生通过自主尝试、自主看书，基本能解决上述问题，并体会了数形结合这一思想方法的妙用，较好地掌握了一元二次不等式的解法。
2.学案的内容结构。第一轮复习主要任务是单元的纵向复习，旨在帮助学生整理知识，牢抓基础，为下一轮复习铺路。结合此特点，笔者编写的学案以教材内容的章节为单位，一般一节书的内容就是一至两个课时，学案主要由以下6部分组成：
（1）高考考点要求。针对职高三年级备考特点，主要向学生提供考纲和考试说明、要求，以及此课内容在近三年高考中的考点分布情况。
（2）基础知识梳理。结合教材，编排数学的基本概念、定理性质及其常见的应用，常常先通过对问题串的求解引导学生回顾知识的产生形成过程，然后设计填空、图表、表格等多种形式引导学生构建知识框架。
（3）经典例题剖析。精选或设计有代表性的例题，通过课堂解题指导让学生学会审题，形成解题思路，总结规律和方法，形成规范解题的好习惯。
（4）知识能力训练。编写训练题时，为保证教学质量，一般会做到以下几点：①以涉及本课知识为主，并重视知识的综合应用；②多种题型合理搭配，题次编排由易到难，编拟个别选做题，训练优生的数学思维；③控制习题数量，以课堂完成80%左右为宜。
（5）高考真题。将近五年的高考真题按照考查的知识点所属章节编排在学案中，并在学案后面附上答案和必要的解析，不仅可使学生看到知识考察视角，还能加深理解，做到触类旁通、举一反三。
（6）自我反思。留出空白地方，让学生做笔记，或是将自己学习过程中遇到的困惑记下来，还可将自己想到的好方法记下，在不断的反思中寻求进步。
三、学案导学模式在高考复习中的应用
中职数学高考复习课的学案导学教学模式实施过程基本分为以下环节，如下图，其中课前的学案设计及课内的导学过程是关键部分。
1.编写学案，依案自学。课前按照复习学案的编写原则和内容结构，认真组织教学内容，精心编写学案，并提前一天将学案发放给学生依案自学，对不同层次学生提出不同要求：数学基础好的学生不看教材，依案自主回顾旧知；基础一般的学生首先依学案尝试回忆，确有困难的地方才翻看教材；学困生则认真阅读教材，首先把概念、公式等进行识记，然后依案再尝试学习一次。通过课前学习，对基础知识中尚存的疑难问题、易混淆的概念等做好标记，对知识的重点、难点做到心中有数，以做到有目的、有计划地听课，提高复习质量。
2.课内导学，主动建构。
（1）组织讨论，梳理知识。首先，用5到10分钟时间让学生进行小组交流，主要是交换学习意见，并对有疑难的问题进行讨论。然后，展示几位学生（或小组）的归纳成果，请其他学生评议，发现不足，提出建议，必要时教师进行引导、评析，提出补充、完善意见。最后给出一定的时间让学生及时巩固、整理知识结构，将已有的知识图表再加以简洁化、科学化，以形成系统完整的知识网络。
例如，在等比数列的复习学案中，对等比数列的性质设置了如下问题：请你写出两个等比数列，并认真观察，尝试归纳等比数列有哪些性质？①观察a3与a5有何关系？任意两项am与an有什么关系？②观察a2・a4与a1・a5有何关系？一般情况下，若m，n，p，t∈N*，当m+n=p+t时，则am，an，ap，at这四项有何关系？③从数列中取出一些项构成新的数列，如a1，a3，a5，a7……判断这个新的数列是什么数列？一般情况下，等比数列中下标成等差数列的子列构成新的什么数列？④从数列中取出一些项分别并作乘法后构成新的数列，如a2a3，a4a5，a6a7，判断这是什么数列？一般情况下，在等比数列中，每连续m项之积构成什么数列？⑤分别计算S3，S6，S9的值，并观察S3，S6，-S3，S9-S6这三个数构成什么数列？一情况下，在等比数列中Sm，S2m-Sm，S3m-S2m……构成什么数列？⑥观察你写出的两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an・bn}、{ }、{ }是什么数列？
由于问题的设计围绕学生写出的两个等比数列进行特殊计算后得出的一般结论，于是一上课就有学生反映得不出结论，经了解主要有两个原因：一是学生写出的等比数列数值比较大，难以计算，尤其是问题⑤；二是学生写出的数列不是等比数列。此时，笔者马上组织学生展开讨论，互相研究、交换意见，经过学生的讨论、诊断、学习，大家很快理解了等比数列的性质，基础较好的学生还运用等比数列的通项公式、求和公式对以上问题进行证明。在列表归纳等差数列和等比数列性质时，完全不需要笔者动手动口，学生就画出了适合自己记忆的各式图表。
（2）精讲点拨，领悟内化。数学复习仅仅回顾旧知识还不够，要不断更新，在体验知识的过程中，适时进行解题应用研究和学习。中职生普遍存在“会而不对，对而不全”的问题，一方面源于学生对基础知识的一知半解、运算能力欠缺，另一方面则源于学生不会或不全会用数学语言表述具体的解题思路，造成答题不准确、丢分、失分的现象。因此，复习课的例题精讲就显得非常重要，要根据知识的侧重点有计划地推出典型且有完整过程的运算题、化简题、证明题。对学生学习中常常运算出错、证明不严谨、化简不规范的题型，不仅答题的格式要有规范工整的板书示范，具体的运算过程、分析过程也要作细致耐心的课堂引导，多与学生一起探讨，让学生在教师的引导下亲身体验分析及解题过程，提高分析与解决问题的能力。要全面剖析解题过程，并不是由教师一言堂。可让教师引导学生分析问题并逐步板演，也可让学生先做，然后自己板演，全班学生共同批改。总之，要采用灵活多变的方式充分调动学生学习的主动性。在等比数列的复习学案中设置如下例题：
例1.在等比数列中，①a1=2，a4=54，求q与S4；②a1=2，S3=26，求q与a3。
例2.两个数的等差中项是10，等比中项是6，则这两个数是（ ）。
A.2，18 B.4，16 C.4，9 D.3，12
例3.已知等差数列{an}中a1=1，公差d=3，数列{bn}有bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn。
例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=Sn+1（n∈N+），求数列{an}的通项公式。
其中，例1主要是巩固等比数列的通项公式、求和公式，由学生先做并选4人板演，全班共同批改；例2是等比数列性质的直接应用，高考中常常以选择题形式出现，学生做，然后提问并由学生口述解题方法；例3、例4是比较综合的题目，高职高考的压轴题经常是数列问题，而且是将等差数列和等比数列综合进行考查，分设两三个小问题，其中第1问的难度与例3、例4相当或稍低。只要学生能判断出所求数列是等差还是等比数列，问题就能迎刃而解。在复习第一课时设置这两道例题，希望通过师生共同探讨、教师的透彻分析后，学生能够学会如何分析此类问题、如何正确写出求解过程，提高综合运用知识的能力。
精讲例题后，及时小结也很重要，可引导学生“三问”自己：①在知识方面。题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中如何应用这些知识；②在解题方法方面。用到哪些思想方法、技巧，自己是否能掌握并熟练运用；③在规范书写方面。能不能把解题过程归纳成几个步骤，怎样书写规范，避免不必要的丢分。通过“三问”充分发挥典型例题的示范作用，帮助学生更好地领悟内化知识。
（3）个别辅导，学以致用。本部分包括知识能力训练和高考真题，基础题必做，拓展题稍加难度，大多数学生有能力完成，选做题综合性较强，学有余力的学生可选做，这样使不同层次学生都有收获，都能感受压力与挑战。课堂上留出足够的时间让学生练习，提倡学生先做，尽量不看书不问同学，有困难才进行探讨。学生做练习时教师最忙，要做好个别辅导工作。在实践教学中发现，课堂的个别辅导效果很好。由于学生的基础差异大，课堂容量大，很容易导致部分学生跟不上步伐，充分利用这个时间认真做好个别辅导，一方面及时发现学生学习中存在的问题，做到及时反馈、补缺补漏；另一方面，满足学困生的心理需求，提高数学学习的兴趣和信心。
3.课后延伸，及时评价。课堂时间有限，学案中的练习及高考真题一般都会余下一部分，需要学生课后完成。中职生的学习习惯不好，如果这部分练习采用放任自流的做法，将起不到复习巩固的作用。因此，要坚持做到“做必收，收必改，改必评”，并认真查看学生的学案反思栏，给出适当的评价和鼓励语句。教师的心语既是对学生课后作业的鞭策，也是对学生的人文关怀。
四、对研究的反思
在学案导学教学模式下，学生通过阅读高考考点要求，明确了复习的方向和考点。通过基础知识的梳理，自己找准课堂听课重点，建立完整的知识结构；通过与教师、同学共同剖析经典例题，总结解题规律和方法，规范书写，培养分析问题、解决问题的能力；通过完成课堂练习和高考真题，达到触类旁通的效果，提高数学高考备考实效，具体表现在以下几个方面：
1.突出学生的主体地位。学案课前发放，学生先自行整理知识，然后带着问题、抓住重点参与到课堂学习中。在复习过程中，学生拥有更多自主学习、自主思考、自主探讨、自主练习的时间，处处体现学生的主体地位，一改往常复习课上学生是配角的状况，大大提高了学生学习的主动性和课堂复习的效率。
2.增强复习教学的针对性。学案的编写根据学生的具体学习情况而定，问题的设置、题目的选取都更加有针对性。课堂上学生已经懂得不用再花时间讲，省下来的时间做好重点考点的导学导练和个别辅导工作，切实提高复习教学的针对性。
3.提高学生的学习成绩。学案导学，需要学生提前自主复习并在课堂上主动参与学习活动。学生普遍反映，刚开始很难适应，希望教师在课堂上将所有知识点详细讲解一遍。随着时间的推移，学生渐渐体会到这种学习方式的好处：听课的目标性更强，课堂学习气氛更活跃，课外学习负担减少，对数学知识的理解掌握更到位，最直观的反映就是测验成绩的逐步提高，如下表。
虽然复习备考采用学案导学教学模式取得一些成效，但是该模式尚处在实践探索阶段，在实施过程中也遇到一些困难与困惑。例如，学案的质量对教学有重要的影响，有时受自身水平的限制编制的学案并不理想；学案导学是要关注教师的导和学生的学，没有学生的自觉、自主学习，课堂导学根本无从谈起，这就需要学生有更高的自觉性，但这恰好是中职生的最大弱点，教师如何才能最大限度地调动全体学生的学习主动性和自觉性呢？需要今后继续努力实践与探索。
参考文献：
[1]马美芳.浅谈“学案导学”在中职数学课教学中的实施[J].中等职业教育，2011，（8）.
[2]刘惠杰.复习提高，唤起认同[J].教育研究，2010，（4）.
笔者在本文就数列中的函数思想、特殊化与一般化思想、类比思想、分类讨论思想、化归思想和模型思想，进行简单介绍与说明，帮助学生更好的理解数列中的数学思想.
一、函数思想
高中数学数列教学以函数思想为指导思想，让学生认识函数和数列之间的关系，强调数列项的排序为函数自变量.从苏教版教材中对数列概念、等差数列与等比数列运算等介绍均体现了函数思想，如数列是正整数集，以一系列离散点为图像，数列通项公式为对应函数解析式.等差数列为一次函数，等差数列前n项和为关于n的二次函数（常数项=0）；等比数列为指数函数.数列具有函数一般性质.
二、特殊化与一般化思想
数列章节中关于数列、等差数列、等比数列概念的引出，先给出教学特例，引导学生从特殊中归纳总结一般，得出概念，然后在概念的基础上，应用概念解决问题.另外，等差数列通项公式和求和公式、等比数列通项公式和求和公式的推导，也是从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想.
三、类比思想
数列章节中等差数列和等比数列的相关内容都是函数类比得出的，如等差数列、等比数列是数列项类比于实数的加法、乘法.等差数列概念、通项公式、前n项和、性质等，类比后得出等比数列特征.数列、等差数列、等比数列等相关问题，可以类比函数概念、表示方法、性质得出.笔者梳理等差数列和等比数列的类比，如表2所示：
四、分类讨论思想
在等差数列和等比数列中均有分类讨论思想的体现，如等差数列中，结合公差d的正负情况分为不同数列；在等比数列中，结合公比q和首项a1范围进行数列分类；等比数列前n项求和Sn，可以结合公比q进行分类讨论，具体如表3所示：
五、化归思想
因为学过等差数列和等比数列前n项和，因此对于一般数列求和，应尽可能将其化归为等差数列或等比数列，然后再求和，体现了数列中的化归思想.
六、模型思想
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