1.基于数学史背景的微积分教学
2.微积分方法在初等数学中的应用研究
3.谈微积分中的数学思想及其教学
4.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究
5.微积分教学中渗入数学文化的实践与思考
6.数学建模思想融入微积分课程教学初探
7.微积分教学中渗透数学文化的重要性及做法
8.微积分在数学建模中的应用
9.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想
10.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计
11.数学文化融于微积分教学的实践与思考
12.微积分数学模型在建筑异形体变力做功中的应用
13.数学文化视角下的微积分教学举例
14.微积分中的数学文化与高职数学教育
15.数学软件在微积分教学中的几点应用
16.微积分中数学文化教学的案例与分析
17.了解数学史 走进微积分——讲好“导数及其应用”的开场课
18.将数学背景融入微积分教学的实例
19.学点数学史 教好微积分
20.建构主义视角下高职数学微积分教学方式的改革措施
21.高等数学微积分教学的重点和难点分析
22.微积分在大学数学学习和生活中的应用
23.微积分教学中的数学思想方法的探究
24.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(续完)——融入从大学第一堂数学课开始
25.美国微积分课程改革对高职工科高等数学课程建设的启示
26.浅谈高等数学微积分在实践中的应用
27.微积分、数学模型及其它
28.分析大学数学微积分教学的改革策略
29.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究
30.浅谈微积分在初等数学中的应用
31.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(待续)——融入从大学第一堂数学课开始
32.微积分中数学语言的时序性
33.微积分中蕴含的数学美
34.微积分在初等数学教学中的作用
35.微积分教学中如何融入数学文化
36.《数学手稿》微积分思想在《资本论》中的体现及启示
37.高职院校《高等数学》微积分内容的教学方法探讨
38.数学建模思想融入微积分课程教学初探
39.《微积分与数学模型》教材编写基本思想
40.大学微积分与高中数学的衔接
41.微积分、数学模型及其它
42.高中数学“微积分”模块教学的探讨
43.探究微积分与中学数学的关联
44.高等数学微积分理念的多领域应用分析
45.数学史知识融入微积分教学的探索
46.将数学实验思想融入经管类专业微积分教学的实践研究
47.用数学软件辅助微积分教学的实践与认识
48.关于非数学专业的微积分教学改革
49.微积分学形成过程中的数学哲学思想与科学方法
50.微积分中的数学美赏析
51.中医阴阳理论的数学模型之建立及其微积分定量的研究
52.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用
53.例说微积分知识在数学解题中的应用
54.高职数学微积分教学改进的思考
55.微积分教学中融合数学文化的初步探讨
56.微积分课程教学中培养学生数学审美能力的探讨
57.数学建模融于微积分教学的探索与实践
58.《经济数学基础(微积分)》精品课程建设的实践与探索
59.微积分在高中数学教育中的意义
60.在微积分教学中融入数学建模思想
61.微积分的地位与《数学分析》教学改革
62.高等数学中微积分证明不等式的探讨
63.高等数学中微积分思想在其它学科的应用
64.大学高等数学微积分教学对策
65.美国微积分教育的改革及其对我国非数学专业微积分教育的启示
66.网络环境下高职数学课程中微积分基本定理的教学反思
67.微积分在高中数学解题中的应用
68.高等数学教学与大学生素质培养探析——微积分理论的延伸
69.微积分——数学发展的里程碑
70.将数学建模思想融入微积分课程教学
71.微积分教学与导学中数学思维培养
72.大学微积分与高中数学基础知识衔接问题的研究
73.中外高中数学教材比较(微积分部分)
74.在微积分课程教学中增加数学实验的实践与探索
75.中、新、韩、日四国高中数学课程标准的比较研究——以微积分内容标准为例
76.揭示《微积分》中的数学美
77.美国微积分教材对理工科高等数学教材改革的启发
78.数学美学和HPM视角下的微积分教学对策研究——以线面积分为例
79.美国教材《微积分》给我们的启示——谈大众化高等教育中的数学教育
80.数学文化在实践中的渗透应用——以微积分及教学为例
81.浅谈微积分学习对提高小学数学教师素质的作用
82.微积分课堂教学与数学建模思想
83.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用
84.浅谈高等数学中微积分的经济应用
85.微积分的数学美
86.微积分在数学建模中的应用
87.微积分理论在农业科学研究中建立数学模型的应用
88.以微积分课程为例谈成人高等教育高等数学实验课案例教学
89.在高中数学中如何进行微积分教学
90.浅析数学软件融入到微积分教学中的模式实践应用分析
91.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究
92.模块教学法在高等数学微积分教学中的应用
93.浅谈大众数学思想下的微积分教学改革
94.数学软件Mathematica在微积分教学中的应用
95.用辩证观看初等数学与微积分
96.例谈微积分方法在初等数学教学中的应用
97.在微积分教学中传授数学思想方法
98.微积分在大学数学学习和生活中的应用
99.微积分在中学数学中的指导作用
100.几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》
101.浅谈微积分教学中学生数学素质的培养
102.微积分在初等数学中的一些应用
103.微积分学中若干问题的数学化归方法
104.美国微积分教学变革对我国高职高等数学教学改革的启示
105.高等数学中微积分教学方法的探究
106.微积分方法在初等数学教学中的应用
107.浅谈Matlab在高等数学微积分计算中的应用
108.微积分在初等数学中的应用
109.数学变换思想在微积分中的应用
110.MathCAD在高职数学教学中的微积分应用
111.高等数学微积分教学的策略探讨
112.考研数学中微积分几类典型问题的一般方法
113.微积分MATLAB数学实验
114.中职数学中微积分教学的几点思考
115.一本美国微积分教材简介及高等数学教材改革初探
116.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究
经济数学是公共数学的分支，是经管类的必修基础课，微积分更是安排在大学一年级，而经济类或管理类的专业课大部分安排在大学二三年级，因此学生无法认识到数学在其他科目上的作用．经济数学的任课教师具备了非常丰富的数学知识，但对数学在经济上的应用方面的认识相当有限．另一方面，学生从教材上能够了解到的经济应用也并不多，很多内容或多或少有点脱离现实生活，所以学生对经济数学这门课还是保留着为学分而学习或者应付考试的学习态度与心态，并使得他们学习懈怠．此外，由于课时不足和教师对数学在经济上应用的了解不足，在讲授微积分时，教师基本上采取与高等数学类似的教学方式，即偏重于纯数学理论以及数学计算．学生对经济数学的重要性认识不足是造成学生对微积分知识消极学习的重要原因．若要提高经济数学微积分的教学效果，首先得改变教师的知识结构．对担任经济数学微积分的老师进行继续教育，要求教师在具备过硬的数学专业知识的同时，应该适当补充必需的经济知识，了解经济数学的发展历史，清楚微积分在经济中的应用．比方说，在讲解极限和求导时，可适当地介绍经济学史上随着微积分思想向经济学渗透而爆发的著名的“边际革命”，由此引出边际的应用，让学生了解到经济数学的历史的同时，亦明白到数学对经济有着深刻的影响．这样可使得学生真切地感受到现代经济学已经与数学密不可分．只有补充了经济方面的知识，教师才能对微积分的教学进行改革，在传授数学知识的同时融入数学文化，让学生感受到数学的魅力，懂得数学是一种人文的精髓，一种跨越学科的自然科学之父．在传授微积分概念、计算方法的同时，结合相关知识在经济中的应用，改变学生认为经济数学与日后的学习工作无关的错误观念，引导学生重视微积分这个能够解决实际问题的有利工具，提高学生对数学学习的兴趣与积极性．
二、基于学生现状的教学内容改革
目前经济数学的教学大多依然采取传统教学模式———以课堂、教师、书本为中心，学生处于被动接受知识的地位．在这样的教学环境下，经济数学微积分的教学难免偏向于强调推理的严密性，计算的精确性．但是，经管类学生大都是文科生，他们更偏向于直观思维及形象思维，而逻辑思维及辩证思维总体较弱．这就要求教师应当顾及全体学生的认知特点，有针对性地因材施教，也就是说，教师除了要备课本，更需要备学生，针对学生的情况，采取适当的教学方法．除了传统的讲授法以外，还应当适当地运用讨论互动法等教学方法引导、启发学生思考，而且在教学的过程中可适当地减少定理的推导证明，转而强调其在经济领域中的实际应用．例如，对于数学定理的证明，可以让学生以情景推导的方式通过合理猜测尝试归纳、猜想及论证．定理的论证可以结合文科学生的思维特点，采取直观形象的描述，而无须马上采用由抽象符号表达、有着严谨逻辑的推理，毕竟大部分经管类学生难以一下子接受严谨的证明推导．简而言之，应当选取能使学生既感兴趣又有助于知识理解和掌握的教学方式．对于经管类学生，他们的经济数学学习不应该贪多求全，而应当适当降低要求，对书本的内容做适当的调整，减少一些较为生涩难懂的烦琐推理，降低对计算技巧的要求，并以主要概念、主要原理为主体，配以知识点的相关应用为主要授课内容．通过简化、形象化经济数学微积分中的有关概念、定理，使之化繁为简、化难为易、化抽象为形象，必将大大降低学生的理解困难，缓解学生对数学的畏惧和抵触情绪，有效地提高经济数学的教学效果．
三、基于学生现状的教学模式改革
微积分是一门科学性较强的学科，学生学起来往往会觉得枯燥、难懂，因此教师授课过程中难免会出现课堂气氛不活跃、学生的思维没有打开等问题。对此，我认为教师应注重课堂气氛的调节。
（一）通过课堂知识的延伸调节课堂气氛
高职微积分教学中，教师可适当将知识延伸，以提高学生的学习热情、探索积极性，进一步加深他们对课本知识的记忆，使他们化被动学习为主动学习。具体来说，教学中教师在为学生讲解微积分知识的同时，可联系知识背后的故事，解说数学家、科学家的探索精神与奋斗精神，为学生树立榜样，引导学生形成良好的学习态度，激发学生不断向科学巅峰进发的勇敢精神。实践证明，在这种教学模式下，课堂气氛活跃，学生积极性高，教学效果自然好。
（二）通过电化教学手段调节课堂气氛
电化教学手段作为一种新型教学方式，对调动学生的学习积极性起到了很好的作用。高职微积分教学中，教师在教学过程中除了依靠书本讲解外，还可以借助多媒体演示和实验器材帮助学生理解课本知识。如通过幻灯片放映的形式向学生展示微积分计算题的计算过程，这可以让学生清晰明了地看到计算方法的不断改进和运算方法的变化，有效地激发了学生的学习热情，调动了学生学习积极性，比单纯的讲解更有利于学生掌握知识。
二、强调教学方式的创新
中国文化中有一种说法叫“破而后立”，在此我们可以理解为敢于推陈出新，这也是辩证思维的一方面，这种思维在数学上也同样适用。高职微积分教学中，教师要注重创新，打破传统的教学方法，寻求突破，敢于创新。这就要求教师在教学活动之余时刻把握前沿科技的动向，不断丰富自身知识储备量，在先进的数学知识探索学习突破点，增强教育创新能力。具体来说，教学中教师可适当加入情境教学，在课本中寻找情境设置切入点，用设置情境的方式为教育教学注入新鲜活力。如在讲解“微积分的定义”时以求解球体的表面积为原型，设置“科学家本着对科学的严谨态度及探索欲望，准备测量地球的表面积。他们把地球分成很多个区域，首先来测量分出区域的面积再求和，便可以算出地球的表面积”这一情境，使学生对“微积分”的概念产生一个初步浅显的概念性理解，并产生积极探索的热情，激发学生的主动学习兴趣，进而提出“小区域相对地球来说面积非常小，因此在求普通球体表面积时如果将球面分为极其小、趋向于零的小区域，求这些区域部分面积然后求和，得到的便是球体的面积”，进一步引出“微积分”的概念，使学生对其有深刻的印象。除了情境教学方式外，教师还可在课堂中引入“头脑风暴”这一时下流行的学习方式，将班级学生分组，建立学习小组，并引导小组成员以相互探讨、讨论的方式进行思维碰撞，集思广益，使学生在交流讨论中加深对所学知识的理解，增强学生的团队协作能力。当然，创新教育方式的途径有很多种，这就需要教师在日常的教学工作中不断探索，积极思考，从细节出发，打破传统思维方式，不断突破创新，为自身教育方式的创新而不懈努力。
三、注重以人为本
新课程改革中明确指出，教师应注重学生的利益、关心学生的发展，真正做到“以人为本，以学生利益为本。”而“以生为本”的教育理念要求教师在授课过程中体现其人文关怀，尊重学生、信任学生。对于基础较为薄弱的学生，教师不应该过度责骂、处罚，而应善于引导学生，帮助基础较为落后的学生树立学习信心，形成良好的学习态度；对于基础中等的学生，教师应培养他们善于钻研的学习精神，教育他们勇于挑战，主动去接触较难、较深的微积分相关习题，培养此类中等水平学生迎难而上的学习态度；对于学习成绩较优异的学生，教师可鼓励、引导他们树立远大的目标，教导他们戒骄戒躁，从而为他们日后的职业生涯打下更为坚实的基础。总之，教师不仅要传授知识给学生，更应该向他们传递积极向上的精神力量，心系学生，以生为本，不放弃每一个学生，为学生的发展尽心尽力、无私奉献。
四、小结
学好数理化，走遍天下都不怕。写好数学论文的前提是需要有拟定一个优秀的数学论文题目，有哪些比较优秀的数学论文题目呢？下面小编给大家带来2021最新数学方向毕业论文题目有哪些，希望能帮助到大家!
中学数学论文题目1、用面积思想方法解题
2、向量空间与矩阵
3、向量空间与等价关系
4、代数中美学思想新探
5、谈在数学中数学情景的创设
6、数学创新思维及其培养
7、用函数奇偶性解题
8、用方程思想方法解题
9、用数形结合思想方法解题
10、浅谈数学教学中的幽默风趣
11、中学数学教学与女中学生发展
12、论代数中同构思想在解题中的应用
13、论教师的人格魅力
14、论农村中小学数学教育
15、论师范院校数学教育
16、数学在母校的发展
17、数学学习兴趣的激发和培养
18、谈新课程理念下的数学教师角色的转变
19、数学新课程教材教学探索
20、利用函数单调性解题
21、数学毕业论文题目汇总
22、浅谈中学数学教学中学生能力的培养
23、变异思维与学生的创新精神
24、试论数学中的美学
25、数学课堂中的提问艺术
26、不等式的证明方法
27、数列问题研究
28、复数方程的解法
29、函数最值方法研究
30、图象法在中学数学中的应用
31、近年来高考命题研究
32、边数最少的自然图的构造
33、向量线性相关性讨论
34、组合数学在中学数学中的应用
35、函数最值研究
36、中学数学符号浅谈
37、论数学交流能力培养(数学语言、图形、符号等)
38、探影响解决数学问题的心理因素
39、数学后进学生的心理分析
40、生活中处处有数学
41、数学毕业论文题目汇总
42、生活中的数学
43、欧几里得第五公设产生背景及对数学发展影响
44、略谈我国古代的数学成就
45、论数学史的教育价值
46、课程改革与数学教师
47、数学差生非智力因素的分析及对策
48、高考应用问题研究
49、“数形结合”思想在竞赛中的应用
50、浅谈数学的文化价值
51、浅谈数学中的对称美
52、三阶幻方性质的探究
53、试谈数学竞赛中的对称性
54、学竞赛中的信息型问题探究
55、柯西不等式分析
56、中国剩余定理应用
57、不定方程的研究
58、一些数学思维方法的证明
59、分类讨论思想在中学数学中的应用
60、生活数学文化分析
数学研究生论文题目推荐1、混杂随机时滞微分方程的稳定性与可控性
2、多目标单元构建技术在圆锯片生产企业的应用研究
3、基于区间直觉模糊集的多属性群决策研究
4、排队论在交通控制系统中的应用研究
5、若干类新形式的预条件迭代法的收敛性研究
6、高职微积分教学引入数学文化的实践研究
7、分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性
8、三维面板数据模型的序列相关检验
9、半参数近似因子模型中的高维协方差矩阵估计
10、高职院校高等数学教学改革研究
11、若干模型的分位数变量选择
12、若干变点模型的经验似然推断
13、基于Navier-Stokes方程的图像处理与应用研究
14、基于ESMD方法的模态统计特征研究
15、基于复杂网络的影响力节点识别算法的研究
16、基于不确定信息一致性及相关问题研究
17、基于奇异值及重组信任矩阵的协同过滤推荐算法的研究
18、广义时变脉冲系统的时域控制
19、正六边形铺砌上H-三角形边界H-点数的研究
20、外来物种入侵的广义生物经济系统建模与控制
21、具有较少顶点个数的有限群元阶素图
22、基于支持向量机的混合时间序列模型的研究与应用
23、基于Copula函数的某些金融风险的研究
24、基于智能算法的时间序列预测方法研究
25、基于Copula函数的非寿险多元索赔准备金评估方法的研究
26、具有五个顶点的共轭类类长图
27、刚体系统的优化方法数值模拟
28、基于差分进化算法的多准则决策问题研究
29、广义切换系统的指数稳定与H_∞控制问题研究
30、基于神经网络的混沌时间序列研究与应用
31、具有较少顶点的共轭类长素图
32、两类共扰食饵-捕食者模型的动力学行为分析
33、复杂网络社团划分及城市公交网络研究
34、在线核极限学习机的改进与应用研究
35、共振微分方程边值问题正解存在性的研究
36、几类非线性离散系统的自适应控制算法设计
37、数据维数约简及分类算法研究
38、几类非线性不确定系统的自适应模糊控制研究
39、区间二型TSK模糊逻辑系统的混合学习算法的研究
40、基于节点调用关系的软件执行网络结构特征分析
41、基于复杂网络的软件网络关键节点挖掘算法研究
42、圈图谱半径问题研究
43、非线性状态约束系统的自适应控制方法研究
44、多维power-normal分布及其参数估计问题的研究
45、旋流式系统的混沌仿真及其控制与同步研究
46、具有可选服务的M/M/1排队系统驱动的流模型
47、动力系统的混沌反控制与同步研究
48、载流矩形薄板在磁场中的随机分岔
49、广义马尔科夫跳变系统的稳定性分析与鲁棒控制
50、带有非线性功能响应函数的食饵-捕食系统的研究
51、基于观测器的饱和时滞广义系统的鲁棒控制
52、高职数学课程培养学生关键技能的研究
53、基于生存分析和似然理论的数控机床可靠性评估方法研究
54、面向不完全数据的疲劳可靠性分析方法研究
55、带平方根俘获率的可变生物种群模型的稳定性研究
56、一类非线性分数阶动力系统混沌同步控制研究
57、带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率
58、小波方法求解三类变分数阶微积分问题研究
59、乘积空间上拓扑度和不动点指数的计算及其应用
60、浓度对流扩散方程高精度并行格式的构造及其应用
专业微积分数学论文题目1、一元微积分概念教学的设计研究
2、基于分数阶微积分的飞航式导弹控制系统设计方法研究
3、分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用
4、分数阶微积分在现代信号分析与处理中应用的研究
5、广义分数阶微积分中若干问题的研究
6、分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用
7、Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明
8、中学微积分的教与学研究
9、高中数学教科书中微积分的变迁研究
10、HPM视域下的高中微积分教学研究
11、基于分数阶微积分理论的控制器设计及应用
12、微积分在高中数学教学中的作用
13、高中微积分的教学策略研究
14、高中微积分教学中数学史的渗透
15、关于高中微积分的教学研究
16、微积分与中学数学的关联
17、中学微积分课程的教学研究
18、高中微积分课程内容选择的探索
19、高中微积分教学研究
20、高中微积分教学现状的调查与分析
21、微分方程理论中的若干问题
22、倒向随机微分方程理论的一些应用：分形重倒向随机微分方程
23、基于偏微分方程图像分割技术的研究
24、状态受限的随机微分方程：倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性
25、几类分数阶微分方程的数值方法研究
26、几类随机延迟微分方程的数值分析
27、微分求积法和微分求积单元法--原理与应用
28、基于偏微分方程的图像平滑与分割研究
29、小波与偏微分方程在图像处理中的应用研究
30、基于粒子群和微分进化的优化算法研究
31、基于变分问题和偏微分方程的图像处理技术研究
32、基于偏微分方程的图像去噪和增强研究
33、分数阶微分方程的理论分析与数值计算
34、基于偏微分方程的数字图象处理的研究
35、倒向随机微分方程、g-期望及其相关的半线性偏微分方程
36、反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策
37、基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究
38、基于偏微分方程理论的机械故障诊断技术研究
39、几类分数阶微分方程和随机延迟微分方程数值解的研究
40、非零和随机微分博弈及相关的高维倒向随机微分方程
41、高中微积分教学中数学史的渗透
42、关于高中微积分的教学研究
43、微积分与中学数学的关联
44、中学微积分课程的教学研究
45、大学一年级学生对微积分基本概念的理解
46、中学微积分课程教学研究
47、中美两国高中数学教材中微积分内容的比较研究
48、高中生微积分知识理解现状的调查研究
49、高中微积分教学研究
50、中美高校微积分教材比较研究
51、分数阶微积分方程的一种数值解法
52、HPM视域下的高中微积分教学研究
53、高中微积分课程内容选择的探索
54、新课程理念下高中微积分教学设计研究
55、基于分数阶微积分的线控转向系统控制策略研究
56、基于分数阶微积分的数字图像去噪与增强算法研究
57、高中微积分教学现状的调查与分析
58、高三学生微积分认知状况的思维层次研究
59、分数微积分理论在车辆底盘控制中的应用研究
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中学数学论文题目1、用面积思想方法解题
2、向量空间与矩阵
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4、代数中美学思想新探
5、谈在数学中数学情景的创设
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8、用方程思想方法解题
9、用数形结合思想方法解题
10、浅谈数学教学中的幽默风趣
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13、论教师的人格魅力
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17、数学学习兴趣的激发和培养
18、谈新课程理念下的数学教师角色的转变
19、数学新课程教材教学探索
20、利用函数单调性解题
21、数学毕业论文题目汇总
22、浅谈中学数学教学中学生能力的培养
23、变异思维与学生的创新精神
24、试论数学中的美学
25、数学课堂中的提问艺术
26、不等式的证明方法
27、数列问题研究
28、复数方程的解法
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31、近年来高考命题研究
32、边数最少的自然图的构造
33、向量线性相关性讨论
34、组合数学在中学数学中的应用
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36、中学数学符号浅谈
37、论数学交流能力培养(数学语言、图形、符号等)
38、探影响解决数学问题的心理因素
39、数学后进学生的心理分析
40、生活中处处有数学
41、数学毕业论文题目汇总
42、生活中的数学
43、欧几里得第五公设产生背景及对数学发展影响
44、略谈我国古代的数学成就
45、论数学史的教育价值
46、课程改革与数学教师
47、数学差生非智力因素的分析及对策
48、高考应用问题研究
49、“数形结合”思想在竞赛中的应用
50、浅谈数学的文化价值
51、浅谈数学中的对称美
52、三阶幻方性质的探究
53、试谈数学竞赛中的对称性
54、学竞赛中的信息型问题探究
55、柯西不等式分析
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60、生活数学文化分析
数学研究生论文题目推荐1、混杂随机时滞微分方程的稳定性与可控性
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7、分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性
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9、半参数近似因子模型中的高维协方差矩阵估计
10、高职院校高等数学教学改革研究
11、若干模型的分位数变量选择
12、若干变点模型的经验似然推断
13、基于Navier-Stokes方程的图像处理与应用研究
14、基于ESMD方法的模态统计特征研究
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16、基于不确定信息一致性及相关问题研究
17、基于奇异值及重组信任矩阵的协同过滤推荐算法的研究
18、广义时变脉冲系统的时域控制
19、正六边形铺砌上H-三角形边界H-点数的研究
20、外来物种入侵的广义生物经济系统建模与控制
21、具有较少顶点个数的有限群元阶素图
22、基于支持向量机的混合时间序列模型的研究与应用
23、基于Copula函数的某些金融风险的研究
24、基于智能算法的时间序列预测方法研究
25、基于Copula函数的非寿险多元索赔准备金评估方法的研究
26、具有五个顶点的共轭类类长图
27、刚体系统的优化方法数值模拟
28、基于差分进化算法的多准则决策问题研究
29、广义切换系统的指数稳定与H_∞控制问题研究
30、基于神经网络的混沌时间序列研究与应用
31、具有较少顶点的共轭类长素图
32、两类共扰食饵-捕食者模型的动力学行为分析
33、复杂网络社团划分及城市公交网络研究
34、在线核极限学习机的改进与应用研究
35、共振微分方程边值问题正解存在性的研究
36、几类非线性离散系统的自适应控制算法设计
37、数据维数约简及分类算法研究
38、几类非线性不确定系统的自适应模糊控制研究
39、区间二型TSK模糊逻辑系统的混合学习算法的研究
40、基于节点调用关系的软件执行网络结构特征分析
41、基于复杂网络的软件网络关键节点挖掘算法研究
42、圈图谱半径问题研究
43、非线性状态约束系统的自适应控制方法研究
44、多维power-normal分布及其参数估计问题的研究
45、旋流式系统的混沌仿真及其控制与同步研究
46、具有可选服务的M/M/1排队系统驱动的流模型
47、动力系统的混沌反控制与同步研究
48、载流矩形薄板在磁场中的随机分岔
49、广义马尔科夫跳变系统的稳定性分析与鲁棒控制
50、带有非线性功能响应函数的食饵-捕食系统的研究
51、基于观测器的饱和时滞广义系统的鲁棒控制
52、高职数学课程培养学生关键技能的研究
53、基于生存分析和似然理论的数控机床可靠性评估方法研究
54、面向不完全数据的疲劳可靠性分析方法研究
55、带平方根俘获率的可变生物种群模型的稳定性研究
56、一类非线性分数阶动力系统混沌同步控制研究
57、带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率
58、小波方法求解三类变分数阶微积分问题研究
59、乘积空间上拓扑度和不动点指数的计算及其应用
60、浓度对流扩散方程高精度并行格式的构造及其应用
专业微积分数学论文题目1、一元微积分概念教学的设计研究
2、基于分数阶微积分的飞航式导弹控制系统设计方法研究
3、分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用
4、分数阶微积分在现代信号分析与处理中应用的研究
5、广义分数阶微积分中若干问题的研究
6、分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用
7、Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明
8、中学微积分的教与学研究
9、高中数学教科书中微积分的变迁研究
10、HPM视域下的高中微积分教学研究
11、基于分数阶微积分理论的控制器设计及应用
12、微积分在高中数学教学中的作用
13、高中微积分的教学策略研究
14、高中微积分教学中数学史的渗透
15、关于高中微积分的教学研究
16、微积分与中学数学的关联
17、中学微积分课程的教学研究
18、高中微积分课程内容选择的探索
19、高中微积分教学研究
20、高中微积分教学现状的调查与分析
21、微分方程理论中的若干问题
22、倒向随机微分方程理论的一些应用：分形重倒向随机微分方程
23、基于偏微分方程图像分割技术的研究
24、状态受限的随机微分方程：倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性
25、几类分数阶微分方程的数值方法研究
26、几类随机延迟微分方程的数值分析
27、微分求积法和微分求积单元法--原理与应用
28、基于偏微分方程的图像平滑与分割研究
29、小波与偏微分方程在图像处理中的应用研究
30、基于粒子群和微分进化的优化算法研究
31、基于变分问题和偏微分方程的图像处理技术研究
32、基于偏微分方程的图像去噪和增强研究
33、分数阶微分方程的理论分析与数值计算
34、基于偏微分方程的数字图象处理的研究
35、倒向随机微分方程、g-期望及其相关的半线性偏微分方程
36、反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策
37、基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究
38、基于偏微分方程理论的机械故障诊断技术研究
39、几类分数阶微分方程和随机延迟微分方程数值解的研究
40、非零和随机微分博弈及相关的高维倒向随机微分方程
41、高中微积分教学中数学史的渗透
42、关于高中微积分的教学研究
43、微积分与中学数学的关联
44、中学微积分课程的教学研究
45、大学一年级学生对微积分基本概念的理解
46、中学微积分课程教学研究
47、中美两国高中数学教材中微积分内容的比较研究
48、高中生微积分知识理解现状的调查研究
49、高中微积分教学研究
50、中美高校微积分教材比较研究
51、分数阶微积分方程的一种数值解法
52、HPM视域下的高中微积分教学研究
53、高中微积分课程内容选择的探索
54、新课程理念下高中微积分教学设计研究
55、基于分数阶微积分的线控转向系统控制策略研究
56、基于分数阶微积分的数字图像去噪与增强算法研究
57、高中微积分教学现状的调查与分析
58、高三学生微积分认知状况的思维层次研究
59、分数微积分理论在车辆底盘控制中的应用研究
学好数理化，走遍天下都不怕。写好数学论文的前提是需要有拟定一个优秀的数学论文题目，有哪些比较优秀的数学论文题目呢？下面小编给大家带来2021最新数学方向毕业论文题目有哪些，希望能帮助到大家!
中学数学论文题目1、用面积思想方法解题
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3、向量空间与等价关系
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6、数学创新思维及其培养
7、用函数奇偶性解题
8、用方程思想方法解题
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13、论教师的人格魅力
14、论农村中小学数学教育
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16、数学在母校的发展
17、数学学习兴趣的激发和培养
18、谈新课程理念下的数学教师角色的转变
19、数学新课程教材教学探索
20、利用函数单调性解题
21、数学毕业论文题目汇总
22、浅谈中学数学教学中学生能力的培养
23、变异思维与学生的创新精神
24、试论数学中的美学
25、数学课堂中的提问艺术
26、不等式的证明方法
27、数列问题研究
28、复数方程的解法
29、函数最值方法研究
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34、组合数学在中学数学中的应用
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41、数学毕业论文题目汇总
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44、略谈我国古代的数学成就
45、论数学史的教育价值
46、课程改革与数学教师
47、数学差生非智力因素的分析及对策
48、高考应用问题研究
49、“数形结合”思想在竞赛中的应用
50、浅谈数学的文化价值
51、浅谈数学中的对称美
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53、试谈数学竞赛中的对称性
54、学竞赛中的信息型问题探究
55、柯西不等式分析
56、中国剩余定理应用
57、不定方程的研究
58、一些数学思维方法的证明
59、分类讨论思想在中学数学中的应用
60、生活数学文化分析
数学研究生论文题目推荐1、混杂随机时滞微分方程的稳定性与可控性
2、多目标单元构建技术在圆锯片生产企业的应用研究
3、基于区间直觉模糊集的多属性群决策研究
4、排队论在交通控制系统中的应用研究
5、若干类新形式的预条件迭代法的收敛性研究
6、高职微积分教学引入数学文化的实践研究
7、分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性
8、三维面板数据模型的序列相关检验
9、半参数近似因子模型中的高维协方差矩阵估计
10、高职院校高等数学教学改革研究
11、若干模型的分位数变量选择
12、若干变点模型的经验似然推断
13、基于Navier-Stokes方程的图像处理与应用研究
14、基于ESMD方法的模态统计特征研究
15、基于复杂网络的影响力节点识别算法的研究
16、基于不确定信息一致性及相关问题研究
17、基于奇异值及重组信任矩阵的协同过滤推荐算法的研究
18、广义时变脉冲系统的时域控制
19、正六边形铺砌上H-三角形边界H-点数的研究
20、外来物种入侵的广义生物经济系统建模与控制
21、具有较少顶点个数的有限群元阶素图
22、基于支持向量机的混合时间序列模型的研究与应用
23、基于Copula函数的某些金融风险的研究
24、基于智能算法的时间序列预测方法研究
25、基于Copula函数的非寿险多元索赔准备金评估方法的研究
26、具有五个顶点的共轭类类长图
27、刚体系统的优化方法数值模拟
28、基于差分进化算法的多准则决策问题研究
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48、载流矩形薄板在磁场中的随机分岔
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2、基于分数阶微积分的飞航式导弹控制系统设计方法研究
3、分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用
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5、广义分数阶微积分中若干问题的研究
6、分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用
7、Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明
8、中学微积分的教与学研究
9、高中数学教科书中微积分的变迁研究
10、HPM视域下的高中微积分教学研究
11、基于分数阶微积分理论的控制器设计及应用
12、微积分在高中数学教学中的作用
13、高中微积分的教学策略研究
14、高中微积分教学中数学史的渗透
15、关于高中微积分的教学研究
16、微积分与中学数学的关联
17、中学微积分课程的教学研究
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19、高中微积分教学研究
20、高中微积分教学现状的调查与分析
21、微分方程理论中的若干问题
22、倒向随机微分方程理论的一些应用：分形重倒向随机微分方程
23、基于偏微分方程图像分割技术的研究
24、状态受限的随机微分方程：倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性
25、几类分数阶微分方程的数值方法研究
26、几类随机延迟微分方程的数值分析
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32、基于偏微分方程的图像去噪和增强研究
33、分数阶微分方程的理论分析与数值计算
34、基于偏微分方程的数字图象处理的研究
35、倒向随机微分方程、g-期望及其相关的半线性偏微分方程
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37、基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究
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43、微积分与中学数学的关联
44、中学微积分课程的教学研究
45、大学一年级学生对微积分基本概念的理解
46、中学微积分课程教学研究
47、中美两国高中数学教材中微积分内容的比较研究
48、高中生微积分知识理解现状的调查研究
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57、高中微积分教学现状的调查与分析
58、高三学生微积分认知状况的思维层次研究
59、分数微积分理论在车辆底盘控制中的应用研究
关键词：微积分 牛顿 莱布尼兹 极限
1. 数学对自然科学的影响
数学是自然科学的基础学科，自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论 ，对整个自然科学的发展起了极大的推动作用 ，为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础，使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中，就严谨性、应用性和简洁性而言，微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而，这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造，受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究，追溯这一理论产生的历史，将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此，微积分提出之后，遭到了许多人的猛烈抨击，其中也包括一些著名的数学家。牛顿继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，主观唯心论哲学家贝克莱是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持，于是向流数术展开了猛烈的攻击。1734年，贝克莱出版了一本书:《分析学家:或一答致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，教义的主旨有更清晰的陈述，或更明确的推理。
2.关于微积分的本原问题
2．1 微积分使极限理论更加成熟
我们知道微积分的基础是极限论，而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的，牛顿的瞬和流数，莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义? 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义，在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时，有时视瞬或dx为无限小增量，而有时视之为一个有限量加以运算，甚至把它作为零而忽略不计，这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比――一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们比是0。怎样理解这样的最终比，牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分以后，连当时在数学上颇有造诣的数学家象Bernoulli兄弟也颇感费解:“与其说有一种说明，还不如说是一个谜。”究竟极限是什么?无穷小是什么?在今天很容易理解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中，如中国《庄子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上―极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法，形成了微积分的严谨之美。
2．2微积分―――状态与过程的统一
微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就；另一方面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分所作的论证都是不很严谨的和不清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也招致了尼文（Nieuwentijt，荷兰哲学家）的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列问题公开提出质问:无限小量与零怎样区别?无限个无限小量之和为什么能够是有限量?在推理过程中为什么能舍弃无限小量?包括一大批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的，他们不能给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。
2.3微积分―――分析与几何的统一
微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”。
3.牛顿―莱布尼茨公式――联结微分与积分的桥梁
唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。前面说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿―莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。后者则和计算曲边形的面积相联系。牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。牛顿―莱布尼茨公式是微积分的基本原理。它表述为设函数?（x))在（a? b)上连续。如果函数F（x）是函数?（x）的一个原函数，则有：b ∫ ?（x）dx＝F（b）-F（a）a这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（a?b）两端值的差。它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系。为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。设时刻t时质点在直线上的位置是s（t），那么从时刻t＝a到时刻t＝b这一区间，质点运动的路程为s（b）-s（a）。这是质点运动的一个方面。
再从另一个方面看。设已知质点在时刻t内的瞬时速度为u(t），我们用另一种方法可从u（t）计算出质点所走过的路程为：b ∫ u（t）dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S(b)-S（a） a 从微分角度看，路程函数S(t)的微商是速度函数u(t)dS(t) ― ＝u(t) 或 dS（t）＝u（t）dt dt b从积分角度看，速度函数u（t)的积分值∫ u（t）dt a 表达了路程函数S(t)的两点值之差S（b)-S(a)。这里的b是任意固定的，有一个b就有一个S（b)与之对应。这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把b视为变量t，它给出了用定积分表达路程函数的方法：t ∫ u(t)dt＝S（t)-S（a）at 这就用变上限的积分∫ u(t)dt表达了路程函数S（t)。因而 adF(x)＝?(x)dx在区间（a?b）上的无限积累。微分与积分的同一性与差异性都包函在牛―莱公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛―莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。微分把“有限”转化为“无限”，而积分又把“无限”转化为“有限”。牛―莱公式就是在这种“有限――无限――有限”的转化中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。从而找到了计算定积分的捷径。然而，牛―莱公式的两边不是绝对的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。归纳起有三个方面：其一，两者所反映的事物性质不同。在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。一般地讲，微分就是已知函数求函数的变化率；而积分是根据函数的变化率求函数。其二、两者所处的地位不同。在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是积分运算的前提和基础。进行积分运算，首先要“化整为零”，进行无限分割，即微分。无微分就不可能进行积分。但是积分又不是消极被动的。在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。没有积分就无法完成这一转化。其三、各自的作用不同。微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以“直”代“曲”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以“以曲代直”。微积分的“曲”与“直”、“有限”与“无限”的相互转化正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。它推动微积分的基本矛盾――“直”与“曲”，“匀”与“不匀“的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。
参考文献：
［1］张楚迁《数学文化》高等教育科学出版社
［2］张顺燕《数学的源与流》《数学的美与理》
［3］邓东皋 孙小礼 《数学与文化》
［4］克莱茵 《古今数学思想》
［5］ 王树和《数学思想史》
［6］李文林《数学史概论》
在高等数学中，微积分学是重要的知识内容.第一换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法，它的关键步骤是“论文联盟凑微分”.熟练掌握和运用“凑微分”的思想方法，对学习后续的第二换元积分法和分部积分法等积分方法有很重要的作用.由于积分是微分的逆运算，没有固定的公式和模式可以直接套用，需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来，所以，初学者在学习的过程中往往对要凑微分的函数作出多次尝试，浪费了时间.本文就第一换元积分法中的“凑微分”思想的理论依据进行解析，总结出凑微分的具体计算方法，帮助初学者更好地学习和掌握凑微分的知识并在积分运算中运用.?
第一换元积分法是当被积表达式?∫?g(x)dx不容易求出积分时，可以通过恒等变形和变量代换，将被积表达式转化成为基本积分公式表中的某一被积表达式，然后根据基本积分表中的某些公式，对新变量进行积分，最后还原求出结果.其具体的计算过程可表示为：?∫?g(x)d(x)=?∫?f［φ(x)］·?φ′(x)dx?=?∫?f［φ(x)］dφ(x)=?∫?f(u)du=f(u)+c=?f［φ(x)]+c.即“恒等变形→凑微分→换元→积分→回代”的计算过程.其中最为关键的步骤是将积分表达式中的φ′(x)凑成dφ(x)的形式，即俗称的凑微分.?
1.“凑微分”思想的理论依据和知识点解析?
“凑微分”思想的理论依据：其一是原函数的概念，其二是复合函数一阶微分形式的不变性的性质.原函数的概念是不定积分的一个最基本的概念，即：若f′(x)=f(x)，则?f(x)?称为f(x)的一个原函数.由微分的定义和计算公式可得：任意函数f(x)的微分df(x)=f′(x)dx=f(x)dx.相对于复合函数而言，设y=f(u)，u=φ(x),则复合函数y=?f［φ(x)]的微分为dy=f′(u)·φ′(x)dx，由于du=φ′(x)dx，所以上式可以写成dy=f′(u)du，这表明，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式保持不变，这就是一阶微分形式的不变性，即dy=f′(u)·φ′(x)dx=f′(u)du=f′［φ(x)］d［φ(x)］，这个式子从正向看是利用微分计算公式进行运算，而从逆向看是一个凑微分的过程，实际上也是一个积分的过程，即f′［φ(x)］d［φ(x)］=f′(u)du=f′(u)·φ′(x)dx=dy.所以要掌握凑微分的运算技巧，既要会用微分公式计算函数的微分，又要善于利用逆向思维灵活变形.例如：3dx=d(3x+2),2xdx=dx?2，cosxdx=dsinx，e?xdx=de?x，3dx=d(3x+2)等.?
2.凑微分时要分清复合函数结构，由函数结构确定基本积分公式和凑微分因式?
凑微分没有一个固定的模式，需要对函数正向逆向计算比较之后才可以确定凑微分的因式.而将什么函数凑进微分，如何凑，有没有一般的规律可遵循呢？一般地，大部分被积函数中都会出现复合函数的形式，而运用积分公式运算时需要积分变量与函数的中间变量保持一致，因此，复合函数的外层函数往往决定了求解时可以利用基本积分表中的积分公式，而除去外层函数后剩下的部分即为凑微分的因式.“凑微分”的计算步骤可归纳为：第一，先观察被积函数的函数结构，由外向内逐层分析复合函数结构，通过外层函数联系基本积分公式表就可以确定需要运用的基本积分公式；第二，把握积分变量和函数中间变量相
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一致的原则，将出发点放在被积函数中的复合函数上，除去外层函数剩下的函数的中间变量即为需要凑微分的因式，可尝试将函数中间变量凑进微分里，然后展开计算函数的微分，与原积分式子作一比较，看需要什么条件进论文联盟行补充，使之成为恒等变形，然后逆向运算进行凑微分后，即可利用基本积分公式进行求解.?
3.运用第一换元积分法计算积分的方法和步骤?
我们结合凑微分运用第一换元积分法计算积分时可分为三个步骤进行：?
第一步，确定积分公式：分析被积的复合函数的结构，由外层函数联系基本积分公式表，可以初步判断将要运用到的某一个基本积分公式.?
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