一、在情境中唤醒策略意识
苏教版小学数学教材的每种解决问题的策略在生活中都能找到原型。教师可以通过创设生活情境，将学习活动置于社会生活问题之中，把要解决的问题变为对话展现给学生，巧妙地唤醒学生的生活经验。例如，教学解决问题的策略——转化一课，教师播放曹冲称象的动画片后提问：（1）曹冲将大象的质量转化成了什么？（2）为什么转化成石头？（3）在船舷上刻上那道线有什么用？（4）还可以转化成什么？教师利用故事情境提出四个问题，直接指向转化的实质。由于情境贴近学生的生活实际，学生的策略意识被唤醒，都积极投入到学习中。
二、在探索中经历策略形成
从某种意义上来说，策略是一种计策，是一种谋略。策略不是靠外部灌输的，而是从内部滋生的，因此让学生经历解决问题的过程，在过程中提炼、归纳解决问题的策略，是学习解决问题策略的基本方法。例如，教学解决问题的策略——假设时，有这样一道例题：全班42人去公园划船，一共租了10只船，每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？在学生想出用假设方法解题的基础上，我鼓励学生想办法把自己假设的过程表示出来，然后在小组内交流。学生的思路是多种多样的。有的采用画图的思路，用方框代表船，用圆圈代表学生，先画10个方框代表10只船，然后在每个方框里画5个圆圈，接着，在4个方框里各划去2个圆圈。这样表示有6只大船和4只小船。有的采用列表的思路，当大船只数、小船只数都是5时，发现总人数比42少，就把大船只数、小船只数分别调整为6、4，这时总人数正好是42。有的受第一种思路的启发，是这样列式计算的：5×10=50（人），50-42=8（人），5-3=2（人），8÷2=4（只），10-4=6（只）。第一种思路是用画图表示假设思路，思考过程直观明了、通俗易懂。第二种思路，从“5只大船、5只小船”调整为“6只大船、4只小船”，在调整的过程中，学生理解了假设策略的本质是通过调整逐步逼近正确答案。第三种思路是在第一种思路的基础上提炼出的更具一般意义的解题过程。
三、在反思中领悟策略本质
策略的有效形成必然伴随着对自己行为的不断反思。学生在解决问题的过程中获得的经验，只有借助反思，才能有意识地了解自身行为后面潜藏的数学实质，使其思维真正深入到数学化的过程之中。为此，教师要适时引导学生进行必要的反思，梳理解题过程，把握解题关键，提炼解题策略，领悟策略本质。例如，在教学解决问题的策略——替换一课时，我先后四次引导学生进行反思活动。在教完倍数关系的例题后，我引导学生进行第一次反思：这里用到了什么策略？为什么要替换？两种不同的量之间有什么关系？当两种量之间是倍数关系时，怎样替换？替换的依据是什么？替换之后，什么变了？什么没有变？在教完相差关系的题目后，我引导学生进行第二次反思：两种不同的量之间有什么关系？当两种量之间是相差关系时，怎样替换？替换的依据是什么？替换之后，什么变了？什么没有变？在此基础上，我引导学生进行第三次反思：这两道题目有什么相同的地方？有哪些不同的地方？在课尾，我引导学生进行第四次反思：解决今天的问题，用到了什么策略？为什么要替换？怎样进行替换？什么样的问题可以选择替换策略？替换时要注意什么？
在这个案例中，教师组织学生进行了四次反思，前两次都是解题后进行反思，目的在于回顾替换的思考过程，感受替换的必要性。第三次反思，意图通过对比，让学生把握这两道题目的区别和联系。第四次反思则是从整节课的角度出发，帮助学生建构替换策略的结构特征和解题模式。在一系列的反思活动中，学生对替换策略的本质有了更为深刻的理解。
四、在运用中体验策略价值
新教材之所以增加解决问题的策略这类内容，其目的不仅仅在于让学生会做这些题，获得这些具体问题的结论或者答案，更重要的是让学生经历并体验每种策略的形成过程，感受策略给解决问题带来的价值，增强解决实际问题的能力。让学生运用策略解决问题，可以分为三个层次：一是基础性练习，难易程度与例题一样，训练目的在于及时巩固新知；二是变式性练习，强化变式训练，主要是考查学生灵活应变的能力；三是提高性练习，主要是促进学生解决问题的策略意识向思维更深处延伸。学生对策略的运用达到灵活自如，就说明学生对策略价值的体验越来越深入。
“租船问题”是新人教版四年级下册第一单元的教学内容之一，这部分内容的教学一般按四个环节实施：第一环节是情景引入。激发学生的学习兴趣，还使学生感受到数学来源于现实生活，可以用数学知识解决实际问题。第二个环节是自主探究，合作交流。这是本课的主体环节。第三个环节汇报交流。第四个环节是反思提高、拓展运用。以上安排，应该是层次清晰，学生的主体地位尚显突出。在第一次试讲教学效果来看，学生似乎掌握得不错。
可是，当运用“租便宜的、尽量不留空位”这一思想解决实际问题时，学生却暴露出问题不断。比如：
学生在做“某校准备组织290名学生进行野外考察活动，学校计划租甲、乙两种型号的汽车共8辆。其中甲型汽车最多载人40人，乙型汽车最多载人30人。如果甲、乙两种型号的汽车租车费用分别是每辆2000元和1800元，怎样租车便宜？
多数学生在“290÷40=7（辆）……10（人）”后不知道如何调整方案。
问题出在何处：教过之后，我对自己的教学过程进行了多次“回放”，最终我觉得问题主要出在上述教学过程的第一、三环节，第一环节只注重联系生活实际，对“租便宜的、尽量不留空位”这一思想没有作铺垫，造成孩子在第二环节上有困难，尽管孩子能找到最省钱的方案，但不知道这最省钱的方案是怎么来的。在第三环节中，学生对例题的答案不难理解，知道“租4条大船，2条小船”比原来的“5条大船，1条小船”省钱。对运用“租便宜的、尽量不留空位”这一优化思想的内涵、方法并没有内在地真正地理解并应用。
有鉴于此，我决定拿原先教学中的“问题”环节开刀，改进教学设计，渗透“租便宜的，尽量不留空位”这一思想，强调调整方法，结果取得了较好的效果。我总结了以下四条教学策略：
一、“化繁为简”作铺垫。
铺垫作为新课教学前的一个准备环节，不但可以激活学生头脑中已有的知识经验和知识基础，而且可以为学生学习新知“铺路架桥”，有效分散学习难点。
在学生阅读与理解《租船问题》的信息后，我问：“如果3个人，怎样租船省钱？为什么？”“如果12人呢？8人呢？”
把大数字换成小数字来探究是学习数学的基本方法，小数字学生容易找到答案，但我们目的是要小数字中提炼方法。通过“3人租船”学生明白在都有空位的情况下，少留空位最省钱。“12人租船”学生明白都不留空位的情况下应选择租便宜的大船。“8人租船”学生通过思考明白应根据人数情况灵活租船，但原则是人多尽量租便宜的大船，还要尽量考虑不空位，这为“租船问题解决”作铺垫。
二、“思后交流”真探索。
给学生提供了自学的空间，把学习的自完全交给学生，提高学生的参与意识。通过自主学习小组讨论集体交流三个学习阶段，达到培养学生自主、合作学习的目的。
在教学中，我先是让学生自主探索最省钱的方案。我说：“请拿出你们手中的纸和笔，认真思考，自己解答。”
学生完成后。我先抽典型答案（174元）学生回答。学生说答案后。我又问：“还有没有比174元更少的？”有部分学生举手。我又说：“听到有更省钱的方案，想知道答案吗？想通过什么方法知道？其实，不管有没有更省钱的方案，我们做完后都应该回头想一想，我们的方案是不是最省钱的？只知道答案还不行，还必须找到解决这类问题的方法，请同学们看屏幕要求讨论（怎么想到更省钱的方案？又是怎么调整的？调整后最省钱的方案吗？）。”这里，孩子兴趣盎然，讨论非常激烈。
三、“生生互动”学方法
毕达哥拉斯说过：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是怎样知道什么”。方法性的总结有助于学生形成思考模型，逐渐内化解题技巧。“为什么调整？怎样调整”是就是让学生形成思考模型，内化解题技巧。
在第二环节，学生讨论后，我让一名学生上台回答以上二个问题，并其他同学或提问或补充。
生1：我看到32÷6=5（条）……2（人）时，想到租5条大船，1条小船会空2个座位，可能会有更省钱的方案。于是就少租一条大船，大船上的6人和剩下的2人共有8人，正好能租2条小船。
生2：你怎么想到少租一条就是最省钱的方案呢？
生1：开始不知道，只是少租一条试试，正好没有空位。
生3：少租一条大船不留空位，少租3条也不留空位，你为什么不少租3条大船呢？
生4：在都不留空位的情况下，多租大船，这样便宜些，所以调整时从少租一条大船开始。
调整的方法是本课的重点，也是难点，学生理解“租便宜的，尽量不留空位”这一思想并不难，难的是运用这一思想解决这类问题的方法。
四、“回顾反思”成习惯。
“回顾与反思”有二个方面的热荩一是回顾自己的解答过程与方法是否正确；二是在反思中提炼出这类问题解决的方法。
“回顾与反思”贯穿我的教学整个过程，一在课前铺垫中，我每出一个问题我都问孩子为什么这么租最省钱，其实就在培养反思意识；二在学生独立思考后，我告诉孩子们：不管有没有更省钱的方案，我们都要认真思考，调整方案，这就是回顾与反思；三在学生汇报交流后，问：这是不是最省钱的方案？为什么？最后，提炼出这类问题解决的方法，这也是回顾与反思。
一、在新课结束后反思
一节新课结束后，教师要引导学生进行自我反思，从而整理、归纳自己一节课的学习结果。反思时，学生可自我提问：①这节课我学到了什么？重点难点是什么？②我对本节课的学习经历有何感受？如学习“认识钟表”这节课，在新课教学结束前的几分钟，引导学生反思学习情况，学生在反思后得到了如下的感悟。生1：我觉得本节课的重点是认识整时，难点是认识大约几时。生2：我发现整时的分针都指着12，时针指着几就是几时。生3：画时针要画短一点，分针要画长一点。经常在新课结束后引导学生进行自我反思，不仅让学生进一步巩固和理解了新知，及时质疑，找出不足，还培养了学生的概括、归纳、自我质疑等数学能力，久而久之成为一种习惯。
二、在解题过程中反思
在教学用除法解决简单问题的教学中，我出示了这样一道题：有24个小朋友租船过河，每条船限乘4人，需要几条船？同学们一致列出算式24€?=6（条），并且毫无异议。可是有一个学生指出：限乘4人就要乘4人吗？难道乘3个人就不可以吗？马路上的汽车经常没有坐满人就开走了。这位学生能和日常生活经验相结合，对题意进行反思，是不错的表现，在教师的鼓励下，全班学生对这个问题引发了思考，甚至有不少学生表示认同，可以每条船乘3人，那么就要租24€?=8（条），也可以每条船乘2人，那么就要租24€?=12（条）。于是，我顺势利导，让学生自己去反思：你们对这些租船方法有什么想法吗？看似简单的一句话，马上引起了个别学生的注意：“老师，租船不是要用钱吗？”“是呀？那有什么问题吗？”果然有学生接着说：“那么我们为什么要浪费不必要的钱呢？租6条船不是最便宜了吗？这些人会那么笨吗？”一连串的反问让其他同学都恍然大悟。在整个解题过程中，老师没有简单说教，学生通过独立思考、同伴间的交流启发，不仅体会到了怎样根据具体的算式灵活选择计算方法，归纳概括出了题目的本质特点，更重要的通过亲身体验，知识得到了再发展，促进了积极数学情感的形成。
三、在做错题后进行反思
在平时教学中，我们不难发现：学生就同一种类型的数学问题，做了多次后，还是经常出错。原因是学生习惯于做完题就了事，并不会主动考虑应用数学知识解决问题时，对解题方法、解题中反映出的数学思考作深刻的再认识，即没有反思的习惯。因此，每次做错题后，教师要让学生认真审视错误题目，仔细分析错误原因后掌握题型的结构特征和解题思路，杜绝此类情况再次发生。引导学生对错题及时认真反思，养成习惯。这种习惯会比反复做题更为重要。下面是学生的一次小测及自我反思：小红有20本书，小芳有12本书，小红送几本给小芳两人书一样多？20-12=8（本）€鬃晕曳此迹杭偃缧『旄?本书给小芳的话，小红剩下12本，小芳变成20本，这样就变成小芳的书比小红多，不符合题意。应该把多出的8本平均分成2份，一份留给小红自己，一份给小芳。这道题并不是求谁比谁多多少，不能简单用减法计算。学生自己在反思中分析和改正了错误，印象深刻，同时制订预防错误再次发生的措施，进而从整体上把握好自己以后的数学学习活动。
四、建立成长记录袋进行反思
关键词：物理习题；思维能力；解决方法
中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2008)4(S)-0017-2
所谓思维能力，是指人类个体反映、认识和改造世界的一种高级的心理活动能力，它是各种能力中最为重要的。在物理习题教学中，教师应注意培养学生的这种能力。本文通过对一道物理习题的分析、解答，谈谈在教学中如何对学生进行思维能力的培养。
1 题目
如下图所示，在一个小水池里浮着一条小船，小船载满了石块。如果把石块全部投进水池里，池里的水面将会怎样？（上升、下降、不变）
这是一道既古老而又饶有兴趣的习题。它既不同于一般的问答题，也不同于一般的计算题，它没有给出任何数据，颇有点“原生态”的意味。
2 学生易出现的思维状态
学生经初步思考，往往会出现以下两种情况：
其一，有的学生认为：因为石块投进水中后要占据一定的体积，所以水面要上升。
这类学生在思考问题时能看到石块进入水中要占据水原来占据的空间，这值得肯定。但他们对问题的思考不全面，只知其一，不知其二。这时教师可作启发性提问：“将船中的石块投进水里，与将岸上同样多的石块投进水里，使水位上升的效果一样吗？”
其二，有的学生会说：“石块投进水里，有使水面上升的作用。但船上的石块被扔掉后船变轻，排水量减少，有使水面下降的作用。这样，水面最终如何就难于判断了。”
这类学生比前类学生认识较全面，认识到了从船上将石块投入水里与从岸上将石块投入水里不是一回事，前者只有使水面上升的作用，后者则有两种相反的作用。但他们继续往下思考时却抓不住关键的环节，也未能形成明确的思路，无法将思维引向深入，从而得不出正确的结论。
3 解决方法
3.1 逐步定性分析思考法
这是一种常规的思维方法，即把问题分解成不同的思维步骤，再层层递进进行思考，这有利于学生在思考过程中抓住思维的关键，形成思维中心。其具体的分析思路如下：
第一步：石块从船上扔进水里，石块沉没有使水位上升的作用；船变轻后排水量减少，有使水位下降的作用，即存在两种相反的作用。
第二步：比较投石前后浸入水中的物体体积的大小，即总排水量的大小，总排水量大，水位就高，总排水量小，则水位低。这是解决该问题的关键之一。
第三步：对船体本身（不包括石块）引起的排水量和石块本身引起的排水量分别考虑。对于船体本身重量引起的排水量而言，投石前后没有发生变化，根据阿基米德定律和物体浮沉原理，其排开水的重量都等于船体本身的重量。对于石块本身重量引起的排水量而言，当石块在船中与石块直接浸入水中时是不一样的，这是思维中最关键的一点，学生只有抓住了这个关键点才能解决问题。
第四步：比较投石前后石块引起的排水量。根据阿基米德定律可知，石块在船中时，通过船引起的浮力等于石块的重量，排开水的体积等于与石块重量相同的水的体积。当将石块投入水中时，由于ρ石>ρ水，石块受到的浮力小于其重力，而石块排开水的体积等于石块本身的体积。石块的体积比同重量的水的体积小，故石块扔进水中后，总的排水量减少，水面要下降。
可见，先用分析法将装石块的船分解为石与船两个部分，然后分别考查、研究，再用综合法将两个部分综合起来考查其引起水位变化的总体效果，这种逐步定性分析思考法的思路清晰，尤其是能看到问题的物理实质，即石块通过船引起的排水量和石块直接投入水引起的排水量不同。
3.2 直接计算思考法
有的学生习惯于数学推演而不习惯定性分析，或不只满足于定性的认识而希望得到定量的解释，此题可采用如下的直接计算思考法：
第一步：抓住思维中心，确定总的思路。关键是比较向水中投石前后总的排水量的大小，排水量大则水位高，反之则低。
第二步：本题无已知数据，只能进行公式推算，所以要先假设相关的物理量。
假设：G船，ρ石，V石，ρ水为已知，投石前：V总排=V船排，投石后：V′总排=V′船排+V石。
第三步：进行计算。根据阿基米德定律及物体的浮沉原理，有：
投石前：G船+ρ石gV石=ρ水gV总排（1）
投石后：V′总排=V′船排+V石，
V′总排=V′船排+V石，
V′总排=G船ρ水g+V石（2）
由（1）、（2）可得：
V总排-V′总排=ρ石-ρ水ρ水V石（3）
ρ石>ρ水，V总排-V′总排>0，
即：V总排>V′总排
所以投石后水面要下降。
直接计算思考法是另一种常规的、正确的思维方法。在解答本题时，不但应用了数学方法，而且还能让学生学会在题目未给数据的情况下，如何找出相关的物理量，并列出文字方程以及解文字方程。该方法的缺点是物理实质被掩盖于数学推导之中，使学生难于看到问题的实质。所以，教师应引导学生对逐步定性分析思考法和直接计算思考法进行比较，两种方法都应学会。
3.3 极值计算法
极值法是根据问题的实际情况，将不影响判断结果的物理量推向极值（极大值或极小值），从而使问题得到简化的一种思维方法，极值法是科学研究中常用的方法之一。培养学生用极值法来思考问题，有利于其思维的灵活性，易于抓住思维关键，抛开无关因素，突出重点，有利于提高思维效率。极值法的关键是如何根据问题的实际情况合理地假设极值，其具体的思路如下：
设极值：船本身（不含石块）的重量引起的排水量在投石前后不变，船自身重量的大小不影响定性的结果（即水面上升或下降）。因此，可以假设船自身的重量为G船=0。
投石前：ρ石gV石=ρ水gV排，
V排=ρ石ρ水V石>V石
投石后：V′排=V石，
故V排>V′排
所以投石后水面下降。
3.4 极值定性分析法
第一步：设极值。只要满足ρ石>ρ水和投石前后石块的重量不变，则投石后水面升降的结论就可以确定。因此，ρ石比ρ水大多少并不影响水面是上升还是下降这个结论，只影响其上升或下降的程度。所以，可以假设全部石块被压缩成像一颗豌豆那样大的小石粒。这样，石块的质量不变，密度ρ石则大大增加，满足ρ石>ρ水，而石头的体积却大大减小了。
第二步：船自身的重量引起的排水量在投石前后保持不变。
第三步：“小石粒”在船上时引起的排水量的体积等于与石块同重量的水的体积。“小石粒”投入水中时引起的排水量可以忽略不计，所以投石后水面将下降。
4 本题的延伸与扩展
教师在引导学生运用以上方法解答本题后，可将本题延伸、扩展，提出以下问题：若船中装的不是石块，而是其它物体，且ρ物=ρ水或ρ物
综上所述，不同的思维方法各有其优点，教学中可以从不同的角度锻炼学生的思维，提高学生的思维能力；同时，不管采用那种思维方式都要抓住思维的关键，形成思维中心，这对培养学生的发散思维能力和创新思维能力是大有裨益的。
我们可以看一看下面的问题：
（1）成正比例的两个量和成反比例的两个量有什么相同点和不同点？学生回答这类问题的行为是介入、比较，提问的类型属于分析型。
（2）给这道应用题提什么问题？根据同学们捐钱的数量，算一算我们可以为失学儿童提供什么帮助？学生回答这类问题的行为是创造、预见，提问的类型属于综合型。
（3）你认为这几种解答方法哪一种好？学生回答这类问题是判断选择，提问的类型属于评价型。学生回答“发散性”的问题，要从不同的角度看同一事物，尽量提出各种不同的设想或方案，扩大选择的余地，从而找出解决问题的多种方法。
教师在提“发散性”问题时要做到：第一，流畅性。提出的问题要让学生在一定时间作出迅速且多变的反应。第二，变通性。使学生能摆脱心理定势的影响，从新的不同角度考虑问题。第三，精致性。对复杂问题，提供多方面的细节补充和进行润色，使学生的思维更加科学。更加适应需要。
提“发散性”问题应注意的几个技巧。
1、提出的问题要贴近学生的生活
我们的教学面对的是小学生，他们年龄小，数学知识相对较少，不能解决很多现实的问题，因此，教师提问的情境必须是真实的，能够使学生在课堂里接触与现实生活密切相关的数学问题。例如，在教学了“人民币的认识”后，教师提出了这样一个问题；如果有5元钱，你打算买什么？学生听到问题后反应积极，有的学生准备买文具；有的学生准备买书；有的学生准备买食品。大半学生还算出了准备买多少钱的东西，自己还剩多少钱。象这类问题贴近学生的生活，对学生有很大的挑战性，解决问题不能套用老方法，要变换思维的方式和角度，这样，有利于培养学生数学思维的广阔性、灵活性和深刻性，有利于提高学生应用数学的意识和能力。
2、学生有足够的时间交流
由于“发散性”问题答案不唯一，不同的学生常常找到不全相同的结果，这种不同是由于学生不同的生活经历，不同的知识和能力水平造成的。正是这种差异的存在，为学生之间的交流奠定了良好基础。因此，我们要有足够的时间让学生交流。例好，在2、4、6、7、10这五个数中，哪一个数与众不同？一个数与众不同，要看选择怎样的标准，选择不同的标准就会有不同的答案。
（1）7与众不同，理由是2、4、6、10都是偶数，而7是奇数。
（2）10与众不同；理由是2、4、6、7都是一位数，而10是两位数
（3）2与众不同；理由是其它的数都大于3，只有2小于3
（4）4与众不同；理由是只有它可以在五个数中找到一个数2，2加两次就是4，其它的数都不行；或者说，4与左边的2和右边的6都相差2，而其它的数与相邻数都不相差2
（5）6与众不同；理由是它等于右面的7减1，其它的数都不行……以上的问题，一般来说，每个学生都能找到一种或两种答案，学生不再是一个依赖老师的模仿者，这样，就有一个民主、平等的交流氛围。又由于每个学生都经过独立思考解决问题，因此，在这种氛围中，学生有话想说，有话能说，为培养学生的数学交流能力创造了很好的条件。
3、不同的学生学习不同层次的数学
在回答“发散性”问题时，常常因为学生之间客观存在的差异，使得他们的水平大不相同。例如，班上有52个同学开展夏令营活动，要租船到湖心岛去玩，船的种类有：（1）大船一次能坐10人，每次收费16元；（2）中船一次能坐6人，每次收费10元；（3）小船一次能坐4人，每次收费7元；请同学们算一算怎样租船好？
解：只租一种船：大船：52÷10=6（只）?用16×6=96（元）
中船：52÷6=9（只）?用10×9=90（元）
小船：52÷4=13（只）?用7×13=91（元）
种船合租：4只大船，3只小船：16×4＋7×3=85（元）
4只大船，2只中船：16×4＋10×2=84（元）
[关键词]“鸡兔同笼”；假设法；六年级
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2014）26-0027-03
[作者简介]杨金珠（1983―），女，江苏南京人，本科，南京市江宁实验小学教师，小学一级。
苏教版六（上）解决问题的策略（假设）是在学生已经学习了画图、列表、一一列举和倒推等策略基础上又一次有关策略的学习，许多课外辅导用书和提优训练都把此类问题称之为“鸡兔同笼”。解决此类问题需要学生具备较高的思维水平和逻辑推理能力。
一、了解学生学习情况
为了全面掌握学生知识情况，笔者课前对所教两个班级103名学生进行“学习前置”（只做“自主探索”部分）。
表1学生预习表
江宁实验小学六年级数学（上）第七单元
姓名
预习日期年月日
课题解决问题的策略（2）
自主
探索
例2：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？
想一想：你能用已学过的策略解决这个问题吗？
结果统计如表2。
表2学生预习情况统计
从上表信息可知：学生想到用列表方法（含多种方法中的列表）解决的有50人，占49%；画图9人，占8.7%；算式54人，占52.4%；方程14人，占13.6%。通过分析能看出学生解决此类问题时所使用的一般方法是列表法和假设法。接着，笔者对学生做了进一步调查。
师：你是怎么想到用这些方法的？
生1：我们在五年级学过一一列举，这道题目数字不大，我一个一个列出来就能找到答案了。
生2：画图的方法比较直观，好理解。
生3：这学期第一单元我们学的就是方程，根据等量关系就可以列出方程，不过怎样解方程是我爸爸教的。
生4：我在辅导班的时候学过用假设法求解。
师：对于用假设法列出的算式你能解释每一步表示的意义吗？
生4：我只是记住算式模型。
通过访谈，可以较客观地了解到学生对于此类问题的一般思考过程和个体间的思维差异。教学中要尊重这种差异，充分展示彼此间不同的观点和想法，在多维立体互动中不断对学生差异进行比较、修正和提升。而这，无疑是需要教师进行思考和正视的。
二、教学案例分析
（一）列表
1.陈诺：我先从9只大船1只小船开始想。9只大船1只小船可以坐50人，比42人多，8只大船2只小船……
生1：当我们列举出“6只大船4只小船”正好坐42人时，下面就不要再列举了。因为随着大船的增加，小船的减少，人数会越来越多，肯定不符合条件。
师：对于这张表格的数据同学们有什么发现？
生2：每增加1只大船，减少1只小船，人数会多2人。
生3：我补充一下，应该有个条件“船的只数10只”要保持不变。
一一列举是学生以前学过的策略，这其中就蕴含了“假设”的思想，学生通过同学对列表方法的介绍，初步体会“假设”思想在列表中的运用。同时，与以前所学的一一列举答案的多样性不同，此类题目答案是唯一的。
师：我觉得应该从“10只大船0只小船”开始想。虽然“10只大船和0只小船”一看就知道不符合条件，但如果写出来的话，这样列表就会很有序。
（用红笔补上“10只大船0只小船”）
假设策略的重心是假设后的调整，调整的过程实质上是替换的过程。在“一一列举”中其实就蕴含“一一替换（1只小船替换1只大船）”的思想。当教师提出需要补上“10只大船0只小船”时，“10大0小”或“0大10小”正是下面学生画图、假设法的基础，这样从学生熟知的列表法切入符合学生的实际。
2.唐沛年：我和陈诺的方法有点不一样，我是从1只大船9只小船开始想的……
生1：我发现陈诺列举的次数多。
师：你能解释其中的原因吗？
生1：当我们假设9只大船1只小船时，总人数是48人，48离42很近。而1只大船和9只小船总人数是32人，离42比较远。
生2：有价值的发现！如果从不同的角度思考，替换次数会有不同。
生3：应该像陈诺那样补上“0只大船和10只小船”的情况。
设计意图：学生两种不同的列表方法实际上就是两种不同假设法的原型。在这里通过师生对话、生生互动，为下面调整假设策略解决问题做了提前渗透和有力铺垫，可谓“未成曲调先有情”。
3.岳晨曦：我先假设有5只大船和5只小船，可以坐40人，然后4只大船6只小船发现人数少得更多，所以应该是6只大船4只小船。
师：是的，当岳晨曦先假设“5大5小”时发现和42人是有“差距”的，岳晨曦先用向小船方向调整，发现人数少更多，所以才向大船方向调整，谁能解释其中的道理？
生：当5只大船5只小船时坐40人，比42人少，所以应该增加大船减少小船，因为大船能坐更多的人。
设计意图：调整可以是“渐进式”的，也可以是“跨越式”的，无论从哪个角度想起，重点都是要让学生借助表格感受为什么要把大船换成小船或者为什么要把小船换成大船，以及因为“换”而带来的人数变化。充分展开这个过程，使学生深刻体会调整的目的、方向和方法，进而初步形成调整意识。
（二）画图
陶致远讲解画图过程。
师：陶致远为什么一次只画去2人？
生：一只小船替换一只大船只能少2人。
师：谁能把陶致远和陈诺的方法联系来说一说？
设计意图：借助图示，结合学生的讲解把结果的呈现过程化、动态化，清晰呈现画图过程。并与列表方法相互比较，相互验证，相互启迪。这其中算式方法的雏形已初见端倪，使学生对假设策略的认识进一步接近其核心和本质。
（三）算式
蒋霏凡介绍自己的思考过程。
师：同学们，“数形结合”是一种重要的思想方法，你能不能根据陶致远的“图”来解释这位同学的算式呢？
设计意图：细细分析列表、画图和算式，可以发现都有假设和替换的影子。某些时候，它们的思路完全一致。“打通”这些方法的联系，让学生通过不同的方式理解同一种策略，理解会更深刻。
师：明明假设的全是大船，怎么求出来的却是小船呢？
（学生一时难以回答，沉默片刻后，从画图方法中找到了解释）
生1：因为假设全是大船，会多算出8人。
生2：把多算的8人要“赶下船”，1只大船“赶”下两人后就变成小船，因为要“赶”4次，就变成了小船。所以假设全是大船，求出来的就是小船。
生3：如果假设全是小船，求出来的就是大船。
设计意图：为什么明明假设的是大船，求出来的却是小船？这历来是不少学生的困惑之处。在这里，教师应放大这个环节，在反问、追问中，放慢进程，借助表格的直观、示意图的支撑、形成式的凝练，理解掌握假设法的内涵和本质，在此基础上抽象出一般算式方法。
三、分析总结
通过列表和画图不难发现，随着小船数量的逐一增加，总人数逐次减少2人，正是这一基本的变化规律，我们很容易得出“如果人数要减少2人，应该将一只大船‘变成’小船，反之，人数要增加2人，应该将1只小船‘变成’1只大船”。进而思考：如果人数要减少8人（增加12人），应该将几只大船（小船）“变成”几只小船（大船）？有了这些观察思考的基础，在列表和画图中就找到了“假设法”的影子。如果说第一次列举被视为假设的前提，那么接下来就可以根据人数的差距，计算出应该将多少只大船（小船）“变成”小船（大船），就能解决一共有多少只大船和多少只小船的问题。由此，解决“鸡兔同笼”一类问题的典型方法――假设法，便跃然纸上。这样教学不仅切合教材的实际，而且切合教学的实际，更是切合学生的实际。
参考文献：
[1]周胜琼.小学数学六年级上册“鸡兔同笼”教学反思[J].中国科教创新导刊，2012（6）.
【关键词】小学数学；创新；思维
1创新思维能力培养基于的教育环境
1.1从教育背景的角度，“应试教育”向“素质教育”的转变就是一个大的教育背景。只有在这个教育背景下，小学数学的教学目标 “增强兴趣，拓宽知识，增长才干，发展特长”才能真正落到实处。这里很重要的一点就是小学数学必须淡化选拔教育，应当强调普及性，做到人人受益。教育工作者要提供广阔平等的教育平台，要求每个学生都参加，为发展学生的个性特长、兴趣爱好提供发展空间。教学效果的好坏不应当以分数、成绩的高低作为评价标准，而应当从学生的创新思维能力是否得到发展予以解释。
1.2从教师的角度，在传统教学中，教师的责任是传授知识、管理课堂；新的课程要求则完全不同，教师承担的责任是设计问题、组织活动和指导学习。教师所教的数学和学生们所学到的数学之间存在差异，如何转化很重要。一个很关键的理念是：教师的教学要能给学生以能力的钥匙，而不是给知识的包袱，要突出学生创新思维能力的培养。
1.3从学生的角度，学生也要彻底改变“应试教育”的学习内容和学习方式，不仅要学会书本上的知识，完成课本上的练习，还要在学习中培养各种能力，比如学会选择、学会假设、学会反思、体会数学精神等。要通过数学知识的学习，学会创新与创造，尝试解决不熟悉的问题等。
2 创设问题情景，引入思维境界
在教学过程中，如果只为讲而讲，学生容易乏味，激不起兴趣，在此情景下进行教学收不到好的效果。如果先给学生创设一问题情景，引导学生进入情景之中，赋子问题以生命力，则可以使学生在情景激发的兴奋点上，寻求思路，大胆创新。创设问题情景就内容方式来说，有故事法、生活事例法、实验操作法、联系旧知法、解决实际问题法等；就其意图来说，有调动学习积极性、激起学习兴趣的趣味性问题，有以回顾所学知识、强化练习的类比性问题，有与实际相结合的应用性问题等。
例如：教学“小数的性质”时，设计一个有趣的问题：谁能在2、20、200后填卜适当的单位，并用等号将它们连起来？学生感到很新奇，议论纷纷。有的说加上米、分米、厘米可得2米=20分米=200厘米，有的说加上元角分可得2元=20角=200分，此时教师提出能否用同一单位把上面各式表示出来，于是学生得出2元=2.0元=2.00元；2米=2.0米=2.00米，这几个数之间是否相等正是我们要学习的小数性质。这样创设情境，形成悬念，培养了学生对知识探究的能力和习惯。
3 培养创造性思维，提高创新能力
3.1 逆向思维能力的培养。逆向思维是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题。表现为逆用定义、公式、法则、进行逆向推理、反向进行证明，逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性，它是摆脱思维定势、突破旧有的思维框架，产生新思路、发现新知识的重要思维方式。在学生学习知识的过程中，随着正向思维的出现，逆向思维也同时产生。逆向思维作为创造性思维的重要组成部分，必须加强训练与培养。
3.2 求异思维的培养。创新求异的思维能力的培养是数学教学中不可忽视的问题。通过对这一能力的培养，可以使学生从不同的角度出发，沿着不同的解题思路，用多种方法解决问题。在求异思维的培养过程中，要重在新和异，要鼓励学生积极思考，用不同的解法来解题，从而提高学生的创造能力。
3.3 发散思维的培养。在数学教学中，培养学生的发散思维，对于提高学生的创造思维能力是非常有帮助的。由于在课堂上更多地进行没有固定答案的研讨，就会使更多的学生在集体的争论中体验到思维的碰撞，感受到教学的美感。鼓励学生用多种方法来解决问题，学生的思维有较大的“自由度”，这样，既使学生的发散思维得到了培养，拓宽了学生的解题思路，又增强了学生思维的创造性，发展了学生的创新能力。
4 在体现生活的教学中培养学生创新思维
数学来源于生活，生活中又充满着数学。我让学生在生活中学数学，在活动中做数学。把数学知识融于生活实践，把现实问题数学化，把数学知识生活化。学生的创新意识、创造性思维能力在自主探索问题和解决日常生活中的问题的过程中得到培养。例如每条小船限坐5人，31人需要租用几条船，怎样分配才合适？学生迅速心算，31除以5，商6余1。需要租7条船，按算法分配每5个人坐一条船，剩下一个人坐一条船，显然不合适。怎样分配才合适？学生要有想象力，有创造性，有对现实背景的理解，才会提出如下两种解决方案：
4.1 租7条船，5条船每条船坐5个人，坐了25个人，剩下的6个人平均坐在余下的2条船里；
所谓的“问题解决”，就是学生在新的情景状态下，以积极探索的态度，综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学课或实际生活和生产实际中的新问题的学习活动。《国家数学课程标准》中也明确指出：“通过数学学习应使
学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获
得发展”。因此，我认为“问题解决”学习应该处于小学数学学习的
中心地位。生动活泼的、思考性的现实的“问题解决”学习应该处于小学数学学习的中心地位。生动活泼的、思考性的现实的“问题解决”活动应该成为小学数学学习中的一个重要内容。基于此，我在以下几个方面作了一些尝试，现回顾如下：
一、创设问题情境，提升学生问题意识
在实践中，我们经常会发现学生所提出的一些问题往往是对知识结构表面上的、粗浅的认识的结果，有时是与教学意图相背的甚至是对知识的错误的理解。此时，教师要根据数学思维的问题性这一特点，抓住学生认知过程中新旧知识的联系和矛盾，创设良好的问题情境，使学生在具体的问题情境中引发思维活动，在思想上产生疑问，从而提升学生的问题意识。
在创设问题情境时，我们通常要注意把握“问题解决”中问题情境中的几个特性：
1.现实性和趣叶性：数学问题应该从学生的实际生活中选取，把具体情景数学化，进而再把数学知识生活化。只有这样，才能拉近学生与问题的距离，真正引起学生探求的愿望。
2.挑战性和思考性：学生要解决的数学问题应该具有挑战性。教师从学生发展的角度出发，提供出接近学生已有知识、经验、智能水平，但又必须“跳一跳”才有可能够到的问题。例如在教学《三步应用题》时，可创设这样一个情境：三年级同学去春游，其中三年级一班有22个同学想划船，公园里有大、小两种船，一条大船能坐8人，一条小船能坐3人。要使他们能同时坐上船，要几条大船工和几条小船？你有什么租船的方案。学生出现了四种各有理由的方案：⑴2条大船2条小船，理由：人数正好；⑵1条大船6条小船，理由：加上老师；⑶3条大船，理由：最省钱；⑷8条小船，理由：游览方便。这样具有挑战性的情境有利于引导学生综合运用数学知识、方法、经验，探索解决问题的多种策略和有效方法。
3.开放性和实践性：新课程要求创设具有开放性的教学情境，以发展学生的个性，培养学生的创新精神。同时教师又要善于根据教材特点和学生的实际，千方百计地为学生提供更多参与实践的机会。如在教学《圆的面积》一课时，我们可以打破教材，完全放手，引导学生把圆转化为会计算面积的图形。学生经过思考转化，便会有不同的想法：有的把圆割拼成一个近似的长方形，有的把圆割拼成一个近似的正方形，有的把圆割成一个近似等腰三角形，有的把圆割拼成一个近似的等腰梯形，有的把圆割拼成两个近似的平行四边形……并分别推导出圆的面积公式。这样，在自实践的过程中，学生明确了知识的根源，经历了知识的发生过程，真正理解知识的来龙去脉。
二、获取有效信息，提炼研究问题
现在的教材，大多能借助学生身边丰富解决问题的资源，创设生动活泼的生活情境，提供了较真实的实际问题，选材范围扩大了，提供的信息数据范围扩大了。面对如此繁杂的信息资源，在教学时，我们应当充分利用这些信息资源，引导学生从情境中观察、发现、收集数学信息，并对所有信息进行筛选、提取。这一环节，教师应引导学生注意倾听他人发现的信息，并随时进行评价。通过大家的交流和评价，学生自己就能筛选出有用的信息。然后再引导学生根据信息提出有价值的数学问题。例如在教学“求平均数”时，可先请学生说出在情境图提供的信息中你能提出什么数学问题。（例如：谁收集得最多？谁收集得最少？他们组一共收集了多少个？平均每人收集多少个？）这些问题中你认为哪个问题提得最好？为什么？经过大家的分析，确定“平均每人收集了多少个”为要研究的问题。这样设计学生不但能使学生向着问题解决的目标努力探索，其认识问题、分析问题、理解问题、转化问题的数学基本素质，均得到良好的运用和培养。
三、教给方法，寻求解决问题的有效策略
策略是解决问题的方式和方法，要提高学生解决问题的能力，教给一些比较完整的解决问题过程和常用方法是十分必要的。教师在教学中要多引导学生去感悟一些解决问题的策略，帮助学生寻求有效策略解决问题。
在小学数学“问题解决”中较常采用的解决方法有：
转化：将研究问题在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究问题。
类比：将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。
猜测与验证：在“问题解决”时，可以进行大胆猜测，再验证得出较正确的推测，形成解题的有效策略。
作图：包括线段图和实特简图。
举例：通过基于熟悉的具体事实上举例，可使思路更清晰。
情境：在“问题解决”的过程中，用人或物模拟问题的具体情境，使之变得生动具体，便于理解。
延伸：对问题作进一点的思考，使结论更一般化。
四、反思学习过程，进行总结评价
反思不仅能让巩固课堂知识，提炼出学法，也能使学生对知识的理解更加丰富，更加全面，还有利于提高学生的自我分析、自我评价和自我调整的认知能力。因此，在“问题解决”教学中，我们应当让学生在课堂活动时，在阶段活动后形成自我反思、自我评价的习惯。如在课堂活动时，可从以下几个方面进行反思和评价：
1.在特定的情景和日常生活中发现的数学问题；
2.为解决问题，收集整理的有关信息和资料；
3.制定的解决问题的方案和过程；
4.呈现的活动报告或数学小论文；
5.对问题解决的反思与轿正。
五、实践运用，拓展训练
学生在小学学习数学，不仅要弄清课堂所提的问题，掌握现成的数学知识和技能，而且要知识如何运用课堂所想的问题，所学的方法自觉地、有意识地去认识和理解周围的事物，处理有关的问题，使所学的知识成为与生活和社会实践有密切联系的内容。因此，在教学中，还要引导学生应用所学的知识解决一些实践性的问题。
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