【关键词】课堂引导；获得；科学概念
一、动手实验，形成科学概念
学生在小组活动中经历科学探究的过程，教师指导学生从多种现象中找出共同的特点，把这些特征归结在一起，得出科学性的解释，帮助学生形成正确的科学概念。如：教学《导体和绝缘体》一课时，教师准备一些有结构的材料，让学生通过电流检测器探究，哪些材料容易导电，哪些材料不容易导电，进而概括出容易导电的物体是导体，不容易导电的物体是绝缘体。而不是告诉学生物体分成两种：导体和绝缘体，你们来验证一下哪些是？哪些不是？不同的教学方法让学生建立的概念印象深浅不同。又如：教学《设计制作保温杯》一课，教师提出问题：冰块一块放在常温下，一块放在保温杯里，谁融化得快？大部分学生的前概念都会认为放在保温杯里的融化得快一些。我用了两种不同的教学方法在不同班级教学，发现只是组织学生分析原因，获得概念与动手让学生实验操作，进行对比实验，获得的概念更让学生信服，也不需要过多的语言表达，学生也记忆深刻。
二、观察细节，概括科学概念
过去的自然课教学“科学概念”时，主要是让学生怎样记住那些“科学概念”，而现在是让学生在观察、比较中自己抽象、概括出一些“科学概念”，比如“昆虫”这一概念，就是学生在对一些昆虫类和非昆虫类的动物观察、比较中概括出昆虫类动物的主要特征，从而形成“昆虫”这一科学概念。又如《用显微镜观察身边的生命世界（三）》一课，认识微生物“草履虫”就是让学生通过观察它的外形特点，像一只草鞋，从而学会给它命名。学会了方法，学生在看到“喇叭虫”“线虫”“太阳虫”的图片时，自然而然就会给这些微生物命名。因此，在课堂上科学教师的职责就在于组织好学生的观察、比较活动。
三、仔细阅读，获得科学概念
学会阅读，也是学生获得知识的一种重要手段。一些概念科学家经过长期观察、推测或经历上百上千次实验获得的结论，我们小学生还无法完成的，可以采用让学生阅读的方法获得概念。如：《地球内部运动引起的地形变化》一课，在教学地球内部构造时，我们无法真正用肉眼去观察，这时就可以让学生通过阅读一些资料，了解地球深部的情况。又如四年级下册《花、果实、种子》一课中，教学组成雄蕊、雌蕊各部分的名称时，让学生通过阅读课文内容，知道雄蕊由花药和花丝组成，雌蕊由柱头、花柱和子房组成。而不需要再让学生自己试着命名再告诉其科学家命名的名称，浪费时间。再比如“宇宙”单元的内容，大多也可以用阅读的方法，获得概念。
四、汇报交流，归纳科学概念
学生实验获得的数据、发现大都在汇报交流过程中，归纳出系统的科学概念。教师要把握好这一环节，组织学生归纳整理。大都数老师在学生实验完成后，会让小组同学结合记录单交流汇报，这一过程中，如何组织学生评判实验结果，修正实验结果，非常重要。教师指导性语言如：对于他们组的实验结果，你们有什么不同意见？你们组还有什么新的发现？等等都会帮助学生完善对概念的形成和理解。在交流过程中，还可以设计一些实验汇总表，帮助学生思维、归纳。如教学《橡皮泥在水中的沉浮》一课，我设计了一张汇总表：
每个小组将实验数据填写在汇总表上，再指导他们从纷杂的数据中发现规律，形成概念。再如教学六年级上册《相貌各异的我们》中，设计班级相貌特征调查统计表，通过全班范围内汇总，获得全班相貌特征的信息，从而归纳出我们的相貌特征是唯一的。
五、课件引导，巩固科学概念
在教W过程中，我们经常会发现学生汇报交流中的概念还是比较松散、零星的，或只是一些潜意识认为的。这时教师用幻灯片完整、严谨地呈现科学概念，以此帮助学生巩固，获得知识。如：在形成“日食”的科学概念中，有的学生认为太阳、地球和月球要处在一条直线上；有的学生知道月球要在太阳和地球的中间；有的学生认为处在地球影子中的人才能看得到等等。这些概念都正确，但只是其中的一部分，比较零散。教师如果用板书形式记录，字数太多，书写太久。因此我认为这时用课件的形式出现，效果更好，便于巩固。另《食物在体内的旅行》这是一节“解暗箱”的课，利用视频来帮助学生认识食物的消化过程，从而认识人体内的各个器官及其作用，以帮助学生巩固概念的理解。
关键词:学科大概念;数学教学;核心素养
发展和培育学生的核心素养，是新时代赋予课程改革的重要任务。如何紧随课改步伐，推进课改纵深发展，成为教师面对教育发展的挑战。在我国新课程改革十余年的进程中，形成了许多值得借鉴的教学模式和教学经验，为课改的顺利推进起到了积极的促进作用。然而，课堂教学散点化、浅表化、形式化的现象，依然制约着课堂教学改革的深度推进，使教师走出了“实现课程功能转变”的课改目标；一些盲目拼凑或机械效仿的教学模式，使得部分教师把模式化等同于形式化、机械化的教学，一些看似整合的课堂教学，实际上是教学内容的大量堆砌。对于这些问题的产生，究其原因是：概念构建缺乏符合认知规律的结构体系，目标制定缺乏从微观到宏观的统整意识，问题设计缺乏围绕主线的开放路径，应用迁移缺乏由浅入深的思维进阶，学科融合缺乏深度探究的实践活动，教学评价缺乏教与学的双向判断；反映出内涵和外延、整体与局部、封闭与开放、特定与进阶、单一与多元之间的矛盾，导致课改渐渐失去了应有的生机与活力。因此，如何在数学教学中建立知识间的彼此联系，厘清知识纵向与横向的发展脉络，实现真正有价值的数学教学观及数学课堂教学是一线教师应该思考和解决的问题。
一、学科大概念的教学思考
1.概念理解
在学界，学科大概念教学“作为一个兼具认识论、方法论和价值论三重意义，因而更能广泛迁移的活性观念”[1]，为推动课程改革提供了新的教育视角和教学样态，在一定程度上成为促进学科课程教学的重要途径。顾继安、何彩霞认为，“学科大概念是指向具体学科知识背后的更为本质、更为核心的概念或思想，它建立了不同的学科知识间的纵横联系”[2]。宋小葛、吴颖博、宋梦华等认为，“学科大概念指的是学科某一领域普遍存在的大道理。它具有一定的普适性，指向学科本质，能够帮助学生绕到教材背后，在旧知中找到新知的恰当位置，从而建立知识结构，获得持久且可迁移的理解”[3]。李学书认为，“大概念的课程意义主要体现在作为孕育学科核心素养的重要依托，构成了学科课程内容的框架，成为单元教学设计立足点”[4]。换言之，学科“大概念”是建立在学科核心知识与学科本质特征基础上的一种连续整体理解事物以及积累实际经验的认知观念和结构性活动，它“不仅仅是一个名词、一个定义,它超出了一个普通概念的内涵和外延，是学科思想和理论的载体，能使以往零碎的、散乱的学科知识整合起来，对学科提供强有力的解释和综合考察”[5]。因此，学科大概念在教学实践中具有抽象概括性、联系整合性、广泛迁移性以及深刻灵活性等表象，是联结学科宏观课程理念和微观课程教学的桥梁和纽带。
2.教学定位
从大概念的层次维度来看，它既包括了“由低到高纵向结构的学科课时内的大概念、学科单元内的大概念、学科单元间的大概念、跨学科间的大概念”[6]，又包括了“结论与结果的大概念、方法与思想的大概念、作用与价值的大概念”[7]的横向类型。一方面，对于学科课时内的大概念教学，应将每一课时的教学内容置身于单元教学的情景中，使教学从课时走向单元；对于学科单元内的大概念教学，要以专题单元教学或主题单元教学为依托，从整体入手把握教材，重组相关教学内容，进行有机的贯通整合；对于学科单元间的大概念教学，要把握单元与单元间核心知识的内在联系，梳理出较为系统和完整的知识体系，概括抽象成为本学科的大概念；对于跨学科大概念的教学，要找到学科融合的关键点，通过跨学科知识、跨学科技能、跨学科思想方法的深度融通，跨越学科界限进行学科间的渗透与整合。另一方面，将结论与结果的大概念、方法与思想的大概念、作用与价值的大概念贯穿在数学教学之中，“在表现形式上重在揭示关系、阐述观点，在统摄范围上既统摄连续内容，更统摄非联系内容，在功能性质上呈现具有横断性的跨时间、文化和情景迁移，在教学组织上贯通进阶发展”[8]，使数学抽象概念与数学具体事实进行反复的整合，数学思想方法与数学认知结构进行反复的促进，以此“占在知识系统性的高度，将知识结构组成一个知识整体或意义整体”[9]，着力引导学生用整体的观念和方法去建构知识的框架，全面完整地理解单元教学内容，解决真实情境下的现实问题，这也是“大概念”教学的价值所在。
二、学科大概念的教学策略
1.构建顺应规律的概念体系
构建概念体系是初中数学教学中非常重要的一项内容，不仅旨在数学知识的结构化，更旨在数学思维的层次化、体系化。学科大概念下知识体系的构建，是把合理的、零散的知识联系在一起，组成一个整体，构成一个体系，便于知识的整体认知。这里的整体认知是指对某一单元知识整体结构、发展脉络的系统了解，是有别于部分认知的全面思考。这就要求教师关注知识的规律与结构，关注教材中潜隐的内在联系，构建具有认知规律的教学知识体系。例如：初中数学函数统领下的“数与代数式”知识体系的构建，需帮助学生建立数与代数式的横向关联，以及数与有理数、无理数，式与方程、不等式、函数的纵向结构，以实现顺应认知规律的知识体系的构建（如图1）。
2.制定统整理念的教学目标
单元统整的教学目标是学科大概念教学的前提和基础，是指导和制约整个教学活动的关键要素。制定统整理念的教学目标，应以课程标准为基础、以学科核心素养为导向、以学科核心知识为依托，从微观的关注点转向宏观大概念的建立，确保目标设计的整体性与教材重组的价值取向相一致，实现单元统整的教学目标与培育学科核心素养的目标对接。初中数学的学科大概念主要体现在数量关系和空间形式，教师可根据这两个板块的大概念，将学习内容对应至各个学习单元。如一次函数、二次函数、反比例函数的知识学习，是在不同时段完成的教学内容学生在经历螺旋式上升的学习过程中,不易形成较为完整的知识和方法系统。对于在学习结构和学习方法的选取上是一样的知识内容，在教学过程中，教师可以根据单元主题，将教学内容合理划分为“相关概念”“性质探究”“实际应用”等三部分，科学重组教学内容，有重点的凸显整体性的分解和细化，帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性，实现在同一范畴内多层次知识的学习和体验，并以此聚焦学科核心内容的提取，形成反映大概念特性的整合性知识。
3.设计开启思维的导向问题
低效或无效的问题设计是现实数学课堂教学备受诟病的一个重要原因。而知识的生成发生在引导学生发现并提出问题、分析并解决问题中，经历感知辨析、逐步深入、本质揭示、应用反馈等过程中自然形成的。学科“大概念”导向下的知识生成，要结合大概念教学的特点，在对教学内容进行梳理、重构、整合的过程中，围绕数学知识的整体性和知识点之间的相互联系，加强教学内容的布局和调整，突出单元知识结构的重难点，使数学学习更具有连贯性和灵活性，使问题设计成为开合学生生动思维的金钥匙。例如：在北师大版九年级“锐角三角函数”的单元起始教学中，教材是通过直角三角形中某一锐角对边与邻边的比值唯一确定，说明正切函数的概念由来，再逐步过渡到正弦及余弦的概念定义。从大概念教学的原则出发，如果这样设计问题：在直角三角形中，某一锐角所对的对边、邻边及斜边中，任意两边的比值是否唯一确定？如果任意两边的比值唯一确定，归纳得出锐角三角函数的概念。这样的设计不拘泥于限定某一锐角对边与邻边的比，或对边与斜边、邻边与斜边的比，使问题更具有导向性和广泛性，给予了学生更加开阔的探究空间，从多角度教给学生分析和思考问题，体现出问题导向的思维方式。
4.探索应用迁移的教学方法
数学知识的应用，本质是依赖知识的迁移来实现的。学科“大概念”导向下的知识迁移与应用，需立足于学生已有认识的关联、拓展和整合，促进学生在原有认知基础上向数学观念的发展。初中数学中的数量关系问题、图形关系问题、逻辑推理问题、数学建模问题、数学运算问题、数据分析问题等，都是核心知识的教学载体，教师可以通过从特殊到一般、从部分到整体、从现象到本质，抽象概括出具有学科本质属性的大概念。例如：生活中的一次函数模型，就是通过发现和提出生活中的问题（鞋码、旅游住宿问题、打折销售问题、运输与方案问题、套餐资费问题、最短路程问题等），建立方程、不等式或函数模型，求出方程的解或不等式的解集及函数的形态，检验完善模型等，形成对数学实际问题应用迁移的认知和持久的应用迁移能力。
5.开展学科融合的教学活动
初中阶段的教学内容，有许多涉及到跨学科问题的解决。利用大概念教学的理念，探究具有实践性、整体性、开放性的学科融合实践课程，有助于拓宽学生的学习时空，让学生在实践中体验数学的价值。例如：在学习了“相似三角形”后，要求学生根据相似形中的位似变换制作视力表；查阅资料了解眼睛看见物体的过程，眼镜的制作工艺，结合凸透镜光屏实验分析原理，说明近视眼镜是如何矫正视力的；调查和统计班级学生的视力情况，提出一种合理保护视力的具体方法。在这样的实践中，学生整理和筛选数学信息的能力，感知研究问题的步骤和方法的能力能够得到极大的提高，跨学科思维的学习方式逐步形成，体现出包含大量学科知识、具有融合解释力的学科大概念教学特征。
6.实施双向多元的持续性评价
美国课程论家泰勒认为，课程评价实质上是一个确定课程与教学计划实际达到教育目标的程度过程。由于教学评价具有诊断、导向、调节、促进等功能，有助于调整教学目标、引导教学活动、改进教学行为、提高教学效率。因此，学科大概念的教学评价，应针对教师的教和学生的学进行双向判断。教与学双向多元的持续性评价，要依据教师在教学全过程中的表现结果，包括教学内容、教学方法手段、教学环境、教学管理诸因素等作出评判。同时，双向多元化的教学评价也要关注学生参与学习活动的积极性和创造性，关注学生的学习效果，包括学生知道和理解了什么，掌握和具备了哪些能力等。评价的呈现形式既可以有量化评价，也可以有质性评价。双向多元的教与学持续性评价，要为教师的教学提供调控和改进依据，也要让学生在评价中自主监控学习进程，自我反思学习效果。总之，学科大概念“在教学实务中具有聚焦学科核心内容、明确教学核心任务、引导架构学科知识框架、促进理解型教学、助力实现学科核心素养等实践意义”[10]。围绕学科大概念，着眼于整合性的教学范式，是课改推进的新方略。作为一名教师只有不断深入地探索与实践，让大概念教学的思想理念成为学科教学转型的支点、成为突破课改瓶颈的教学策略，在学科内容构建、学科情境创设和学科活动设计等方面发挥应有的作用，以此实现学科大概念下的课改深化。
参考文献
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[2]顿继安，彩霞.大概念统摄下的单元教学设计[J].基础教育课程，2019（18）：8-13.
[3]宋小葛，吴颖博，宋梦华.如何提取学科大概念[J].msohu.com/a/414113177-99939660.
[4]李学书.指向核心素养培育的大概念：课程意蕴及其价值[J].教育研究与实验，2020（04）：68-75.
[5]王喜斌.学科“大概念”的内涵、意义及获取途径[J].教学与管理，2018（24）：86-88.
（延边教育出版社理科编辑室，吉林延吉133000）
摘要：本文对人教版数学教科书中“分数与小数”部分在概念的教学以及教材结构方面存在的问题进行了分析，并在此基础上，从数学学科知识和教材编写的角度，对分数与小数的教学提出一些有针对性的建议，进而对教材中数学概念的教学提出一些想法，力求使“分数与小数”内容教学更加科学，并对进一步体现数学教科书的功能提供参考。
关键词：小学；数学教科书；分数；小数
作者简介：严今石（1971-），女，副编审，硕士，从事数学教材的翻译、编写和研究工作。
一、引言
分数历来是在小学数学中既不易“教”也不易“学”的内容。尽管教科书中对分数的三种含义都提到了，但教育反馈的结果表明，大部分学生系统地学完分数之后，对分数的认识还停留在其“份数”定义，而且并不了解小数、分数、比的含义。这直接导致应用这些概念去解决问题带来困难。因而，对目前教材中“分数与小数”内容的编写以及教材中数学概念的教学进行反思，针对不足提出编写建议，就显得尤为迫切和必要。本文试从“分数与小数的意义”的教学和“教材编写”两个方面对小学数学教科书中概念教学进行探讨。
二、问题的提出
1.在引入小数概念中存在的问题。人教版数学教科书中，对“小数”概念是通过十进制分数来建立的，通过举例的方式，随即进行归纳，直接提出概念。如通过例子[1]，“把1 米平均分成10份，每份是1分米。1分米是1/10米，还可以写成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是1/100米，还可以写成0.01米”，来说明小数的意义，使学生知道“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”的事实。这里又是借助长度单位，又是利用分数的意义，说的过于复杂。
实际意图是想阐述“1/10还可以写成0.1，1/100还可以写成0.01”的规定，但最终还是没有讲清楚“十进分数为什么可以用小数来表示”的道理。这样做，也许是因为考虑到这个年龄段孩子们的认知能力，但这样的定义方法就导致学生可能仅仅知道小数概念的外延，而无法理解引入小数概念的必要性，不能深刻地认识概念的本质。教材除了在教学小数意义时，借助计量单位的十进关系（如长度单位）来帮助学生理解外，讲小数的性质以及在练习中也安排了很多根据十进制计量单位理解小数的实际意义的练习。其实，小数意义的理解要涉及到十进分数，虽然教科书中在前面安排了“分数的初步认识”[2]，但是由于在初步认识阶段，对这些知识的介绍如“蜻蜓点水”、“一带而过”，学生实际上对“分数”的认识很模糊，对小数教学来说，对“什么叫分数”还没弄清楚，所以对用它来定义的小数就不易理解了。
2.分数内容教学中存在的问题。分数是小学数学中的难点和重点，而分数内容的教学效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因为没有帮助学生弄清基本概念，因为数学概念是数学中的核心问题，对它的理解和掌握，关系到学生解决实际问题的能力和逻辑思维能力的培养。事实上，概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。另一方面，概念作为人们反映客观事物本质属性的术语，也是由于人们认识的不断深化而不断发展变化的。例如，分数定义，按人们认识发展的顺序，一般有四种情况。分别是份数定义、商定义、比定义和公理化定义[3]。研究发现，对“分数”内容，教科书上没有处理好分数概念教学的发展性和阶段性之间的矛盾。
考虑到小学生的接受能力，结合儿童认识事物的特点，小学教科书中侧重从分数的“份数定义”[4]、“商定义”[4]、“比定义”[5]这三个层次，分阶段引导学生认识分数，学习分数，运用分数。但是，教科书中存在从“份数定义”向“商定义”和“比定义”过渡过程中处理不够到位、归纳不完整等一些问题，导致学生无法认识概念的本质。
如教科书中，通过样例1和样例2来总结出“分数与除法的互逆关系”，可是例1和例2都是关于等分物体的题，只能代表得出的结论对“等分除法”成立，而对除法的另一种实际应用“包含除法”能否成立还得经过验证。然而，教材中不仅避开了这种情况的讨论，在接下来讲的例3（正好是“包含除法”题）里反而用上了此结论，而得出了另一个结论：“求一个量是另一个量的几分之几，可以用除法计算。[4]”对这样的解释，学生只能认可而无法理解。这直接导致学生对“分数与除法关系”的了解只是停留在表面，没有从根本上知道其内涵，更不能作为分数意义的进一步扩展来理解。这不但局限了分数的价值，还给学生解决分数问题造成阻碍。
三、对“小数”与“分数”数学本质的分析
1“。 小数”的本质。目前，教材一般都从小数与分数的关系着手，利用分数来定义小数。从小数与分数的关系来看，小数确实是分数的一种，十进分数可以写成小数形式，但它并不是小数的本质。从“数系的扩展”角度来看，小数和分数的引入都是计数单位的扩展，即测量和计算以及分物时不能得到整数的结果，就得用更小的计数单位来表示和测量。其中，从整数扩展成小数的具体依据是“十进位值制记数原则”。在整数学习中，计数单位的扩展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十进制计数”，为在建立小数概念、小数大小比较以及小数的运算等方面进行知识迁移提供了基础。因此，小数的本质在于“十进位值制记数法”。
2“。 分数”的本质。事实上，分数是从两种实际意义中产生的，因而具有两种具体意义。一种是由测量而产生（对应的除法为“包含除法”），另一种是由分物体而产生（对应的除法为“等分除法”），还有在理论层面上是由数学发展的需要而产生的（即除法运算得不到整数的结果时需要用新的数来表示）。分数的本质在于“能够表示不能整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然数，a≠0）时，其商是整数；不能整除时，其商就是新的数，我们称它为分数。因此，分数的明确定义，就是两个自然数相除（除数不为0）的商。因而，分数教学就需要尽快从“份数定义”过渡到“商定义”。所谓“份数”定义只是初步认识时的过渡说法，至于“比”定义则是商定义的引申，其价值在于可用它来定量研究两个以上事物在量方面的结构关系。
四、对“小数”定义的对策和对“分数”定义及其教学的建议
1.对“小数”定义的对策。基于前面所提到的问题和以上的探讨，笔者认为可以将整数中十进制计数、位值概念的建立等基本构造思想和扩展长度单位时所用过的定义方法迁移过来定义小数。即当要表示不是整数的数值时，也可以用“把原来计数单位1平均分成10份后得到的每份”来计数。这个新的计数单位用“0.1”来表示，并读作“零点一”，依此类推就可以得到0.01，0.001，……等其他小数单位。
这样，避开分数来定义小数对“分数”教学也有好处。因为教科书中将“分数”的初步认识安排在三年级上册，其目的就是为了建立小数概念，然后分数的系统教学是安排在五年级下册里。这样由于两个阶段相距时间较长（正好两年半），给学生的理解和记忆造成了一定困难。此外，由于分数的“产生和含义”都放在了第二阶段上，所以系统学习时出现了不必要的重复。对概念下定义的过程，是对概念本质特征的一种归纳巩固过程。对于抽象的概念，过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义下得太迟，又使学生的已有知识呈现零乱状态，不能及时地整理和总结，更不利于概念的定型化。
2.对“分数”定义及其教学的建议。笔者认为，关于“分数的认识”教学，既要重视概念的阶段性，又要注意到概念发展的连续性，要有计划地发展概念的含义，按阶段发展学生的抽象概括能力。因此，建议强调“分数与除法的等价性”，讲解更透彻一点，使学生真正认识到“分数与除法可以互逆，可以看作同一种运算”。对上面提出的问题，把例3改成“10只是7只的几倍？”和“7只是10只的几分之几？”的两个小题来，说明“分数与除法的等价性”对包含除法也成立，至于“求一个数是另一个数的几分之几，可以用除法计算”的道理，可以利用它们之间的对称关系来解释如下：“求10只是7只的几倍，就是求10里包含多少个7，所以要算10÷7得多少”。同样，“求7只是10只的几分之几，就是求7里包含多少个10，这里因为7比10小，不能把整个10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在这基础上对除法的两种情况进行全面地归纳，得出结论才符合逻辑，学生也可以接受。而对数学概念不注重引入，只是简单举个例子，找出规律，将概念直接提出来的做法是不科学的，不利于培养学生良好的思维品质。
五、结束语
在小学阶段，分数与小数概念是非常重要的数概念，由于分数与自然数有着较大的差异，学生掌握分数概念比较困难，如果教科书中只是给出了抽象的定义，学生即便是了解了分数和小数的外延，也不一定懂它们的本质，对分数概念的产生、发展、延伸、变化，更没有清楚的认识。因而，在编写教材时，不妨去对潜藏在分数与小数概念中的思想作充分的分析，使得学生掌握概念最核心、最本质的特征。这样，能通过概念教学，让学生把握分数与小数的本质，体会其中的数学思想，从而使得分数与小数的教学取得更好的效果。
[1]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学三年级（下册）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学三年级（上册）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]张奠宙“。 谈小学数学本质”[J].人民教育，2009，（2 ）。
[4]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学五年级（下册）[M].北京：人民教育出版社，2009.
【关键词】《概率论与数理统计》；教学观念；教学方法；实验教学；综合考评
《概率论与数理统计》是研究和揭示随机现象统计规律性的数学学科，它从数量上研究随机现象的统计规律性，广泛应用于经济管理、工程技术、金融、生物、环境、国防等领域，在科学技术与人类实践活动中发挥着越来越大的作用和影响。其理论方法独特、抽象，既有严密的数学基础，又与众多学科有着密切的联系。《概率论与数理统计》的传统教学中，概率论部分占的比重大，偏重计算技巧、推理证明，轻视思想方法、理解能力及应用能力的训练和培养，介绍实用统计方法所占比重小，教学几乎远离了计算机，没有相应统计软件的介绍。目前，《概率论与数理统计》是高等学校多数专业的必修课程，也是难度较大的课程之一，学生在学习和掌握这门课程的过程中普遍感到概念抽象，思维难以开展，问题难以入手，方法难以掌握，题目与实际联系不强，缺乏对此门课的学习兴趣。因此，传统的教学思路必须进行改革，以适应新的形势，提高学生学习《概率论与数理统计》的自觉性和学习兴趣，了解课程与实际的结合点，使学生将学到的知识和思考问题的方法与日益发展的科学技术相结合。为此，建议从以下方面进行探索创新。
一、平衡概率论、数理统计的学时分配
目前应用型本科院校由于注重培养学生的专业技术应用能力而增加专业课的教学时数和增加实践性教学环节，《概率论与数理统计》学时被缩减；《概率论与数理统计》教学的重心偏向于概率论知识，甚至有的专业，在削减学时后，只学概率，而不涉及统计，这显然不符合高校培养高水平应用型人才的目标。事实上，概率论与数理统计课程的主要应用部分在数理统计。因此，在充分保证《概率论与数理统计》学时的基础上，适当地减少概率论部分的理论性和难度，从直观性、易于理解的角度把概率论作为数理统计的基础知识加以介绍。在讲数理统计部分时要注重介绍常用统计方法的思想和原理，增加统计推断、统计预测和统计决策的内容，同时应注重加强学生处理数据的能力。
二、转换教学观念、丰富教学方法
目前《概率论与数理统计》课堂教学中，教师基本上采用给出概念、公式、定理，然后再去解释概念，推导公式，证明定理的教学方式，学生感觉枯燥无味，学习兴趣大大降低。由于《概率论与数理统计》是研究随机现象统规律性的一门随机数学，它与学生们以前所学的数学有着不同的思维方式，教师可以尝试在教学过程中提出一些具有启发性的问题，让学生分析，研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，解决问题。要选用一些学生关注的生活中的实例，运用数学的方法观察和分析这些实例，从实际生活中的事例来创设问题的情境，从而拉近《概率论与数理统计》中理论知识与实际生活的距离。
同时，在教学中采用板书教学与多媒体教学相结合的方式，以节约板书时间，加大信息量，开阔学生知识面。采用多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，使抽象的内容更形象、生动直观，有效地刺激学生的形象思维。提高教学效率、增强学生学习兴趣。
三、突出实验教学、提高学生解决实际问题的能力
传统的《概率论与数理统计》教学中只有习题课，没有数学实验课，这不利于培养学生运用概率论与数理统计思想和方法解决实际问题的能力。随着科学技术的发展和时代的进步，要充分体现“数学来源于实际，同时又应用于实际”的理念，应该尝试增设数学实验课，指导学生运用所学知识和计算机技术，结合学习SPSS和SAS等统计软件的使用方法，分析解决一些实际问题，通过实验教学体系，使学生巩固已经学到的理论知识，培养以定量分析为主的统计思维。
由于概率论与数理统计是一门应用性很强的课程，模型化方法贯穿课程全过程，如古典概型、几何概型、贝努里概型、正态分布、回门分析等。教师还可以将数学建模融入《概率论与数理统计》教学，融入建模思想，把基本知识和应用联系起来，培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。
四、改进考试方式、注重综合考评
考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。《概率论与数理统计》一般采用期末一次性闭卷考试和平时考核相结合的方式，平时考核主要看作业，而学生学习的积极性和对做作业的态度差异性很大，学生的作业也不能真实地反映学生学习的好坏，不能合理地给出平时成绩；期末一次性考试的成绩有较大的随机性，不能很好地反映学生的真实水平。因此传统的考试方式导致学生在学习的过程中为应付考试，把精力过多的花在概念、公式的死记硬背上，而不注重对这门课所学知识在实际中的应用，偏离了人才培养目标，不利于培养学生的创新能力。为此，应对概率与数理统计课程考试方式进行改革，首先，把考核概率论与数理统计的基本知识、基本运算和基本理论与考核利用知识理论解决实际问题相结合；其次，把闭卷考试和开卷考试方式相结合，闭卷考试主要考核记忆、理解的内容，开卷考试主要考核知识理论的应用能力；再次，丰富平时考核方式，平时成绩不仅看作业完成情况，也综合考虑学生考勤情况、课堂参与情况等，综合确定平时成绩。
总之，《概率论与数理统计》教学要适应当前社会经济发展的新情况，符合应用型大学人才培养的目标，调动学生学习的兴趣和热情，提升学生利用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的“数学素质”，为学生的成长打下良好的基础。
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一、 “数与代数”中概念教学内容的分析
1.有关“数”的概念教学内容分析
“数”主要包括数的意义和数的运算[2]。数的概念主要包括整数、小数、分数、百分数、负数等。引入概念是概念教学的第一步，教师应从小学生看得见、摸得着的生活实际入手，合理运用实物、图表等直观教具，采取小学生动手操作等方法，帮助学生获得正确、完整、丰富的直观表象，把抽象的数学知识与学生日常生活中熟悉的、具体的事物联系起来，既易于学生理解，又能激发学生的思维能力和求知欲望。比如，“分数的初步认识”的教学，为了说明是“谁”的几分之几，教师可用不同形状和大小的图形作为教具，把它们分别折出二分之一，既让学生明白什么是二分之一，又知道虽然都是二分之一，却表示不同的大小。为此，教师一定要重点说明是“谁”的二分之一。
教师在数学概念的引入中，必须注重旧知识的铺垫。任何一个数学概念都不是突然出现的，它是从以往概念中逐渐演变而来的。旧概念是新概念的基础和推理依据，新概念是旧概念的深化和延伸。比如，教师可以从整除的概念引出约数和倍数的概念，继而导出公约数及最大公约数的概念等。
2.有关“代数”的概念教学内容分析
代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法[3]。代数早在古代就已经发明了，当算术需要解决大量的各种数量关系问题时，寻求一种更加实用、普遍的方法就成为一条重要途径，通过不懈的追寻和努力，以解方程原理为中心问题的初等代数就应运而生。“数与代数”不仅是小学数学教材的重要内容，而且贯穿于整个数学教学的全过程，是学好数学的基础性工程。“数与代数”通常包含：数与代数的基本概念、数的运算法则、以字母表示数、代数式及其运算、方程和函数等。小学数学教材中，将“式与方程”安排在第二学段，其目的就是要使学生更早地领会字母表示数的意义，并在实际应用中了解等量关系并能用字母来表示这种关系。随着小学生逐步进入更高的年级，其思维水平和理解能力均有不同程度的提高，从以往具体形象思维阶段逐步向抽象逻辑思维阶段发展，对代数知识的认识也会上升到新的高度，同时渗透一定的函数思想，为以后中学数学学习奠定基础。
对于小学生来说，方程一般会透着几分神秘的色彩。因此，小学代数教学必须从最基本的概念入手，再通过简易方程概念的讲解，使小学生明白数学问题也可以通过代数方法来解决[4]。小学阶段一般用算术方法来解决数学计算问题，按照加减乘除四则运算规则，通过数量关系来列出算式。算术方法的基本特征是通过已知数按照一定的数量关系列出算式，经加减乘除运算求出要求的数量。比如：小丽的哥哥和姐姐分别送她几本书，其中哥哥送了她5本，她现在一共有13本书，那么姐姐送她几本呢？如果用算术方法来计算，则可以列出算式：13-5= 。如果用方程来解决，则要设字母X 为姐姐送的书数，通过数量关系可以列出方程：X+5=13。可以看出，算术方法与方程解决问题的思路有区别，算术方法是已知总数和一部分来求另一部分，而方程是用部分加部分等于总体的思路列出等式，将未知数与已知数一起运算来求出X的值。如果要解决的问题较为复杂，那么用方程列等式求解的优势将更为明显。方程的主要特征就是将未知数和已知数同等看待，将未知数用字母表示，这就是代数思维，其与算术思维有着本质区别。
二、 “图形与几何”中概念教学内容的分析
1.有关“平面图形”的概念教学内容分析
在小学数学中，平面图形的概念多数是通过抽象概括而形成的，主要涉及现实生活中的物体形状、大小、位置关系等。由于平面图形概念本身具有复杂性和抽象性等特点，加之小学生接受和理解能力所限，导致学习过程中会存在一定的困难。普遍来看，目前在平面图形概念教学中，通常会存在讲解概念机械照搬、揭示概念内涵不深、分析概念应用不直观等问题，导致学生理解掌握概念比较吃力，灵活应用的差距就更大。因此，在实际教学中，教师应该根据概念本身的特点和学生的认知特点，备课时对课程进行精心设计，上课时对学生进行科学引导。
在平面图形概念的教学中，教师可以提供一些直观教具，使学生更容易理解概念的本质。比如“认识长方形和正方形”中，教师可以以现实生活中的长方形物品做示范，让学生直观感知长方形的特征。到学生动手体验环节时，让学生自己动手做一个长方形，教师可以让学生借助自己做的长方形来观察长方形有四条边、四个角、四个顶点，进一步增强学生感知的效果，使学生能够建立正确的空间观念。当然，在平面几何概念教学时，不应孤立地来教概念，而应将新旧知识联系起来，将课堂知识和实际生活联系起来，通过这种联系的教学思路，引领学生以联系的观点来分析概念、掌握知识、解决问题。
2.有关“立体图形”的概念教学内容分析
小学数学是一门系统性强、枯燥、抽象的学科，尤其是小学所学的立体图形的体积和表面积。由平面图形到立体图形，是小学生空间观念发展中的一次飞跃。但小学生的思维正处在从形象思维向逻辑思维过渡的阶段，他们接纳、理解抽象数学知识的能力有限。因此，立体图形的教学应在平面图形教学的基础上进行拓展，使学生更容易接受。在“长方体和正方体的认识”教学中，在引导学生掌握长方体的基本特征之后，教师可以组织学生进行讨论：长方体相对面为什么相等、相对的棱为什么相等？让学生通过对教具摸一摸、比一比等方式来理解长方体的基本特征。既让学生知道长方体的基本特征，又掌握了相对面的面积为什么相等、相对的棱长度相等等知识。通过这种实践性教学，可以使学生很好地把握“认识”这一关键词的内涵。
在立体图形概念教学过程中，教师应充分利用积木等教具，指导学生先从外在形象上认识事物，在头脑中形成一定的表象，再在此基础上进行概括。有条件的学校，还可以利用多媒体手段来演示，使教学更生动、更直观。比如，让学生拼搭四个正方体积木，看他们能拼出多少种不同的立方体，并从不同的方向和角度观察，探讨各种立方体之间的不同特点，培养学生的空间思维能力和概括能力。教师在组织学生进行实际操作时，要重点处理好两个方面的关系：一是“扶”与“放”。既要“扶”，也就是对学生的操作进行必要的指导，又要“放”，即为学生留出一定的探索时间和空间。能让学生自己操作的就不演示、能让学生自己完成的就不干预、能让学生自己归纳的就不讲解。二是“动”与“静”。所谓“动”，就是操作活动的过程。既要让学生明白要做些什么、怎样做，又要让学生知道想些什么、如何想。所谓“静”，就是活动后的总结归纳过程。通过组织学生进行交流讨论，引导学生把对立体图形的感性认识上升到理性认识。更为重要的是，在“立体图形”的概念教学中，教师给学生的不仅仅是得出教学结论，还有研究学习的方法。
三、 “概率与统计”中概念教学内容的分析
数学课程改革，将概率与统计纳入小学数学教材，并作为一个单独的领域来设置，这一举措在某种程度上具有里程碑意义。因为通过“概率与统计”教学，使小学生能初步了解统计与概率的基本思想和方法，并逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。同时，“概率与统计”教学还让学生知道了随机现象的概念，这对他们建立科学的世界观和方法论有直接影响[5]。小学阶段学习统计的主要内容是画统计图、求平均数。要认识某个随机现象，就可以用到统计的知识。比如，某地区20年来的10月9日的天气记录里有15次是秋高气爽，那么可以通过这一统计结果推测下一年10月9日是晴天的概率有多少。因为前20年10月9日这一天晴天的概率为75%，所以下一年同一天出现晴天的概率大约是75%。由此可见，通过合适的方法收集数据，并从统计学的角度进行分析处理，就可以从看似随机的现象中找到某些规律性的东西。
在小学数学教材中，一般都是将“统计与概率”这两部分内容融合在一起，主要有如下基本功能：一是知道数据在描述、分析、预测和解决日常生活中某些现象与问题的作用及价值；二是学会简单的数据收集、分析、处理的基本方法，并提高利用数据的基本能力；三是会制作简单的统计图表，解读一些随机现象并预测其可能性。比如，100粒种子大约有80粒种子发芽，那么种子的发芽率大约为80%；某产品平均每千件中大约有20件废品，则可以说该产品废品率为2%。由于统计与概率的概念对于小学生来说还有些艰涩，因此在概念教学中应少用些专业术语，而经常用可能性来代替概率这个概念。比如，让学生做20次抛掷硬币的试验，看看正面出现的可能性是多少，再引出概率的概念，如此更能让学生易于接受和理解。
概念的应用是概念学习的最高层次，可以帮助学生在解决一些情境复杂的问题时，使已知概念在头脑中相互作用、融会贯通，反过来又巩固、完善和拓展概念[6]。在学习“统计与概率”的过程中，教师应注重提高学生的能力。比如：组织交流、探讨活动，让学生自己选题，如“同学们每天几点钟睡觉的”，“每天都有多少同学上课发言的”，“同学们喜欢看哪类动画片”，“同学们喜欢什么运动”，“我们最喜爱的课程”，“我们最喜爱的游戏”……之后让学生按选择的题目进行分组，并调查收集相关数据，再用表格归纳整理，制成多种统计图。例如，根据统计图来看，如果喜欢某种运动的同学最多，那么可以根据这个统计结果，组织一次运动比赛，让大家切身体会统计工作的作用，从而加深对这一概念的认识。他们还可以把这些图表制成墙报、手抄报等，使同学们更有成就感。由此可见，“统计与概率”不仅是数学知识，还可以帮助学生提高运用统计和概率进行估算的能力。
综上所述，促进小学生对数学概念的认识和掌握，是小学数学概念教学的根本目的和主要追求。鉴于小学生的整体认知水平和接受能力有限，小学数学教师必须根据小学生的特点和数学概念本身的特点，以科学的、发展的、联系的观点来精心备课和组织教学。要通过多种直观、科学的方法，将教材中的数学概念转化为小学生易于接受的模式，帮助学生在观察、体验、实践和思考中直观了解、深入剖析概念的本质属性，以达到到良好的教学效果。
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【关键词】小学数学教学 难点 对策
前言
从目前小学数学教学情况来看，主要在概念、公式以及计算等方面难度较大，而这三方面也是影响学生数学学习质量最大因素。因此，在实际的小学数学教学中，教师应该对概念、公式以及计算等难点进行细致的分析，结合分析的结果寻求解决措施，进一步提高学生的课堂学习效率，使学生在教师的科学教学下快速的掌握数学知识，提高数学能力，促进学生的长远发展，下面就小学数学教学中的难点及对策进行详细的分析。
1 小学数学教学中的难点分析
1.1 概念
在小学数学教学中，概念教学是其中的一大教学难点，由于概念难度较大，学生无法快速的理解，进而影响到学生的数学学习质量。众所周知，概念是学习数学的基础，学生只有将概念吃懂、吃透，才能利用概念解决相应的数学问题[1]。但是，小学生年龄小，理解能力及认知能力非常有限，学生很难在有限的课堂时间内快速的理解概念，针对于此种情况，教师应结合小学数学概念的特点以及小学生的认知结构采取有效的教学对策，确保学生快速的理解概念，提高数学学习的效果，从而促进学生数学学习上不断的进步。
1.2 公式
公式也是小学数学教学中的难点，公式是计算的基础，学生在计算的过程中，需要应用到公式中的一些原理。因此，公式教学非常重要。但是，小学数学教材中涉及到的公式较多，很多存在着较大的相似性，很多学生没有科学的学习方法，主要采取死记硬背的方式学习，导致学生公式学习效果不佳，同时也影响到学生数学学习的效果，对学生的长远学习非常不利[2]。
1.3 计算
在小学数学教学中，主要涉及到加减乘除计算、四则混合运算、小数计算、分数计算等，其难度较大，尤其是在四则混合运算、小数计算、分数计算中，需要把握一定的计算规则，同时还涉及到借位、分子、分母的问题，导致学生数学学习的难度非常大，甚至很多学生会出现混淆，将各种计算原则弄混，影响到学生数学学习的质量。
2 解决对策分析
鉴于目前在小学数学教学中由于概念、公式以及计算等方面难度较大影响到学生数学学习的积极性及学习的自信心的问题，教师需结合此种情况，采取有效的解决策略，快速的提高学生的数学学习效率，帮助学生快速的突破数学中的难点，以实现最佳的学习效果，下面进行细致的研究。
2.1 概念教学策略
在小学数学教学中，教师应科学的开展概念教学，概念教学是小学数学教学的一大难点，具体教师应做好如下几个方面的工作。①带领学生逐字逐句的对概念进行分析，要求学生吃懂、吃透概念中的每一个字，同时充分的把握概念中各个条件的关系，而这也是学好概念的基础[3]。②引导学生有效的应用概念。学生学习概念的主要目的就是为了更好地应用概念解决实际的数学问题，因此，教师应该结合相应的数学概念为学生设计一些数学问题，鼓励学生积极的解决数学问题，而学生在解决数学问题的过程中实际上就是运用概念的过程，通过有效的实施，能使学生更快的掌握相应的数学概念，从而降低了概念学习的难度，实现了最佳的数学学习效果。
2.2公式教学策略
数学公式是计算的基础，学生只有掌握全面的公式，才能进行充分的数学计算，因此，教师应该科学的开展公式教学。教师应带领学生对所学习的公式进行系统化的梳理，同时在梳理的过程中寻找薄弱的地方，教师再进行针对性的教学，能不断的提高学生的数学公式学习质量[4]。此外，很多数学公式存在着变形的情况，教师应带领学生对每个公式都进行细致的分析，总结公式有几种变形情况，具体的变形要求等，教师通过采取此种方式，能全面的提高小学数学公式教学的质量，进而学生才能充分的利用公式进行数学计算，从而形成良性循环，提高了学生数学学习的效率，有助于学生的长远发展。
2.3 计算教学策略
学生进行数学概念及数学公式的学习实际上都是在为计算做准备。计算是小学数学的重点教学内容，也是学生运用数学知识解决问题的过程，学生只有提高数学计算水平，才能解决生活中的计算问题，例如，购物交易、时间的计算等。教师在开展计算教学的过程中，应帮助学生整理计算的规则，使学生记牢各种计算的规则[5]。例如，在四则混合运算的过程中，学生需要牢记先算括号里的数字，然后计算括号外的数字，在没有括号的情况下，应先算乘除法，后算加减法，学生只有牢记各项计算规则，才能够提高数学计算的水平，确保学生数学学习的有效性，实现学生数学学习上不断的进步。
结论
在小学数学教学中，教师应认识到教学的难点，同时与小学生实际的认知特点进行有效的结合，运用有效的教学策略，使小学生能快速的理解和掌握知识，同时提高学生的数学学习能力，夯实学生的数学基础，使学生能更高质量的完成小学数学学习任务，为学生初中阶段、高中阶段乃至大学阶段的学习做好充分的准备工作，实现学生的长远发展。
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关键词：离散数学；概念；实例；教学方法
离散数学(Discrete Mathematics)，又称为离散数学结构(Discrete Mathematical Structures)，是现代数学的重要分支，整个计算机学科的专业基础课[1-2]，同时也是信息类专业的重要专业课程。离散数学属于专业数学的范畴，研究离散量的结构和相互间的关系， 充分描述了计算机科学离散性的特点。计算机求解的基本模式是：实际问题 Þ 数学建模 Þ 算法设计 Þ 编程实现。离散数学识培养学生运用离散结构作为问题的抽象模型，进而构造算法，解决问题。
1课程特点与教学难点
离散数学的课程内容高度抽象，并且强调证明问题。它的大多数应用来自于计算机科学，学习该课程的学生超过半数来自计算机专业。课程的特点决定了离散数学是一门既讲究基础理论，又注重实际应用的学科。课程特点如下，同时也是教学的难点[3-7]。
1) 内容抽象，概念众多。
离散数学使用数学化的表达方式，理论性强，逻辑严密。对于学生而言，从习惯其表达方式到熟练运用要经历一个较长的过程。离散数学理论表达的基础是大量严密的概念，对概念的理解程度决定了对课程内容的理解程度。大量抽象的概念也是学生学习的主要困难。往往在授课过程中，学生反映对以前的概念不理解，对新学的知识难以接受。学生感觉离散数学越学越难，理论在不断加深。因此要重视对概念的教学。
2) 在后续课程中应用多。
离散数学是计算机学科的专业基础课，所以教学安排在大学低年级，大部分高校从二年级开始离散数学的教学。虽然离散数学在很多后续专业课中有广泛应用，但是在学习离散数学的时候，大部分专业课尚未开课，所以部分学生对离散数学的应用认识不足，学习兴趣不高。因此在离散数学的教学，要特别强调其实际应用性，对抽象的知识要通过实例来具体化，让学生真正看到离散数学在计算机科学中的具体应用。
针对离散数学的基础概念众多而且抽象的特点，为了解决学生因为概念掌握不深入和缺乏实际应用带来的学习困难，我们特别侧重概念教学和应用引入，提出了以实例增强概念理解的教学方法。
2实例化概念教学方法
离散数学的教学目的是提高学生对实际问题的数学本质的表达能力，增强解决实际问题的综合能力。为了克服教学中理论和实际应用结合的困难，既要注重对理论进行细致分析，又要注重引入实际应用。在教学中，如果教师能够对基础概念做重点讲解，使得学生具备建模的基本能力，并通过实例进行强化，那么就能有效地提高教学效果。为了达到上述目标，我们着重对概念的教学进行挖掘，提出了“用实例增强概念理解”的教学方法。该教学法的主要出发点是让学生了解理论如何应用，提高学习兴趣。通过具体实例让基本概念立体化和实用化，强化具体理论细节，通过前后概念的比较形成知识的网络化。
2.1介绍应用背景，提高学生兴趣
在我们对学生的问卷调查中发现，学生对离散数学学习兴趣不高的原因之一是对实际应用背景不够明确。没有相关实际背景的概念仅意味着数学符号，印象不够深刻。针对这个问题，我们认为孤立引入概念的教学形式，不能提高学生的兴趣，不利于理论知识和实际应用的结合。在引入新概念的时候，应该首先介绍其应用背景，让学生对将要学习的知识有直观的认识。
图论是结合实际应用最多的一部分内容，课本中对相关内容的实际应用背景介绍比较丰富。例如哥尼斯堡七桥问题引出了图论的起源，通过漫游问题引出欧拉图和汉密尔顿图，通过地图着色直接介绍着色问题等。因此学生能从课本上了解图论的一些实际应用。在图论的教学中，在介绍完相关概念后，多引入实际问题，引导学生利用图论的知识进行建模，锻炼抽取实际问题的数学实质的能力。
又如，函数是离散数学中集合论的内容。虽然高等数学中也学习过函数，但是离散数学中介绍的函数更加抽象，覆盖面更广。由于这个特点，大部分学生感觉其理论性强，对函数应用的理解不够深入。实际上，函数在计算机科学中非常重要而且应用十分广泛，在课堂教学中应该向学生介绍这部分内容。例如，假设计算机需要存储查询大量的数据，则要确定每个数据的位置。通常，我们建立从存储表到数据编码的散列函数，用到最多的就是模n函数。散列函数在密码学中也被经常使用，如产生数字指纹和其他一些电子资源来验证消息的真实性等。在教学中，通过一些实例建立学生对抽象内容的理解，提高学生的学习兴趣。
2.2讲解新概念，注重老概念
虽然各个概念在教科书中独立出现，但其内容彼此关联。如果在教学中单独讲解新概念，而没有建立新概念与已学知识的联系，那么对学生而言，这些知识点就是一些孤立的片断，无法深入理解其内容。所以在讲解新概念的时候，要加强与已学概念的比较，让学生建立理论体系的完整印象。
例如，“等价”这个概念在数理逻辑和集合论中都出现过，两者本质相同，而定义的方法不一样，教材中没有把这两者联系起来讲解，大部分学生将其视为完全不同的概念。在讲课的过程中，我们通过前后概念的比较和联系，可以对“等价”进行更深入的分析。
数理逻辑研究两个命题公式的等价。“给定两个命题公式 A 和 B，设P1，P2，…， Pn为所有出现于 A 和 B 中的命题变元，若对于P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称 A和B等价，记作 AÛB。”集合论中考虑等价关系。“设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。若∈R，称 x 等价于y，记做 x~y。”学习完等价关系，我们可以在更广义的集合关系范畴内讨论逻辑等价。设R为定义在所有命题公式集合上的关系，∈R当且仅当PÛQ，P，Q为逻辑公式，则很容易验证R是一个等价关系，P~Q。通过这样的比较教学，将数理逻辑和集合论中的两处概念联系在一起讨论，让学生加深了对等价的理论认识，同时也巩固了通过定义关系来讨论问题的方法。
2.3选择实例来阐述概念的理论细节和实际应用
一个新概念的引入，意味着可以用这个新概念来表达实际事物的数学实质，并通过这个新概念来延展对具体问题的建模手段。因此，我们在讲解离散数学中的概念时，不但要阐明其基本含义，更要引导学生使用离散数学的概念来表达实际问题，并从应用中掌握概念定义的具体细节。
以集合论中的二元关系为例。“A和B是任意两个集合，A×B的子集 R 称作A到B的二元关系。 A=B时称R为 A上的二元关系。”这个关系概念确定了A到B的关系R中元素的表达形式：序偶，其中 x∈A，y∈B。对于A上的二元关系，x，y∈A。这里集合A和序偶都是一般性的定义，根据具体问题会有不同的表达形式。在讲课的时候，可以举不同的例子，与学生展开论述具体的表达形式。例如，定义在复数集C上的关系R1，其序偶∈R1，x∈C，y∈C，序偶的具体表达形式可以写成, a, b, c, d∈R。定义在A×A上的关系R2，那么其序偶∈R2，x∈A×A，y∈A×A，序偶的具体表达形式可以写成，u, v, m, n∈A。介绍了上述两种具体关系后，那么考虑计算机中常见的字符串的处理，让学生写出定义在长度为n的字符串集合上的关系R的表达形式，以加深理解。通过对二元关系概念的展开讲解，学生能够较好地掌握如何表达具体的关系，为后续分析问题解决问题打下良好的基础。
2.4实例的选择要切合理论要点，体现实际应用
在讲课时，我们通过实例来加深学生对概念的理解，锻炼学生对问题的数学本质的表达能力。选择合适的实例是实现这一教学目的重要保证。实例要切合概念的理论要点，最好是有实际应用背景，能够通过概念来构造这个实例的数学模型。
在集合论中关系的闭包运算，尤其是传递闭包，在实际中有广泛应用。教科书在介绍这个概念的时候只给出了理论定义，没有给出实际应用的例子。为了加深学生的理解，我们在讲传递闭包之前，增加了通讯网络的应用例子。通讯网络是重要的实际应用模型，其中的一个问题即确定网中两个结点是否相连。
这里，结点相连的问题可以分为两类：第一类是结点直接相连，第二类是结点不直接相连但是经过中间结点相连接。我们可以把通讯网络的连接问题作为关系来处理。回顾已经学过的关系表示方式，无论是集合表示法，关系图，还是关系矩阵，都只能表述第一类结点间的信息，如果需要查找第二类结点，必须经过多步运算来得到结果，从应用的角度来看不够便捷。传递闭包的引入可以解决这个问题。通过这个例子，学生能够更深入理解选择不同关系表达方式的便捷程度，了解传递闭包的具体应用。在接下来介绍闭包运算和性质时，同学们带着问题学习，自然会提高兴趣。
3结语
离散数学的实际教学中往往难以把握如何结合理论与应用的问题。我们通过“用实例增强概念理解”的教学方法，学生通过学习概念背景进一步理解含义，提高数学建模的能力。在对实际问题的建模过程中，学生将自然地使用离散数学的相关概念和理论，对高年级的专业课程学习，起到了很好的促进作用。实际教学效果表明，实例化概念教学方法能有效帮助学生理解抽象概念，同时锻炼了学生把握问题的数学实质的能力，加强了解决实际问题的能力，
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Enhancing Comprehension of Concepts via Real Examples in Discrete Mathematics
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(College of Information Science and Technology, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)
[关键词] 概率统计 独立学院 学生特点 教学
独立学院教学处于二本和专科职业教学之间,学生既需要掌握基础理论知识,又要成为应用型人才,这样应用型本科生的教学就成为独立学院的人才培养和教学改革独有的特色。概率论与数理统计是研究随机现象规律的数学分支,作为一种有力的基本工具,概率论与数理统计不仅仅在基础数学,同时也在数理统计学,工程技术,生物科学,计算机科学,社会科学以及管理科学等领域受到了广泛的关注。它既有理论又有实践,既讲方法又讲动手能力。然而,在该课程的具体教学过程中,由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点,许多学生难以掌握其内容与方法,面对实际问题时更是无所适从。作为独立学院的学生,数学的底子相对薄弱,且不同生源的学生数理基础有较大的差异,因此,概率论与数理统计成为一部分学生的学习障碍。如何上好独立学院的概率统计课,使原本数学基础较差的学生摆脱对数学的恐惧感,学会用数学的思维方式和借助数学工具解决实际问题,是作为一名任课教师必须面对和要解决的。我结合独立学院学生特点以及该课程的特点和培养目标,对课程教学进行了改革和探讨。
一、根据独立学院学生数学基础薄弱的特点精简教学内容,精心设计,采用直观描述法教学
删减一些陈旧的数学知识,抓住知识的主干部分,课程内容力争少而精。数学课时再紧,让学生明确学习目的、认识学习意义、了解课程主要内容与地位、介绍大学数学学习方法的绪论课坚持不减,以帮助学生端正学习动机。同时花心思设计内容,绝不让学生听听不懂的课。《概率论与数理统计》有不少概念和定义的直观性非常强,如果紧靠数学理论来讲解,学生如果缺少知识结构和直观背景的了解,就很难真正掌握这些概念和定义。例如,在讲解“事件的互斥”这一概念,我们可以直观的描述成“你我不同时出现”:对于“事件的对立”这一概念,我们可以直接的描述成“你我针锋相对,天下一分为二,你我共分”。通过这种直观的描述,能帮助学生掌握这一概念的本质含义。
二、根据独立学院学生学习水平参差不齐的特点,实施分层教学
学生学习概率统计的目的不一样:有的学生刚入大学就立下了考研的决心,有的学生只是想毕业后能够顺利地参加工作。因此,教师提供的“服务”自然也应该有所区别。分层教学是根据学生现有的知识,能力水平和潜力倾向把学生科学地分成几组各自水平相近的群体,有区别地制定教学目标,设计不同层次的教学内容,改革教学模式,给予不同层次的辅导,组织不同层次的检测。另外,由于各个专业对概率统计的需求不尽相同,故概率统计的教学内容要体现专业特色,教学内容上尽可能地与相关专业结合起来。在讲授基本知识、基本方法和基本理论的基础上,适当增加一些具有专业特色的应用题。
三、根据独立学院学生缺乏学习兴趣的特点引入案例教学
现在学生喜欢寓教于乐,喜欢参加实践活动。因此,要努力把独立学院概率课程变得实用、有趣,让数学走进学生的生活,让学生喜欢数学。案例教学法是把案例作为一种教学工具,把学生引导到实际问题中去,通过分析与互相讨论,调动学生的主动性和积极性,并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点,在课堂教学中,注意收集经济生活中的实例,如预订机票问题、航空飞机爆炸事故概率问题等,使理论教学与实际案例有机结合起来,使得课堂教学生动清晰。通过案例教学,学生不仅能理解概率统计的思想和方法,而且提高了学生分析问题和解决问题的能力。通过案例教学可以促进学生全面看问题,从数量的角度分析事物的变化规律,使概率统计的思想方法在现实生活中得到应用,发挥其应用的作用。通过案例教学使学生深入其中,能增强学生对知识的理解,提高学生的学习兴趣。
四、根据独立学院学生思维活跃,创新能力强的特点以及培养应用型人才的目标,开设数学建模和数学实验课
正如一些数学教育家所说:学习数学要吃“三个馒头”,前两个是基本概念和法则定理,最后一个是“创造性地解决问题”,西方认为第3个馒头重要,中国则老是吃前两个,但长期缺乏创造性思维的培养在竞争中就会落后。概率统计作为大学的数学教学内容,虽然随着专业的差异,教学内容和教学方法有所不同,但总的看来,也仅仅只能适应当时人才培养对数学的要求。
所谓的数学建模,就是通过调查,收集数据、资料,观察和研究问题固有的特征和内在的规律,抓住问题的主要矛盾,提出假设,经过抽象简化,建立反映实际问题的数学模型,即利用数学知识解决实际问题。在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的研究与实践,将有助于学生学习理论知识,有助于培养学生运用概率统计思想和方法解决实际问题的能力和意识,有助于培养适合现代社会发展的复合型人才。
所谓数学实验,简单的说,就是用计算机代替笔和纸以及人的部分脑力劳动进行科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理等。在概率统计课程中引人数学实验,利用现代计算机技术和数学软件相结合,让学生动手参与课堂教学,在老师的引导下,自主探索结论,自主解决实际问题,这对培养学生学习兴趣,提高学生动手能力和创新思维能力以及增强学生对知识的理解无疑都是很好的举措。因此,要进行概率统计的课程教学改革,那么在课程教学中引入数学实验是很必要的。
五、结束语
概率论与数理统计是一门传统的基础学科,如何教好这门课,如何培养学生的学习兴趣,一直是广大数学教师探索和交流的课题。在目前高等教育大众化的时代,如何因人施教、因势施教,也应该成为广大教师密切关注的问题。随着教学观念的更新,教学手段的优化,师资队伍的加强,独立学院概率统计教学质量也会不断的提高。
参考文献:
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[3]郭文英,董春华.概率论与数理统计与数理统计课程教学改革初探[J].科技情报开发与经济,2007,14(2):226-227.
[4]刘次华,等.概率论与数理统计(第三版).北京:高等教育出版社,2008.
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