【关键词】探究教学；勾股数；案例
一、教学内容与学情分析
本节课主要是对勾股数进行探索，了解勾股数的规律，经历观察、发现、验证勾股数的一组或几组计算公式的探究的过程，注重让学生积极主动参与新知的探索，切身体会知识的发生过程，提高自身数学教学素养.通过探究学习的过程，学生能够体会到分类、类比思想，初步感受科学思维的价值.
对于初二的学生，具体形象思维开始逐步向抽象逻辑思维过渡，探究问题时，能够进行一些思维的探索，在本次活动课之前学生已经学习了勾股定理，对勾股数有了大致的了解，对其规律还没有进行过探究，所以这节课可以说是学生对勾股定理知识体系的完善，对探究式学习的一次较深入的锻炼.
二、案例过程片段呈现与分析
片段一考古学家在考古的时候发现了一块石碑（如图），经过潜心研究临摹发现碑文上实际上是一张部分数据缺损表格.大家看看表格中的数有什么特征？
生：这些数都是勾股数，要想找出缺损的数据，应先研究勾股数的规律.
师：很好！这位同学很快地看出了这些数据的特征.大家接下来想研究什么内容呢？
片断分析开放的情境，立马调动学生的积极性，让学生了解这节课要学习的相关知识点，并会对缺损数据自然留下了一点探索的想法.创设“情境”，调动学生的参与热情的热身.好的“情境”，可以激发学生的参与热情，为调动学生积极参与探究问题埋下了伏笔，笔者在一次赛课时上这节课而言，这样的问题情境设计，很快就吸引了学生的注意力，达到了比较好的效果.数学教学应当需要给学生创设有利于学生再发现、再创造的情境，去激发学生的探究、创造热情.该情境之后，很自然引入下面的环节：
片断二师：什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？
生1：3，4，5；6，8，10；9，12，15；5，12，13.
生2：8，15，17；10，24，26；12，16，20.
师：（板书上面的数组）很好，大家还能写出更多的勾股数吗？
生3：可以，我可以由一组勾股数得到很多组的勾股数.
师：很棒！那你是如何做到的呢？能与大家一起来分享吗？
生3：由3，4，5这组可以再找出：6，8，10；9，12，15；12，16，20等等，就是把3，4，5放大了n（n是正整数）倍以后，仍然是勾股数.
师：很好，非常好的寻找勾股数的方法，也就是说你发现了找勾股数的一组规律.总结成结论呢？
生3：（老师板书）当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数.
就在此时，部分思维积极严谨的学生开始有怀疑了：
生4：你怎么知道当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数？
师：不错哦，这个问题问得非常有水准.生3的发现的规律是否正确，应该要给予理论的证明吧？有哪位同学愿意帮助解决吗？
生5：（证明过程书写略）利用到了整式的性质.
师：一些勾股数之间还有没有其他的规律？你能观察这些写的勾股数并探究其中的规律吗？你会用什么方法来研究呢？
生6：分类谈论.
师：很好，可以小组合作进行研究规律.
片断分析精抛锚，创设探索空间.这个环节，让学生自己积极主动地去写勾股数，给了学生参与活动的空间，同时学生写的勾股数越写越难，想绞尽脑汁的去构造.在巡视完学生写的结果后，展示大家写的结果，又可以自然抛出下一个探究性问题：大家发现越往后越难写出勾股数，勾股数有没有什么规律？你想怎么研究这些写出的勾股数？后面自主研究与小组合作探究相结合这种开放式的探究，给学生充分的探究空间，通过小组的观察讨论，擦出思维的火花，大部分同学在观察数据后，都积极寻找探索方法，经过谈论，会从分类谈论入手，找到规律以后小组很兴奋，会积极地总结自己的发现，并将自己发现的规律用公式表示出来.在这个过程中，老师只是偶尔去指导一下，主要活动操作，都是由学生自己完成，充分让学生参与进了探索的过程.
片断三师：分类研究的分类标准是什么呢？
生：设（a，b，c）为一组勾股数，其中a是这组数中最小的，可以分a是奇数和偶数的情况对上面写出的一些勾股数进行研究.
该片断主要是想让学生理清楚思路，同时也让学生体会到了分类、类比思想在解决问题中的应用.经过学生自主探究与小组合作讨论以后，得到了勾股数多彩的规律计算公式，老师只是将学生得到的另两类公式进行展示：
小组1：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n（n是大于等于2的正整数）时，a=2n，b=n2-1，c=n2+1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
小组2：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n+1（n>1的正整数）时，a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
师：其他小组可以对这两组的发现规律进行理论证明吗？
片断分析在以上的探索过程中，学生充分体现课堂主体的地位，获得到了自主探究与合作交流带来的成功喜悦.同时也体会到了分类思想在研究问题中的运用.活动性课程比较注重学生的参与性与探究性，在教学中，老师应该要放手、留时间让学生去探索，真正实现学生自主探索与小组合作的价值，让学生体验到自主获得知识喜悦.老师只是对学生的探究适时进行指导与启发.
片断四（拓展部分）师：现在你能帮助考古学家将表格中前三组缺损的数据补齐吗？
生1：可以9，12，15；11，60，61；45，60，75.
生2：含9的勾股数还可以是：9，40，41.
师：很好，通过这两位同学的答案，大家有没有什么新的发现？
生：有，含9的勾股数有多组，不知道还有没有其他的含有9的股股数了？
师：这位同学总结得特别好，还提出了一个非常有价值的好问题.大家以小组的形式进行探究含有9的勾股数组，谈谈你的研究方法是什么.
片断分析这一教学环节的设计不仅是对勾股数探索出来的规律加以运用，实际上是给了学生再次创造了探索的空间，学生在填表的时候发现：（9，12，15）是一组含9的勾股数；（9，40，41）是一组含9的勾股数，到了这里，学生发现含9的勾股数不唯一，借此，教师在精心抛出一问：含9的勾股数有几组？你会怎么去探究？
这时学生又有了一个新的探索热情，对于这样多种可能的问题该如何去研究、怎么去找突破口呢？需要学生自主探究与小组合作相结合.老师只需进行适当启发，学生主体的探索精神在本节课中得到充分的培养与体现.
三、反思
【关键词】勾股定理；体验探究；勾股定理的证法；剪切拼图法；风车证法；勾股数组
一、创设思维情境，引出并体验勾股定理
数学教学是师生之间、同学之间交流、互动与共同发展的过程.我们的教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，主动地丰富自己的数学知识和能力。为此，在我的教学过程中将自己所任课的班分成5个研究性学习小组，各组有人负责，并聘请老师参加和指导。
勾股定理是一个古老而有趣的问题，几乎每位同学都知道“勾三股四弦五”这个定理的特例。即若直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长为5，则存在32+42=52这种关系。
在RtABC中，记AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2这种关系呢？为体验这个事实，我们再作些直角三角形，并测量所求结果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精确到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）题，作直角三角形，测量的结果分别是13，4.5，第三题可先作直径为10的半圆，量出弦BC=6，测得b=8，且∠ACB为直角。第（4）题与第三题类同，测得a=7。
体验是“人们存在的方式”，是人的“素质形成与发展的核心环节”，只有让学生在学习过程中不断体验，才会激起学生无休止的好奇心、探索欲和创造力。经过上述反复体验，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b为直角边长，c为斜边长，则：a2+b2=c2。
进而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三边长分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则：ABC为直角三角形。
二、探究勾股定理的证明
老师可提前布置各小组同学，去寻找勾股定理的不同证法和广泛应用。在数学课（或研究课）上，各小组可指派代表发言和演示，给出他们研究和探索的结果，经过师生互相交流，大家对勾股定理的证明和应用全面认识和深刻的理解。总结各小组的证法如下：
证法一：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图1）如大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，则有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
证法二：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图2），则：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
证法三：将并排的两个正方形进行割补（如图3）将剪掉的标有1、2、3的三角形填补，在大正方形的1、2、3处。由面积等式，则：a2+b2=c2
证法四：利用射影定理证明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD・AB，BC2=DB・AB
AC2+BC2=AD・AB+DB・AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面给出比较著名的两个证法――证法五（如图4）和证法六（如图5）
在图4中，因为分割长直角边上的正方形，使其形如风车，所以这一方法称为“风车证法”。“风车证法”的剪拼步骤如下（如图6）：
作正方形的中心O；
过O做直线垂直AB交正方形的两边与M、N；
过O做直线垂直MN交正方形的另外两边与P、Q；
沿线段MN、PQ剪开即可。
至于为什么MN要垂直AB，我可以从平移变换的角度来考虑。简单的说，那是因为四边形BMOP经平移变为GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在众多剪拼方法和证明方法中，有的人还提出了一些不够直观甚至是错误的方法，对于这些方法也不要轻易放弃，教师要珍重每位同学构思出来的方法。即使做法和结论是错误的，我们也要找出错误的原因，从中吸取经验和受到启发。要通过观察、思考、动手试验等过程引导学生不断探究新的数学内容和数学方法。
三、勾股数组
我们把满足x2+y2=z2的三个正整数x、y、z叫勾股数。（x、y、z）叫做勾股数组。如果（x，y，z）=1，则这样的勾股数组叫做基本勾股数组。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股数组，而（6，8，10）不是基本勾股数组.容易看出，若（x，y，z）是一个基本勾股数组，则（kx、ky，kz）都是勾股数组。
我们把边长为勾股数的三角形叫做勾股三角形。这里我们又得到另一个应用。
定理：勾股三角形的内切圆的半径一定是整数.
证明：设RtABC的内切圆半径为r，则r=■
由于勾股数a、b、c不能同时为奇数，所以a+b-c为偶数，从而r为整数。
许多数学问题规律性很强，我们总希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股数组，这里将我们师生探究勾股数得到的结论给出来。设Rt的直角边长为x，y，斜边长为z，且n，s，t都是正整数，则勾股数组有两类：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
从表中我们发现，第一类勾股数满足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二类勾股数组不是基本的，但它对第一类给以补充。我们还发现许多有趣的结论，如：x，y，z不可能都是奇数，它们中可以有一个偶数或全部是偶数。再如：（x，y，z）是基本勾股数组，则x，y中必有一个能被3整除，等等。
在勾股定理的学习过程中，给我们带来的启示很多，首先是这个古老问题有探究不尽的课题。它的不同证法，广泛的应用以及勾股数的趣味性给我们拓宽了眼界，打通了思路，不仅是对知识的传承，更多的是激发了我们师生对数学产生了浓厚的兴趣，获得更多更好的数学知识和数学方法，提高了空间想象能力和创造性思维。
【参考文献】
一、逻辑推理与实际应用是数学学习动机
数学发展的历史包括两种典型的数学文化:一种是重视逻辑推理的希腊数学文化,一种是重视实际应用的中国数学文化.
数学史家将古希腊数学按时间分期:第一期从公元前600年到前323年;第二期从公元前323年到前30年,也称亚历山大前期;第三期从公元前30年到公元600年,也称亚历山大后期[3].前两个时期,希腊数学文化认为,数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性,论证数学成为数学研究的主流,几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想,即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”,古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统,算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响,论证数学不再盛行,如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置,如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来,逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想,即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化,数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质,逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本,是上述两种理想中最本质的思想,并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.
中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题,而实际问题是层出不穷的,因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验,甚至还有所发展,如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成,用数学知识解决实际问题成为算学的理想,即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的定义,因此它是中国古代数学发展的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.
所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机,按动机的分类它们属于驱力,是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程,可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出:人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来,即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.
从实际情况出发,逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式,如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢;而实际应用也是大家十分感兴趣的,如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.
综上所述,逻辑推理与实际应用是数学学习动机,且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的,也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.
古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进,他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想,公理化思想是逻辑推理思想的发展.
算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志,但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题,算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想,且算法程序化思想是实际应用思想的发展.
随着数学发展,公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中,成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素,而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机,但适宜群体明显要少得多.数学发展至今,数学本身的文化区域性特点淡薄了,希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力——逻辑推理与实际应用思想,早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.
二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养
教材是教学中最重要的用书之一,是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本着作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.
因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中,所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性,选择它们共有的内容,且知识体系完备,预备知识基本一致,学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面,但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6],以第18章第1节勾股定理内容为标准,选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系,利用已知命题证明未知命题,且命题后没有辅助理解该命题的习题,所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时,预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容,故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48,第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远,因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容,所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.
1.各种教材中勾股定理的内容
(1)编写目的
《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(下简称为《标准》)中勾股定理的教学要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准,但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题,即在直角三角形中,两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远,解决实际生活的问题.
(2)知识框架
初中教材通过生活发现与几何直观探索,建立从实际到理论再到实际的知识体系,并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理,建立从理论到理论纯几何形式的知识体系,重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”,建立从理论到实际的应用知识体系,旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的导入分为两部分,分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响,它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么《几何原本》的勾股定理以命题形式给出:在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出:勾股各自乘,并,而开方除之,即弦[8].3者对比,初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上;《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上;而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务,它们之间存在一定差异.
(5)定理证明
初中教材利用我国古代赵爽的弦图(如图1、图2、图3),通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]:
赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下:案弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].
两种解释代表两种证明思想,赵爽弦图及其证明方法未成最终定论.初中教材选择历史上的数学作为定理证明既应符合历史,又应符合学生认知习惯.图形旋转是否是赵爽的弦图思想,是否符合学生对一般几何问题证明的思维形式,仍需再斟酌.
一、让思维之河自然地流淌
夸美纽斯说：“凡是强迫孩子们去学习功课的人，他们便是给了孩子们很大的损害。假如一个人没有食欲，却又被迫去吃食物，结果只能是疾病与呕吐，至少是不消化、不痛快。反之，假如一个人饿了，他就急于要吃食物，立刻可以把食物加以消化，容易把他变成血肉。”知识的获得在于求知的欲望，这是不能够强迫的。我们要应用一切可能的方式把孩子们的求知与求学的欲望激发起来。方法要能够激起求知的欲望，必须来得自然。“因为凡是自然的事情就都无需强迫”。水往山下流是用不着强迫的。
例如，在教学苏科版《数学》八上“勾股定理”时，我进行了如下尝试。
八年级是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维的转变时期，所以可以说，勾股定理的教学也处于学生思维转折阶段。勾股定理的教学一直是初中数学教学的难点，主要表现在以下两点：一是怎样让学生“自然地”发现勾股定理，体验知识的形成过程；二是怎样让学生比较“自然地”找到证明方法，感受几何论证的严谨性。
探究勾股定理的方法是利用如下方格纸（图1、图2）进行探究。
首先让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来的。而直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形面积。其中正方形A、B的面积容易求出，而斜边上正方形C面积的计算有一定的困难。
一种常用的方法是“割”，如图3、图4所示。
上述在方格纸上运用内割法或外补法求斜边上正方形面积（七下：从面积到乘法公式）的活动蕴含了勾股定理的证明思路，由图5可得：c=（a-b）+4ab，由图7可得：（a+b）=c+4ab，化简之后就得到a+b=c。因此，利用方格纸探究可以帮助学生较顺利地猜出直角三角形三边的关系，从而水到渠成地获得定理的证明，使勾股定理的学习一气呵成。
我们必须深刻意识到利用方格纸不仅能让学生很容易地猜出勾股定理，而且能自然地启发学生证明勾股定理的思路。因此，在证明勾股定理的教学环节，不应该另辟蹊径：如直接向学生介绍勾股定理的多种证法，或采用前述拼图的方法，等等，而使得勾股定理的教学没有达到应有的目的，错失了培养学生各种能力的机会。
二、让知识网络自然地建构
自然在它的形成进程中是从普遍到特殊的。比如：一只鸟儿要从一个鸟卵产生出来，先形成的并不是鸟头、一只鸟眼、一根鸟毛或一只鸟爪，而是按照下列程序：整个鸟卵得到了温暖；温暖产生运动，这种运动生出一个血脉系统，这就构成了一只整个的鸟儿的轮廓（划分了将要变成鸟头、鸟翼、鸟足等各部分）。这个轮廓没有完成以前，个别部分是不会先完成的。
一个艺术家把这种情形当做他的模范。他并不开始就画一只耳朵、一只眼睛、一个鼻子或一张嘴，而是先用木炭勾出一个面孔或全身的轮廓。如果他觉得这个轮廓类似原来的形状，他才用笔轻轻勾画，一切细枝末节仍旧省略不画。最后他才加上光与影，用种种颜色把各部分仔细画完全。
由此可见，老师在教学的一个模块或一个单元之前，也应该引导学生对整章有一个整体的认识，把整个知识领域的一般轮廓放在学生跟前，从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，努力形成知识网络，学生应当学到研究数学一般的基本原则和方法。
例如，在教学苏科版《数学》八上“平行四边形探究”时，我进行了如下尝试。
问题：类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”研究的问题、过程和方法吗？
【设计意图】通过类比，先让学生对本章内容有一个整体认识，在后续研究中能“见木见林”，给学生提供基本思想方法，从而增强学习主动性。
通过归纳得到：
四边形的定义（概念，组成要素，对角线等相关元素）。
进而得到：
四边形的基本性质（内角和、外角和等）；
四边形的全等（暂时不研究）；
特殊四边形的研究，也可以按角的特殊、边的特殊分类，研究的基本内容也是性质、判定、大小度量等；
相似四边形（暂时不研究）。
师生总结：
边的特殊性，可以从“大小关系”和“位置关系”两个角度入手。如果两组对边分别相等，从直观上就可以发现，这样的四边形具有中心对称性，对称中心就是对角线的交点，而且由全等三角形易得两对对角分别相等；再结合平行线的性质，容易得到它的两组对边分别互相平行。这就是我们要研究的平行四边形，研究的基本内容也是性质和判定。研究“性质”，就是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；研究“判定”，就是考察具备什么条件的四边形才是平行四边形。
在平行四边形中，还可以进一步研究特殊的平行四边形：角的特殊――矩形；边的特殊――菱形；边角都特殊――正方形。
【关 键 词】 遵循“本心”;顺应规律;尚德理念;
【作者简介】 陈洁，江苏省苏州市相城实验中学，中学一级，研究方向：尚德数学教学与数学运用理论。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015） 07-0070-04
《数学课程标准》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在理解数学的同时在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展。” 江苏省苏州市相城实验中学（简称我校，下文同）“尚德课堂”的核心理念是“遵循本心，顺乎自然”，即顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特路径去设计数学课堂。基于这样的理念和要求，笔者在设计《勾股定理的应用》这节课时，力求遵循“本心”自主探究，渐渐达成勾股定理知识与经验的巩固与深化。教学设计从学生的认知规律出发，由简单到复杂，层层深入，较好地实现了在“尚德课堂”中要深化、升华的教学目标。
一、顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础
“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现，故又称为“商高定理”。三国时期，蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中，对勾股定理作出了详细的注释。可以说，“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系，是重要的几何定理，也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是：（1）能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题;（2）学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前，学生已经准确地理解了勾股定理，并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中，已知任意两边可以求出第三边;利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以，教学时笔者就从基础知识巩固开始――
师：我们已经学习了勾股定理，知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，请同学说一下。
生：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是，从发展的“本心”看，学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽;相关复杂条件下的探究能力还没有形成;分类讨论思想，特别是抽象思维训练还有待加强。因此，笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。
“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时，本着顺应学生的发展“本心”出发，尽量让问题解决生活化、情境化，让学生由浅入深，渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化？尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣，学生才能阳光乐观、踏实坚定，才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后，笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”，以积累学生问题解决的经验。
师：有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，相距8m，一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C，至少飞行多少米？这个问题可以转化为怎样的数学问题？
生：两点之间线段最短。
师：树可以看成线段，树和地面是垂直的，小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢？怎么求AC？
生：过C作CD垂直于AB，构造直角三角形。
师：我们看升旗的问题。下垂时，绳子刚好接触地面，求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的？
生：绳子的长度不变。
师：如何转化成数学问题呢？
生：标上字母，顶点为A， 2米处为D，构造直角三角形。设旗杆高度为x米，则AD=（x-2）米。
师：很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x，然后利用勾股定理建立方程，解决问题。
师：第三个游泳问题， BC=200米， AC=520米，求河宽即AB的长。
生：可以构造直角三角形。（如图）
师：有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。
生：520和200的比值是13比5，所以另一条是12，回过去就是480。
师：正好借此就会复习常用的勾股数
生：3，4，5;5，12，13，;6，8，10;7，24，25;9，40，41;8，15，17。
师：我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子，如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。
第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法：构造直角三角形，同学们几乎都会回答，一开始的引导也比较到位，“树木和数学里的什么概念可以联系起来”，“最短距离就是数学中的什么概念？”等等，一下就把学生带到了数学几何的宫殿里，学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”，还有就是会用方程的思想来解决问题，学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题，蕴含了很重要的计算技巧，在合理的引导下，学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇，而且印象深刻，从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了！
顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础。教学时，笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始，引导学生将单调的勾股定理原理，转化为生活中的实际问题，即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境，使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后，笔者对学生说：“如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形;如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。”这样，通过勾股定理的一般应用，学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题，在巩固“常用的勾股数”的同时，学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。
从“尚德理念”出发设计课堂教学环节，立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材，让教学内容充满趣味性和吸引力。这样，更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。
二、顺应习得规律，有序开展应用探究
在尚德教育体系中，数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬，但前提是数学学习要顺应知识习得规律，在基于生活问题解决过程中，要有序地开展应用探究，这样，数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。
当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后，笔者推出了下面这个内容――
师：我们看4题，壁虎要从B处爬台阶，到A处吃食物，这只壁虎请怎样做，才是聪明的呢？请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。
生：（作图如下）。
笔者将这个台阶展开来，变成一个长方形。
师：这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题？
生：AB2=202+（9+6）2，AB=25。
师：转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题（如图），长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则图中在表面上A到B的最短距离为______。
师：吕云天，你想到了几种爬法？
生：2种。
（师：请上黑板画出来。
（吕云天上黑板画图）
师：还有可以补充的吗？
师：刘诗睿请上黑板进行补画。
（刘诗睿上黑板画图）
师：计算三种不同情况的不同结果，并分为三种情况进行比较。
①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3+4=7，BC=5，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=74
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3，BC=5+4=9，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=90
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=5+3=8，BC=4，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=80
通过比较发现， A到B的最短距离是 74。
师：我们看第6题，细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么？请同学上黑板画图并解决问题。
（郁思杰上黑板完成。 AA’=8，A’B’=6）
师：邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。
生：把四个面全部展开，标上长和宽，连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短，AB’= 82 +62 =10 。
师：看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
（2）当AB=4， BC=4， CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。
生：前右或者前上（学生作画，如下）
师：如果每个面都是正方形，它爬的路程怎样？
生：一样的。
师：但第2小题里说是长方体，情况怎样？
生：不一样。
师：利用勾股定理计算一下AC和AC’， 利用勾股定 AC=89 ，AC’=97，AC< AC’，所以从前面的面爬到右面到C比较近。
为什么要这样设计？因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时，例题难度只有层层深入，才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。 例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中，在笔者的正确引导下，学生的思维进入正轨，没有胡乱思考，考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论，大部分学生能想出2种情况，也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来，因为有的同学所认为的不同，其实有可能是相同的情况，只是观察思考的角度不同而已。这样，我们讨论后，归纳出有3种不同情况。这样，更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。
这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节，从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶，然后细线绕长方体一圈，让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形，只是展开后的情形是不同的。而从例5开始，渐渐增加问题解决的难度，让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以，例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度，以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心，不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难，循序渐进，从而走进尚德课堂教学境界。这节课，在学生研究每个题目时，笔者只是起到穿针引线的作用，主要让学生自己思考研究，自己画图并解决问题。这样，每个学生都成为“尚德课堂”的参与者，他们自由讨论，自由交流，自主建构着开放式的勾股定理应用模型。
尚德课堂崇尚“遵行本心，顺乎自然”的理念。在教学时，笔者也预设了可能出现的问题，以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正，这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐，学生也是极其快乐。由于教师不加限制，学生的思维可以无限的展开，从而主动建构自己的运用模型，增强了学生运用勾股定理的自信心。
由于所教班级中女生较多，而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时，其中有一个女生上来修改了3次，但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定，这样他们才会越来越有自信！我们的核心理念“顺其自然，合乎本心”，这与数学课程的设计理念，教学方式真是不谋而合！学生在探究过程中，为什么会出现这种问题？如果在课前准备好一个长方体模型，在课堂上适时展开，这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况，可能更符合学生的认知情况，也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。
基于“尚德理念”的“勾股定理的应用”教学，既复习了勾股定理原理及常用的勾股数，又通过运用提高了学生解决现实问题的能力，这对于如何培养学生的解题速度和能力是非常有意义的。只要教师“遵循本心，顺乎自然”，加强正确引导，既不满堂灌，也不过于放手，学生的思维才能如一列火车一样在方向正确的轨道上行驶。
参考文献：
[1] 季国栋.关于“数学规定”的理性思考与实践[J].课程・教材・教法，2014，（5）..
[2] 翁永兴.尚德理念：传统精神与现代追求的交融――关于苏州相城区实验中学“尚德”内涵的理解[J].江苏教育研究，2014，（8A）.
关键词：勾股定理 应用 证明 代数
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、数学史上的勾股定理
1．1勾股定理的来源
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。
1．2最早的勾股定理应用
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。
1．3在代数研究上取得的成就
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则，用代数方法很容易证明这一结论。由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。
2、勾股定理的一些运用
2．1在数学中的运用
勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误。为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考。
2．1．1错在思维定势
例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长。
错解：设第三条边的长为a，则由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三条边的长是13。
剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解。
正解：设第三条边的长为，（1）若第三边是斜边，同上可求得=13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，故第三条边的长是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等
农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。木匠先是量出一个对边相等的四边形，这样就保证这个四边形是平行四边形，为了再使它是矩形，木匠就在临边上分别量出30公分、40公分的两段线段，然后再调整的另外两个断点间的距离使他们的距离成50公分即可。在这个过程中，木匠实际上即用到了平行四边形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力，怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。
看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！
3、对勾股定理的一些建议
3．1掌握勾股定理，利用拼图法验证勾股定理；
经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。拼图的过导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。
3．2发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展，但是，除院校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力，例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求，所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究体会数形结合思想，激发探索热情。回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高。
3．3能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提高数学应用能力；
勾股定理及其逆定理是中学数学中几个重要的定理之一，在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。所谓逆定理，就是通过定理的结论来推出条件，也就是如果三角形的三边满足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.这个定理很重要，常常用来判断三角形的形状.它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解决实际问题中得到广泛应用，勾股定理的逆定理常与三角形的内角和、三角形的面积等知识综合在一起进行考查.对于初学勾股定理及其逆定理的学生来说，由于知识、方法不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.下面针对具体失误的原因，配合相关习题进行分析、说明其易错点，希望帮助同学们避免错误，走出误区。
4、小结
总体来说，勾股定理的应用非常广泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的内容，初步学会用它进行有关的计算、作图和证明。应用主要包括：
1、勾股定理在几何计算和证明的应用：（1）已知直角三角形任两边求第三边。（2）利用勾股定理作图。（3）利用勾股定理证明。（4）供选用例题。
2、在代数中的应用：勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的应用：工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车、农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.。利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理。
参考文献：
[1]郁祖权．中国古算解题[M]．北京.科学出版社，2004．
[2]周髀算经[M]．文物出版社．1980年3月，据宋代嘉定六年本影印．
[3]杨通刚．勾股定理源与流[J]．中学生理科月刊，1997年Z1期．
[4]张维忠．多元文化下的勾股定理[J]．数学教育学报，2004年04期．
[5]朱哲．基于数学史的数学教育现代化研究[D]．浙江师范大学，2004年．
摘要：勾股定理是初中数学中一个重要而有趣的定理. 勾股定理的发现导致了上千年的证明热潮，这反映出了它的无穷魅力. 观察、实验、归纳是发现勾股定理经历的过程；不断构造几何图形来证明勾股定理是人类智慧的体现. 毕达哥拉斯、欧几里得、赵爽、华罗庚等无数的数学天才照耀着勾股定理，使勾股定理影响深远. 在中学阶段，勾股定理是一个数形结合的完美例子，也是一个应用广泛的定理.
关键词：勾股定理；毕达哥拉斯；历史；弦图；探索
勾股定理是初中数学一个重要而有趣的定理. 之所以重要，在于定理本身是用代数式刻画几何关系，是数形结合的完美体现，定理也有着广泛的运用，是解决许多问题的工具. 勾股定理的发现源于毕达哥拉斯学派，其证明丰富多彩充满魅力. 对于这样一个有着特殊知识内涵，又有悠久历史内涵的定理，如何学才能既掌握定理本身，又能体验数学的无穷魅力，甚至尝试发现定理的成功，都是值得认真思量的事情.
在义务教育标准试验教科书中，《探索勾股定理》是放在《特殊三角形》一章的，作为特殊三角形之一的直角三角形的性质出现. 学生已经学习了三角形、全等三角形、等腰三角形以及直角三角形，也有了多种的研究方法（证明全等、计算面积等），为发现勾股定理提供了经验，也为理论证明勾股定理做好了铺垫.
本节课还有一个“历史”的使命，就是其本身蕴涵的丰富历史见证了数学不断发展超越的历程，是学生了解数学史的大好机会，同时对提高学习数学的热情也大有裨益. 因此，“探索”勾股定理的来龙去脉是本节课的明线，而勾股定理的发展史则是一条暗线，相辅相成，共同演绎这一精彩的“千古第一定理”.
[⇩]探索定理
探索什么样的关系？
结合自然现象研究，台风过后，街道上一片狼藉，随处可见折断的树枝. 设想情景：折断的大树，竖立部分高4 m，树尖到树根距离3 m，你知道折断前树的高度吗？
[4 m][3 m]
图1
如何探索三边的关系？
在上例的实际问题中，要得到第三边的长度，可以通过测量的办法. 在数千年的数学发展史上，我们有无数的知识都是通过实际操作得到，再加以理论化的，勾股定理正是如此. 我们可以分组画出给定两边长的直角三角形，再测量第三边的长度，从而根据三边的数据猜测边之间满足的关系. 为了使所得数据更清晰地反映这种关系，我们可以设计一些特殊的值.
[直角边a\&直角边b\&斜边c\&猜想关系\&结论\&3\&4\&\& 32+42…\&\&\&12\&13\&\&…\&\&\&\&]
三边具有什么样的关系？
勾股定理具有十分悠久的历史，是人类智慧的结晶，当然也体现了古人对真理孜孜不倦的追求. 勾股定理的发现，以及上千年来持续不断的证明热潮，正是它的无穷魅力的体现，学习勾股定理，也要学习这段历史，学习这份热情.
历史1：为什么叫毕达哥拉斯定理？
[H][M][B][A][G][C][D][E][32+42=52]
图2
在国际数学界，勾股定理往往被称为“毕达哥拉斯定理”，源于定理是该学派的一个重要发现，其发现过程与我们探索过程有异曲同工之妙，它利用地板的面积，巧妙地得到了结论，由此加以推广，这就是著名的AC2+BA2=BC2.
把刚才测量的数据代入，可以看到它们都能很好地满足这种关系，我们还可以用数学工具“几何画板”来验证：无论如何运动A，B两点，即改变直角三角形三边的长度，他们始终满足这种关系.
实践、观察、归纳，是一个重要而普遍的数学方法. 勾股定理的探索，我们既有特殊数据的测量，又有运动变化的验证，从而得出的结论就深刻地体现了这种理念. 当然，这个方法还有最后一步，也是最重要的一步，就是验证――用理论证明结论.
[⇩]证明定理
历史2：为什么叫勾股定理？
前面提到，国际上把该定理称为毕达哥拉斯定理，而中国则一直把它称为勾股定理，这是为什么呢？原来，在中华民族的悠久历史上，早就有对勾股定理的研究，它是我们古人数学研究的璀璨成果中的一颗闪亮的明星. 尤其是赵爽的“弦图”，更是该定理一个无与伦比的诠释，也是我们将之称为“勾股定理”的缘由.
[C][D][E][A][B][弦（c）][勾（a）][股（b）]
图4
容易得到，正方形ABDE的面积为c2.
再拼成的四个三角形面积与中间小正方形面积之和4×ab+（b－a）2=a2+b2.
即是a2+b2=c2.
勾股定理的证明是妙不可言的. 首先，它是对猜测、归纳得到的结论的严格论证，使之成为真正意义上的“定理”，反面的例子是著名的哥德巴赫猜想，虽然计算机验证到了非常大的数，陈景润也无限地接近了，但面对缺少严格证明的现实，我们终究只能把它叫做“猜想”，因为数学，只有严密！其次，勾股定理本身是代数与几何的完美结合，包含了数学的统一美，而定理证明的过程体现了这一思想，用正方形（几何）的面积，得到等式（代数）. 另外，构图的方法也开启了证明勾股定理的先河.
历史3：延续了上千年的证明热潮！
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单且实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下面介绍几种著名的方法：
1. 毕达哥拉斯的证明.
大正方形面积：c2+4×ab=c2+2ab=（a+b）2=a2+2ab+b2，
化简即得.
[a][b][a][b][c][c][c][c][b][a][a][b]
[a][b][c][b][a][a][c][b][b][a]
图5
2. 美国总统Garfield的证明.
梯形的面积：（a＋b）（a＋b）=2×・ab+c2，
化简即得.
[a][b][b][c][c][a]
图6
3. 欧几里得的证明.
容易证明ACE≌AIB.
又S正方形ACHI＝2×SAIB，S长方形AEFG＝2×SACE，
所以S正方形ACHI＝S长方形AEFG .
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同理，以BC为边的正方形面积＝S长方形BDFG .
相加得AC2+BC2＝AB2.
[H][I][C][B][G][A][E][F][D]
图7
4. 利用射影定理证明.
在RtACB中，作高CD，则由射影定理得
AC2=AB・AD，
BC2=AB・BD，
[A][D][B][C]
图8
相加得AC2+BC2=AB・AD+AB・BD=AB（AD＋BD）＝AB2.
[⇩]实践运用定理
当希帕斯提出既不是整数又不是分数的时候，震惊了当时的学界，这标志着“万物皆可数”的缺憾，同时也发现了新的数――无理数，史称“第一次数学危机”. 事实证明，一次危机就是一次机会，当危机出现的时候，数学已经向前跨越了一大步. 勾股定理也与无理数有着千丝万缕的联系. 试想一个直角三角形两直角边长都是1，那么斜边呢？正是！
从勾股定理的代数表达式看，a2+b2=c2是一个等式，如果知道了其中的一些量，那么就可以求出其他的量，也就是一个方程. 这是一种解决数学问题的有用的方法和思想. 在《九章算术》中就记载了这么一个问题.
如图9，一竖直芦苇露出水面1尺，被风吹动后倾斜，且苇尖刚好到达水面，已知芦苇水平移动距离是5尺，问水深及芦苇长度.
[1尺][5尺]
图9
分析可设水深x尺，则芦苇长（x＋1）尺，正好构成一个直角三角形，得等式（方程）
x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，即水深12尺，芦苇长13尺.
无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学. 毕达哥拉斯说，我相信，数学是我们信仰永恒的与严格真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知世界的主要根源. 思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实，很自然地可以再进一步论证，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象. 诚如所言，人们发现勾股定理的灵感来自于直观的感受，而证明过程即是思想的火花.
追寻勾股定理的千年历程，也是世界发展的一部历史. 例如在欧洲的大航海时代，毕达哥拉斯学派中最朴实、却也最灿烂的成就――勾股定理一样起了巨大作用. 一方面，航海者的安身立命之本，另一方面，在航海者对付土著的三大法宝――火炮、《圣经》和科学技术中，起到推动作用的，亦有勾股定理. 而大航海时代又恰恰是第一、二次工业革命和现代社会的开端，多么惊人地巧合. 值得一提的是，勾股定理也被认为是测试一个种族是否有智能的条件，中国著名数学家华罗庚建议，用一幅数形关系图作为与外星“人”交谈的语言. 这幅图中有三个大小不同的正方形，它们又相互连结围成一个三角形. 三个正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每条边上小方格的个数，与这条边长度的数字相等. 两个小正方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大正方形的小方格数，即勾股定理.
关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
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