一、“问题链式专题复习学案”教学的具体内涵
“问题链”指的是被系统设计的一系列问题，“学案”指的是教师依据学生认知水平，为指导学生主动探究知识而编制的学习方案，这两者的结合，就形成了“问题链式专题学案”。因为专题教学具有明显的系统性特征，因此，“问题链式专题学案”被广泛应用于复习课中，产生了较大影响。由此可以看出，这一教学模式正在日益引起人们的重视。
二、“问题链式专题复习学案”教学在初三化学课堂的应用
（一）划分专题
划分专题是“问题链式专题复习学案”教学的第一步，正所谓：“好的开端是成功的一半。”能否科学划分专题，将直接影响到“问题链式专题复习学案”教学的最终成败。教师进行专题划分时，应当遵循知识技能梳理与学习能力培养相互结合的原则。
一般来说，按照人教版教材编写内容，可以将初三化学划分为六大专题，分别是化学基本概念与基本理论、常见化学物质、化学与生活、化学计算、化学实验和综合应用。每一专题还需要进行细致划分，例如，常见化学实验专题可以继续划分为试管的使用、酒精灯的使用、烧杯的使用这样的子专题，试管的使用可以划分为气体发生和收集装置、物质的性质装置、气体的净化和检验装置等小专题。每一小专题大约用1～2课时，具体可以根据学生接受能力和复习进度适当进行调整。
除了按照教材编写内容进行专题划分之外，教师还可以结合中考热点话题和社会热点话题进行专题划分。例如，根据里约奥运会、嫦娥五号月球探测器为题材分别划分专题。当前中考越来越注重考查学生运用化学眼光审视生活问题和社会热点问题的能力，加强此方面专题划分的教学研究，对于决胜中考具有重要意义。
（二）明确学习目标
学习目标是学生复习的方向，可以促使学生在任务的驱使下有针对性地进行相关学习。课程标准提出知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维教学目标，“问题链式专题复习学案”学习目标也可以根据这三个目标，依次进行制定。
以试管的使用专题复习目标确定为例，教师可以制定如下学习目标：
（1）知识与技能：复习试管使用的注意事项；整理常见实验室装置类型，以表格形式展现，了解实验室装置的选择原则。
（2）过程与方法：学会分析、讨论和总结，了解实验室装置选择的一般规律；培养科学严谨的实验态度，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
（3）情感态度与价值观：在合作探究过程中，培养团队意识和集体主义观念。
（三）设计系列问题
“问题链”的形成是“问题链式专题复习学案”教学的精华所在，教师设计问题的能力反映了自身执教水平。通过系列问题的设计，学生得以梳理本专题需要掌握的知识点，完成自主建构过程。教师可以在学案中提出问题，要求学生课前预习。这样做不仅帮助学生回顾本专题重点知识点，还可以让他们带着问题去复习，对于学习能力较弱的学生而言尤为适用。
在试管的使用一节专题复习过程中，教师可以设计这样的
问题：
（1）我们所学习过的化学试验中，哪些实验用到了试管？
（2）试管在实验中的用途有哪些？
（3）使用试管有哪些注意事项？
（4）使用试管进行实验，试管口有几种朝向，每一种朝向分别适用于哪些操作？作为化学反应容器使用时，试管朝向是根据什么决定的？反应物为固体时，试管口朝向如何？
（5）有液体参与化学反应，但是不需要加热，此时试管要如何使用？怎样改进装置，使之适合有气体生成的反应？怎样再次改进装置，使之方便添加液体？怎样继续改进装置，使之便于控制反应速度？
仁寿县方家镇小学校钟昭训
为了不断丰富完善自己的教学理论，反思改进自己的教学方法，优化提高自己的教学水平，将来自外部的教育理论与指导自己教学实践的内在教学理论相互转化，促使自己更为深刻地认识到工作中的重点和难点、长处和不足，在教学活动中实现自我教育和成长，我们有必要坚持撰写教学案例。以下是我本学期教学《走遍天下书为侣》课后练习题的一个案例，记录于下，供大家参考。
一、案例背景：
在教学完小学五年级上册课文《走遍天下书为侣》后，我指导学生完成课后练习的第三题：
3. 读下面的句子，再根据自己的读书感受填空。
一本你喜爱的书就是一位朋友，也是一处你随时想去就去的故地。
一本你喜爱的书就是(),也是（）。
二、案例过程描述：
在编写教案的时候，我对这一环节的教学设计本来是：（1）出示范句，帮助学生理解句子的意思；（2）学生独立准备；（3）指名让学生交流。但是在教学过程中我发现课堂气氛沉闷，很多学生没有结合自己实际的读书感受做深入的思考，而是被动地接受几个发言者的答案，整个班级五十名学生只有几个空洞的答案。我立刻意识到这样的结果肯定不行，因为本单元的教学主题就是“我爱读书”，是要通过教学活动让学生体会到读书的乐趣，养成爱好阅读的习惯。而且单元习作也要求学生谈自己和书的故事或者谈读书的体会。我知道这种状况一定是因为教学设计的不合理造成的，于是赶紧调整，将教学过程改变成了：（1）出示范句，帮助学生理解句子的意思；（2）以自己的读书体验和一些名人读书的故事激发学生的学习激情，鼓励学生调动记忆，回顾自己的一次读书经历，独立准备；（3）小组长组织交流各人的读书感受。（4）小组内修改、练说句子，推举同学准备参加班级交流；（5）各小组汇报交流，评出五佳句子;(6)全体学生抄写五佳句子，看谁书写规范，写得又快又好。
三、实施结果：
事实证明，教学方法调整过后的教学效果更加良好，课堂气氛立刻活跃了许多，学生想得到、说得出、写得好，不仅从学习活动中切实感受到了别人和自己读书的滋味，还为单元习作做好了积累与准备，真正由“浅学习”变成了“深学习”。
四、案例反思：
1、本案例中调整后的方案更注重教学实效。教师在每一节课上都应善于观察、感知、分析课堂信息，针对学生实际情况和教学目标实施情况适时调整教学方案。将十次低效的“浅学习”甚至无效的“假学习”变成一次高效的“深学习”。
2、本案例中调整后的方案扩大了学生的参与面，加深了学生的参与度。关注了优中差生的共同发展，体现了教育教学的公平性。
3、本案例中调整后的方案改变了学生的学习方式，教师真正转换为主导地位，学生成为积极参与的学习主体，调动了学生的学习激情。整个教学过程是让学生积极主动地探究，生动活泼地发展，群体性主体参与率高，创新性思维活跃，使学生真正获得了自主学习的成功乐趣。整个教学过程的突出特点是促进学生主动发展。
4、调整后的学习活动更有趣味，为学生创设了探究性、自主性和合作性相融合的学习环境，给了学生一个开合有度、轻松愉悦的可控性自主课堂。 让孩子们有机会去而且愿意去充分扮演好自己，展示一个不一样的充满自信的自己。
教学不是让学生知道什么，而是让学生学到什么，学会怎样去获得知识和技能，让学生在真切的体验、深入的探究和感悟中获得成长。学生的潜力是无限的，关键在于教师是否给了学生足够大的平台。课堂就是他们求知、创造、展示自我、体验成功的平台。是学生健康成长的地方。一个开放的、公平的、愉悦的、和谐的课堂就是孩子们最好的舞台，他们一定可以在一个个高明导演的引导下演出一幕幕精彩纷呈的节目。从而使单调枯燥的学习过程变成快乐成长的生活过程，成为幸福人生的美好经历。
5、调整后的方案有机整合了课堂重点、单元目标、教学三维度等因素，兼顾了当前教学与后期教学。
6、调整后的方案更关注学生中长期发展，切实锻炼了学生听说读写的的语文基本能力。另外实实在在地培养了学生独立思考的能力和与他人交流、沟通、合作的团队精神。社会学理论认为，学校教育要以培养“社会人”为己任。依据社会学理论，课堂教学活动就是社会生活的“准社会活动”，学生就是“准社会成员”。在本次教学活动的过程中学生自然而然地进入了社会成员这一角色，培养了学生的责任感、成功感和自豪感，使之产生强烈的学习和创造动力，以达到全面素质的提高。
附：教学案例的一般要素
1．背景
所谓背景，即是向读者交待清楚："故事"发生的时间、地点、人物、事情的起因等。背景介绍也不必面面俱到，重要的是说明"故事"的发生是否有什么特别的原因和条件。背景是案例很重要的环节，描述的是事件的大致场景，是提供给读者了解“事件”有用的背景资料，如所在学校的情况、个人的工作背景、事件发生的起因等。
2．主题
每篇案例要有一个鲜明的主题，即这个案例要说明的某个问题，是反映对某个新理念的认识、理解和实践，还是说明教师角色如何转变，教的方式、学的方式怎样变化，或是介绍对新教材重点、难点的把握和处理，等等。
3．细节
有了主题，就要对原始材料进行筛选，有针对性地选择最能反映主题的特定的内容，把关键性的细节写清楚。要特别注意提示人物的心理。因为人物的行为是故事的表面现象，人物的心理则是故事发展的内在依据。面对同一个情景，不同的教师可能有不同的处理方式。为什么会有各种不同的做法？这些教学行为的内在逻辑是什么？执教者是怎么想的？揭示这些，能让读者既知其然又知其所以然。在这个环节中，要讲明问题是如何发生的，问题是什么，问题可以和事实材料交织在一起。这是整个案例的主体，要详尽地描述，展现问题解决的过程、步骤以及问题解决中出现的反复挫折，也可以涉及问题初步解决成效的描述。
4．结果
案例不仅要说明教学的思路，描述教学的过程，还要交待教学的结果--某种教学措施的即时效果，包括学生的反应和教师的感受，解决了哪些问题，未解决哪些问题，有何遗憾、打算、设想等。以“问题”为主线，有矛盾、冲突甚至“悬念”，能引起读者兴趣和深入思考。
关键词：初中英语；教学方法
中图分类号：G633.41文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）01-0287-01
初三复习阶段的课型已经由新授课为主转变为复习课、讲评课为主。无论是习题讲评还是试卷分析，如何最大程度地提高复习质量和课堂效益，是教师始终要探讨的问题。那么如何保证英语习题讲评课的实效性呢？习题讲评课是初三复习阶段的主要课型，习题讲评效果的高低直接影响初三教学质量的优劣。在多年的初三教学实践中，我摸索出了"三段式"高效习题评讲法。所谓"三段"，即讲评前、讲评中和讲评后三个阶段，具体内容如下。
1.讲评前，认真准备"三案"
高效的讲评效果要求教师在课前进行精心准备。教师首先要弄清下面的问题：本节课的教学目的是什么？学生有什么需求？他们在那些方面存在问题？教师重点要处理那些问题？需要设计哪些活动或题目来解决这些问题？学生应掌握哪些学习方法和策略？最终要达到怎样的课堂教学效果。
在讲评前，教师要统计试卷所考知识点及分布情况，分析命题思路和干扰项的设置；科学合理地判断试卷的难易度以及语言点出题的变化角度；教师还要客观分析学生的答题情况，按照答错率和问题的重要性来确定哪些精讲、哪些略讲。也就是说，有必要对需要讲解的知识点进行筛选和排序，对知识结构进行重组，把讲评课视为引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。
针对学生的实际情况，教师要有目的地进行讲评，要分析学生的得失分情况，了解学生的知识结构及解题技能存在什么缺陷。这些缺陷的出现，一方面暴露了学生本人的学习态度、学习习惯的不足和解题能力的低下，从而有针对性地引导学生改变、完善和提升自己。另一方面，教师也可检查自己在教学过程中有哪些地方处理不当，从而修正完善，精益求精。
在上述分析的基础上，认真备好讲评课。实践证明，只有在准备充分的前提下，才能把讲评课上得节奏明快、生动活泼、实效性强。
2.讲评中，注重"六环节"的教学模式
2.1矫正反馈，精讲点拨，重点剖析。主要针对学生在答题过程中存在的典型问题以及考查的重难点知识，讲解解题技巧，分析解题思路，画龙点睛，使学生举一反三，触类旁通。
在英语习题讲评中，教师要面向全体学生，根据学生的智力差异、接受能力的快慢，提出不同的问题，指定个别学生回答，抓住全班学生的注意力，引导大家开动脑筋，积极思考，使之处于主动状态，这样使学习程度好的学生感到英语大有学头，学习稍差的学生觉得有信心学好。所有的学生各得其所，人人有练习的机会。对于回答正确的要给予恰如其分的肯定和褒扬；对有创见者更应该大加鼓励。讲评过程中还可以设计一些小尾巴，作为课后的作业，让他们去迁移和应用，让学有余力的学生有进一步探究的欲望，鼓励他们课后继续钻研。
在讲评课中也可以引入互动探究、合作学习，学生在做学案的过程中，遇到自己无法解决的问题，可以向组内同学请教，可以让学生通过与同学、老师的合作，变被动接受知识为主动索要知识，充分发挥学生的主观能动性，培养学生发现问题、解决问题的能力。教师在习题讲评课中应综合考虑和巧妙安排，把考查的知识进行精讲点拨，做到连点成线，以线带面，从而提高英语课堂教学的效率。一方面可以促进知识向能力转变，另一方面可以让学生获得学习的成就感。
2.2操练迁移，消化讲评内容。讲清楚尚需练到位。许多讲评课忽视了对于学生所暴露的重点问题一练再练的环节，讲完一道题，马不停蹄地讲下一道题。实际上，学生在似乎听懂了的时候，留在脑海中的印象并不深刻，也没有真正掌握解题的要领，下一次很可能重犯旧错。因此，教师在集体备课时，就要设计相应的矫正性练习，也就是设计一个巩固案，或者是变换语境，或者是改头换面，或者是高考题经典回放，或者是从另一个角度重新设题。总之，学生需要反复操练，以达到灵活运用、举一反三的目的。另外，学生需要一定的时间进行思考与消化。对完答案后，在教师讲评前，要给学生充分的时间去感悟，凡是学生能想明白的就不要去讲。讲评后更要留出一定的时间，让学生反思自己失分的原因，调整思路，并做好课堂笔记，记录失分点。有时，学生会在消化的过程中进一步提出新的疑问，师生在这种互动过程中，不但巩固而且拓宽、延伸了所学知识。
2.3注重归纳，形成知识网络。有些讲评课明显暴露出就题论题、知识点支离破碎的情况。高三复习阶段的特点就是引导学生将以前所学的知识进行梳理，使之系统化、网络化。讲评课是巩固试卷中出现的知识点，完善学生的知识网络的重要途径。教师应从考点分析到思路梳理，到答案解析，再到归纳总结，对每一类题集中突破，重在剖析其规律性的东西，帮助学生快速构建英语学科思想，使知识条理化、系统化、逻辑化、灵活化。
3.讲评后注意总结巩固
3.1个别辅导，全面提高。课堂教学面对的是全体学生，尽管教师在课堂上已经讲得很细，但可能还会有一些学生对有些问题搞不清。因此，课后很有必要及时地给予个别辅导，以彻底帮助他们弄清问题所在，强化讲评效果全面提高成绩。
3.2做好错题、好题档案。讲评完毕后，教师不但要求学生做好档案，自己也应该把学生的主要错误收集成册，形成错题档案，在日后适当的时间拿出来重考，可以用原题，也可以变形、改编，以此加深学生印象，达到最终掌握的目的。同时，还要做个有心人，把一些技巧题收集起来，不断复现，旨在训练学生的解题技巧和灵活性。
万以内数的认识
第一课时
1000以内数的认识
一、填空。
（1）百里位的左边是（
）位，右边是（
）位。
（2）一千里面有（
）个百，一百里有（
）个十。
（3）最大的三位数是（
），最小的三位数是（
），最小的四位数是（
）。
（4）从796开始，往后数5个数是（
）、（
）、
（
）、
（
）
、（
）。
（5）二百二百地数数，数到一千是：二百、（
）百、（
）百、（
）百、一千。
三百三百地数数，数到一千是：三百、（
）百、（
）百再数（
）百是一千。
（6）由6个百、3个十、2个一组成的数是（
）
（7）由5个百和9个十组成的数是（
)
（8）由1个一、2个十、7个百组成的数是（
）
（9）由9个百、5个十、7个一组成的数是（
）
二、接着写出下列数。
678
679
700
（
）
（
）
（
）
（
)
(
)
706
(
)
200
(
)
400
(
）
（
）700
（
）
（
）
1000
三、接着写出下列数。
四百二十
、四百三十（
）（
）（
）（
）
（
）（
）（
）（
)(
)
答案：
一、（1)千
十
（2）1
10
（3）999
100
1000
（4）797
798
799
800
801
（5）四百
六百
八百
；六百
九百
一百
（6）632
（7）590
（8)721
(9)975
二、701
702
703
704
705
；100
300
500
600
800
900
三、四百四十
四百五十
四百六十
四百七十
四百八十
四百九十
五百
五百一十
五百二十
第二课时
千以内的读写
一、填空。
1、从（
）边起，第（
）位是（
）位，第(
)位是（
）位，
第（
）位是（
）位，第（
）位是（
）位。
2、下列各数表示什么。
400是由（
）百组成。
420是由（
）个百和（
）个十组成的。
4个百、2个十和5个一组成的数是（
）。
一个千是（
）。五个白是（
）。
534是由（
）个百、（
）个十和（
）个一组成。
二、写出下面各数。
六百四十
写作：______________________
四百零六
写作：_______________________
八百七十
写作：_____________________
九百
写作：_______________________
五百七十二写作：____________________七百九十三
写作：_______________________
三、读出下面各数。
627
读作：_____________________
503
读作：__________________________
430
读作：____________________
635
读作：__________________________
1000
读作：_____________________
900
读作：__________________________
四、每个数中的“3”个表示多少？
573中的“3”表示（
）。
306中的“3”表示（
）。
230中的“3”表示（
）。
五、先读一读，再根据每组数的排列规律接着写。
（1）707
708
709
（
）
（
）。
（2）270
280
290
（
）
（
）。
（3）980
985
990
（
）
（
）。
（4）503
502
501
（
）
（
）。
答案：
一、（1）右
一，个，二，十，三，百，四，千（2）4,4,2,425,1000,500,5,3,4
二、640
406
870
900
572
793
三、六百二十七，五百零三，四百三十，
六百三十五，一千，九百
四、三个一
三个百
三个十
五、（1）710
712
（2）300
310
（3）995
1000
（4）500
499
第四课时
10000以内数的认识
一、填空.
1、一个四位数，中间有一个零或两个零时，（ ）。末尾不管有几个零（
）
（1）只读一个零
（2）读两个零
（3）一个零也不
2、用2、0、0、8四个数字按要求组成数字：
（1）只读一个零（
）（
）（2）一个零也不读（
）
（3）最大的四位数（
）最小的四位数（
）
3、用3、0、5、9、四个数字可以组成最大的四位数是（
），可以组成最小的四位数是（
）
4、最大的三位数是（
）最小的四位数是（
），它们相差（
）
5、十个十是（
），10个一百是（
），10个一千是（
）。
6、一千里面有（
）个百，一万里面有（
）个千
7、八百五十这个数是由（
）个百和（
）个十组成的。
8、2356是由（
）千，（
）个百，（
）个十和（
）个一组成
二、这个数是（
）位数，最高位是（
）位，
它是由（
）个千、千
百
十
个
（
）个百和（
）个一
组成的。
三、相邻数、按要求数数。
1、与5999相邻的两个数是（
）和（
）。
2、599前面一个数是（
），后面一个数是（
）
答案：
一、1、选（1）、（3）2、2008
2080
2008
9999
10000
3、9530
3059
4、999
1000
1
5、100
1000
10000
6、十
十
7、8
5
8、2
3
5
6
二、四，千，四，三，一。
三、1.
5998
6000
2.
598,600
第五课时
10000以内数的读法、写法
一、填空题。
1.407读作（
） 2.五百零三
写作：________________
3.375是由（
）个百（
）个十和（
）个一组成的．
4.九百六十一写作：_______________
5.从996往后接着数5个数是（ ）、（ ）、（
）、（
）、（
）．
二、选择题。
把下面正确答案序号填在括号里。
1、比最大的三位数多1的数是（
）
A、999
B、1000
C、1100
2、一个四位数，千位上和个位上都是1，其它数位上都是0，这个数是（
）
A、1010
B、1001
C、1100
3、读数时，中间有两个零（
）
A、都要读出来
B、都不读出来
C、只读一个零
4、与10000最近的数是（
）
A、9999
B、1000
C、9000
5、用两个0，两个4组成的四位数中，不读出0的是（
）
A、4400
B、4004
C、4040
三、判断题，在对的（
）里画“√”，错的画“×”。
1、五百零四，写作54。 （
）
2、609读作六百九十。 （
）
3、2010读作二千零一。（
）
4、一个四位数最高位是万位。 （
）
5、读数时，数的末尾不管有几个0，都不读。（
）
6、从左边起万位在第四位。（
）
四、写、读出下面各数。
四千零五十
写作：
10000 读作：
七千四百三十九
写作：
6003
读作：
四千零六 写作：
2030
读作：
答案：
一、1、四百零六
2.503
3.
3，7，5
4.
96
1
5.
997,998,999,1000,1001
二、1.B
2.B
3.C
4.A
5.A
三、×
×
×
×
√
×
四、4050
7439
406
一万
六千零三
三千零三十
第六课时
数的大小比较
一、在里填上不同的数：
9
27＞9563
9
27＞9563
9
27＞9563
9
27＞9563
二、按顺序排列下面数字。
999
1080
10000
1290
2100
（
）
）
）
）
）
8880
888
8800
8080
（
）
（
）
（
）
（
）
7000
7099
7989
7899
（
）
>
（
）
>
（
）
>
（
）
三、9．在（
）里填上“＞”、“＜”或“＝”．
1000（ ）999
99（ ）101
1111（ ）9999
999（ ）1001
1010（ ）999＋1
99（ ）100－1
1001－1（ ）999＋1
四．按从大到小的顺序排列下面各数．
（1）1090 1009 1100 1909_________________________________________________
（2）9999 8900 9990 8909 10000__________________________________________
五．
写出个位上是0的所有两位数．
______________________________________________________________
写出个位上是5的所有两位数．
______________________________________________________________。
答案：
一、6、7、8、9
二、999
888
7989>7899>7099>7000
三、>
>
﹦
﹦
四、（1）1909>1100>1090>1009
（2）10000>9999>9990>8909>8900
五、10；
15，25,35,45,55，65，75,85,95。
第七课时
准确数
近似数
一、写出下列各数的近似数
398
897
9800
397
1021
5999
二、找出相应的近似数
577、980、603、967、9800、589、9789、608、9788
近似数是600的数：_______________________________________________________。
近似数是1000的数：______________________________________________________。
近似数是10000的数：_____________________________________________________。
三、比较下列各数的大小，并说明你的比较方法
1、899与923
297与1000
3578与789
1003与999
2、在里填上合适的数字。
283
>2867
700>7240
646
>
62
49
>
413
21
>
201
4293
>
463
15＋7
＋7
20－20÷5
>
－20÷5
四、找规律，填一填。
（1）596、597、（
）、
（
）、（
）
（2）1720、1730、（
）、（
）、（
）
（3）5000、5100、（
）、（
）、（
）
（4）1360、2360、（
）、（
）、5360、（
）
（5）2130、3240、（
）、（
）、6570、（
）
（6）9999、8888、（
）
、（
）
、5555、（
）
答案：
一、400
900
1000
400
1000
6000
二、接近600的数是：577
603
589
608
接近1000的数是：980
967
接近10000的数是：9800
9789
10000
三、1.
899
297
3578>789
1003>999
2.
9
3
3
5
3
1
20
四、（1）598,599,600（2）1740,1750,1760（3）5200,5300,5400（4）3360,4360,6360（5）
4350
5460
7680
（6）7777
6666
4444
第八课时
整十
整百
整千数的加减法
一、填空。
1．70里面有（
）个十，260里面有（
）个十。
2．600里面有（
）个百，1200里面有（
）个百。
3．14个十是（
），14个百是（
）。
4．5个百加3个百是（
）个百；5个千加3个千是（
）个千。
5．16个百加2个百是（
）个百，写作（
）。
6．13个百减5个百是（
）个百，写作（
）。
二、口算下面各题。
400＋500＝
200＋400＝
3000＋4000＝
800－500＝
4600＋300＝
1700－400＝
7800－800＝
3400－3000＝
60＋90＝
180－80＝
2600＋4000＝
700＋800＝
三、应用题。
1．养鸭场养鸭8000只，昨天上午卖出3000只，下午卖出4000只．还剩下多少只？
2．玩具厂要加工一批玩具，第一个星期加工了1600件，第二个星期加工了2000件，还
要加工3000件玩具才能完成任务。共要加工玩具多少件？
3、丹江口部级森林公园去年植树1000棵，今年比去年多植树500棵。一共植树多少棵？
答案:
一、1.
7
26
2.
6
12
3.
14
140
4.
8
8
5.
18
1800
6.
8
800
二、900
600
7000
300
4900
1300
7000
400
150
100
6600
1500
三、1.
8000-（3000+4000）=1000（只）
2.1600+2000+300=3900（件）
3.1000+500+1000=2500(棵）
第九课时
用估算解决问题
一、计算。
1、口算。
300+200=
700-300=
900+1000=
800-500=
600+300=
1500-700=
700+200=
2200-600=
800+200=
7020-200=
2、计算。
80-37=
45÷9=
60÷7=
45÷7=
二、填一填。
1.
妈妈买了一台电脑花了4995元，约是（
）元。
2.
欣欣小学有608人，约是（
）人。
3.
果园里有1298棵果树，约是（
）棵。
三、解决问题。
1、收费站昨天通过7006辆车，今天通过4203辆车，收费站昨天比今天通过的车大约多几千辆？
2、城关镇礼堂有3000个座位，城关镇的三所小学各有八百多名学生。如果这三所小学的学生同时来参加活动，能坐下吗？
答案：
一、1、500
400
1900
300
900
800
900
1600
1000
6820
2、23
5
8......4
6......3
二、1.
5000
2.
600
3.
1300
三、1、7006辆≈70000辆
4203辆≈4200辆
7200-4200=2800（辆）
2、800×3=2400（名）
此课为“平行线的习题课”公开课展示.课始，学生精神抖擞，应该说他们是久经战场的老将了，丝毫没有紧张感，相反更想在此时露露脸.
“同学们，老师这有一块纸板，它的上下两条边是互相平行的.看，发生什么事儿了？”（我用力掰断纸板，露出犬牙交错的两个纸板.）“断开了！”学生们回答！“是的，这两个纸板所形成的基本图形你们熟悉吗？”我接着问道，“熟悉！”，学生们回答了，“是的，它们出现在我们教科书中第60页第6题的第二小问中.”学生们迅速翻书，“本节习题课就来研究这两个图形，并通过他们来探究添加平行线解决角的问题”，同时我将纸板粘到了黑板上.
请看这个问题：你有几种添加辅助线的方法，和我们一起分享你的结论，请选择一种加以说明.已知：如图，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数.
学生们看题思考，回答“过点E作AB的平行线”，“过点A作EC的平行线”，“AC连接”，“延长AE交AB的反向延长线于点P”等.借此引导他们考虑过其他点作辅助线，让学生们知道做辅助线来解决这个问题.通过第一种做辅助线的方法，做了一个推理填空，考查和规范学生的基本功.他们的积极踊跃让我忘掉了紧张，我也和他们融在了一起，忘我的教课，比平常还要兴奋！
一生读题：“如图所示，AB∥ED，∠B=48°，∠D=42°， BC垂直于CD吗？请写出添加平行线的方法，请选择一种，对你作出的结论加以说明.”我强调说：“如何添加平行线？”学生在教师引导下开展讨论，得出和多种方法.学生积极回答，“过点E作AB的平行线”， “过点C作AE的平行线”，“过点E作CD的平行线”， “过点A作EC的平行线”.我就马上表扬他们，如“思维很快”“表达流畅”，学生也喜滋滋的.
然后，让学生进行小组合作来探究复杂图形中，解决角的问题也要用到添加平行线的方法，提出问题：“这个复杂图形的问题的解决主要通过什么方法？”进一步揭示作平行线的重要性.让学生再度观察和归纳作平行线时需要注意的方面.帮助学生归纳和总结如何在复杂图形中找到基本型.
探究1：“C” 型问题
如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2= 度.
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2 +∠A3= 度.
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4= 度.
如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5= 度.
从上述结论中你发现了什么规律？
如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An= 度.
如图6，MA1∥NAn+1，则∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An+∠An+1 =______度.
探究2： “Z” 型的问题
如图1，MA1∥NA3，∠A1 、∠A2和 ∠A3的关系 .
如图2， MA1∥NA4，则∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4的关系是 .
如图3，MA1∥NA5，则∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4、∠A5的关系是 .
思考：MA1∥NAn，则∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4、∠A5…∠An的关系是 .
在总结方法时，作小诗一首让学生感受作平行线的方法.我大声朗读：“平行线间作平行，找点看你行不行，点的位置很突出，化繁为简基本型.”
上课继续进行着，学生探究热情高涨，主动参与过程还算顺利，基本的知识还能自主呈现出来.但是接下来，运用此方法解决复杂图形，就不是那么顺畅了.设计此题基于以下两点考虑：
（1）根据已有的条件与图形，无法解决问题时，要添加平行线.
（2）将推理过程由口述转化为书面表达形式，这也会让学生感到一定困难.
因此在本题的教学中要充分体现教师引导者的地位，启发学生思考当遇到要我们说明两直线平行的时候，应该要从已知和图形中寻找什么？这时学生会总结学过判定方法和平行公理，当找不到解决问题的方法时，引导学生是否可以在没有防碍题目的前提下对图形做适当的改变，然后自然而然的引出作平行线.所以在这一环节中，我们可以扣“问“展开，结合学法指导，采用指导学生探究变式的方法.
变式1：如上图，已知CE∥DF，求∠ACE+∠ABD-∠CAB的度数.有几种添加辅助线的方法？
学生说的方法很多也很好，都在我的预期之内，这时我看见一个男孩手一直高高举着手，很自信地举着.“我认为连接BC也可以”，只见他拿起本读起来，聚精会神的回答着，其他学生的目光也凝聚到他一个人身上.我却很吃惊，他哪来的这个新招儿？他那专心样令听课的教师赞不绝口.瞧，声情并茂.别说，还真是个新招儿，同学们目不转睛地看着，聚精会神地听着.我迅速反应这个方法我没有在课件内呈现，怎么办，我拿起三角板，画出了这个图形，描出了他的方法，又跟着他将三角形内角和等于180°的证明方法讲述了一遍.不妙，恐怕他要喧宾夺主，我试图掩饰他的方法，但是已经上黑板了.也许他的方法听起来很有乐趣，但是有点脱离主题，唯一的办法是引导学生记忆作平行线方法.
所有的学生都说了自己的做法和思路，有的学生思路上有点绕弯，我就适时地进行点拨，“我的思路是将减法提前，先算∠ACE-∠CAB再算加∠ABD，结果为180°.”学生们频频点头，颇有顿悟之意.
我们接下来又挑战了中考题，对于学生的思维，从广度和深度上给予适当的点拨，同时，运用动中取静和分类思想，将问题的难度化解.
变式2：已知直线EF∥CD，P为一动点.动点P不在直线AB、CD、EF上，若点P在直线AB左侧不断运动的过程中，问∠CAP、∠PBE、∠APB三个角之间的数量关系是否发生变化，若变化写出相应的数量关系，在下面画出图形，并选择一个加以证明.
学生很快分出了3种情况，并作出了平行线，解决了问题.这时，我就不满足于只说不写了，我有让学生们将过程写了一遍，收获不小.
变式3：AB∥CD，直线a交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，P是直线CD上的一个动点，（点P不与F重合）（1）当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM=∠AEF成立吗？请说明理由；（2）当点P在射线FD上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么关系？并说明你的理由.
第一章
量子理论基础
1．1
由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即
T=b（常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解
根据普朗克的黑体辐射公式
，
（1）
以及
，
（2）
，
（3）
有
这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求
对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：
如果令x=
，则上述方程为
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
把x以及三个物理常量代入到上式便知
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2
在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解
根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=h，
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
在这里，利用了
以及
最后，对
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3
氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
解
根据
，
知本题的氦原子的动能为
显然远远小于这样，便有
这里，利用了
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4
利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化间隔E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解
玻尔——索末菲的量子化条件为
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
这样，便有
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
可解出
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
这样，便有
这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分
这样，便有
（1）
这里
=2θ，这样，就有
（2）
根据式（1）和（2），便有
这样，便有
其中
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐，所以，有
其中，是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且
具体到本题，有
根据动能与温度的关系式
以及
可知，当温度T=4K时，
当温度T=100K时，
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5
两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解
关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
此外，还有
于是，有
尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波
函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
可见无关。
2.2
由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)
传播的球面波。
解：
在球坐标中
同向。表示向外传播的球面波。
可见，反向。表示向内(即向原点)
传播的球面波。
补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
波函数不能按方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3
一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
令，得
其解为
④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
由归一化条件
得
由
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
#
2.4.
证明（2.6-14）式中的归一化常数是
证：
（2.6-14）
由归一化，得
归一化常数
#
2.5
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
令，得
由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。
可见是所求几率最大的位置。
#
2.6
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
②
利用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演
而得其对方，由①经反演，可得③，
④
由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤
④乘
⑤，得
可见，
当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7
一粒子在一维势阱中
运动，求束缚态()的能级所满足的方程。
解法一：粒子所满足的S-方程为
按势能的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：
①
Ⅱ：
②
Ⅲ：
③
整理后，得
Ⅰ：
④
Ⅱ：.
⑤
Ⅲ：
⑥
令
则
Ⅰ：
⑦
Ⅱ：.
⑧
Ⅲ：
⑨
各方程的解为
由波函数的有限性，有
因此
由波函数的连续性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
即
为所求束缚态能级所满足的方程。#
解法二：接（13）式
#
解法三：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
（b）
k
a
ctgk
k
)
10
(
)
12
(
)
13
(
)
11
(
1
2
2
-
=
Þ
-
+
令
则
合并：
利用
#
解法四：（最简方法-平移坐标轴法）
Ⅰ：
（χ≤0）
Ⅱ：
（0＜χ＜2）
Ⅲ：
（χ≥2）
束缚态＜＜
因此
由波函数的连续性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。
定态S-方程为
对各区域的具体形式为
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故
而
.
①
②
③
对于束缚态来说，有
④
⑤
⑥
各方程的解分别为
由波函数的有限性，得
由波函数及其一阶导数的连续，得
⑦
⑧
⑨
⑩
由⑦、⑧，得
(11)
由
⑨、⑩得
(12)
令，则①式变为
联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
把代入即得
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。
#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
此即为所求方程。
#
补充练习题一
1、设
，求A
=
？
解：由归一化条件，有
利用
#
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。
解：基态能量为
设基态的经典界限的位置为，则有
在界限外发现振子的几率为
)
(
2
2
2
2
2
2
x
a
x
a
x
e
dx
e
dx
e
a
a
a
p
a
y
p
a
p
a
w
-
¥
-
-
¥
-
-
=
+
=
ò
ò
式中为正态分布函数
当。查表得
在经典极限外发现振子的几率为0.16。
#
3、试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
①
把代入上式，有
把代入①式左边，得
当时，左边
=
右边。
n
=
3
，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。
第三章
量子力学中的力学量
3.1
一维谐振子处在基态，求：
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1)
(2)
或
(3)
动量几率分布函数为
#
3.2.氢原子处在基态，求：
(1)r的平均值；
(2)势能的平均值；
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
令
当为几率最小位置
是最可几半径。
(4)
(5)
动量几率分布函数
#
3.3
证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
证：电子的电流密度为
在球极坐标中为
中的和部分是实数。
可见，
#
3.4
由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
(1)求一圆周电流的磁矩。
(2)证明氢原子磁矩为
原子磁矩与角动量之比为
这个比值称为回转磁比率。
解：(1)
一圆周电流的磁矩为
（为圆周电流，为圆周所围面积）
(2)氢原子的磁矩为
在单位制中
原子磁矩与角动量之比为
#
3.5
一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1)
转子绕一固定轴转动：
(2)
转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有
哈米顿算符
其本征方程为
(无关，属定态问题)
令
，则
取其解为
(可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
即
m=
0，±1，±2，…
转子的定态能量为
(m=
0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
定态波函数为
A为归一化常数，由归一化条件
转子的归一化波函数为
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
无关，属定态问题，其本征方程为
(式中设为的本征函数，为其本征值)
令
，则有
此即为角动量的本征方程，其本征值为
其波函数为球谐函数
转子的定态能量为
可见，能量是分立的，且是重简并的。
#
3.6
设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
动量的平均值为
#
3.7
一维运动粒子的状态是
其中，求：
(1)粒子动量的几率分布函数；
(2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
动量几率分布函数为
(2)
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
动量的几率分布函数为
先把归一化，由归一化条件，
3.9.设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
角动量平方有确定值为
角动量Z分量的可能值为
其相应的几率分别为
，
其平均值为
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在的区域，，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
()
由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为
令
，得
其通解为
波函数的有限性条件知，
有限，则
A
=
由波函数的连续性条件，有
其中B为归一化，由归一化条件得
归一化的波函数
#
3.11.
求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系
解：
3.12
粒子处于状态
式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
解：①先把归一化，由归一化条件，得
/
是归一化的
②
动量平均值为
③
（奇被积函数）
#
3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为
由测不准关系
得
对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符为奇宇称，所以
又有
所以
可近似取
能量平均值为
作为数量级估算可近似取
则有
基态能量应取的极小值，由
得
代入，得到基态能量为
补充练习题二
1．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函数。
可见，
可见，是的本征函数。
2．证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。
解：
的电子，其
当时
为最大值。即在方向发现电子的几率最大。
在其它方向发现电子的几率密度均在～之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径
)。
证：①对1s态，
令
易见
，当不是最大值。
为最大值，所以处于1s态的电子在处被发现的几率最大。
②对2p态的电子
令
易见
，当为最小值。
为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
③对于3d态的电子
令
易见
，当为几率最小位置。
为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
4.
当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
其中
，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为
，
势能曲线如图所示。则透射系数为
式中为电子能量。，由下式确定
令
，则有
透射系数
5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
①
；
②
；
③
解：①是线性算符
②不是线性算符
③是线性算符
6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
7、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
①，
②
，
③， ④， ⑤
解：①
不是的本征函数。
②
不是的本征函数，其对应的本征值为1。
③
可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
是的本征函数，其对应的本征值为－1。
8、试求算符的本征函数。
解：的本征方程为
（的本征值）
9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
解：
方程（分区域）：
Ⅰ：
Ⅲ：
Ⅱ：
令
标准条件：
取
，
即
粒子的波函数为
粒子的能级为
由归一化条件，得
粒子的归一化波函数为
10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。
证：
令
，则得
为几率最小处。
为几率最大处。
令
，则得
为最大几率位置。
当
时，
为几率最小位置。
令
，得
同理可知
为几率最小处。
为几率最大处。
11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：
令
，得
，
，
为几率最小处。
，
为几率最大处。
6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求
①的平均值；
②势能的平均值。
解：①
②
12、粒子在势能为
的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：
（其中）
证：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
则得
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
其通解为
利用标准条件，由有限性知
由连续性知
①
②
③
④
由①、②，得
⑤
由③、④，得
⑥
而
把⑤、⑥代入，得
整理，得
令
由，得
###
13、设波函数，求
解：
14、说明：如果算符和都是厄米的，那么
(+)也是厄米的
证：
+也是厄米的。
15、问下列算符是否是厄米算符：
①
②
解：①
因为
不是厄米算符。
②
是厄米算符。
##
16、如果算符满足关系式，求证
①
②
证：
①
②
17、求
解：
=
18、
解：
=
第四章
态和力学量的表象
4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
解：
#
4.2
求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：
能量：
对角元：
当时，
#
4.3
求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
解：定态薛定谔方程为
即
两边乘以，得
令
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中为归一化因子，即
#
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：
#
4.5
设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。
解：的久期方程为
的本征值为
的本征方程
其中设为的本征函数共同表象中的矩阵
当时，有
由归一化条件
取
对应于的本征值0。
当时，有
由归一化条件
取
归一化的对应于的本征值
当时，有
由归一化条件
取
归一化的对应于的本征值
由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为
对角化的矩阵为
按照与上同样的方法可得
的本征值为
的归一化的本征函数为
从的共同表象变到表象的变换矩阵为
利用S可使对角化
#
4.6求连续性方程的矩阵表示
解：连续性方程为
而
写成矩阵形式为
第五章
微扰理论
5.1
如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知
其中是不考虑这种效应的势能分布，即
为考虑这种效应后的势能分布，在区域，
在区域，可由下式得出，
由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态）
，故。
#
5.2
转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
取，则
由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得此问题。
的本征值为
本征函数为
的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知
#
5.3
设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得
得
能量的二级修正值为
#
5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。
解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
②时，氢原子处于基态，其波函数为
在时刻，
微扰
其中
在时刻跃迁到电离态的几率为
对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，
O
θ
α
x
y
z（）
其中
取电子电离后的动量方向为Z方向，
取、所在平面为面，则有
#
5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。
解：对于2p态，，可取三值，其相应的状态为
氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。
由
(取方向为Z轴方向)
=
=
由上述结果可知，，
当时，
其中
#
5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
解：
由选择定则，知是禁戒的
故只需计算的几率
而
2p有三个状态，即
(1)先计算z的矩阵元
(2)计算x的矩阵元
(3)计算的矩阵元
(4)计算
#
5.7
计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。
解：
若
，则
#
5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
解：
由
时，
即选择定则为
#
补充练习三
1、一维无限深势阱中的粒子受到微扰
作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为
能量一级修正为
2、具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求：
①
原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。
②讨论跃迁的选择定则。
（提示：利用积分关系
答：①
②仅当，所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是）
解：①
(对于一维线性谐振子～)
其中
一维线性谐振子的波函数为
②
跃迁几率，当时的跃迁为禁戒跃迁。
可见，所讨论的选择定则为。
#
3、电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。
解：取电场方向为轴正方向，则有
当经过很长时间以后，即当时，。
实际上在以后即可用上述结果。
#
第七章
自旋与全同粒子
7.1.证明：
证：由对易关系
及
反对易关系
，
得
上式两边乘，得
7.2
求在自旋态中，和的测不准关系：
解：在表象中、、的矩阵表示分别为
在态中
讨论：由、的对易关系
[，]
要求
①
在态中，
可见①式符合上式的要求。
7.3.求的本征值和所属的本征函数。
解：的久期方程为
的本征值为。
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程
，得
由归一化条件
，得
即
对应于本征值的本征函数为
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程
由归一化条件，得
即
对应于本征值的本征函数为
同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为
7.4
求自旋角动量方向的投影
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
解：在
表象，的矩阵元为
其相应的久期方程为
即
所以的本征值为。
设对应于的本征函数的矩阵表示为，则
由归一化条件，得
可见，
的可能值为
相应的几率为
同理可求得
对应于的本征函数为
在此态中，的可能值为
相应的几率为
7.5设氢的状态是
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
②求总磁矩
的
z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
从ψ的表达式中可看出的可能值为
相应的几率为
的可能值为
相应的几率为
7.6
一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，，则体系可能的状态为
7.7
证明和组成的正交归一系。
解：
=0
同理可证其它的正交归一关系。
7.8
设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
考虑到
，令
其中
，
对于基态，
对于沿χ方向的第一激发态，
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即
和
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
独态：
三重态：
主要参考书：
[1]
周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979
[2]
关键词：数学学案；课堂教学；编制；使用；效率
1.问题的提出
提高数学课堂教学效率是人们一直关注与研究的课题，而提高数学教学效率的关键则是提高学生的数学学习效率。正如美国加州大学洛杉矶分校的斯丁格勒教授指出的：“提高教学工作质量的前提和中心必须是有效地改进学生的学。”学案教学是针对于如何改进学生“学”的方式，提高学生学习效率而提出的一种教学模式，因为学案教学模式改变了传统的“以讲为主、被动接受”的教学方式，突出学生的自主、合作、探究学习，有利于学生的全面发展，提高学生数学学习效率与课堂教学效率的有效方式，也是形成高效率教与学行为的有效策略。但实践的过程中，数学学案教学并没有达到它的效果，这主要是学案的编制和使用存在一定的问题。
2.学案的相关概述
“学案”是一个帮助学生学习的方案，是指教师在教学理论和学习理论的指导下，根据教材的编撰原则和知识体系，按照新课标、教材与教学目标的要求，结合自己所教学生的认知能力和接受水平等进行认真的分析研究后，所设计的供师生在整个学习过程中使用的、便于学生顺利完成学习任务的、实践操作性很强的导学方案。学案一般应包括以下基本内容：学习课题、内容分析、学习目标、学习重难点、学法指导、学习过程、学习评价与学习链接。根据学案的形成过程、基本含义及其构成要素，学案具有整合性、开放性、自主性和引导性等特点。
“数学学案”是数学教师以新课程标准为指导，依据学生的认知水平、知识经验，以“三维目标”的达成为出发点和落脚点而编写的，用于指导学生自主学习、主动参与、合作探究、优化发展的学习方案。它将数学知识问题化，将学生的数学能力过程化，将对学生的情感和态度价值观的培养潜移化。它在充分尊重学生主体地位的前提下，积极发挥教师的主导作用，通过科学有效的训练，达到课堂教学效益的最大化。
3.目前学案编制和使用中主要存在的问题
（1）“学案”实为“习题案”。学案的重要方法之一，是把知识“问题化”。“问题化”不等于“习题化”，学习的过程更不是单纯做习题的过程。“学案”全部都是习题的形式，不仅加重了学生的课业负担，还没有起到“导”的作用。
（2）学案实为教材内容简单重复。学案并不是简单重复教学内容，更不是简单罗列知识点。学案为学生较快进入“最近发展区”，链接所学知识和相关知识经验以及知识的进一步学习等方面提供了适当的着力点和帮助。
（3）“学案”实为“定义、定理记忆”。数学学案在其编制新授课时，往往会将一些概念、定理的结论直接给出，或是以填空、解答题的形式出现。没有加深对概念与公理的理解，更没有从抽象、逻辑上理解，仅流于直观化、表面化。但展示知识的形成过程，和一些公式的推导过程，这些都是数学思维过程的较好范例。学生通过学习数学，不仅要获取数学知识、技能与方法，更重要的是要得到思维训练，在编制数学学案时应该体现这一点。
（4）“学案形式化”。数学教师仅在公开课或参赛课使用学案，并没有在普通课堂上使用，使得学案只是一种形式。从教师角度来分析上述现象，教师承认学案对教学很有帮助，但是编制学案比较繁琐，需要花费大量时间和精力。究其根本原因是教师没有足够重视学案对教学的重要性。
4.数学学案编制及使用策略
数学学案是进行学案教学的有效载体，编制出一份高质量的数学学案是学案教学取得成果的重要保证。针对数学学案存在的问题和数学教学的特点，阐述数学学案编制及使用策略如下：
4.1学案的编制要以课标作为指南
重视对《数学课程标准》的解读，以课标为学案编制的指南。课程标准规定了课程的性质、目标、内容和框架，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据和标准，对教学起着无可替代的具体指导作用。课标提供了课程编写的基本思路，学案编制的基本思路也如此。教材在内容、编排体系、呈现形式上发生了很大的变化。教材编排体系以探究式的方式呈现，这也是为什么强调在学案的编制上要体现探究性、情境性原则的依据。课程标准提出了课程内容的目标要求，这也是学案编制中的学习目标的具体指导。课标提出了实施的建议，这为学案编制教学策略的实施提供了依据。
4.2学案编制前要先研究学生实际情况。
学案编制前要先研究学生实际情况。美国心理学家奥苏贝尔说过“如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”学案编制特别强调学情研究和分析，几乎贯穿了学生学习的全过程，课前要了解学生已经掌握了哪些有利于新知识学习的旧知识，课中要分析学生使用学案遇到的问题，课后要了解学生使用效果。根据学生实际学习情况，根据学生的最近发展区进行教育活动。另外要注意那些与新知识有紧密相关的知识，了解学生对这部分知识的掌握程度，特别是那些没有形成系统化和结构化的知识，在学习新知识给予关注。
4.3根据数学的不同课型特点编制数学学案
数学不同课型的学习流程不同，学案在构成上会有差异，其侧重点也不同，根据数学课的不同课型的特点编制学案是必要的。数学的课型主要分为：新授课（概念课、定理课等）、习题课、复习课等。
4.3.1新受课（概念课）的学案编制
概念既是思维的起点，又是数学思维的节点，因而在数学学习中具有举足轻重的地位。概念学习一般经过三个过程：概念引入（揭示研究的必要性），概念的获得（概念学习的具体过程），概念巩固与运用（了解概念的运用，在运用中巩固概念）。
对于概念课学案的编写主要帮助学生经历数学概念的形成过程、理解概念的本质、构建概念的知识体系、形成概念运用的基本活动经验。教学中要通过适当的方式明晰概念的定义，促进学生获得概念。心理学研究成果表明，概念的获得的方式主要有两种形式--概念的同化和概念的形成。利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质，这种学习方式称为概念的同化。在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。概念获得之后，自然是概念的巩固与运用了，力图通过相关活动，加深学生对概念的理解。概念巩固与应用阶段，一般可设计为概念的辨析和概念的泛化。
4.3.2习题课的学案编制
数学学习离不开解决问题，教学中例习题教学、具体实际问题的建模等都是典型的习题课。习题课既是对学生学习的概念、命题有关知识的一个实时检验，又是发展学生分析问题、解决问题能力的好机会。对于习题课学案的编制，主要是对例习题的配置、编排。配置例习题应与教学目标一致、具有代表性，要与学生学力的相适应，还要注意针对性和差异性。在例习题的编排上，一般遵循由浅入深、由易到难的循序渐进原则，常见的习题课编排方式有：递进式，按照知识内容要求的不断提高进行排列。分类式，将某个内容的问题分成各种不同类型进行编排；同一题干式，将相关问题纳入一个大的背景之下，形成同一题干若干小题的题干式；一题多变式，从一个题目出发，由简单到复杂，不断改变其中的条件或结论，形成若干个相关题目组成的题组。
通过对习题课的分析总结出习题课学案编制的大致过程可以如下：（1）分析本课时任务和学生学力状况，确定本课时的学习目标；（2）选择某个典型而具有较大拓展变化空间的问题；（3）多向思考这个问题的解决方法和可能的困难，思考这个问题可能产生的各种变式，并估计这些变式的困难；（4）根据班级学生的状况，选择本课时所有学生都需要完成的学习内容和部分学生可以拓展的内容，确定学习流程；（5）在上述这些工作基础上，整理形成学案。
4.3.3复习课学案编制
数学学习离不开复习，对一个单元的学习，其内容相对已经比较丰富，我们需要把这些孤立的、零碎的知识进行梳理，找出这些知识之间的内在联系，使得它们形成某种组块，便于学生整体认知；使得相关知识系统化、条理化，促进学生的理解，帮助学生建立良好的认知结构。
单元复习课学案编制需要完成的任务：（1）对本章节所学习的知识进行一次“拉网式”的回顾，从而再现本单元的相关知识与方法等；（2）对本章节的知识方法进行适度的梳理、重组，从而形成相关知识的网络；（3）设计丰富多样、难道恰当的训练，提高学生的综合运用能力。
4.4 制作学案模板
针对教师使用学案的形式化，制作各类学案模板可以解决教师编制学案时需要花费大量时间和精力问题。根据数学的不同课型制作相应的学案模板，教师可以根据模板快速编制学案。如新授课概念课模板如下：
4.5 学案编制应设有“使用说明”
有的学生在小学阶段没有用过学案，对于他们来说是初次使用学案，在学案中明确设置“使用说明”是必要的，它主要是为学生指明学习的方向，知道哪个过程用时多少，需要干什么，达到什么样的目标。
“使用说明”主要说明以下几个问题。
（1） 说明使用学案学生的基本情况，说明学案适合什么样程度的学生使用；特别是学生处于什么样的学校和班级，如重点学校和普通学校或者重点班和普通班的差别。对于不同程度的学生任课教师该怎样处理，尽量做到让每位学生都能使用。
（2） 说明本次学案学习中要用到的教具，如量角器、直尺、三角板、铅笔、等工具。
（3）说明课堂中师生的角色和要进行的活动，如“发现问题 ，小组讨论， 展示个人成果 ，教师对重点概念进行点评 ” 。
（4）说明教学操作的流程及时间安排。
5.小结
本文主要是通过分析学案目前存在的问题以及分析存在这些问题原因。针对其问题和数学教学的特点，提出有效的学案编制策略。文章提出的学案中存在的问题，具有一定的针对性和普遍性，希望读者阅读本文后对编制学案有一定帮助。希望能够帮助数学教师快捷的编制出高质量的数学学案，提高教师对学案使用的意识。通过教师对学案的普遍使用，发挥学案的功能、提高教与学的效率，使学生提升学习和探究的的能力，形成良好的学习习惯。
[参考文献]
[1]张琼.初中数学学案教学模式构建的研究[J].中国校外教育（理论），2010.
[2]李荣.高中文科数学学案教学模式探究[D].内蒙古师范大学，2013.
[3]黄干群.对初中数学导学案的认识[J].中学课程辅导.教学研究，2012.
[4]汪盛忠.“导学案”制误区及对策[J].学苑教育，2014，（2）.
[5]章飞.将学习的主动权还给学生--初中数学学案设计与案例赏析[M].北京：北京师范大学出版社，2013，（56-76）.
关键词：高中物理；导学案；教学模式
近年来，随着人们对于素质教育的重视程度越来越高，在课堂教学中，新型教学方式方法层出不穷。高中物理“导学案”教学模式，有利于提高学生的主体地位，促进学生巩固所学知识，变被动学习为主动学习，提高教学的有效性。结合高中物理教学实践，从导学案概念入手，对高中物理教学中“导学案”教学模式的应用进行了探讨。
一、导学案概述
1.导学案概念
导学案是以新课程标准为指导，经教师集体研究、集体研讨以及个人备课后再制定的，用于引导学生自主学习、合作探究、主动参与的优化发展的学习方案。编写导学案一定要以学生为本，以素质教育要求为目标，促进学生高效掌握知识，学会学习、学会创新、学会合作，为后续学习奠定文化基础，促进学生自主发展。导学案应贯穿于整个教学过程的始末，在培养学生解决实际问题的同时，掌握有效的学习方法，提高物理基础知识水平。物理教学内容及学科特点，奠定了实施导学案的基础。导学案不仅能够实现“学以致用”的教学目的，还能提高教学质量。对于构建高效课堂有很大的帮助。
2.导学案需要遵循的原则
导学案需要遵循课时化原则，一般情况下，导学案都是围绕一个课时展开教学活动。导学案还必须遵循问题化原则，通过问题将学生引入课堂教学中，通过提出、讨论及解答，推动导学案发挥积极作用。教师在新课程标准的指导下，根据学生的实际情况有针对性地进行课堂方案设计，制定导学案的目的，就是帮助学生建构知识体系，培养学生的自主学习能力。在制定导学案时，教师要引导学生去领悟，不可以代替学生去解决问题，在教学中，要给予学生足够的时间去学习。所以，制定导学案要根据学生对知识的领悟能力，有针对性地进行课堂教学调整。制定导学案时，全组教师要集中进行备课，然后根据教师的实际教学能力，将不同的教学任务分配给每个教师。制定导学案的初稿，一定要结合本班的实际情况，按照不同层次学生的不同需求。要争取让每个学生都能够有所收获，培养学生的学习积极性，尽可能激发学生的思维，提高学生的学习成绩。
二、高中物理教学中“导学案”教学模式的应用
1.应用“导学案”帮助学生养成良好的预习习惯
“导学案”最核心的部分就是明确学习目标，帮助学生做好课前预习，本节课教师提出的相关问题，必须在课前预习中完成，通过预习找到相关问题。应用“导学案”提高课前预习质量，首先，教师要给予及时指导，在课堂教学之前，学生要对难以理解的问题做好标记，尤其是那些重点问题及难点问题，更是要在预习中做好标记，然后带着问题寻找答案，对于那些实在解决不了的问题，在课堂教学中认真听讲。课前预习一般控制在课前十分钟，主要是帮助学生对教学内容有初步感知。课前预习时间不宜过长，时间长了会引起学生的反感情绪，增加学生学习的负担。高中物理教学中“导学案”教学模式的应用，课前预习阶段是重要环节，它不仅可以帮助学生养成良好的预习习惯，还可以发挥学案的导学功能，培养学生正确的自学方法。
2.应用“导学案”培养学生发现问题、解决问题的能力
在高中物理教学中，应用导学案不仅可以让学生做好课前自主练习，还可以让学生针对学案进行讨论，有效解决课堂教学中遇到的一些问题。利用“导学案”进行课堂讨论，必须建立在学生对于教学内容有一定的基础以后。在这个过程中，教师可以引导学生以小组为单位开展讨论，要给学生充分的思考时间，使其能够提出更多的问题与设想。然后，师生分类、整理这些问题和设想，并将这些问题和设想记录下来，大家可以分析共性的问题。如果遇到重点和难点知识，教师与学生之间可以进行讨论、研讨、交流。开拓学生思维，引导学生积极思考。在此环节中，学生不仅要倾听教师的讲解，说出自己的想法，还要做好学习方法和规律的笔记，为今后复习奠定基础。要想一节课的效果好，课后巩固必不可少。在编写课后部分的练习题目时，要针对不同的学生选择不同的题目，最后，教师要仔细批改、审阅练习题目，如果发现有共同错误，在下一堂课上一定要仔细讲解，使学生掌握得更加牢固。
总之，高中物理教学中“导学案”教学模式的应用，有利于帮助学生养成良好的预习习惯，提高课堂教学质量，对于学生课后练习也有很大的帮助，可以增强学生的自主学习意识，提高课堂教学效率。
参考文献：
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