［关键词］数学大观念；单元学习活动；理性思维
数学知识往往不是以孤立的形态存在的，而是有着严密的逻辑起点，以知识链或知识串等结构化的形态呈现。教学中不仅要关注知识的本源与道理，更要从整体上、从结构上去理解所学知识，遵循知识的发生发展规律，从整体上设计单元学习活动，发展学生的数学素养。在单元教学实践中，通过大观念的统领，实现知识的本质回归，打通知识之间的联系，关注学生的理性思维，发展学生的推理能力。我国小学数学教材编排的每个单元，一般是围绕若干个知识点，采用新授课、探究课、练习课推进，再到单元复习检测。在教学实践中，许多教师由于缺少学科大观念的统领，过于关注每个课时的细节教学，缺乏对单元整体性教学的认识；还有部分教师满足于知识和技能的教学，忽略知识内在的本质联系，忽视知识迁移能力的教学。为了解决这些问题，运用“单元学习活动”设计与实施，可以将处于学科中心地位的、最基本的数学大观念进行很好的联结，从而统领各单元的知识学习，整体推进单元结构化教学，提升教学成效。
一、“单元学习活动”的概念和意义
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，数学知识的教学要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识之间的关系，引导学生感受数学的整体性。因此，数学教学实践以大观念统领的单元学习为主，以现行教材所划分的单元为基础，对教学内容进行整体把握，并进行结构化处理，关注知识之间的内在联系，帮助学生形成新的认知结构，实现知识的理解与迁移。
（一）何谓“单元学习活动”
小学数学单元学习活动是指教师以小学数学教材中的单元为主体，在大观念的统领下展开的系统化、结构化、科学化的整体设计活动。小学数学教材中的单元，是将具有内在联系的、有共同主题的内容构成整体，根据知识的内在联系和学生的数学认知规律，由浅入深、由易到难、逐级进阶地编排内容。例如，青岛版《数学》五年级上册第五单元“多边形的面积”单元中，教材是在学生学习了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的特征及长方形、正方形面积计算的基础上，逐渐过渡到平行四边形、三角形、梯形的面积以及计算简单组合图形的面积。教材的单元设计充分考虑数学知识之间的内在结构与相互关联，还注重学生的认知发展规律，将平面图形的面积计算合理编排，体现数学知识的逻辑性和整体性。
（二）“单元学习活动”在小学数学知识学习中的意义
发展学生的数学素养需要教师从整体上设计单元学习活动。核心素养是一个人表现出来的思维品质和做事风格，体现出学生在面对新情境下分析和解决问题的能力。在单元学习活动中，数学大观念能够很好地联结知识，统领本单元的知识学习，实现知识意义的理解与自主迁移。数学大观念来源于具体的数学内容，它是学生在积极主动的探究活动中对学习内容的提炼与升华。它能对数学知识起着自上而下的引领作用，能够促进知识的发生、迁移和运用。在单元学习活动中，要以具体知识为载体，引导学生通过高水平学习任务，在概括、提炼知识学习中形成数学大观念，通过大观念的统领，实现知识的有机联系，帮助学生形成自己的认识并进行有效迁移。另外，单元学习活动能够帮助教师从整体上开展系统化、科学化的单元教学设计，促进教师的专业发展。教材编排的每个单元学习内容，通常在思维方式上相同，学习方式上相近，这需要教师从整体上对教材内容进行把握和理解。我们在教学中要关注知识整体结构的“大观念种子课”，关注知识理解与迁移的“大观念统领课”，通过单元学习活动的实施，助力单元教学的深度发生，帮助学生将知识有机地联系起来，领悟知识背后的数学思想方法，促进学生对知识本质的深度理解与迁移，发展学生的数学素养。
二、小学数学“单元学习活动”设计的原则
数学从本质上来说，就是数学知识的结构化、数学知识的整体性和数学知识的内在联系。单元学习活动设计应该遵循以下原则。
（一）整体性原则
数学中的“整体性教学”应针对整个单元而不是各个单独的一节课进行分析思考，应用“整体性观念”指导各个具体内容的教学，帮助学生很好地实现由“局部性认识”向“整体性认识”的过渡，包括厘清整体的发展线索与逻辑联系，核心大观念的提炼，重要数学思想的梳理等[1]。单元学习活动的设计强调整体性，应用整体联系的视角来研究单元学习活动设计，加强知识之间内在联系的教学，以整体性思维指导单元教学。在教学中通过开发“种子课”帮助学生形成单元大观念，单元大观念一旦形成，将从根本上统领本单元的学习活动，帮助学生厘清单元知识的逻辑联系，从整体上推进单元学习活动。
（二）结构化原则
单元学习活动设计要充分考虑数学学科知识结构和学生的认知结构，通过大观念的统领，实现数学知识的结构化，帮助学生形成认知结构，实现知识本质的理解和自主迁移。单元学习活动的设计应包括关注知识整体结构的“大观念种子课”和关注知识理解与迁移的“大观念统领课”的设计。“大观念种子课”是指单元学习起始课，如青岛版《数学》五年级上册第五单元“多边形的面积”单元中，可以把平行四边形面积作为大观念种子课，通过种子课帮助学生形成本单元的数学大观念，三角形、梯形的面积以及计算简单组合图形的面积可以作为“大观念统领课”。在“大观念统领课”中，通过挑战性任务的设计，将学习主题有机整合，发挥数学结构的力量，帮助学生实现知识的理解与迁移，真正促进单元知识结构化的实施。
三、小学数学“单元学习活动”设计的实践逻
辑——以“运算律”教学为例以青岛版《数学》四年级下册第二单元“运算律”为例，应用“整体性观念”指导本单元教学内容设计，在数学大观念的统领下，帮助学生概括、提炼出知识背后蕴藏的数学思想方法，促进知识的理解与迁移。基于这样的认识，我们进行了单元教学的思考与设计。
（一）整体分析，确定单元大观念
教材中，本单元安排了三个信息窗，第一个信息窗是对加法结合律和加法交换律的学习，第二个信息窗是对乘法结合律和乘法交换律的学习，第三个信息窗是对乘法分配律的学习。对于运算律，学生在低年级学习加法和乘法的计算和验算时，以及连加和连乘计算时，已积累了较为丰富的感性经验，这些都是学习运算律的经验和基础。《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习活动中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。教材安排的是一个快乐农场的情景串，从解决学生熟悉的实际问题入手，让学生经历从特殊到一般、从感性到理性、从具体到抽象完整的数学建模过程，感悟“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。在这一过程中，合情推理占据了主导地位，缺少演绎推理的渗透和挖掘。在单元的教学中，合情推理和演绎推理的发展应相辅相成，以加法结合律作为种子课，帮助学生形成探索规律的思想方法或思维方式，并能有效迁移到本单元其他规律的学习，引领学生真正领悟到知识背后的思想方法。基于此，提炼出了本单元的大观念：一是运算律的本质是改变计算的运算顺序，结果不变；二是“观察—猜想—验证”是探究规律的一般方法；三是合情推理和演绎推理的培养应相辅相成，帮助学生形成知识方法体系，并实现知识的有效迁移，发展学生的推理能力。
（二）种子课引领，由“扶”到“放”构建知识联系
1.确立种子课，形成大观念根据本单元的知识特点，把《加法结合律》作为本单元的种子课，尝试由种子课的“扶”过渡到本单元其他规律课的“放”，构建知识的关联，实现单元教学的有效开展。（1）情境导入授课开始，出示数学阅读情境，学生发现信息，提出问题：一共购进多少棵树苗？一共购进多少棵花苗？（2）观察等式，发现猜想学生解决问题，可能有两种个性化列式，引导学生结合解决问题的过程，说出先算什么，再算什么，学生会发现两种计算结果相等，得到两组等式：（56+72）+28=56+（72+28）（80+88）+112=80+（88+112）引导学生观察等式两边之间的联系，初步感受加法结合律的意义，得到猜想：三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。（3）举例验证，构建模型学生纷纷举例验证猜想的普遍性——（28+25）+75=28+（25+75）（32+88）+12=32+（88+12）……通过大量举例和验证，由个案中的等式关系到若干同类算式中的等式关系，由个性到普遍性，由感性认识到理性认识，得到结论：“三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。”最后引导学生用字母表示规律：（a+b）+c=a+（b+c）=（a+c）+b（4）归纳方法，关注推理问题引领：想一想，加法结合律的学习我们经历了一个怎样的学习过程？根据思考，设计问题：刚才我们通过验证得到了加法结合律。除了举例验证规律之外，还有什么方法能够验证解释加法结合律呢？学生利用加法的意义解释：三个数相加，无论先加哪两个数，最终都是把这三个数合起来，和不变。通过种子课的学习，学生经历了从特殊到一般、从感性到理性、从具体到抽象完整的数学建模过程，感悟“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。通过具体实例、逐步抽象、概括得到加法结合律的过程，合情推理占据了主导地位。对于四年级学生来说，促进逻辑思维发展是教学的主要目标，仅发展学生的合情推理能力，不能完全符合学生成长需求。对此，我们设计核心问题：我们刚才通过验证得到了加法结合律，除了举例验证规律之外，还有什么方法能够验证解释加法结合律呢？2.观念统领，自主建构本单元第二课时《乘法结合律》，学生已经初步建立起了单元大观念，它体现着本单元知识的核心、知识形成过程中的思想方法以及核心素养的教育价值，能够从根本上统领本单元的知识学习，帮助学生将知识有机联系起来，促进学生对知识的理解和迁移。因此，本节课的重点应集中于由“扶”到“放”构建联系。（1）创设情境，独立解答首先，教师出示情境，学生阅读情境。学生发现信息，提出问题：①一共购进了多少千克花土？②一共购进了多少千克花肥？学生分别用两种个性化方法解答。教师引导学生说出两种解决方法的思路，学生发现两种方法的结果相等，得到两组等式：（2×25）×20=2×（25×20）（5×8）×10=5×（8×10）（2）问题引领，自主探索核心问题引领：学习乘法结合律，我们将经历一个完整的推理过程。现在观察这组等式，你有什么发现？试着验证一下吧。通过学生的大量举例和验证，由个性到共性，由感性认识到理性认识，得到结论：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。学生用字母表示规律：（a×b）×c＝a×（b×c）=（a×c）×b。整个学习过程，学生自主经历了从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象的数学建模过程，再次感悟体会了“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。3.关注思维培养，多方式说理在小学阶段，理性思维是一种明确的思维方向，有充分思维依据，能对事物进行观察比较、分析综合、推理研究、抽象概括、思辨的思维能力[2]。理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式，是一种积极、辩证的思维方式，它能够帮助学生深入理解知识的意义并能有效迁移。在教学中，任何推理问题都是由推理形式和推理内容两方面构成的。加强数学知识的理解，是培养学生的推理能力不可或缺的基础[3]。其实，小学数学的各种概念以及计算法则、公式、规律，在教材中多数是通过丰富的实例示范，逐步抽象、概括所得出。在这一过程中，合情推理占据主导地位，缺少的正是演绎推理的渗透与挖掘。基于此，我们在研究本单元的第三课《乘法分配律》时，通过大观念的统领，采用直观手段和其他方式辅助说理，发展学生的合情推理，渗透挖掘演绎推理，关注学生理性思维的培养，发展学生的推理能力。教师通过计算实例及其算理意义的解释，多渠道、全方位培养学生的理性思维，促进学生逻辑推理能力的发展。（1）课始，教师出示两组计算实例：（12+18）×6○12×6+18×6（25+75）×12○25×12+75×12学生计算后，发现两边算式的结果相等。学生观察等式后发现猜想，然后结合自己的举例，验证规律，进而作出不完全的归纳推理，得到结论：两个数的和乘一个数，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。学生用字母表示规律：（a+b）×c＝a×c+b×c，再次经历数学规律的建构过程，感悟数学推理思想。（2）出示实际问题：课桌每张56元，椅子每把44元，学校要买50套这样的桌椅一共多少元？学生用不同方法解答，引出等式（56+44）×50=56×50+44×50，充分借助生活经验解释乘法分配律。引导学生发现相遇问题数学模型、长方形的周长公式等都可用来解释验证规律。（3）然后出示：东武学校的操场是一个长方形，原来长80米，宽35米，扩建后，长不变，宽增加20米，扩建后的操场面积有多大？鼓励学生画出图形，并运用两种方法解决问题，引出等式（35+20）×80=35×80+20×80，教师通过几何直观模型与生活问题相结合的教学方式，对规律再解释。（4）再出示35×12，鼓励学生用竖式计算，学生观察竖式后，发现竖式中先分后分的过程可以写成：35×12=35×（2+10）=35×2+35×10=70+350=420，进一步引导学生发现，原来两位数乘两位数计算的算理可以用来解释乘法分配律。（5）最后出示：12×2+12×4，你能用乘法的意义来解释验证规律吗？学生思考发现，根据乘法的意义，12×2+12×4=（12+12）+（12+12+12+12）=12×6这样的合并无论相同加数是多少、有几个，规律都是成立的，根本无须再举例。本单元的教学设计,无论是“大观念种子课”，还是“大观念统领课”，都是学生在大观念统领下深度体验知识、自主构建规律的学习过程。综上所述，单元学习活动要在大观念的统领下，从提升学生的核心素养出发，通过整体推进方式开展单元教学，发挥知识结构的力量，将知识有机联系起来，真正“让学生站在学习的中央”，帮助学生理解知识背后的数学思想与方法，实现知识本质的理解与迁移，促进学生的深度学习，促进学生数学素养的发展。
参考文献：
[1]郑毓信.数学教学研究范式的必要转变[J].小学数学教师，2020，(07)：17.
[2]秦兰勇.理性思维的基础上证据和逻辑[J].四川教育，2017,(04)：25-26.
一、设定归纳目标，明确思考方向
初中数学教学和学习中归纳推理能力是十分重要的，特别是在课程改革的背景下，学生的归纳推理能力显得更加重要。学生能够独立自主地进行归纳推理成为了教学目标的重点。数学知识具有一定的抽象性和复杂性，其对学生的逻辑思维能力和想象力要求较高。学生可以依靠自己的直觉和经验进行大胆的猜测和臆想并且加以归纳。让学生以数学规律为准则进行归纳就需要设定归纳目标与方向。因此，在初中数学教学过程中教师应该起到引导作用，有针对性地提出相应的提示，让学生的思路朝着正确的方向进行。选择合适的教学内容、掌握学生的学习情况、设定归纳目标是教师引导学生思路的主要环节：
（1）选择合适的教学内容。初中数学的教学内容并不是所有都适用于归纳推理理论，教师应该选择具有特例的、并且具有规律以及共性因素的教学内容。
（2）掌握学生学习情况。教师所设计的问题要基于学生掌握知识的具体情况，在明确学生实际学习水平的过程中了解学生的学习心理。例如在进行“有理数的减法”时，教师可以结合教材内容设计出不同的算式来检验学生归纳能力，并根据学生掌握知识的情况调整教学内容与计划。
（3）设定归纳目标。教学目标是教师进行课堂教学的目的，学习目标是学生开展内容学习的最终目的，也是让学生自主积极学习的重要方式。教师应该发挥引导作用，设定归纳目标，让学生从多元化的角度思考问题。
二、检查归纳结果，反思归纳推理
学生在就归纳结果进行小组讨论后会获得一个或一个以上的结论，在获得结论后学生还需要对结论进行解释，将已学的知识作为支撑结论解释的依据。检查归纳结果、反思归纳推理的主要教学目标就是让学生自主发觉教材的异同点，并且就产生异同的原因与影响进行研究，然后将得出的结论与其他知识相关联。在学习过程中，学生思考问题的角度与思维都不尽相同，因此每个学生获得的结论也必然是不同的。归纳结论的正确与否可以进行检验。如在“一元二次方程”的学习过程中，教师提供学习资料，让学生自主归纳;同时让学生分享各自的归纳结论，并且说明以下问题：若干方程有何异同点？命名方程有什么共性？这些方程与一元一次方程相比有什么概念区别吗？教师在完成提问后学生进行讨论与总结，教师进行针对性点评，通过归纳学生的结论来阐述一元二次方程的概念，并且引导学生对刚刚归纳过程进行反思和总结。另外，学生进行归纳反思时可以根据自身的学习情况进行个性化反思，教师还可以将学生的归纳反思与课后习题相结合，让学生在课后完成，进而实现课堂内外的联系与互动，进一步提高教学质量。
三、归纳推力理论在初中数学课堂中的教学设计
优秀的教学设计不单单能够提高教学效率，达到教学目标，还能够吸引学生的注意力，让学生获得学习数学的乐趣。在进行“有理数加法法则”的课堂教学中，教师可以利用归纳推理理论来设计课堂教学。教师在课堂教学过程中时刻渗透归纳推理理论，将培养学生自主探索能力作为教学重点，让学生自主积极的去学习。教师可以首先提出问题，“大家已经学过有关有理数的知识了，那么如果两个有理数相加的话应该怎么计算呢？”其次，教师可以让大家回答一个熟悉简单的问题：“足球比赛中赢球数量和输球数量是具有相反意义的，如果赢球了就被记为正，输球则被记为负，平局为0，那么足球比赛中足球队在比赛中的胜负会有哪些情况呢？”再次，教师和学生共同探讨这一问题，上半场赢球2个，下半场赢球3个，那么全场赢球数量为5个，也就是（+3）+（+2）=+5，一共8种情况;最后教师引导学生得出有理式的加法运算法则，上面罗列了两个有理数相加的不同情况，并且得出了先加的总和，但是如果要计算有理数相加的总和就需要归纳出有理数的加法法则。教师在教学过程中要提醒学生特别注意判断确定“和”的表示符号以及计算“和”的绝对值。
[关键词]合情推理 推理情境 类比迁移 实践操作
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）17-073
2011年版《义务教育数学课程标准》指出：在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。合情推理是一种思维方式，是学生数学能力的重要部分。那么，教师如何才能借助数学活动，有效发展学生的合情推理能力？
一、创设相关情境，将合情推理融入教学过程
教师在设计数学活动时，可以将合情推理与情境相结合，借助情境让学生经历数学活动，鼓励学生敢于打破思维定式，大胆猜想、合理猜想。在活动中，观察、类比、迁移、实验、操作等都蕴含着大量的推理内容，教师要巧妙链接，让合情推理与教学相融合。
如 “正比例”一课，要求六年级学生真正理解“什么是正比例”“什么是正比例的量”的概念还是有难度的，教师该如何设计相关情境，将概念理解与推理能力的培养相结合？可先创设“倒水情境”：往六个完全一样的空杯倒水，借助数据推理让学生发现在杯子底面积固定的情况下，水的高度增加，体积也相应增加；水的高度减少，体积也相应减少。接着，创设汽车行驶的情境，通过调用学生已有的速度与路程、时间的关系，促使学生在情境中推理出速度不变的情况下，路程随着时间的变化而变化。最后，教师再以单价固定为例，引导学生发现总价与数量的变化规律。在情境中，教师并没有直接阐述正比例的相关概念，而是以情境为突破口，引导学生借助数据进行合情推理，从而在观察、比较、归纳中得出结论，进而对正比例相关的概念有一个清晰理解。
二、抓住新旧知识联系点，有效促进合情推理的开展
合理情推理不能孤立进行，必须紧扣教材的特点。在培养合情推理能力时，知识间的逻辑结构是关键点，教师可以让学生挖掘知识结构中已有的经验，巧妙以旧知为基础，将合情推理渗透在数学活动中，从而帮助学生更好地构建知识结构。
如，乘法和加法运算定律，它是简便计算的基础，在小数教材中，简便计算是一个难点，运算定律看似简单，但在进行简便计算时，往往需要学生运用综合推理才能迅速解答。如371×101，这题要先将101分解成100+1，再利用乘法分配律；371×99，这道题需要先将99看成100-1，然后再利用乘法分配律。当学生掌握了整数的简便计算后，小数简便计算就比较简单了，如371×10.1，教师可以抓住学生已掌握的整数简便计算的基础，让学生通过类比、迁移等推理出相应的方法，先将10.1看成10+0.1，然后再利用乘法分配律。又如25×6.4，学生借助整数简便计算的基础，将25乘8就会得200，然后把6.4分解成8×0.8，于是算式变成了25×8×0.8，计算过程就清晰了。可以说，合情推理的培养建立在学生的知识基础上，教师巧妙抓住新旧知识的关联点，有效引导学生进行合理的猜想、类比、迁移、推理，就能帮助学生更好地建构知识。
三、构建可操作的教学模式，有效拓展合情推理的深度
在数学活动中，实践操作是重要的学习方式，也是培养合情推理能力的重要渠道。小学教材中，可操作的内容比较多，例如低年级的数数、计算、数感培养、认识图形等，中高年级的空间与图形等都需要学生通过动手操作才能更好地建构知识。面对抽象的数学知识，操作模式能让学生经历感性到理性的过程，学生会在操作中经历观察、比较、类比、分析、推理等数学活动，从而拓展合情推理的深度。
如在推导平行四边形的面积公式时，北师大版教材只提供简单的情境图，但怎样操作推导需要教师自主设计，有些教师为了让学生能快速记牢公式，忽视操作过程，简化推理过程，当公式被推导出来后，往往留出一定时间让学生死记硬背，从短期看，学生可能很快掌握公式，但从长远和知识结构看，学生无法在推导过程中发展数学能力，知识点变得孤立。怎样才是有效的可操作模式？教师可二次处理教材，创设情境，将学生引入探究情境中：先让学生拿出事先准备的学具，但在操作过程中，教师并不作任何提示，而是让学生自主动手操作，让学生多动手、多动笔、多动脑。将平行四边形转换成长方形是本次推导的一个关键点，通过对比新拼成的长方形与原平行四边形的边的关系又是一个关键点。在突破这两个关键点的过程中，学生的观察、比较、推理等活动能有效拓展学生合情推理的能力。
结合自己的教学实践，我认为，可以从以下四个方面培养学生的推理能力：
一、在寻找规律中发展推理能力
寻找规律的计算，打破了传统计算的模式，使学生无法简单及直接地运用计算法则、定律、公式进行运算，而必须借助推理，才能进行运算。
在教学实践中，我也常把找规律的练习融入新知识的教学中。如，教学数学五年级下册“通分”，我设计了找规律练习：
二、在操作观察中发展推理能力
数学家波利亚说：“严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”“图形与几何”有关内容的教学中，教师要注重组织学生开展学习活动，创设情境让学生在操作观察中“悟”，达到发展学生推理能力的目的。
在几何公式的教学中，教师一定要重视知识的获得过程，充分让学生操作、体验、发现、推理，得出结论，即使这个结论存在瑕疵。
如，教学四年级数学下册“梯形的认识”时，为了让学生深入地认识梯形的特征，我创设了这样一个游戏情境：①先出示学生已认识的五种平面图形（图1）。②取出其中一个，用纸片挡住（图2），让学生猜一猜纸片挡住的可能是什么图形，不可能是什么图形，为什么？学生猜测可能是三角形、平行四边形、梯形，但不可能是正方形和长方形，因为正方形和长方形的四个角都是直角。③我把挡住的图形拉出一些（图3），让学生继续猜，纸片挡住的是什么图形？有的学生猜测是平行四边形，有的学生猜测是梯形，出现了争论。④提问：为什么大家不能确定是平行四边形还是梯形呢？因为它们有着共同的特点。⑤我又拉出了一些（图4），这时，学生都猜挡住的是梯形。⑥提问：为什么现在大家都能确定挡住的是梯形呢？它们有着什么样的关系呢？
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图1 图2 图3 图4
学生在猜测“这可能是什么图形”的过程中，不断地调用自己所学的知识进行推理，既整合了自己的知识基础，又发展了合情推理能力。
三、在分析数据中发展推理能力
随着信息时代的到过，信息社会需要每个公民学会收集信息，分析处理信息，作出判断进行决策，发展统计观念和发展合情推理能力。在“统计与概率”有关内容的教学中，教师不能把问题形式化，只让学生记住答题模式。教师要善于挖掘学习素材，适当设计一些与生活联系紧密的问题情境，让学生在整理数据、分析数据的过程中，获得对数据、素材的详细感知，分析出数据背后的联系，学会作出合理判断，从而发展推理能力。
如：教学义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册“统计”时，我利用教材第124页练习题第2小题加以改编，利用电脑课件，创设了一个“运动员选拔评委会”的情境：奥运会就要开始了，某射击队高手如云，却只有一个名额。经过激烈的竞争，最后只剩下甲、乙两名队员，派谁去好呢？教练遇到了难题。下面是选拔赛上两名运动员的成绩（每人各打了10发子弹），请你帮帮教练，选择一位运动员去参加比赛。要说出你选择的理由哦！
甲成绩：9.5 10 9.3 9.5 9.6 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
乙成绩：10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
提示：可以参考两人成绩的平均数和众数。
学生通过所学知识，分别计算出甲、乙两人成绩的平均数、众数。甲成绩的平均数是9.5，众数是9.5；乙成绩的平均数是9.5，众数是10。从平均数看，甲、乙两人相同，从众数看，乙的众数是10，甲的众数是9.5，乙的成绩比甲好，派乙运动员去参加比赛，更有可能获得冠军。
四、在实践应用中发展推理能力
教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，虽然也能促进学生推理能力的发展，但远远不够。除了以教材内容为素材外，还有很多活动也能有效地发展学生的推理能力。
如，学习了数学六年级下册第二单元“百分数（二）”的“折扣”知识后，我设计了一道练习题：
一家书店出售新版《新华字典》，每本20元，一次购买数量达到50本，可以享受九折优惠。某校一年级有两个班级，人数之比是4∶5。如果每人都买一本，两个班合起来买比分开买节省了88元。这两个班级共有多少人？
解决这个问题，学生需要对“88元是一个班节省的钱还是两个班节省的钱”进行推理判断。先计算多享受到优惠的人数：20×（1-90%）=2（元），88÷2=44（人）；再通过合情推理，发现44人不可能是两班合在一起的人数（因为没有达到50人），而是一个班的人数；又因为两个班的人数之比是4∶5，44是4的倍数，不是5的倍数，因此，可以推算出另一班的人数是44÷4×5=55（人），两个班共有44+55=99（人）。
这样的问题，学生学得有趣，避开套用例题的枯燥，发展了学生的推理能力。
总之，数学教学中教师要善于挖掘学习素材，注意发展学生的推理能力，这样既能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，又能使学生学到知识，学会解决问题，而且能发展学生的思维能力。
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学基本思想的目标要求和目前小学数学教学的现状，经课题研究，提出小学数学教学中数学基本思想建构策略：通过“整合教材知识体系”“合理设计数学活动”“摸清学生思维水平”“设计合适的应用情境”建立数学基本思想的建构途径。通过“知识起始课――主要凸显数学抽象思想”“迁移发展课――主要凸显数学推理思想”“模型应用课――主要凸显数学模型思想”建立小学数学“三种课型”数学基本思想的建构策略。
[关键词]
小学数学教学;数学基本思想;建构策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”这标志着我国基础教育数学课程目标从重视“双基”发展为重视“四基”。数学思想作为数学重要课程目标，应贯穿于数学教学的全过程。那么，如何在小学数学教学中进行数学思想建构是亟需解决的问题。笔者于2014年主持了辽宁省青年科研骨干专项重点课题――“小学数学思想教学的缺失调查及对策研究”，近一年的探究与实验，取得了一些阶段性的成果，本文将结合具体课例谈谈研究所得。
一、数学基本思想的建构途径
《数学课程标准（2011年版）》明确提出了学生要获得数学基本思想的目标，但没有给出具体的实现途径，可查找文献资料也没有具体可感的途径方法。我们课题组追根溯源，在影响学生数学基本思想形成的因素中找到了最重要的几个影响因素，即“教材”“数学活动”“学生思维特点”“应用情境”四个因素，力图揭示数学基本思想的建构途径。
（一）整合教材知识体系，建构完整的数学基本思想系统
现有的各个版本的教材都是按照知识、技能螺旋式上升的特点进行编排，而没有系统地将数学的基本思想进行分类、分级，数学思想与知识、技能的编排不相匹配。这就要求教师从建构数学基本思想的角度，对教材知识进行合理整合和教学设计。
1.系统整合
要打破孤立地设计“一节课”的弊端，把教学设计的起点变为“一类课”或“一单元课”。例如，把三年级上册“一位数乘两三位数的笔算乘法”、三年级下册“两位数乘两三位数的笔算乘法”和四年级上册“三位数乘两三位数的笔算乘法”系统整合为“笔算整数乘法”这一类课。“一位数乘两三位数的笔算乘法”是这一类课的首课，设计要凸显数学抽象思想。“两位数乘两三位数的笔算乘法”是后续课，设计要凸显推理思想。“三位数乘两三位数的笔算乘法”是最后一课，设计要凸显模型思想。在这三节课中，数学基本思想在抽象思想、推理思想和模型思想的认识中得到提升。
2.局部整合
在使用教材中，还要注意从知识形成的角度出发，研究数学基本思想的完整生发过程，并对知识进行合理的统整。例如，北师大版四年级上册“相交和垂直”“平移和平行”是“线与角”单元的其中两节课。表面上看，这是要通过这两节课揭示“垂直”与“平行”的本质涵义。其实从知识形成的角度看，这是研究同一平面内两条直线的位置关系时，分类研究产生的研究结果，两部分内容不宜分开。因此，在教学设计时，要把两节内容统整为一节比较合适。
这样，基于系统和局部整合的设计，能帮助学生形成本学科特有的系统的思维方式方法。
（二）合理设计数学活动，在活动中凸显数学基本思想
在数学教学中，要以凸显数学基本思想为主线，合理设计数学活动，在活动中收获体验，在体验中完成对数学基本思想的建构。下面以“垂直与平行”这一课为例进行说明。在这课中，教师在探究环节设计了以下两个数学活动。
活动一：学生动手画图，在纸上任意画出两条直线的位置图。
活动二：学生交流讨论，给画出的多组位置图分类，并说说分类的依据。
在两个精心设计的数学活动中，教师引导学生经历“对比观察位置关系――讨论分类标准――交流分类结果――抽象概括数学概念”的过程，积累了分类的经验，归纳的经验，抽象的经验。学生经历了揭示概念本质的过程，在活动经验中感悟了抽象思想。
（三）及时摸清学生思维水平，选择合适的载体强化数学基本思想
在学生特定的思维水平下，只能形成与之相适应的数学基本思想的理解和感悟能力。因此，摸清学生思维水平，选择合适的载体强化数学基本思想才是关键。
在小学阶段，数学推理思想下位的转化思想对学生并不陌生，在很多问题的解决中都运用了这一思想。但对于这一思想的认识确实要经历一个过程才能逐渐形成。下面以北师大版数学五年级上册《多边形的面积》为例来详细解析这一过程。平行四边形的面积是多边形面积的起始课，这一课可以根据学生的经验积累，引导学生初步感受“转化的方向、方法、原则、转化前后联系”之转化思想的内涵。三角形面积是平行四边形面积的后续课，这一课教师要引导学生进一步感受转化思想的内涵，体会多样化的转化方法。梯形面积是此单元的最后一节课，这节课可以在前两节课积累的多种转化经验的基础上，大胆让学生自我探究，找到解决问题的办法。三节课中，依据学生的经验特点，由浅到深构建了数学转化的思想，学生对转化思想本质的理解也在三节课中逐渐完善，数学推理思想也在转化思想的不断深化中有了提升。
（四）设计合适的应用情境，提高学生运用数学基本思想的能力
在小学数学教学中建构数学基本思想的目的，在于提高学生体悟数学基本思想的能力，进而最终运用数学基本思想解决实际问题。因此，教师要善于设计合适的应用情境，引导学生深刻感悟数学思想。
例如，四年级下册“三角形内角和”在课内完成教学后，教师在学生已具有探索三角形内角和时的“猜想――测量――验证”的经验和数学抽象基本思想经历后，让学生运用课上积累的经验和数学思想方法，自己尝试探索四边形的内角和和五边形的内角和。这样的应用情境既是课内教学的发展和延伸，又是数学活动经验和数学基本思想得到物化的保证。在探索之中，学生尝试运用了类比推理、转化思想、归纳推理，对数学推理思想的认识得到了升华。可以说，应用情境的设计，为学生很好地感悟数学思想搭建了一座桥梁。
二、小学数学“三种课型”教学中数学基本思想的建构策略
依据对“数学化”的理解，把小学数学课型划分为：“知识起始课”“迁移发展课”“模型应用课”三种课型。下面就谈一谈小学数学“三种课型”教学中数学基本思想的建构策略。
（一）知识起始课――主要凸显数学抽象思想
从知识产生和发展的过程看，最初产生的数学的概念、法则、性质等构成了数学知识体系的基础和框架，我们可以把这部分内容划定为知识起始课的内容，它主要凸显的是数学抽象思想。可采取的策略如下。
策略之一：数学抽象要以建立充分的表象为基础
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁。因此，在概念形成、公式及法则推导过程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常关键的，这为进一步高水平的抽象概括提供了基础。
例如，在教学北师大版四年级上册“相交与垂直”“平移和平行”两节课时，为了更好地揭示概念的本质特征，统整为一节课。在教学中，重要的环节是教师要帮助学生建立典型的、全面的表象。为了抽象出“相交”“平行”的概念，让学生在一张平面纸上任意画出两条直线的位置关系图，教师帮助学生总结出典型、全面的表象图（如下图）。
学生在对表象图确定分类标准和进行分类的过程中逐渐发现和抽象出概念。如果在上述图中缺少了③和⑨这样的图形，将直接导致对“相交”概念的片面认识。为了避免这样片面认识的产生，在选取表象时，一定要考虑典型和全面。
策略之二：数学抽象要以建立合适的抽象层次为基础
数学抽象不是一次完成的，要建立合适的抽象层次，从借助于具体事物的较低层次的抽象逐步发展到借助表象或者数学概念的较高层次的抽象。
例如，两位数加一位数的笔算进位加法，这是小学列竖式笔算加法的起始课。教师必须带领学生有层次地经历“摆小棒计算”（实物抽象）――“拨计数器计算”（半符号抽象）――“列竖式计算”（符号抽象）的抽象过程。这样，有层次的抽象活动才能让学生积累完整的抽象的经验，感悟抽象的数学思想。
策略之三：数学抽象要以获取完整的数学活动经验为基础
数学活动是积累丰富的数学活动经验的有效载体，而数学思想的感悟必须借助完整的数学活动经验才能实现。因此，数学抽象要以获取完整的数学活动经验为基础。
例如，前面所说的两位数加一位的笔算加法教学中，学生经历了“摆小棒计算”――“拨计数器计算”――“列竖式计算”的活动，在三个数学活动中积累了“实物抽象”“半符号抽象”“符号抽象”的完整递进的数学抽象的经验，进而在这完整的数学抽象经验中，感悟了数学抽象思想的意义。如果在数学中，只经历摆小棒计算的过程，然后就建构列竖式的符号抽象形式，这样的过程将导致学生缺乏完整的数学活动的经验，抽象成符号形式的条件不成熟，抽象思想形成的难度大，不符合学生的思维水平。因此，获取丰富、完整的数学活动经验是建构数学抽象的必要基础。
策略之四：数学抽象要以运用合理的抽象方法为基础
数学抽象基本思想的形成必须借助合理的抽象方法来实现。如：分类方法、数形结合方法、对应的方法、符号化的方法等都是小学阶段主要用到的抽象方法。
例如：“两位数加一位数进位加法”的竖式计算教学，就利用“摆小棒”和“拨计算器”的方法，达到数形结合，通过数形结合的方法实现最终抽象为符号的目的，进而完成概念、法则的抽象过程。研究“平行”的概念时，就借助了分类的方法，通过对形成典型表象的两条直线的位置关系图，研究“分类的标准”和“如何分类”的问题，就抽象出了“平行”概念的本质特征。
（二）迁移发展课――主要凸显数学推理思想
由数学起始性知识迁移和重构发展而来的知识，可以称为后续性新知识。可以把这部分内容划定为迁移发展课的内容，它主要凸显的是数学推理思想。可采取的策略如下。
策略之一：数学推理要以构建新旧知识内在联系为基础
后续性新知识是由相应的旧知识迁移发展而来的，因而架起新旧知识内在联系的桥梁，才便于找到数学推理的基础。
例如，异分母分数加减法是由同分母分数加减法迁移发展而来的，因而教学异分母分数加减法，就要依据同分母分数加减法进行类比推理，把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法进行计算。
迁移发展课要以建构新旧知识的内在联系为基础，在新旧知识对比中找到相同点和异同点，然后进行类比迁移建构新知识。
策略之二：数学推理要以获取必要的数学活动经验为桥梁
数学推理思想的感悟不是通过某个环节单独完成的，它是在学生获得丰富活动经验的基础上逐渐领悟的。因此，设计好能让学生产生丰富数学活动经验的数学活动则是必然的。
例如，教学圆柱的体积计算方法时，设计了两个数学活动：活动一，从长方形和正方形体积的计算方法，猜一猜怎样计算圆柱的体积？活动二，能否运用转化的方法推导出圆柱体积的计算方法。在这两个活动中，学生由圆柱体、长方体和正方体都是直柱体，通过类比提出“圆柱体的体积的计算方法可能是底面积乘高”的猜想，再通过把圆柱“切、拼”转化成长方体，根据长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。在这样的教学中，学生经历了“类比猜想――验证说明”的过程，积累了“类比推理”和“转化思想”的数学活动经验，从中体会了数学推理思想在问题中的应用。
策略之三：数学推理要采用合理的推理方法来实现
推理的过程一般经历“猜想、类比、联想、归纳”的合情推理阶段和“验证说明”的演绎推理阶段。合情推理是培养学生数学思维的主要途径，也是培养创新思维的不可或缺的途径。在小学阶段，学生较多接触的是合情推理，演绎推理可在中高年级适当引入。
例如，小学五年级上册“多边形的面积”的学习，可引导学生先进行类比推理猜想出面积的计算方法，然后采用演绎推理对“猜想”进行验证，推导出图形的面积计算公式。
（三）模型应用课――主要凸显数学模型思想
建构数学模型即指从数学的角度，对所研究的问题做一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构。
以北师大版五年级下册“包装的学问”为例，谈一谈建构模型的具体步骤。
（1）了解问题背景，确定目的要求，简化研究载体
问题是：“几盒相同的糖果包成一包，怎样包装最节约包装纸？”
涵义及要求：
①要节约包装纸，从数学角度思考，就是使包装后的表面积最小。
②要找到所有的包装方法才能发现最节约包装纸的方法。
③把现实世界中的各种状如长方体的盒状物抽象看成“长方体”。
④在接口处不计的情况下，叠放后长方体的表面积就是需要包装纸的大小。
（2）选用数学工具，寻求事物联系，建立数学模型
通过观察、画图、计算的方式，建构“叠放后的长方体露在外面的表面积和内部重叠的面积大小的关系”。
①分别研究两盒糖果、四盒糖果包成一包，各有几种不同的包装形式？观察和计算后，确定最节省包装纸的叠放方法。
②比较两盒、四盒糖果的最节省包装的方案，归纳出“叠放后的长方体的表面积与内部重叠的面积大小的关系：表面积越小，重叠的面积越大。”
③总结出最节省包装的方法：使重叠后的面的面积最大。（数学结构）
（3）依据数学模型，求解实际问题，检验数学模型
应用“叠放的表面积与重叠面积大小的关系”解决包装方法的问题，并检验正确性。
总之，我们的数学课堂，不仅要完成数学基础知识、基本技能的教学任务，更要重视挖掘数学基本思想和基本活动经验的教育因素，形成一整套成熟的具有操作性的策略系统，从而达到发展学生的数学思维，提升学生的数学素养的目的。
[参 考 文 献]
[1]义务教育数学课程标准解读（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报，2011（4）.
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）09B-0029-02
一、什么是数学逆向教学设计
数学课程的显著特点在于其内容的连贯性和逻辑性。因此，学生的基础对学好数学至关重要，教学实际也清楚地表明了这一点。在数学教学中，如何通过加强学生的基础来使他们获得必要的数学知识，从而提高他们分析问题和解决问题的能力呢？为了解决这个问题，我们首先考察常规的教学步骤。常规的教学步骤是：第一步，复习引入；第二步，讲授新课；第三步，课堂小结；第四步，布置作业。在这四个教学步骤中，第二步是重点，是实现当节课教学目标的主要环节，而第一步是使第二步能顺利展开的基础。因此，设计好第一步尤其重要。那么，第一步复习引入中问题的设计依据是什么呢？显然，主要依据第二步讲授新课的需要。这就是我们所要探讨的数学逆向教学设计。
良好的开端等于成功的一半。要把第一步设计好，必须认真地钻研第二步的内容，把第二步中涉及的旧知识找出来，然后根据学生的具体情况，选择需要着重复习的旧知识，编制选择题、填空题、问答题、解答题等作为复习引入的问题。选择题包含较多的信息，要从四个选项中选出正确的项，容易激发学生对数学的兴趣。填空题也有较多的信息，由若干个条件项和填空（求答）项组成。其中的填空项的设计很重要，要选择那些与新课紧密相关的基础知识作为填空项。问答题应设计成具有基础性和启发性的问题，这些问题要有利于复习旧知识，加强知识基础，同时对新课的学习有启发，便于引入新课。解答题综合性较强，涉及知识范围广，要求写出合理正确的解答过程，难度较大，可以全方位地训练学生的能力，一般用于课堂练习题。在引入复习时，也可以根据学生的具体情况适当使用。
除设计复习问题外，在第一步复习引入中，教师还应通过创设问题情景，让学生明白为什么要学习新课，明确学习目的可以激发他们的学习积极性。
二、数学逆向教学设计中的新授课教学
逆向教学设计的教学重点是新课讲授，它是实现当节课教学目标的主要环节。“教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动的每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。”因此，对这一环节教学内容中包含的知识和能力因素及如何培养要有清楚的认识。下面从数学知识的形成、数学思维的特点、数学问题的解决等方面对这一环节教学的具体过程作进一步的剖析。
数学知识主要包含数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。数学概念一般在新课教学中会首先遇到。在教学中，教师要引导学生通过观察、分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动找出事物的共同特征，并准确地给它们下定义，完成概念的形成。之后，选编一些选择题、填空题等，让学生对组成新概念的各个因素，特别是主要因素进行判断，用针对性的练习加深学生对新概念内涵与外延的理解。接着，通过新概念的运用，进一步加深对它的认识，完成对新概念的理解。概念教学是否成功，在于教师引导学生形成概念的过程中，是否遵循概念教学的规律，创设问题情境，启发学生运用科学的手段（分析、比较、抽象、概括），找出事物的共同点。在数学概念的教学中，学生获得的不应只是数学知识，还有科学思维能力。因为概念的形成过程是在教师的引导下进行的观察、分析、比较、抽象、概括等思维活动的过程，这些思维活动是正确认识事物的基本方式。
数学命题是由数学概念组成的，它是客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式的表达方式。数学中的法则、公式、性质、公理、定理、例题、习题都可以以数学命题的形式来呈现。探索未知，把未知转化为已知，是人类认识世界和改造世界的客观要求在数学上的反映。数学教学是培养学生思维能力的活动，这种能力实际就是探索未知，把未知转化为已知的能力。数学命题的教学内容中在培养学生思维能力方面有十分丰富的材料，对此要有足够的重视。其中法则和公式的教学与性质、定理、例题、习题等的教学有些不同，因为法则和公式在命题形式上没有很明显的格式（如“如果…那么…”之类的格式）。法则是经过从特殊到一般、从具体到抽象的过程归纳总结得出的运算规则。这个过程有时要运用一些运算律（交换律、结合律、分配律）得出运算结果。运算法则本身是一种人为的规定，但是不能因为是人为的规定就可以随意而为。因此，在教学中要注意从实例中引出这些规定，让学生理解规定的合理性，进而在理解的基础上进行记忆，并熟练运用这些规定进行运算。相对于初中，高中的数学运算法则比较少，主要应用在平面向量和复数的运算中。根据高中学生的年龄特点和知识水平，在法则教学中，要求学生对法则规定的合理性、运算结果的封闭性、与先前法则运算性质的一致性有较好的理解。数学公式是一些常用的、表示基本数量关系的等式。在公式教学中，一要让学生理解公式的推导过程，二要让学生会运用公式进行求值、化简、证明。公式的推导是从一些条件出发，通过分析、推理、运算，找到这些条件和结论之间的联系的过程。因此，公式教学可以训练学生的思维。公式的运用是在理解公式的基础上，以公式表示的数量关系为条件进行推算、推论。数学运算能力是学生能力要求中的重要组成部分，是思维能力和运算技能的结合。而进行正确运算、等式变形和数据处理的依据是法则和公式。法则和公式的教学要加强算理和算法的运用，在运算中利用运算律和运算性质设计合理、简捷的运算途径，并进行充分的习题训练，以提高学生的运算技能。
在数学命题的教学中，性质、定理、例题、习题的教学占有重要的地位。这部分内容所占比例较大，命题的表达形式比较固定，题设（已知）与结论（未知）分明。数学教学常通过问题解决来培养学生的逻辑思维能力。问题解决的实质就是通过一系列正确推理的步骤实现命题中已知与未知的“接通”，把未知转化为已知。解决问题的复杂程度要看已知到未知之间的“距离”有多远及已知和未知的联系有多隐蔽。解决问题常运用演绎推理和合情推理。这两种推理有不同的数学思维过程和方式。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得出结论的推理过程。合情推理是在已有事实和正确结论（包括定义、公理、定理等）的基础上，根据实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结论的推理过程。上面所说的把已知与未知“接通”，实际上就是演绎推理。解决问题以演绎推理为主，合情推理为辅。分析法与综合法是“接通”时普遍采用的思维方法。分析法是从未知出发，寻找使未知成立所需要的若干条件，一直追寻到这些条件就是题目的已知条件。综合法是从已知条件出发，借助有关的性质和定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，与分析法是相反的。在教学实际中，有时用分析法，有时用综合法，还有时同时使用两种方法，两面“夹攻”，找到一个结合点，从而实现“接通”，使问题得到解决。其中，分析法运用得比较多，它可以比如为：在寻找使未知成立的过程中，学生的大脑是储存相关知识的“仓库”和供解决问题使用的“工具箱”，学生从中选择（通过归纳与类比等）使未知成立的最密切相关的“工具”。
【例】如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，B1、B2分别是该椭圆的上、下顶点。证明：当点P与B1或B2重合时，∠F1PF2的值最大。
解本题时运用分析法。要使∠F1PF2的值最大（未知），需先求∠F1PF2的值，而要求∠F1PF2的值，需先求∠F1PF2的三角函数值（正弦或余弦等）。在求∠F1PF2的三角函数值的几种选择中，求∠F1PF2的余弦值是最好的，因为求∠F1PF2的余弦值要用到余弦定理，与题目的已知条件联系最紧密。由cos∠F1PF2=
知道0≤∠F1PF2
能否找到使未知成立的条件与学生的基础密切相关，而要解决学生的基础问题，需要运用逆向教学设计，即对讲授新课需要用到的旧知识先进行复习。
在数学命题教学中，要使学生“知其然，更要知其所以然”，体现思维的深刻性、理解的完整性。具体做法是：第一，让学生明白是这样做（知其然）；第二，让学生进一步明白为什么这样做（知其所以然）。分析法在这里可以发挥很好的作用。因为使用分析法可以促使学生自觉、独立地寻找命题的证明途径，并自觉地理解每一个步骤及其目的，从而促进学生逻辑思维的发展。在实际教学中，往往只重视“知其然”的教学，而对“知其所以然”的教学重视不够。这样容易导致学生只知道问题的结果，而不知道产生这个结果的原因，对问题的理解只停留在较浅的层面上，没有掌握解决问题的思想方法及如何将其迁移到新问题的解决中，分析问题和解决问题能力的提高受到影响。学生在教师的引导下对问题“知其然，更要知其所以然”，就实现了认识的飞跃。因此，分析法是发展学生理性思维的有效方法。
三、数学逆向教学设计与“最近发展区”理论
根据维果茨基的“最近发展区”理论，学生的发展有两种水平：一种是已经达到的发展水平；另一种是学生可能达到的发展水平，表现为“学生还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿能够完成这些任务”。这两种水平之间的区域，就是最近发展区。把握最近发展区，并从最近发展区出发设计教学，能加速学生的发展。教学实践表明，最近发展区与学生的年龄、能力、知识水平等有紧密的联系，要通过对具体情况的具体分析来确定。教师对学生最近发展区的把握与研究，直接影响到教学效率的高低，影响学生的学习积极性，从而对学生能力的形成有着重要的影响。用最近发展区理论可以很好地解释数学逆向教学设计的合理性。在数学逆向教学设计中，第一步是复习与第二步的新课内容密切相关的旧知识、旧方法，夯实学生的基础，即学生“已经达到的发展水平”；第二步的讲授新课要求学生掌握的新知识、新方法，是学生“可能达到的发展水平”，是教学目标。分析法与综合法是使“已经达到的发展水平”过渡到“可能达到的发展水平”的桥梁。
关键词：教育治理；教育管理信息化；顶层设计
中图分类号：G434 文献标志码：A 文章编号：1673-8454（2014）18-0021-05
教育管理信息化是充分利用信息技术，开发利用教育管理信息资源，促进信息交流与共享，提高教育管理水平，推动教育改革与发展的历史进程。《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010―2020年）》（以下简称《纲要》）中指出“信息技术对教育发展具有革命性影响”，要“把教育信息化纳入国家信息化发展整体战略”；《教育信息化十年发展规划（2011―2020年）》（以下简称《规划》）更是指出“以教育信息化带动教育现代化，破解制约我国教育发展的难题，促进教育的创新与变革，是加快从教育大国向教育强国迈进的重大战略抉择”。教育管理信息化是教育信息化的重要组成部分，随着教育改革的不断深入，人们日益认识到教育管理信息化对于教育发展的重要意义：《规划》就明确把“教育管理信息化”提升到“推动政府转变教育管理职能、提高管理效率和建设现代学校制度的有力手段”的高度；《纲要》也把“构建国家教育管理信息系统”作为“提高教育管理现代化水平”的重要举措列入下一阶段国家教育建设的重点。教育管理信息化“要不要建”，在今天已不再是一个问题，但“建什么”、“怎么建”、“先建什么后建什么”在我国教育领域、教育管理信息化领域却仍有争议。从信息化建设的内在要求以及我国的实际状况来看，当下我国的教育管理信息化迫切需要从整体来谋划各部分、各元素的功能定位，从全局来明确各主体、各层面的建设职责。推进教育管理信息化的顶层设计刻不容缓。
所谓“顶层设计”是源于自然科学或大型工程技术领域的一种设计理念和方式，其本义是运用系统论的方法统筹考虑某项任务或者某个项目的各方面、各层次和各要素，追根溯源，统揽全局，以集中有效资源，规避可能发生的风险，高效快捷地实现目标[1]。第十一届全国人民代表大会第四次会议批准的《中华人民共和国国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要》明确指出“改革是加快转变经济发展方式的强大动力，必须以更大决心和勇气全面推进各领域改革”，同时强调“更加重视改革顶层设计和总体规划”[2]。当前，顶层设计的理念已逐步渗入我国经济、社会的方方面面，成为各领域贯彻科学发展观、追求可持续发展的重要指导思想。从“顶层设计”这一理念的内涵来看，教育管理信息化的顶层设计应当包括对功能定位、建设内容、应用方式、各方权责、推进步骤、实施策略、保障机制的全面规划。这七个方面互为因果、丝丝入扣，任何一方面的脱节都有可能对教育管理信息化建设目标的达成产生全局性的影响，因此对我国的教育管理信息化进行“顶层设计”必须从这七个方面全面入手、综合解决，只有这样才有可能形成由国家教育管理信息系统、各省地市区县教育管理信息系统和各类教育机构（学校）教育管理信息系统组成的“国家教育管理信息化体系”。本文将从这些方面入手谈谈对教育管理信息化顶层设计的理解。
一、教育管理信息化的建设现状和问题
进入新世纪，尤其是2010年、2012年颁布《纲要》与《规划》后，我国的教育信息化、教育管理信息化的建设有了长足的进步；2013年，教育部出台了《国家教育管理信息系统建设总体方案》（以下简称《方案》），以国家教育管理信息系统作为教育管理信息化建设的突破点，明确了“十二五”期间国家教育管理信息系统建设的总体目标、主要内容、路线图以及各级教育行政部门和各级各类教育机构（学校）的建设任务，学生、教师、学校经费资产及办学条件等一批核心业务管理信息系统正在全国各地和学校全面部署与应用。应当说，这几年的集中投入使得我国的教育管理信息化建设成绩显著。
从国家层面来看，经过一个阶段的建设与应用，国家教育管理信息系统已初见成效。教育管理信息化标准体系基本形成，国家和省级数据中心建设工作稳步推进，各级教育行政部门和各级各类教育机构（学校）已基本实现互联网接入，按照学生和教师“一人一号”，学校“一校一码”的原则基本建成了全国学生、教职工、教育机构（学校）、中小学校舍、高校学生学历学位和就业等基础数据库，部分教育管理信息系统已开始发挥作用，特别是通过全国中小学生学籍信息管理系统全国联网开展学生转学业务网上办理，极大地方便了学生和家长，实现了学生数据动态更新。这些工作在考试招生、学生就业、教育经费监管和遏制数据造假等方面发挥了积极作用。
从地方和学校层面来看，推动教育管理信息化的内在动力不断增强。各级地方政府不断加大对教育管理信息化的投入力度，学校不断挖掘教育管理信息化的应用深度，使得教育管理信息化在各地区、各学校呈现出了百花齐放的建设和应用局面。一些省市依托国家教育管理信息系统开展扩展应用，将业务管理与系统应用深度融合；一些地市和区县在满足上级要求的基础上建立了区域教育管理信息化管理云平台，依托高速互联网实现了区域内学校管理平台的云应用，降低了学校信息化运维成本；一些学校将管理信息系统下移至课堂、实验室，将教学与管理有效融合，为学生、教师提供个性化的网络学习空间，实现了师生教学效能和学校管理效能的即时分析。在这些地区和学校，教育管理信息化正在支撑和推动教育管理模式和教学方式的变革，已经产生令人振奋的积极影响。这些探索为加快推进全国教育管理信息化积累了宝贵经验。
但毋庸讳言，当下的教育管理信息化建设仍然存在下述几个问题：
第一，协同性问题。国家教育管理信息系统的建设已取得相当进展，如果将其置于体系之中，与各级教育行政部门、各类教育机构的教育管理信息系统相配合，则更能充分发挥该系统的功能。目前教育管理信息化各层面、各条线建设各自为政现象依然存在，尚未形成有效协同。从深层来说，核心问题是国家教育管理信息化体系中各元素的功能定位不够明确；各层面的任务分工不够清晰；各主体的权利义务尚未厘清。目前教育部已经出台了《方案》，不过从《方案》文本和实际推行来看，主要着眼的还是国家层面；《方案》所提到的地方和学校的建设职责，更多是强调了地方和学校要“配合”教育部完成国家任务，而对地方和学校自身所关心的问题并没有提供针对性和全面性的指导。此外，《方案》没有对参与全局建设的地方和学校的权利进行阐释，地方和学校的建设思想还没有完全与国家形成一致，建设热情也还没有被充分调动，全国教育管理信息化建设容易变成某一层面、某一主体的任务，缺位、越位、错位的现象时有发生。
第二，数据的准确性和应用服务的广泛性问题。功能定位不够清晰、建设权责不够明确所导致的协同性问题会直接影响教育管理信息系统的数据准确性。过去的数据管理系统是按照教育类别和业务线索进行建设的，系统之间相互独立，数据不能共享等问题一直存在，数据往往缺乏一致性、连续性和权威性。因为数据采集重复、统计口径不一，导致学生人数、学校数量等基础数据在不同系统中存在差异，数据不一致情况还没完全消除。此外，国家教育管理信息系统、国家教育基础数据库虽已初步建成并开始发挥效用，但基于大数据的应用并未得到有效开发，各层面的数据共享也尚未实现，这也影响了各主体推进管理信息化建设的热情和速度。
第三，长效机制问题。一是运维队伍问题。近年来，国家教育管理信息系统建设快速推进，省市教育信息化管理和技术部门普遍存在人员编制不足的情况；各级各类学校信息化技术人员普遍不足，尤其是中小学和幼儿园，没有专职的信息化技术人员的岗位；信息化技术人员收入和待遇普遍不高，职称晋升困难，职业发展前景不明导致骨干技术人员的流失。二是经费配置问题。教育信息化经费在教育经费中所占比例没有明确规定，不论发达地区还是欠发达地区教育管理信息化的经费投入都不能满足教育改革快速的发展需要，部分省市甚至由于缺乏政策依据，相关经费难以获得财政支持。教育信息化经费投入结构不合理，经费仍然集中在网络、硬件等基础设施建设，对于管理软件建设费用、开发人员费用等的经费投入比例不合理；教育信息化经费以项目建设经费为主，缺乏持续的运维服务经费支持，导致出现系统建设完成后难以持续运行。三是建设机制问题。目前教育管理信息化建设的主要力量还是政府，尽管一部分企业已经投入了教育管理信息化的建设领域，但政府和企业的关系还未理顺，市场的活力尚未被全面激活，使得一些高品质企业面对教育管理信息化建设观望犹豫，也造成了目前该领域建设企业的鱼龙混杂，从而影响了教育管理信息化建设和应用的整体品质。
以上问题恰恰反映了当下教育管理信息化顶层设计中亟需填补如下空白：《方案》说明了国家层面的教育管理信息系统的建设，也即解决了国家层面干什么怎么干的问题，但《方案》的属性决定了它没有说明各级教育管理部门和各类办学机构（学校）干什么怎么干的问题。我们还需要对全国教育管理信息化体系的建设给出总体思路，从而明确各层面、各主体的责权利。“教育治理”目标的提出无疑为教育管理信息化建设提供了新的方向。
二、 推进“教育治理”的现代化：教育管理信息化建设的新目标
“完善和发展中国特色社会主义制度，推进国家治理体系和治理能力现代化”是党的十八届三中全会确定的下一阶段全面深化改革的总目标，也为我国教育领域的改革发展提出了新的要求。2014年全国教育工作会议将今后一阶段全国教育工作的目标确定为“深化教育领域综合改革，加快推进教育治理体系和治理能力现代化”，这是我国教育系统为全面落实中央决策部署，适应教育形势变化，破解难题的一次重大理论和实践转型。“教育治理现代化”的基础是“管办评”的分离，核心是构建新型的政府、学校和社会之间的关系，突破口是政府职能的转变，重点是建立系统完备、科学规范、运行有效的制度体系，形成职能边界清晰、多元主体“共治”的格局。这个格局的核心是由以政府为主体的宏观管理体系、以学校为主体的自主办学体系和以社会为主体的监督评价体系三者构成的。加快推进教育治理体系和治理能力的现代化实质上就是要使这三大体系边界清晰、独立运作，相互制约、相互支持，分而不离、全面提升。
教育管理信息化对推动教育治理现代化不可或缺：“管办评”三大体系的构建形成、分而不离，信息化是核心支撑；明晰政府、学校和社会三者的职责和关系，信息化是有效途径；教育体系的运作优化、精细治理、即时响应，信息化是有力保障。“教育治理”理念对我国教育管理信息化的建设至关重要：“教育治理”概念中包含的依法治教、区分权责、彼此尊重、相互协作和广泛参与的理念是建设国家教育管理信息化体系的基础。从这个角度甚至可以说，教育治理现代化是教育管理信息化的理论前提，教育管理信息化是实现教育治理现代化的必由之路。从我国教育发展战略的实际需要出发，结合国外经验，当下全国教育管理信息化体系建设和应用的目标是：以国家教育管理信息系统为核心，发挥各主体作用，积极建设各级教育管理行政部门和各类教育机构的管理信息系统，构建全国教育管理信息化体系，通过全国教育管理信息化体系的全面应用，规范管理过程，推进信息公开，提高科学决策，做到教育从管理到治理的转变，实现教育治理的现代化。
三、 面向教育治理的教育管理信息化顶层设计
“教育治理”为教育管理信息化指明了建设方向也提供了理论基础，进行教育管理信息化的顶层设计必须将推进教育治理现代化作为基础和依归。因此面向教育治理的教育管理信息化建设应当贯彻应用为导向，服务是核心的方针，使得各主体在应用中充分认识教育管理信息化的作用，在服务中凝聚建设教育管理信息化的共识；应当秉持统筹规划，分类指导的理念，充分尊重各层面的实际需求，从而调动各主体的建设热情；坚持数据共享，核心业务系统统一规划部署的举措，通过数据共享使各主体充分获益，最大限度激发教育管理信息化的功能潜能，通过核心业务系统统一规划部署实现教育核心业务和核心数据的上下贯通。
根据上述原则，国家教育管理信息化体系的顶层设计可以从建设、应用、服务和保障四方面确定思路。
第一，建设目标：建成国家教育管理信息化体系。教育部根据《方案》建立全国学生、教师（职工）、学校经费资产及办学条件基础数据库及其管理信息系统、规划与决策支持系统、专项业务管理系统，并按照“两级建设、五级应用”的模式推动学生管理、教师（职工）管理、学校经费资产及办学条件管理等核心信息系统（以下简称“核心系统”）在地方和学校的建设与应用。核心系统由教育部统一设计开发，地方和学校免费使用。各级地方教育行政部门和各类教育机构（学校）按照“核心系统国家建、通用系统上级建、特色系统本级建”的原则，做好核心系统的部署与应用工作，建立地方学生、教师（职工）、学校经费资产及办学条件基础数据库，通过系统应用实现教育基础数据动态更新；在此基础上，积极开展适用于区域内多个单位使用的通用管理信息系统（以下简称“通用系统”）及单位内部使用的特色管理信息系统（以下简称“特色系统”）建设应用工作，实现信息技术在学生教师、教学科研、后勤保障等各项日常管理工作中的广泛应用。通过一段时间的建设基本形成以核心系统为主干，通用系统和特色系统为支干的覆盖全国各级教育行政部门和各类教育机构（学校）的国家教育管理信息化体系。
第二，应用目标：支撑和推动教育治理体系现代化。实现教育基础数据的“伴随式收集”（所谓“伴随式收集”指的是通过教育管理信息系统应用在管理过程中实时形成教育基础数据，完成数据收集，不同于以往人工采集数据，逐级上报获取数据的方式。）和教育基础数据全国互通共享，积极探索教育管理信息化创新应用，引导各级教育行政部门利用教育管理信息系统和教育基础数据开展业务管理、决策支持、监测监管、评估评价、公共服务等五个方面的应用（以下简称“五项应用”），实现管理过程精细化、决策支持科学化、数据获取伴随化、评价主体多元化、教学分析即时化、公共服务人性化，充分释放教育管理信息化的潜能，使教育管理信息化在政府职能转变、支撑和推动教育治理能力现代化进程中发挥更加重要的作用，促进政府教育决策、管理和公共服务水平显著提高，推动教育治理体系和治理能力的现代化。通过一段时间的建设和应用实现“五项应用”在全国各级教育行政部门全覆盖。
第三，服务目标：助力学校教学、管理改革。引导各类学校利用教育管理信息系统和教育基础数据服务学校教学、管理各项事务，直接面向每一个教师、学生和管理人员，提供个人教育空间、学习空间、管理空间，充分调动广大教师、学生、管理者的应用积极性，在学校内部实现管理平台全覆盖、管理教学相衔接、个人空间全接入，打破壁垒，使每一个教师、学生、管理者都成为教育管理信息化的建设者、应用者，将管理信息化打造成“智慧校园”的基础。
第四，保障目标：形成持续发展的良性机制。明确各级教育行政部门和各类教育机构（学校）在全国教育管理信息化建设和应用格局中的职责分工和权利义务；探索各种行之有效的机制，充分调动地方、学校、社会及企业教育管理信息化建设的积极性，形成持续发展的良性机制。
在国家教育管理信息化体系的建设和应用格局中，教育部的职责是统筹全国教育管理信息化规划，指导各地各校教育管理信息化规划和推动实施。主要任务是：建设国家教育基础数据库；开发教育部本级信息系统和全国部署的业务信息核心系统；出台核心系统接口标准；组织推动省级教育数据中心基础设施建设；设计建设全国管理信息化的公共技术与安全支撑平台；制定教育管理信息化标准规范和编码体系，建立国家教育编码库；总体推动信息化在各级教育部门和学校的业务管理、决策支持、监测监管、评估评价、公共服务等方面的深入广泛地应用。
省级教育管理部门的职责是遵循教育部关于教育管理信息化的相关工作要求与规范，制定适应本省经济、社会与教育发展状况的教育管理信息化建设与应用规划，指导所辖地市区县与学校的教育管理信息化工作。主要具体任务是：配合教育部部署国家教育管理核心信息系统，组织在本地区的应用；统筹规划和组织开发本级信息系统和全省的通用信息系统，建成本省教育基础数据库；出台本级通用系统接口标准；进行省级教育数据中心建设，为本地区所属教育行政部门和学校提供教育管理信息化基础设施运行的云服务；配合建设本地区教育管理信息化的安全与公共技术支撑平台、技术服务体系，推动信息化在业务管理、决策支持、监测监管、评估评价、公共服务等方面的深入广泛的应用。
地市区县教育管理部门的职责是根据实际教育管理职责，进行规划实施。对基础教育以区县统筹为主的地区，地市的教育管理信息化可以参考省级教育管理信息化的部分业务进行安排。对教育统筹比较多的地区，地市的教育管理信息化要与区县教育管理信息化、中小学校教育管理信息化进行全面规划统筹，按照具体业务分工进行安排。主要任务是：配合教育部、省教育部门核心业务管理信息系统的开发部署，组织在本地区的应用；组织建设所辖区域集中的中小学和幼儿园的管理信息通用系统；出台本级通用系统接口标准；开发和应用本单位教育行政管理和服务信息系统，建成本区教育基础数据库；与学校管理信息系统进行充分集成整合，为学校、学生、教师、家长和社会提供各类信息服务和办公办事服务。
各类教育机构（学校）的职责是，构建以管理和教学为核心、以师生应用为导向、针对不同学校类型特点的业务管理系统，以实现学生教师、教学科研、后勤保障等各项日常管理工作的信息化再造，使学校成为各级教育基础数据库的动态数据源。各类教育机构（学校）的核心系统应当涵盖学生基础信息管理、教师基础信息管理、经费资产及办学条件管理三类应用，原则上由国家主导统一建设。通用系统主要涵盖课程教学管理、教学质量管理、教学资源管理、教师发展管理、后勤服务管理和协作交流管理等应用，原则上由各级地方教育行政管理部门根据实际情况自主安排、统筹建设。核心系统和通用系统采用“云服务”的模式提供各类教育机构（学校）使用。特色系统即指各类教育机构（学校）自主开发建设的具有学校自身特点的管理信息系统，如班级管理、档案管理、考勤管理、学生日常事务管理、教师日常事务管理等系统。学校可以通过特色系统进一步提升教育管理信息化水平，突显学校教育管理信息化特点。学校特色系统须符合国家的相关要求、标准和规范。
四、 总结与展望
加强改革教育管理信息化的顶层设计是现阶段解决教育领域存在的各种错综复杂矛盾、有效推进教育治理的重要路径。教育部着手出台《教育管理信息化建设和应用指南》正是为了加强教育管理信息化的顶层设计。顶层设计不应仅仅停留在理念、规划层面，还应该转化为行动，唯有将教育管理信息化的顶层设计落到实处，真正付诸于实践，才能加快发展教育事业，使参与教育的各种主体活力竞相迸发，使创造教育智慧的源泉充分涌流，使教育发展的成果更多更公平惠及全体人民。
参考文献：
【关键词】小学数学；归纳推理；课程设计；教学过程
一、引言
一般来说，归纳推理是小学阶段学生学习知识与训练思维的重要方式之一，学生不仅可以借助归纳推理来构建数学知识体系及解决数学问题，同时也可以通过归纳推理来提升学生学习数学的主动性、积极性及创造性，新课标将归纳推理作为小学阶段数学重要的改革切入点，然而，目前，由于人们对小学阶段数学归推理内容的课程设计在总体上处于模糊、盲目无序的状态，从某种程度上来说，这严重背离了新课标的要求，严重偏离了素质教育的内在本质要求，本研究正是基于此，探讨小学阶段数学归纳推理的教学，因此，具有一定的理论与实际价值。
二、归纳推理的内涵及小学阶段数学归纳推理教学的现状
1.归纳推理的内涵
一般来说，归纳推理是指从个别事物中得出一些具有普遍适用意义的结论的推理。它包括完全归纳推理与不完全归纳推理，不完全归纳推理又包括科学归纳推理与枚举归纳推理，归纳推理它包含了从特殊到一般及从一般到特殊两个相互联系的认知过程，换句话说，归纳推理既包括归纳，也包括演绎。
2.小学阶段数学归纳推理教学状况
目前，小学阶段，数学教师无论在归纳推理理论，还是在归纳推理价值方面都存在一定问题，在归纳推理理论方面集中表现在：教师对归纳推理的含义认识不确切、在归纳推理所得结论存在认识误区、对归纳推理探索规律认识狭隘化。在归纳推理价值认识方面不足集中表现在：对归纳推理重要性认识不足等。
3.小学阶段归纳推理实施的阶段及教学设计
3.1小学阶段归纳推理教学实施的阶段
依据小学生思维发展的心理特征，一般可以将小学阶段归纳推理的学习分为前归纳、归纳推理的初级、归纳推理的完善及归纳推理的前演绎等阶段，其中前归纳阶段的特点是借助观察，对学生对象产生直觉表面的联系，学生对结论的过程不能用语言加以描述，处于一种模糊朦胧状态，譬如，让学生观察1，3，5，7，9与2，4，6，8两行数，让他们找出规律，归纳共同点与不同点。归纳推理的初级阶段的特点是学生在观察分析的基础上，能够对数学对象进行分类，且找出规律，比如，3×3—2×4=；4×4—3×5=；5×5—4×6=；让学生找出规律，且写出类似的三个等式。归纳推理的完成阶段的特征是学生能够在分析比较的基础上，对所获得结论进行验证评估，且可以对错误的结论能用反例来确认，譬如，7与9都不是5的倍数，7与9的和也不是5的倍数，13和8不是5的倍数，13和8的和也不是5的倍数，让学生判断假如两个数都不是5的倍数，则它们的和也不是5的倍数规律是否正确。归纳推理的前演绎阶段是指学生不仅要知道知识的结果，且知道知识的来龙去脉。
3.2小学阶段归纳推理教学设计
3.2.1小学阶段数学归纳推理教学指导思想
在小学阶段数学归纳推理教学中，需要着重让学生亲身用归纳推理解决问题的过程，通过卷入性参与来提高学生的智慧，其次，要着重提高学生在归纳推理教学中的个人体验，增加其数学学习的自信心，培养学生意会的能力。总之，在小学阶段数学归纳推理的教学更多地要建立在实践过程上，通过学生思考及探究的过程来提高学生学习及理解学生知识的能力，提高其数学兴趣。
3.2.2小学阶段数学归纳推理教学过程设计
在小学阶段数学教学中，不仅要用归纳推理获取一般的数学规律，更重要的是形成数学基本模式，比如，数学运算中总体等于部分之和的模式，这种模式的形成是一个循序渐进的过程，需要促使学自觉养成应用这种模式来分析解决相关的数学问题，譬如，现在又7箩筐的苹果，每箩筐有35个苹果，且一个盘子里有10个苹果，现将这些苹果平均分给3个儿童，问每个儿童分得几个苹果？
在用归纳推理获得数学命题教学设计中，需要借助具体的数学问题背景，一点一点地验证，进而给出一般的运算法则。在小学分数除法四则运算中，教师通常将法则直接教给学生，学生通过死记硬背法则来解决问题，从某种程度上来说，严重损害了学生创新意识的形成。譬如，现假设有鸡6只，鸡是鸭的1/3，问有几只鸭？应用归纳推理教学应当是这样的，首先，给学生列出一个类似的问题，即如果有鸡6只，鸡是鸭的2倍，则有几只鸭？很显然，学生能列出6÷2=3，依据同样的道理，应该能列出6÷1/3，接下来，让学生理解鸡是鸭1/3的具体含义，从某种程度上来说，这就是所谓的破题，因为这样可以让学生知道思考的起点，进行形成明确思路。所谓鸡是鸭的1/3是指如果有1只鸡，则有3只鸭，有2只鸡，则有6只鸭，那么有6只鸡，则有18只鸭，进而理解6÷1/3完成过程。再譬如，有4条腿的桌子与3条腿的椅子共16张，桌子与椅子共有60条，问椅子与桌子各多少？可以采用表格方式直观呈现，先假设只有桌子，没有椅子，然后，减少1张桌子，增加一把椅子，如此类推，让学生列表发现规律。
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