关键词：文科微积分；边际函数；弹性
作者简介：王新利（1975-），女，河南偃师人，上海理工大学理学院数学系，讲师。（上海 200093）
中图分类号：G642.0?????文献标识码：A?????文章编号：1007-0079（2012）34-0075-02
微积分课程是高等教育中一门重要的基础课程，理工科专业历来都非常重视微积分的教学工作。近年来，为了提高综合素质，越来越多的文科专业学生也开始选修微积分。微积分具有逻辑性强、抽象性高的特点，对于数学基础较为薄弱的文科生来说，学起来难免感到枯燥和困难，往往是兴冲冲地选了课，可越上越没有兴趣和信心。因此，在文科微积分教学中增加一些来源于生活的例子，对提高学生的学习兴趣是非常有帮助的。经济学是一门与微积分有紧密联系的学科，也是多数文科类的后续专业课程。因此，在文科微积分教学中引入经济学引例，一方面可以提高学生学习微积分的兴趣，另一方面也为后续学习经济类课程打下了一定的基础。
笔者在近几年文科微积分的教学中主要引入了以下几个方面的应用例子，明显提高了学生学习的兴趣，收到了良好的效果。
一、经济学引例在微分学教学中的应用
1.边际函数
在微分学的教学中，主要介绍导数的概念、求导方法、导数的应用、微分等内容。导数的应用主要讲三类问题，一类是求即时速度问题，第二类是求曲线的切线问题，第三类是求函数的最大值与最小值问题。但对于文科专业的学生来说，即时速度是物理学上的概念，曲线的切线是几何概念，和他们的专业联系不是太大。因此，讲课时就把这两方面的例子减少，而增加了边际函数的例子。
在经济学上，有边际成本、边际收益、边际利润等所对应的边际函数，它们是经济学上非常重要的概念。所谓边际成本，是指当企业多生产一个单位产出而增加的成本。边际收益和边际利润类似定义，它们用来衡量当自变量的改变为一个单位时相应函数值的改变量的大小。由导数的定义，。
因此，求某个量处的边际成本只要先求出成本函数的导数，即边际成本函数，然后把这个量代入边际成本函数即求出了边际成本的近似值。求边际收益、边际利润的方法是一样的。
那么，这时就提醒学生思考，利用边际成本函数的定义可以算出边际成本的精确值，为什么反而去求一个近似值呢？这样的疑问就为下面学习求最值的内容埋下了伏笔。
在经济学上，企业要追求的是成本最小化或者利润最大化的经营模式，反映在数学上就是求最大最小值问题。下面通过例子来看边际函数与最值的关系。
某空调公司生产空调的成本函数是，其中x表示每周生产的空调台数，表示公司花费的成本（以百元为单位）。该空调的价格需求函数为。问：每周生产多少台冰箱，公司的利润最大？
因为利润是收益和成本之差，而收益为价格和产量之积，所以可以先求出利润函数，那么边际利润函数是。在某个点处当导数大于0时，边际利润是大于0的，说明再多生产一台，利润是增加的，而导数小于0时，正好相反。因此只有当导数等于0时，利润最大。显然，当时，x等于100，即每周生产量为100台时利润是最大的。这样通过联系实际的讲解，非常直观地让学生了解到导数和边际函数的联系以及它们在求最值时所起的作用。
2.相对变化率与弹性
在微分学中，相对变化率是一个重要的概念。它表示函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，又被称为弹性。在授课时，经常会举物理学上的例子，但对于文科生来说，用经济学上的例子更为合适。在经济学上，有需求的价格弹性、供给弹性等概念，内容非常丰富。简单地说，需求价格弹性是用来衡量需求对价格变动的敏感程度。在实际生活中，像观光旅游这类消费对于价格的变动十分敏感，而食品、电力等必需品的消费则对价格的变动影响不大。许多企业，不管是航空公司、肯德基餐厅还是期刊出版社等都需要判断提高价格还是降低价格或者维持价格不变，企业的利润才能最大。这些问题的解决与弹性关系密切。
用表示价格需求函数，p表示价格，q表示需求量，则价格需求弹性的公式为：
该公式被称为区间价格弹性公式。一般地，当价格上升时，需求量下降，因此始终有>0。根据导数的定义，对区间价格弹性公式两边取极限，得到点价格弹性公式：
可以看到，当>1或>1时，表示价格变动一个百分点引起需求量的变动超过一个百分点，则称此需求是富有弹性的。反之，当
因此，当需求是富有弹性（>1）时，
从以上的分析可知，无论是导数的定义还是导数的应用，都在这些经济学引例中有很好的体现，同时也让学生明确了经济学分析的数理基础和数学背景，这样的教学方式有助于激发学生学习数学的兴趣，也对相关经济学科知识的学习打下了一个良好的基础，非常符合现代大学复合型人才培养的方向。
二、经济学引例在积分学教学中的应用
积分学的内容主要包括不定积分及其计算、定积分、定积分的应用等几个部分。笔者在讲授微积分的过程中尽可以引入一些经济学上的例子，使得本来抽象、枯燥的定理公式变得具体形象，从而提高学生的学习兴趣。
首先，在不定积分部分，因为积分和微分是一对互逆运算，对边际成本函数或者边际利润函数求不定积分可以得到相应的成本函数和利润函数。
其次，在定积分的应用部分定积分可以表示平面图形的面积。这又可以用来计算经济学上的消费者剩余或生产者剩余。
消费者剩余（consumer surplus）是指一种物品的总效用与其市场价值之间的差额。之所以会产生剩余，是因为“我们所得到的大于我们所支付的”。这种额外的好处根源于递减的边际效用。假设有个人愿意以275元的价格买一辆自行车，但最后的成交价格是200元，“节约”的75元即为消费者剩余。下面的例子说明积分在求消费者剩余时的作用。
某自行车零售商处一款自行车的价格需求函数为，其中x表示每个月的需求量，p表示每辆自行车的价格。当以210元的价格购买该款自行车时，求所产生的消费者剩余。
首先可以根据价格需求函数计算出当价格为210元时的需求为400元，此时的总效用为元，其市场价值为84000元，因此消费者剩余为24000元。也可以用一个式子计算消费者剩余：。
消费者剩余的概念对于评估许多政府决策是极其有用的。例如，政府如何决定新建一条公路的价值。假设一条新公路的修建正在考虑之中，由于公路对所有人免费，它并不能带来任何收入。使用公路的人所得到的价值在于时间的节省或旅行的安全，建设公路的成本能用个人消费者剩余的加总来衡量。
综上，经济学中的函数和微积分联系非常紧密。在文科微积分教学中采用大量经济学上的引例可以紧密联系社会经济现实，把单调枯燥的数学概念和推理形象化，有效提高微积分教学的趣味性，同时为以后经济学科的学习打下良好基础。
参考文献：
[1]阿姆斯特朗，等.简明微积分及其应用（影印本）[M].北京：高等教育出版社，2004.
关键词：导数；边际分析；需求弹性；Logistic模型
随着科技与经济的发展，社会的不断进步，数学这门学科与各行各业的联系越来越密切。作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。在这里从导数的概念出发介绍了边际分析和需求弹性分析，然后介绍了Logistic模型在微观经济应用。
1导数的概念在微观经济学中的应用
导数的概念反映了因变量随自变量变化的快慢，把导数这一概念放到经济学中，就是边际函数的概念，在经济学中涉及到边际成本，边际效益，边际利润等。y=f（x）在x=x0处可导，该点的导数定义为，当x=1时，即x0改变了一个单位，且x=1相对与x0是一个很小的量时，近似得到f（x0+1）≈f（x0）+f '（x0），可以看到边际函数反映了一个经济变量变化一个单位后会引起另一个经济变量变化f '（x0）个单位。例如，已知总收益函数为R（Q），Q表示销售量，边际收益MR=R'（Q），在Q=Q0时，MR|Q=Q0=R'（Q0）表示当销售量为Q0 时，再销售一个单位的商品总收益会改变R'（Q0）个单位。
函数y=f（x）在x=x0处可导，函数值的相对该变量与自变量的相对该变量之比 ，称为f（x）从x0到x0+x两点间的平均相对变化率，也称为两点间的弧弹性，当x0时， 的极限称为f（x）在x=x0处的相对变化率，也称为x=x0的点弹性，记为 。因为y=f（x）在x=x0处可导，且f '（x0）≠0，有
当自变量变化1%时，因变量近似地变化了，从中可以看到，弹性反映一个变量随另一个变量变化的灵敏程度，它是微观经济学中一个重要的概念。
作为生产者在进行生产时他会考虑商品价格对消费者需求量的影响程度来判断当价格上涨或下跌时，总收益会增加还是减少来安排下一步的生产。例如商品的需求函数Q=Q（P），P为价格，Q表示消费者的需求量，因为Q=Q（P）是随价格P的单调递减函数，所以Q'（P）
当价格为P0时，若η|p=p0
2Logistic模型在经济上的应用
微分方程在经济理论研究上经常用到，在这里只讨论Logistic方程在经济上的应用。Logistic方程描述了一种阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出的。
方程右端的因子rx体现了变量x随时间t增长的增长趋势，而因子 体现其他因素会对x增长的阻滞作用，显然x越大，前一个因子越大，后一个因子越小，而x的增长是两个因子共同作用的因子。用分离变量法求解得到
。
Logistic模型不仅能够大体上描述人口及物种数量的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如信息的传播、耐用消费品的销量、新产品的推广等。比如某种品牌的生活耐用品，t时刻总销售量为Q（t），由于该商品的性能很好，每件商品都是一个宣传品，所以t 时刻销售量的增长率与总销售量Q（t） 成正比，另外考虑到商品在市场中的容量N限制，销量的增长与尚未购买该商品的潜在购买量N-Q（t）也成正比，于是有
解之得
图1商品销售的Logistic曲线
从图1中可以看出，当Q（t）
在微观经济学的研究中以及一些定量分析中应用到微分学的地方还有很多，它为经济研究工作者和决策者的具体工作提供了一定的指导，对促进社会进步和经济发展都起到了很多的推动作用。
参考文献
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关键词类比分析微观经济学需求曲线
一、引言
作为国家教育部指定的经管类专业核心主干课程之一，经济学在全国各个专业财经院校和非专业财经院校的财经类专业课中普遍开设。尤其是微观经济学，是大部分经管类专业的学生接触的第一门专业性学科，因其对微积分、线性代数及概率论与数理统计有一定的学科要求，加之其理论性较强、逻辑性较强的特性，使得相当数量的学生对其产生爱横交织的感觉。
二、类比分析在微观经济学教学过程中的实践
类比分析（analogical analysis）主要应用在数学物理工程类的学科中，它通过两个或两类对象的比较，找到两者在某些方面（特征、属性和关系）的逻辑类似点，从而把其中一个对象的有关性质移植到另一对象中去。因此，类比推理是从特殊到特殊的思维方法，其客观依据是客观事物的相似性。
相似性是客观世界的一种普遍性，微观经济学的知识体系也不例外。所以在实际的教学过程中，教师应重点阐述知识体系之间的逻辑关系，尤其是具有类比性的知识体系。
(一)类比分析在“弹性”教学过程中的应用
在讲解“弹性”概念时，将经济学的弹性与物理意义的弹性比较。弹性的本意是一个物理学的概念，是指材料物体对外界力量的反应程度，引出弹性的数学定义。则弹性大的含义是伸缩性强，体现在经济学中为“可有可无，无所谓”，则其代表为对于中低收入者的高档消费品。
对需求的价格弹性的讲授应相对细致详细，这样有助于学生把需求的价格弹性类比到对需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性等学习中。
（二）类比分析在“d曲线与D曲线的关系”教学过程中的应用
由于垄断竞争厂商提供了有差别的且可替代的产品，所以，每个厂商面临着两条交叉的需求曲线。d需求曲线体现行业的垄断性，产品的差别性，表示个别厂商单独行为时所面对的需求状况，即某个厂商改变产品价格，而其它厂商的产品价格均保持不变时该厂商的产品价格与销售量之间的关系。d需求曲线是厂商的理想产量，其斜率较大，相对于横轴平坦。D需求曲线体现行业的竞争性，产品的替代性，表示许多厂商共同行为时所面对的需求状况，即集团中的某个厂商改变产品价格，其它厂商也使价格发生相同变动时，该厂商的产品价格与销量之间的关系。D需求曲线体现的是厂商的实际产量，其斜率较小，相对于横轴陡峭。
d曲线与D曲线的关系主要有三点：（1）当集团中的所有厂商都以相同方式变动价格时，整个市场价格的变化会使得单个垄断厂商的d需求曲线沿着D需求线上下平移。（2）d需求线与D需求线相交意味着垄断竞争市场的供求相等状态。（3）d需求线的弹性大于D需求线的弹性，即前者比后者更平坦一些。
d曲线与D曲线的三个关系可以类比于成年人寻找配偶进行类比分析。第一，假设某位女青年小G希望自己找到一个理想的男朋友，对男朋友的要求可能有很多理想的条条框框，例如，“高富帅”。这种对异性朋友理想的需求状态就类似于d曲线。随着时间的流逝，小G发现，现实生活中并没有完美的异性朋友。因此，小G就只能调整自己的心理预期，同时这种调整也是围绕着理想预期来进行调整。这种对现实朋友的需求状态就类似于D曲线。第二，当理想与实际达到交点的时候，小G就很有可能与之成为恋人，感受到幸福，实现均衡。第三，在此过程中，可以发现，小G对理想朋友的要求高很多，条件也偏多。因此，现实朋友更类似于生活必需品，理想朋友类似于奢侈品，其弹性当然也比实际朋友的弹性大很多了。综合来看，小G找朋友与d曲线、D曲线的类比关系参见表1。
因此，不难发现，作为微观经济学理论中的重难点之一，“垄断竞争理论中的d曲线与D曲线”之间的三层关系是非常复杂的。作为三本院校的学生，理解这个知识点就更具有难度。但是采用这样非常生动的类比分析，学生能够很快地理解其含义，结合对完全竞争市场和完全垄断市场的利润最大化方法的五步骤，很快就能完全掌握垄断竞争的短期均衡了。具体而言，第一步，根据MR=MC找到均衡Q*；第二步，根据Q*在d曲线上找到对应的P*；第三步，根据Q*在AR曲线上找到对应的TR；第四步，根据Q*在AC曲线上找到对应的TC；第五步，根据π=TR-TC得到利润最大化或亏损最小化的值，详见图1。
三、结论
综合来看，虽然微观经济学的学习对学生的逻辑思维能力要求较高，但如果教师在教学过程中，经常进行适当的类比分析，找到知识点与知识点之间的相似关系，例如消费者效用最大化的均衡条件与生产者利润最大化条件的相似性；或者找到知识点与现实生活中消费者行为的相似点，都有助于提高学生的学习兴趣，辅助学生深入浅出地理解并掌握经济学概念和原理，为其铺垫好相关的专业基础知识，将学习到的经济学理论学以致用，实现微观经济学教学的预期目标。
参考文献：
[1]宋宇任,保平. 微观经济学精品式教学内容创新中的几个关系[J]. 中国大学教学.2010（7）
2014年，笔者有幸参加了国家留学基金委员会和上海市教学委员会在加拿大阿尔伯塔大学举办的“teaching in English”的教师培训。在这次培训中，笔者不仅提高了用英语进行专业课教学的水平，同时也学习到了许多新的、先进的教学理念和教学方法，其中留下深刻印象的是BOPPPS教学模式。BOPPPS教学模式是加拿大诸多高校在教师培训中广泛采用了一种教学模式。目前，该教学模式已被引入国内，并用于对高校教师教学技能的培训。但是，将该模式应用于实际教学的研究却并不多见。本文针对微观经济学教学中存在的普遍问题，探讨和分析了BOPPPS教学模式在微观经济教学中的具体应用。
1.微观经济学教学中存在的普遍问题
1.1内容繁多，课时有限
据笔者了解，除了经济学专业以外，大多数经管类专业只开设一个学期的微观经济学，一般是3学分，48课时。以国内高校普遍使用的经典教材―人大出版社出版的高鸿业的《西方经济学（微观部分）》为例，课程内容包括十二章，每一章一般包括6到9个小节。48个课时内，讲解和学习将近96节的内容，不管是对老师还是对学生都是一个巨大的挑战。
1.2课程难度较大
微观经济学包括消费者理论、生产理论、成本理论、市场结构理论、一般均衡理论等，这些理论联系紧密，涉及到一些抽象的假设，难以理解。而且，微观经济学还包括许多新的概念，例如，边际效用，边际效用递减规律，边际替代率，边际替代率递减规律、边际报酬递减规律，边际技术替代率，边际技术替代率递减规律，规模报酬等。这些概念既有区别又联系，只有熟练掌握才能将其区分。再者，微观经济学的理论分析大多借助抽象的数理分析和图形分析。而这些正是大多数经管类学生最不擅长的部分。它不仅要求学生要熟练掌握数学分析工具，而且还要求学生了解经济学中的相关概念以及如何做到经济语言和数学语言的相互转换。这也难怪学生会抱怨经济学比高等数学更难。
1.3缺乏对学生实际应用能力的培养
目前，微观经济学主要以理论讲解为主。首先，由于课时有限，为完成课程内容的讲解，大多数教师以传统教学方式为主，教师从上课讲到下课，学生则被动的接受老师讲解的内容。虽然这种方式可以在有限的时间内传递最大的信息量。但是，这种填鸭式的教学会让学生把主要的精力运用于对理论知识的梳理和死记硬背，而无暇思考这些理论知识如何用于解决现实问题。
2.BOPPPS教学模式简介
BOPPPS教学模式以构建主义理论为基础，依据人类认知的过程和层次，将教学的过程划分为六个部分。BOPPPS代表了这六部分的英文首字母：B―Bridge-in（导言），O-Objective（目标）、P-pretest（前测）、P-Participation（参与式学习）、P―Post-test（后测）、S-Summary（总结）。六个组成部分相互独立但连贯起来则构成有效的、完整的课堂教学模式。不管是45分钟的常规堂课还是15分钟的微课堂，都必须包括这六个要素。表1给出各部分的含义和作用。
3.BOPPPS教学模式在微观经济学教学中的应用
BOPPPS教学模式为教师提供了涵盖课堂教学各个环节的一个完整框架，使教学安排更加的合理化、科学化、规范化和有效化。本文以微观经济学第二章第6节需求弹性为例来具体谈谈，如何以BOPPPS教学模式为基础来安排教学活动。
3.1以生活中的经济学作为引入
微观经济学是一门研究人们如何进行选择的学问，与人们的生活联系十分密切。教师可以相对较为容易的找到与课程内容相关联的案例。机械出版社出版的格伦?哈伯德的经济学教材每章以生活中的经济学开篇。这样的安排不仅可以吸引学生的眼球，同时也可以使学生了解所学的内容是如何应用于现实生活。以弹性这一节为例，教师可以以视频或者讲故事的形式向学生提出，“为什么商场喜欢打折促销？打折促销是否一定会提高商场的销售收入？”这样的问题不仅与学生的生活息息相关，能够吸引学生的眼球，而且也具备一定的难度，需要借助理论知识来解释。总之，引入问题不能太简单，也不能太复杂，要能够引起学生的兴趣，并具有一定的启发性，能够引发学生的思考。
3.2明确教学目标
如前文所讲，教学目标应包括四种要素，符合Smart原则。在弹性这一节，教学目标设定为：在本节课结束时，学生能够定义需求价格弹性，计算需求价格点弹性和弧弹性，理清弹性与销售收入的关系并能够对相关经济现象进行分析。显而易见，这个教学目标包括了谁、在什么条件下、所学内容及学到什么程度四个要素。但这并不是设定教学目标的难点，难点在于如何保证教学目标的明确和可测。比如“掌握需求价格点弹性”，这个教学目标就并不可测，学生可能并不理解，什么叫掌握了这一概念。但“能够计算”就较易定量评估。
3.3课前评估
在学习需求价格弹性之前，学生需要了解需求定理和弹性的一般概念。在课堂讲授之前，可以通过提问的方式，了解学生是否知晓这些内容。如果学生已了解，则可以进行下一步；但如果学生并不了解这些内容，需要进行详细的讲解，为学生对后续内容的理解和学习打好基础。
3.4组织安排课堂活动―参与式学习
BOPPPS式教学模式强调参与式学习，鼓励学生积极参与教学活动。在课堂中，教师应该采用多种形式去诱导学生发现问题，分析问题和解决问题。提问是教学中常见的一种互动方法，但这种方法在课堂实践中很难实施。既使教师主动向学生征询是否有问题，也未必能够得到学生的回应。其实，并不是学生没有问题，而是绝大多数学生不愿意在课堂上向老师提问。如果真有问题，他们宁愿去问旁边的同学。这可能是因为中国文化中的面子问题，遇到问题，中国人宁愿向周围朋友打听也不愿意向权威专家提问。因此在教学实践中，如何调动学生的积极性，鼓励学生主动参与讨论，主动发言，则是参与式教学的关键所在。就微观经济学而言，笔者认为，首先要弄清楚学生学习的真正动机，在引入部分尽量引起学生的学习兴趣。其次要根据具体的教学内容制定适当的教学活动。比如在北美课堂中比较常用的一种教学活动--拼图学习（JAGSAWS）。这种方法是将学生进行分组。每一组自学课程内容的不同部分，然后在课堂上，向所有学生讲解自己小组学到的内容，就像玩拼图游戏，当所有小组都讲完了，学生们就学到了所有的内容。这种学生教学生的方式可能更容易调动学生的参与性。因为学生更倾向于对同学讲解的内容产生质疑和挑战。
3.5对教学效果进行检测
后测是对教学效果的检验。围绕教学目标，可以制定规范的检测内容，也可以通过提问或案例分析来检验学生的学习效果。针对弹性这一节，在后测部分，笔者准备了两个案例分析。一个是对谷贱伤农的分析，一个是禁毒和反毒品教育两种方式对毒品交易的影响。这两个案例分析可以有效检验学生是否理解了本节的主要内容，是否能将理论知识应用于对现实问题的分析。另外，后测也可以采取教学反馈的方式，比如在加拿大培训时，教师要求学生每节课后通过E-class写教学反馈。
3.6总结教学内容
参与式学习虽然可以调动学生的学习兴趣，但也有可能使学生偏离学习目标，不能很好的将学习内容与学习目标联系起来。因此在最后阶段，教师重申学习目标，总结学习内容，反馈学习效果是非常有必要的。
摘要：随着经济体制改革的进行和经济的发展，财经类高等职业学校数学课程究竟讲授哪些内容才能适应学校教学发展的需要，为社会培养既具有专业知识和技术应用，又具有技术操作型的高技能人才，这是数学课程教学内容改革的一个迫切需要解决的问题。本文就财经类高等职业学校会计专业数学课程教学内容的设定提出几点拙见。
关键词 ：数学内容；改革；会计专业
随着经济体制改革的进行和新的经济发展战略的实施，我国的经济理论正经历着巨大的转变。作为经济理论研究中的一种重要工具和为经济理论研究提供有效的数量分析方法的数学学科受到了变革的考验，多年来财经类高等职业学校开设的专业课程中都不同程度地用到了数学知识，特别是会计类专业开设的课程如：基础会计、财务会计、成本会计、管理会计、会计报表、财务管理、经济学、统计学、审计、会计电算化、财经法规和税收基础等课程中也用到了数学知识。目前，财经类高等职业学校数学内容的设置是统一使用同一本教材，采用同一种教学进度，不分培养目标和专业，这就给我们提出了一个新问题，数学课程究竟讲授哪些内容才能适应财经类高等职业学校教学发展的需要，这对于一个从事财经类高等职业学校数学教育的老师来说逐渐认识到数学教学改革是一个迫切需要解决的问题。数学是以真实的外界现象和过程，以抽象的数量关系形式反映客观规律的。在经济研究中，数量关系起着相当重要的作用，是利用数学方法的重要领域。由于在经济领域中数学理论的渗透，在经济理论基础之上形成和发展了很多学科：弹性经济学、经济计量学、数量经济学、运筹学等以及在经济研究中被广泛应用的经济数学，无论是新兴学科还是边缘学科，都有数学理论的实现。为此，我们从以下几个方面来说明经济发展所需要的数学内容。
一、弹性经济学
弹性经济学是英国经济学家阿尔弗莱德·马歇尔在其《经济学原理》一书中提出的，它继承发展了古诺关于弹性理论的思想萌芽，并综合利用了杰文斯等人的边际分析，萨伊军人的生产费用论，明确的提出了弹性的概念、分类、定义、大小情况和影响因素、而且用几何和微分的方法推导出了弹性的计算公式，用图形表示了弹性的大小的变化规律，从此，弹性理论的微观体系形成。英国著名经济学家凯恩斯集成了马歇尔的弹性分析方法，将它用于分析国民经济总量问题，创立了关于有效需求和弹性分析，提出了总需求、总供给弹性、工资弹性、利息弹性、生产弹性、就业弹性、有效需求的预期价格弹性、有效需求的货币数量弹性等一系列概念、定义及其计量公式，使弹性理论逐渐成为一个较完整的弹性经济学体系。目前弹性理论已经有了一个大的发展，弹性经济学包括的数学内容主要有微分理论、弹性系数及计算公式函数。
二、经济计量学
经济计量学是运用现代数学和统计的方法来描述和分析经济关系为国家参与调节经济、加强市场预测分析以及合理组织生产、改善经营等经济活动。所以经济计量学带有很大的实用性和方法论的实质，它是经济学理论和经济统计学的结合并运用数学的统计的方法对经济学理论所确定的一般规律给予具体的和数量上的表示，它是使一定的理论性的经济规律具体化。其主要用于一般商情的研究和预测、市场分析、规划理论。一般商情预测和研究包括的数学内容有供给函数、需求函数、供给弹性、需求弹性、微分理论；规划理论包括的数学内容有线性代数、线性规划。
三、数量经济学
数量经济学是一门新的经济学分支，它既是边缘学科，又是方法论学科，它是在经济理论的指导下，在质的分析的基础上，利用数学方法以及计算机技术，通过探讨社会经济现象的数量关系及其变化，更有效地揭示各种经济规律的学科。它包括数理经济学、投入产出经济学、经济预测学、经济统计学、经济优化理论、经济决策学、经济系统论、经济控制论和经济信息论等。它主要用于进行经济结构分析，进行经济预测，为优化决策服务，为实现管理现代化服务，主要的方法有投入产出法、计量经济方法、最优化方法等。具体内容有高等数学、统计工具、计量估计、经济模式。高等数学包括的内容有函数、弹性、极值；统计工具包括的数学内容有随机变量的分布及统计假设检验、点估计与区间估计；计量估计包括的数学内容有单元回归方程式、多元回归方程式、非线性估计、投入产出分析等；经济模式包括的数学内容主要是投入产出分析。
四、运筹学
运筹学是用定量化方法了解和解释运行系统、为管理决策提供科学依据的一门学科。它把有关的运行系统首先归结成数学模型，然后用数学方法进行定量分析和比较，求得合理运用人力、物力和财力的系统运行最优方案。随着科学技术和生产的发展，运筹学在国民经济建设中应用广泛发挥了越来越重要的作用，是现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。运筹学所包括的数学内容比较广，有数学规划、微积分、概率论和数理统计，决策分析等等。
通过上述分析我们可以知道，每一门建立在经济理论基础之上的新学科，每一种经济数学方法都包括了很多数学理论和方法，这些内容总结起来说有初等数学的结论，有高等数学内容，也有当今数学发展的新理论。可以看出数学知识在经济类专业课程中的应用是至关重要的，特别是在会计专业课程中的应用非常重要，数学课程教学质量的好坏直接影响到专业课程的教学效果。目前就财经类高等职业学校数学教学的现状看，都没有完整的概括了经济领域中的数学内容，只有简单的微积分学和线性代数的最基础的知识，根本适应不了经济发展的需要。从经济发展来看财经类高职大致需要四大部分数学内容：（1 ）微积分学与常微分方程的基础知识；（2）线性代数基础知识与线性规则；（3）概率论与数理统计。（4）先进的会计电算化和统计软件，以便财经类专业人员特别是会计专业人员具备使用软件工具的能力。就目前财经类高等职业学校数学课时来看，根本不能够完成上述四部分的内容，如何解决这个问题，有待于我们财经类高等职业学校数学教师结合本学校的特点来进一步的探讨，本人认为，为了培养适应市场需求的财经类专业人才特别是会计专业人才，必须改革现有的数学课程体系和现有的数学教学模式，单轨制数学教学模式已经不能满足这一需求，只有采取多轨制数学教学模式才能解决好这一问题，才能适应科学技术的发展和现代化建设的需要，培养出既具有专业知识和技术应用，又具有技术操作型的高技能人才。
参考文献：
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项目化教学 经济数学 整体教学设计考核方案《经济数学》系统项目化整体教学从《经济数学》课程能力训练项目设计、考核方案、第一次课设计梗概、其他需要说明的问题四个方面进行全面系统设计，课程内容进行了优化整合，其内容共分5个模块，每个模块设计1个能力训练项目，共设计5个能力训练项目。每一模块内容结束时，学生提交本模块能力训练项目的分析报告或解决方案。使学生在完成项目的过程中学习经济数学知识，获得解决简单经济应用问题的能力。
一、《经济数学》课程能力训练项目设计
1.能力训练项目名称
能力训练项目名称有：寻找经济学中常用的经济函数；连续复利问题；边际与弹性问题及最值经济问题；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题；经济学中的线性规划问题。
2.拟实现的能力目标
第一，能识别需求函数、价格函数、供给函数、总成本函数、收入函数与利润函数，并掌握这些函数的性质及图像画法。
第二，理解函数的变化趋势、变化的连续性，会用单利、复利两种方式计算利息。
第三，能求解经济学中边际与弹性问题及最值经济问题。
第四，掌握由边际函数求总函数的方法；会讨论资本现值与投资问题。
第五，会求解经济学中较简单的线性规划问题。
3.相关支撑知识
第一，理解函数的概念，会正确求解函数的定义域；理解函数的性质，会判断函数的奇偶性等。
第二，理解极限的概念，掌握求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念，会正确判断无穷小量、无穷大量；理解函数在一点X0、区间（a，b）、闭区间[a，b]上连续的概念；理解函数间断点的概念，知道间断点的分类，能判断函数的连续性等。
第三，理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义并能加以应用。
第四，理解原函数和不定积分的概念；熟练掌握不定积分的直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法及分部积分法；掌握微积分基本定理和定积分的计算公式；掌握定积分的概念和性质；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
第五，理解行列式、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换及矩阵秩的概念；熟练掌握行列式的两种计算方法；熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法运算；熟练掌握求逆矩阵的两种方法及求矩阵秩的方法；掌握克莱姆法则求线性方程组的方法；理解n维向量、向量组线性相关、线性无关、向量组的秩、基础解系、齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解这几个重要概念；熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则。
4.训练方式手段及步骤
第一，让学生自学第一章函数第三节经济中常用的函数；找出经济函数、观察函数的性质、图像；最后得出经济函数分析报告。
第二，通过对函数变化趋势的讨论，引入数列、函数极限概念，引导学生寻找极限的计算方法；通过函数图像的观察，分析函数变化过程中的两个不同特点，引导学生得到函数连续的概念、判断函数连续的方法；最后推导连续复利公式、并解释其经济意义。
第三，通过分析函数因变量随自变量变化的快慢程度，引导学生发现导数概念，为更好计算导数，寻找计算导数的方法；为寻找计算函数改变量的近似方法，引导学生探寻微分概念，进一步寻找计算微分的方法，最终找到用微分计算函数改变量的方法；为找到判断函数单调性、极值、最值、函数图像的做法，引导学生发现使用导数这一重要工具。
第四，通过已知某函数导数求某函数问题的讨论，引导学生发现原函数的概念，通过寻找求原函数的方法，发现不定积分的概念，最后找到求不定积分的四种方法。
第五，通过求解二元一次方程组、三元一次方程组，引导学生发现二阶行列式、三阶行列式概念，通过归纳法引导学生发现n阶行列式概念，在寻找计算行列式方法中得到行列式性质等。
5.结果
结果有：经济函数分析报告；连续复利公式的推导及经济意义解释；边际与弹性问题及最值经济问题解决方案；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题解决方案；经济学中线性规划问题解决方案。
二、考核方案
对学生考核分三个方面：平时成绩（占30%）+能力考核（占25%）+期末考试成绩（占45%）。期末考试采取相同教学内容的班级统一命题、闭卷考试的方式。命题的范围和水准严格按照《概率论与数理统计》课程整体教学设计的要求执行。期末考试出同等难度和题量的A、B、C三套试卷及评分标准。
平时成绩及能力考核具体内容设计：
1.平时成绩
考核项目：出勤；课后作业；课堂表现。
考核内容：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉；完成作业情况；上课态度、参与程度、处理问题准确度。
考核标准：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉此项共计10分。学生上课迟到一次扣1分，请事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上课睡觉一次扣1分，旷课一次扣2分，扣完10分为止。完成作业情况此项共计10分。少交一次作业扣2分，作业不认真、质量差一次扣1分，扣完10分为止。上课态度、参与程度、处理问题准确度此项共计10分。上课积极参与，主动并能正确回答问题或板书做题正确一次得2分、两次得5分、三次得8分、四次得10分。上课不回答问题或板书解题此项得0分。
2.能力考核
（1）考核项目
提交经济问题解决方案或分析报告。
（2）考核内容
第一学期：第一章内容学完后提交经济函数分析报告；第二章内容学完后提交连续复利公式的推导及经济意义解释；第三章内容学完后提交边际与弹性问题及最值经济问题解决方案。
第二学期：第四章内容学完后提交由边际函数求总函数及总函数改变量，资本现值与投资问题解决方案；第五章内容学完后提交经济学中简单线性规划问题的解决方案。
（3）考核标准：
此项共计25分。提交方案或分析报告内容翔实、准确，第一学期提交一个得8分、提交两个得16分、提交三个得25分。第二学期提交一个得12分、提交两个得25分。一个学期内一次也不提交方案或分析报告此项得0分。
三、第一次课设计梗概
1.设计思想
4个关键词：沟通、介绍、渗透、要求。
2.教学过程
师生相互介绍用多媒体课件――财经、金融专业中的数学函数导入新课并介绍课程内容介绍课程教学方法介绍学习方法介绍考核方式与学生约法三章，提出纪律要求进入正题――研究函数、反函数概念及函数四个基本性质课堂小结、布置课外作业。
四、其他需要说明的问题
第一，以启发式教学为主。
第二，注重数学文化的学习。
关键词:数学模型;经济研究;弹性;需求价格弹性;线性规划模型;应用
一、引言
数学以纯粹的量的关系和形式作为自己的对象,其完全舍弃了具体现象的实际内容而去研究一般的数量关系,其考虑的是抽象的共性。相反,包括经济学在内的其他科学感兴趣的首先是自己所抽象的公式(数学模型)同某个完全确定的现象的对应问题及应用的约束条件。这两者之间是有矛盾的,因此经济学中数学运用首要的问题是适用性或说实践性的问题,即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。为简洁而又形象地对事物量化属性和结构特征进行深刻地描述,用字母、数学及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象及框图等对客观事物的数量特征及其内在联系的表达形式,都可称为数学模型。运用数学模型可以研究变量之间的关系,探寻事物的变化规律,用可控变量得出必要的结果,从而概括出理论假说,这就是数学模型在经济学中的应用。现在这两个矛盾争论的焦点,不是经济学要不要运用数学方法,而是如何在经济研究中运用数学方法问题。
二、数学模型在经济研究中的优越性
经济数学模型在经济理论的指导下对经济现实进行简化,其主要的本质方面又近似地反映了经济现实,是经济现实的抽象。能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用。
数学模型在经济研究中的优越之处在于其有坚实的理论基础,理论基础是指数学理论的支持,从最基本的概念、定义或公理出发,经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统,提供了大量可以利用的定理、方法和结论。而且数学理论的具有严谨的逻辑系统,因此数学模型也必然具有严格的逻辑关系,正确的数学模型必然引出正确的结果,更具说服力。
数学模型的优越性还表现在其着重于整个经济系统中各种经计量之间的相互关系,其最能体现系统论的思想,具有整体性、目的性、动态性和自我调节能力,能够从整体把握经济量之间的本质联系,从而展现经济过程的全貌。
因此,数学模型比一般的定性分析和统计分析更深刻、更严谨和更有效。一般的定性分析和统计分析难以有效揭示经济现象背后深层次的问题,而经济数学模型(尤其是计量经济模型)揭示了经济系统中变量之间的相互联系,将经济目标作为被解释变量,经济政策作为解释变量,可以很方便的评价各种不同的政策对目标的影响。利用数学模型对经济科学决策进行模拟和反馈,是一种目前分析经济问题和现象最可行的方法。
三、数学模型在经济研究中的应用举例
数学模型在经济中的的应用大致包括四个方面:观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势;规划和设计经济的现实和未来;分析和控制经济的运动和规模;研究和解释经济现象及规律。可以概括为:结构分析、经济预测、政策评价、检验与发展经济理论等四个方面。
例如,经济学中的结构分析是对经济现象中变量之间相互关系的研究,其研究的是当一个变量或几个变量发生变化时会对其他变量以至经济系统产生什么样的影响,其主要采用的方法有弹性分析、乘数分析与比较静力分析。下面以弹性分析为例,谈谈数学模型与经济的完美结合。
弹性作为一个数学概念是指相对变化率,即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例来说,是自变量变化1%所引起因变量变化的百分数。弹性是一种不依赖于任何单位的计量法,即是无量纲的。
下面给出弹性的一般概念:给定变量u,其在某处的改变量Δu称为绝对改变量。给定改变量Δu与变量在该处的值u之比■称为相对改变量。
定义1。对于函数y=f(x),如果极限lim■存在,则:
lim■=lim■=■■=■f′(x)
称为函数y=f(x)在点x处的弹性,记作E,即E=■■=■f′(x)。
其数学意义可以解释为当自变量变化百分之一时函数变化的百分数。
将弹性理论引入经济学,为经济分析提供了有力的工具。需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。
设需求函数为Q=Q(P),这里P为价格,Q为需求量。需求弹性为:Ed=■■。
根据经济学中的需求定理,需求函数是单调减少函数,所以需求弹性一般取负值,所以在公式的右方乘以(-1),即-■■,称其为弹性系数。
例1:设某商品的需求函数为Q=3000e-0.02p,求价格为100时的需求弹性,并解释其经济含义。
解:Ed(P)=■=■=-0.02p
Ed(100)=-2
经济意义是:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%。
弹性分析在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用。另外,在经济研究的许多方面,会遇到如何对有限的资源(如人力、财力、物力)进行合理的安排,以使预期目标达到最优的问题。数学模型中的线性规划模型结合已有的算法和软件能很好地回答这些问题。例如下面的分配问题。
例2:设有m个应聘岗位,人事部门从n个应聘人员中招聘m个工人(n≥m)。要求每个岗位有一个工人,上岗人员每人做一件工作,经测试,第i个人员做第j件工作的效率(时间)为cij,试决定招聘哪些人员上岗,以及如何分配其岗位,才能使整体效益最大。
解设xij=1表示第i个应聘人员做第j件工作,xij=0表示第i个应聘人员不做第j件工作(其中i=1,2,3,…n;j=1,2,3,…m)。于是得线性规划模型:
Z■=■■c■■x■■
s.t.■xij≤1,i=1,2,3…,n.(每个人至多做一件工作)
■xij=1,j=1,2,3…,m.(每件工作只有一个人做)
xij=0或1。(模型求解略)
说明:由于决策变量取值均为0或1,所以也称该模型为0-1规划,是整数规划的特殊情况。
此外,数学模型在经济中的应用例子很多,例如利用概率分布建立预期收益率模型、利用微分法建立最优化价格模型、利用微分方程建立经济增长模型、利用Shapley值法建立收益合理分配模型、利用期望值法解决风险型决策问题等。
四、数学模型在经济研究中的误区分析
(一)滥用数学模型
数学运用的界域是可以量化的事物,经济研究的视野是人类一切经济活动和社会关系。并非所有的经济活动和经济关系都是可以量化的,不看对象、不问条件、一门心思运用数学方法去求解经济问题,很容易使经济学沉湎于方法论的探寻,拘泥于微观经济体的研究,而对于涉及宏观经济体制变革、机制设计以及社会关系调整等全局性的问题有所轻视和忽略。现代经济学越来越热衷于复杂的数学计算,沾沾自喜于美妙的数学模型,玩弄神秘。其结果是导致经济学逐步地与每日生活的丰富性、复杂性和非理性相脱离。
(二)对数学模型约束条件的取舍过于随意
数学方法逻辑严密性和计算准确性的性质决定了任何一个数学模型都要受到若干条件的约束,只有假定这些条件满足,该数学模型才能成立。方程越复杂所受的约束条件越多。现在一些经济学家建立数学模型对于约束条件,一是根本不去考虑,二是过于简化,三是约束条件的确定十分随意,仅从模型本身的需要出发而不考虑是否符合客观实际要求。如此建立起来的数学模型起不到对经济现象量化模拟和对经济理论抽象概括的作用,相反,容易引起理论的混乱和实际操作的重大失误。
(三)先建立模型,再寻找数据
本来构建数学模型要对所研究的现象进行细微周密的调查,尽可能获取详尽的数字资料,并应做一番去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的深入分析,以期找出主要因素及各因素的数量关系,从而建立起数学表达式。可现在一些经济学家却反其道而行之,将构建数学模型的顺序颠倒了过来。采取先确定数学表达式,然后再找能够支持数学关系式成立的数据,从而验证自己所做出的理论概括的正确性。这种以主观意识为导向的研究方法是不可取的。经济学本来应是一门从实践到理论再到实践的不断用实践验证和充实的实证性科学,若反其道而行之,难免会使经济研究步入不问民众疾苦,远离社会经济生活实际的歧途。
(四)过分看重数学模型的结果
建立数学模型对经济问题进行分析、计算和预测,为我们定量分析经济问题提供了一种方法,对于我们更好地把握经济问题有一定的帮助。但是我们不能因为有了数学模型就认为问题就得到了解决,也不能认为经济数学模型就是科学的依据。数学模型只是从一个侧面给了我们分析经济问题的方法,在具体实践中绝对不能对模型神秘化、崇拜化。
五、对数学模型在经济中的应用的一些认识
(一)重视数学模型的技艺性
数学建模的技术创造带有一定的艺术特点,具有技艺性很强的技巧。首先,建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。其次,数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法,而且还是一种从无到有的创新获得过程,数学建模的好坏与建模者的素质息息相关,人是数学建模的主体,事物原型是数学建模的客体,在数学建模的过程中,经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等因素起的作用往往比一些具体的数学知识更大,一个成功的数学模型总是主体的能动性与客体的规律性达到高度统一时境界的产物。
(二)数学模型的逼真性和可行性往往无法兼顾
逼真的模型在数学上常常是难于处理的,因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的,即实用上不可行。越逼真的模型常常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高,而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性,“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择。
(三)理解数学模型的局限性,更好地为经济研究服务
数学模型只是一种分析工具,必须在经济理论的合理框架中才能真正发挥其应有作用,而不能将之替代经济学,而且数学模型的局限性:第一,人为因素直接影响数学模型,既表现在建立要受人们对客观经济现实认识能力和仿真手段的限制,还表现在其应用是有条件的,不能脱离应用者的学识、经验和判断能力。而人的认识是总是有局限性的,因此经济数学模型难免有其相应的局限性。第二,虽然由数学模型得到的结论具有通用性和精确性,但是模型中需要的参数是人们自己设想的,不可能正好与实际相符,另外带入模型的其他数据的准确性也难以肯定,于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。第三,并不是所有经济现象都能找到数学模型来支持,还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型。如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程等。第四,数学模型在经济中应用广泛,但目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧。这既是我们今后应该努力发展的方向,又是我们不可推卸的责任。因此,我们要认识到数学模型的局限性,对数学模型有比较全面的客观的认识,有利于我们更好地利用数学模型为经济研究服务。
参考文献:
1、杨策平.经济数学模型分析[M].中国地质大学出版社,2003.
2、李伯德.数学建模方法[M].甘肃教育出版社,2006.
3、黄忠裕.初等数学建模[M].四川大学出版社,2004.
我们就从这小小的优惠券开始吧。你是否留意。几乎所有的优惠券都是减价的优惠券，你会说，只有傻子才会搞涨价券。但别笑，后面你会发现真的有过涨价券，我们也的确被当过傻子。
对于我这样不富裕的人，对待货币的态度比较谨慎，虽然不是“一分钱当两分钱花”，但能省的地方还是要省的。经济学家用“需求弹性”这个词把我这样的和那些大手大脚的人区分了开来，我是需求弹性大的消费者，价格降了，我就会考虑买，或者多买点儿，我愿意打印出来肯德基的优惠券拿着去吃一顿早餐，而比较有钱的顾客往往就不愿费力到处找优惠券了，想吃就直接去吃好了，经济学家因此称他们需求弹性相对较小。
“需求弹性”是经济学中一个非常重要的概念，它最早是由英国著名的经济学家马歇尔提出的。阿尔弗雷德・马歇尔(Alfred Marshall)，可以说是现代微观经济学的奠基人，是剑桥学派和新古典学派的创始人。
马歇尔将政治经济学这门学科的名字改为“经济学”，使它从仅仅是人文科学和历史学科的一门必修课发展成为一门独立的学科，昭示着经济学已经成为了像物理学、数学或其他精确的知识体系一样的正式科学。并且，剑桥大学在他的影响下建立了世界上第一个经济学系。
按照马歇尔的解释，当价格下跌或上升时，商品需求数量会相应地增加或减少，需求变化程度比价格变动小，就是需求弹性小；反之则需求弹性大，如两者相等，则需求弹性均匀。换句话说。所谓需求弹性，就是指需求与价格之间相互依赖的程度大小。需求弹性的大小取决于价格变化时需求量随之变化的程度。
经济学家总结出这样的简单规律：当供给不变。价格就取决于需求，取决于购买者的购买欲望和购买能力。当供给增加的时候，价格就会下降，而供给减少时价格就会上升。
关于弹性，马歇尔还讲到一个有趣的现象。一辆汽车中第四个轮胎要比前3个的效果大得多。
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