关键词：音的相互关系；感性逻辑；形式美
中图分类号：J601文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2013.02.016
音乐艺术由于不同于自然学科而存在很强的独特性，尤其是在创作、表演方面，突出个性的主观意识表达成为其音乐风格成型的最主要要素，由此也带来音乐研究中对个体研究的关注度增强。再加之音乐语言的非语义性和音响的非物质化形态，更加重了音乐对“不以人的意志为转移的客观规律”的研究难度，甚至连音乐研究的对象至今还难以定论，因为“乐谱上的音符——可听到的音响——作曲家创作时的内心听觉音响”三者并不等同。于是，音乐艺术强调个性，突出感性体验也就成为必然。但在人类的发展历史长河中，通过理性的认知来掌握科学的方法与手段并以此来认识与改变世界，是人类文明成长的一条必由之路，于是，音乐艺术在突出感性体验与需要强调理性认知来促进其科学的发展间的矛盾也成为摆在其学科研究面前的一道难题。虽然早在数千年前，东方有孔子提倡的“礼、乐、射、御、书、数”六艺将音乐教育放在了很重要的位置，西方也有毕达哥拉斯将数与音的和谐作为认识世界本质的工具，但直至今日，不论是在科技手段相对发达的西方还是在文化历史悠久的国内，音乐教育在教学手段与方法上仍然离不开对感性体验的巨大依赖+①。一方面，音乐艺术作为素质教育的重要内容在国内高校乃至社会生活领域都存在巨大的需求；另一方面，音乐教育的教学手段对感性体验的巨大依赖性又制约着受教育者理性认识的参与，从而影响到素质教育的核心价值。此外，在专业音乐教育尤其是表演领域中长期存在的一对一的言传身教与师徒相承的教学模式，既限制了教学规模的扩大，也存在以教师的感性经验为重要教学内容的弊端，而这些现象的产生归根结底同样是由于音乐教育对感性体验的巨大依赖所致。因此，音乐艺术的科学发展之路如果不能认清感性与理性之间的关系，音乐教育的内容与教学手段恐怕只能止步于感性体验与个性经验等难以达成共识的难题面前，于是，我们有必要追问一句：音乐艺术中的感性体验是否与理性逻辑之间存在着难以调和的矛盾呢？
一、音乐感性逻辑的理性表现
音乐语言的非语义性和音响的非物质化形态对于自然科学中强调实证的认识手段存在较大的研究难度，但音乐的形式结构大量存在对立统一原则、对称平衡、黄金分割等现象使我们有理由相信：音乐的形式结构特点在人类的感性认知与具有共性的理性逻辑中一定存在对应的联系渠道，为此笔者提出了感性逻辑的概念，它首先来自对两个问题的探讨：一、如果音乐教育依赖感性体验和经验为重要的手段，那么对音乐的感性认知本身是否存在逻辑现象；二、音乐中存在的逻辑现象是否存在逻辑本身无法完满解释的成分，从而需要感性的介入以达到完形。因此音乐的感性逻辑就是指人在对音乐作品的感性认知过程中所存在的人的主观意志与不以人的主观意志为转移的客观规律并存的特殊现象。这个认知过程在音乐的创作、表演、欣赏三个阶段由于都有人的主观性参与，因此感性逻辑也存在于音乐成型的整个过程。
对第一个问题“音乐创作与表达中的感性认识是否存在逻辑？”，我们先假设音乐作品中的每个音用独立的字母a、b、c、d……依次表示，音乐的呈现方式都存在前后顺序，创作与表演过程中，作曲家与演奏家都会将音符进行一定的分组，这就形成了音的组合、分句、段落等结构形式，那么这个共同体既包含有a+b（各自的独立性），也包含有ab（衔接的关系，二者的共同体）。以《义勇军进行曲》的歌词开始与结束为例，开始处的“起来”与结束处的“前进，前进，前进进”在音高材料上都是相同的属音主音的上四度进行，但“起来”在歌唱时是将它作为一个整体——词组来对待，而“前.进”则是两个字分别予以强调。于是，音与音的前后关系就是a+b与ab的合集两种形态。如果用音乐的术语来说，音与音的这个合集ab有可能构成动机、主题，而a+b则有可能是音乐组合形式、分句、呼吸的体现。如果每次增加一音，随着音的数量增长，则有可能形成这样的数理形式：
图例1
随着音的数量增长，音的组合形式中的数列会发展为：1，2，4，8，16，32，64……，表面看上去这一组数字似乎是以对称为主要特征的成倍增长的倍增数列，但考虑到“每次增加一音”这一条件，它还可以包含另一层逻辑：1=0+1，2=1+1，4=（2+1）+1，8=（4+2+1）+1，16=（8+4+2+1）+1……。这样的结果导致在音的结合关系上，每增加一音，所包含的组合可能性将是“以前的总和再加一”。于是，就音的组合形式而言，音与音的关系成为音乐最终成型的重要指标，不论是创作或表演，当一个音出现后，下一个音与之是何种组合关系将直接决定它的表达形式，二者之间的联系往往更多地取决于创作与演奏者的主观认识，这是其感性认识的具体表现。因此，倍增数列所包含的音与音的关系凸显现象也能概括到人的感觉积累中去，是在基础上不断累积的一种发展体现，也是具有逻辑规律的数理概括。在数理层面上的个体相加，在感觉的层面却并不一样，即1+1>2，音的组合不等于音与音的简单相加②[1]。由此，在音乐表演艺术中，尽管存在作曲家比较详尽的记谱限定，表演家仍然能在音的组合关系-乐句的承前启后地位-段落的发展逻辑-曲式结构的布局-音乐高潮的张弛安排-直至整场演出的情绪风格构思等不断出现的“1”与“1+1”的组合中发挥“>2”的能动作用。甚至在欣赏阶段，欣赏者也能在音响的逐步呈示过程中灌注自己对音的相互关系的组合认识，从而获得因人而异的感性体验。但不论感性认识存在怎样的千变万化，在同一个音乐作品的创作、表演、欣赏过程中，音+音所具有的倍增数列现象都是相同的，也即是在感性的外衣下都具有倍增数列所呈现的内在发展逻辑。
在音与音的组合关系中，其数列结构还存在更为复杂的表现形式：音+音构成主题、动机；主题动机的结合可以进一步扩大为乐句、乐段，进而产生曲式；曲式的进一步复杂化能形成音乐作品的各种形式，奏鸣曲、回旋曲、组曲、协奏曲等。当曲式这一概念被定义为音乐作品的所有结构和形式后③，再没有别的概念来替代和进一步发展，于是近现代作曲家转而在音响的呈示方式上寻找出路，首先是演奏方式、表情记号的详细和扩大，从而带来记谱法和演奏法的创新。在这一历程中我们不难发现，作曲家的职能开始扩大：创作——演奏——欣赏三个独立的阶段开始被打破，作曲家已经干预到演奏的音响呈示方式上来了，演奏家的职能在缩小，曲式的概念已不仅仅是“纸上谈兵”，而应该变成“乐曲和音响的结构和设计”，我想用“音响导演”这个词来称呼作曲家应该更合适。那么曲式的定义呢？也应该包含“音响形式”的范畴，我们暂且叫它“音响曲式”吧。接下来大家可能已经想到，作曲家只有再插手“欣赏”阶段的创作了，于是就有了约翰.凯奇著名的无声音乐作品《4'33"》，说无声，其实又有声，只是由听众在欣赏过程中创造而已。到这里，“创作——演奏——欣赏”三个独立的阶段已经被完全打破，“音响曲式”的名称也就不再适用，而“音乐”呢？这一名称我们只是传承习惯的称呼，而它的范围却在“一而再，再而三”地扩大，因此，作曲家对音乐的创作空间也在随之“一而再，再而三”地扩大。这就如西方大小调体系期间，功能和声形成的调性概念是对纷繁复杂的音高材料的简化一样，它是站在新的逻辑层面上看待音高，如今纷繁复杂的调性变换成了音高材料的简化对象，现代音乐对调性体系的颠覆获得了成功，但却带来音乐世界中音高材料的一次轮回，即简化调性的音高材料自身又陷入纷繁复杂的无序外形。它们需要新的逻辑力量将它们重新凝聚起来，于是才有了现代音乐各式各样的创新理论的诞生。倍增数列的“1+1”看似具有重复特点，但更应该具备站在更高层面或者整体的视角上看待个体与总体间关系的内涵，并以此建立起新一高度上的“1”轮起点。这些不断出现的高一层次的逻辑相继出现，其组合形态依然能构成倍增数列。音乐中所包含的音与音之间的关系不是二维的平面，而是立体的三维甚至多维，关系与关系间的问题也就构成了层次的不断丰富、层层叠加。
图例2倍增数列的立体图示
音+音的立体层次：
在这些关系的层次递进中，看似平面的单旋律其实是包含有立体的多声关系层次，这种“横生纵”现象在中西方音乐作品中非常常见，也可以说是赵晓生在《时空重组》[2]中所展示给我们的一种视角。不难看出，不论组合形态自身或是其相互关系如何演变，其发展逻辑的根本形式是“和”，即音与音的关系在感性逻辑的认识过程中终究是要将其合为一个整体。由此可以看出，音乐的感性逻辑体现在音乐在创作、表演与欣赏的不同阶段都存在感性认识，也都存在以倍增数列为表象的逻辑现象。
由于每增加一音，音的相互关系会呈现成倍增长的特点，但音与音之间的关系不是二维的平面，而是立体的三维甚至多维，关系与关系间的问题还构成了层次的不断丰富，层层叠加，于是音的相互关系之间存在的逻辑也会随之成倍增长。这就导致音乐逻辑的复杂化与多样化，但在感性认知中，音乐复杂的逻辑却会被能否将所有的音、音组、关系与层次协调统一为“1”个美好的整体印象的感性综合与总体认识所取代，即音与音的关系在表演者或欣赏者感性逻辑的认识过程中终究是要将其合为一个整体。这种组合关系无外乎“对立”或“统一”，统一是相同的内在逻辑的延续，而对立则是在更高一层次上的互补，于是在音的分组过程中相似性可以存在，而互补性（不相似性）也同样可以存在，不同的发展逻辑在更高一层的感性逻辑的认识中仍能统一为一个整体，甚至完全对立的音乐性格也会由于互补而在新的逻辑层面上融为一体，这无疑会带来对音组认识中巨大的变化可能。再加之这些逻辑发展手法在不同作品中不尽相同，在不同的层次上也可能完全不同，从而也形成感性逻辑所具有的巨大包容性，因此音乐创作、表演与欣赏阶段，不同的个性选择就为感性逻辑千变万化的存在方式提供了多样化的形态。总而言之，感性逻辑总是以“和”的手段将种种不同层次的客观逻辑引向与人的主观感受相联系的整体印象——“1”，即倍增数列的任何组合都将合为一个整体的“1”——感性印象。由于其一条根本不变的手段是“和”，因此无论是相似或不相似、统一或对立，感性逻辑的最终目标都是要建立一个整体印象，哪怕是一个不美或不好听的印象。由此可见，音乐中存在的“感性认识中包含的逻辑现象”与“对复杂逻辑进行感性认识的‘和’的特点”构成了音乐感性逻辑探讨的核心。
二、音乐形式美的实证
由于感性逻辑的最终目标都是要建立一个整体印象，因此从音乐的形式美转变为人的感性认知美，或者在人的感性认知美中所对应的作品的形式结构特征则成为感性逻辑获得实证的重要途径。在音乐的发展逻辑中，不论是对立还是统一，倍增数列呈现给我们的首要一个形式就是“对称”，由此也就引出本文所涉及的第二个核心问题——形式美④。不论是音乐本体的细部分析还是宏观布局的整体观照，以对称平衡为代表的音乐形式美有大量的实证存在，这些形式美的背后隐含的逻辑规律是否是音乐感性逻辑的一种表现形式呢？从感性逻辑层层递进的演变形式已然能看出：数理逻辑不过是其发展逻辑的一种概括形式，因此数列中的对称也不过是其形式美的一种表象而已，除均衡对称之外的起承转合、黄金分割、完形结构等都可以说是音乐形式美的某一种表象，因此发现音乐本体中的形式美结构，并进而发掘与音乐发展逻辑间的联系将为“音乐作品中具有一定逻辑的数列结构能形成一定的形式美”提供有力的佐证，从而最终确立音乐感性逻辑及其分析手段的科学价值。
在音乐形式美的分析中，何种结构形式应被认为是形式美是建立分析对象的一个重要前提。我们可以假设音乐中存在有一定的理性规律，既然是规律那就必定不止出现一次，于是重复的现象产生了。当每一次重复时，从数理的角度讲那就是增加“1”，而这种重复（1+1）恰恰是对称结构的明显特征，也是相互关系间倍增数列的重要体现。从音乐的本体角度来说，有量记谱法发明至今，五线谱在专业音乐界得到最广泛的运用，其明显的一个优势就在于：音符在视觉上的高低也基本决定了音响在听觉上的高低，这种视觉与听觉间的联系在一定程度上将有利于在音乐分析中直观地展现音响中的形式结构。而在记谱法则中，对称成为音高材料在形式上的重要特点，这首先来自高低音谱表的对称结构（G谱表与F谱表以C音为轴构成对称的记谱形式），而这一对称结构在西方音乐的漫长发展历史中恰恰也体现在主-属-下属间通过对称结构建立功能联系的音乐理论中，并由此进一步发展建立起功能和声体系的理论大厦（从和弦结构中的大小三和弦的对称到和声终止式中T-S-D-T间的呼应，再到西方典型曲式结构中的ABA’对称形态），因此，在音乐本体分析上以对称结构为形式美的代表特征作为主要突破口进行研究，通过不同形式与层次结构上的对称结构来探讨音乐形式美的具体呈现方式，并为验证音乐感性认识中存在理性规律提供实证，即通过音乐分析对形式美的实证无疑是对感性逻辑的有效检验手段。
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Bach，Johann Sebastian，1685—1750）被尊为“西方音乐之父”，他作为巴洛克时期最重要的代表，为后世的古典、浪漫、现代派等无数的音乐家提供了创作的源泉。他于1722年与1744年创作的两部《平均律钢琴曲集》是最著名的键盘作品，一方面是为自己的子女所作的音乐教材；另一方面通过在24个大小调上各写一首前奏曲和赋格来支持有关平均律的争论。每卷中的24首前奏曲与赋格按12个大调和小调排列，展示了平均律使用所有调的可能性。第一卷是为教学目的而编创的，而第二卷则是巴赫一生此类作品的合编。每首前奏曲在织体上探索一种独特的音型或键盘的技巧问题，而赋格曲则为赋格写作的各种可能性提供了一部百科全书式的样板，这两部作品也因其在音乐创作与教学中的重要地位而被誉为音乐作品中的“旧约全书”。其中的第一册第一首C大调前奏与赋格不仅因其是这部鸿篇巨制的开篇之作而被众多专业音乐家与作曲家奉为经典，更由于后世有法国作曲家古诺从其前奏曲中创作的《圣母颂》曲调而为广大民众所熟知。因此笔者面对 “音乐之父”巴赫的众多作品，也以这首《平均律钢琴曲集》第一册第一首C大调前奏为分析对象，管窥其形式美的表现特征。
C大调前奏曲有个突出的特点是重复，从头至尾几乎都是分解和声形态的音型进行，并大都保持着每小节重复一次的特定规律。重复形态的本身包含的就是相同的逻辑规律，正如1+1所包含的音的相互关系特点，音型的重复无疑能让听众在听觉感受中获得它们是相同的一个整体印象，而重复本身又具有典型的对称外形，这种对称结构恰恰是形式美的最常见形式。
谱例1巴赫手稿C大调前奏曲
如果重复形成的对称就是音乐形式美的全部的话，那整首曲子只需要一个音或一个主题就行了，接下去只要不断地重复就算是“美”了，但这样的音乐作品我想是任何人都不愿意多听的，原因很简单——不断重复的相同刺激只会抑制大脑皮层的兴奋，简单重复只是催眠师惯用的伎俩。那么巴赫是如何运用“重复”并让它“不简单”的呢？接下去的4小节和声是Ⅰⅱ-2Ⅴ+6-5Ⅰ，虽然音型、节奏、织体都相同，但音高在改变，而音高改变的核心是和声结构的变化，“重复”构成的对称外形被扩大了！显然，Ⅰ级和弦是中心，ⅱ-2Ⅴ+6-5是为突出Ⅰ的中心地位而服务的。由功能和声理论的“主-下属-属-主”的功能进行模式不难看出，巴赫对“重复”手法的运用是将其延展为围绕主和弦的上下五度关系进行，即围绕Ⅰ级和弦的下属与属功能和弦。上下五度关系构成了和声进行中的新的“对称”结构，而从物理声学的泛音列排列可知，上五度音是距离基音最近的非重复音，五度也就成为除同度与八度之外最先出现的泛音。如果说同度与八度还具有典型的“相同构成的重复”特征的话，五度则成为了摆脱“相同重复”特征的重要转折点，从相同进入了不相同。而属于自然科学范畴的泛音列已然证实五度不过是与同度与八度相似而距离基音更远一点的泛音而已，用数理公式来表达，同度如果是1/1，八度不过是1/2，而纯五度则是2/3……[3]
西方的毕达哥拉斯早在上千年前就认识并提出了数与音的和谐关系，这一从一到二，再到三甚至万象的过程，显然是渐变与衍生的逻辑概括。因此巴赫在这里采用的功能和声进行模式，不过也是对音乐中的相同-相似-不相似-不同这一渐变进行的另一种显示方式，而ⅱ-2与Ⅴ+6-5相对于Ⅰ的不同，其实又是为稳固Ⅰ级和弦（C大调）的调性中心而服务的。因为从西方功能和声强调和弦的三度叠置结构与上下五度关系的序进形式来看，只要通过Ⅰ 级、Ⅳ级和Ⅴ级的三个和弦的连接，就能明确调性。而和声上的大三和弦、属七和弦，只不过是将泛音中“隐伏”的音响加以“显化” ，因此，T—S—D—T的功能性体现为从纵向结构的和弦到和声语汇的构成（和弦的连接），一直到整体结构的调性布局是一种有序化的组织，即围绕一个中心和逻辑规则构成，所以说功能和声的核心实际是调性中心的确立。于是，巴赫在采用围绕Ⅰ级和弦的不同的和声进行，其实是为了建立稳固的C大调调性，即和声的不相似和不相同其实是为了在一个新的高度完成一个新的逻辑中心的建立（音和弦调性）。虽然从音与和弦的层面看待Ⅰ、ⅱ-2、Ⅴ+6-5各不相同，但从它们共同结合建立的C大调调性的新层面看，它们正是通过不相同的互补构成了一个新的整体1+1>2。因此头4小节Ⅰⅱ-2Ⅴ+6-5Ⅰ的和声进行，第1小节的“Ⅰ”是为和声，而第4小节相同形态的“Ⅰ”却上升为了C大调的Ⅰ级和弦所代表的调性，它通过一个重复的轮回，在ⅱ-2Ⅴ+6-5的互补支持下形成了调性的中心，Ⅰ级和弦不过是这一调性中心的核心代表，从严格意义上来说，Ⅰⅱ-2Ⅴ+6-5Ⅰ的完整和声进行才是C大调调性的完整体现，这个重复的轮回（Ⅰ……Ⅰ）则具有了1+1的对称结构，可以说是形式美的显现。它与前面每小节重复音型所展示的对称结构（严格意义上说应该是重复结构）显然有了进一步的发展，体现出渐变与渐进的发展逻辑。
接下去第5小节出现的ⅵ级和弦具有与Ⅰ级和弦明显的大小三和弦的色彩对比特征，而这种色彩的比对其实在ⅱ-2Ⅴ+6-5的互补进行中就已经若隐若现地存在，于是，上下五度关系的功能逻辑进行中，大小三度间的色彩对比逻辑也在逐步展开。此外，分解和声进行的最高音还存在高低的起伏，这种上下的方向性进行同样也能形成一种线性的逻辑力量，再加上节奏、声部层次等，甚至可以形成象赵晓生《时空重组——巴赫〈平均律键盘曲集〉新解》所分析出的“5个声部中包括着3中节奏形态、4个独立层面、5个线条”[4]那样复杂的结构形态。于是，新的逻辑力量的加入在丰富C大调调性中心的同时，也将更多的不相似、不相同的因素渗透进来，音响的“美”也就此愈发丰满而不简单起来，形式美也在这种逐步丰满的过程中将单一引向越来越立体与复杂的逻辑结构。
此外，就“美”的感受而言，整首作品几乎全部采用的是分解和声音型，而古诺从中提取的《圣母颂》旋律对普通听众来说显然更能引发“美”的感受，那么这种旋律“美”是否也有类似的逻辑是已经存在于前奏曲的分解和声中呢？让我们仔细解剖《圣母颂》旋律中的骨架结构。
谱例2圣母颂旋律的结构分析
在旋律的骨架结构中，骨干音程的五度关系⑤进行、旋律线的五度模进和平行音阶的进行显得尤为突出[5]，这与前奏曲的和声进行Ⅰⅱ-2Ⅴ+6-5Ⅰⅵ-6Ⅱ-2Ⅴ+6-5Ⅰⅵ-6……又形成对应。显然，旋律与和声存在相似的音乐逻辑：五度关系现象大量存在，并通过五度模进引出线性音阶。模进手法本身也存在典型的重复特点，因此，看似单一的逻辑力量却能在重复中引出新的逻辑：1+1>2。还有一个有意思的现象是：第4小节开始的四音列ABCD、GABC、CDE+#F具有模进的特点（四音列本身的五度结构框架显然也是五度关系的重要体现），虽然C+#F从四音列的结构排列也可以看作是FGAB的五度移位，但+#F的出现对大小调理论体系来说却具有离调的倾向，和声中对应的Ⅱ2恰好也是重属向属进行的力证；而第12小节开始的四音列EFGA、DEFG、CDEF、FGAB显然构成了完整的C大调音阶的四音列模进，这又构成旋律进行中半终止（结束于属）向全终止（结束于主）的五度关系结构。不难看出，从小的四音列音型到乐句结构的上下句布局，横向的线性进行中五度关系成为一项非常突出的推动音乐发展的逻辑力量，而这与纵向分解和声中的五度关系显然一脉相承，因此纵生横或是横生纵其实可以看作是相同的逻辑在横与纵的结合中形成了纵横结构的对称，它虽然无法展现相同的外形，但却能通过理性分析获得一种内在的逻辑对称，即一种隐形的“形式美”。
从C大调前奏曲的分析可以看到，巴赫所代表的巴洛克时期音乐有着以“重复”的外表所形成的“对称型形式美”⑥，它不仅包括音型、结构的对称，还存在功能和声理论与调性布局的上下五度关系对称，这种相似性的逻辑结构正是构成巴洛克音乐形式美的重要力量，而由重复衍生的线性进行、调性布局、和声色彩等多种形式则成为感性逻辑在认识主要逻辑形式之外建立综合“美感”的基础。而这种由重复和轮回形成的对称在形式结构上虽然都有“1+1”的外形特征，但在从音到调的逻辑层面却显示出发展的意味，也正是通过这种相同性的认识，感性逻辑的“和”才能将不同也纳入到更高一层的逻辑中，构成一个统一的整体。如果仔细思考，理性逻辑本身所体现的规律不也是具有“相同”的核心内涵吗？科学规律与共性认识正是因为具有“相同”的现象才能获得不同个体的共识。因此，音乐艺术中的重复不仅是形式美的体现也是开启其理性逻辑的一把钥匙，巴赫作品中比较突出的重复手法可以说开启了西方音乐发展的理性大门，其“西方音乐之父”的盛名自然也是实至名归。
结论
在进入总结前，笔者觉得有必要追问一句：从音的相互关系中构成的倍增数列到巴赫作为“音乐之父”在作品中突出的“重复”结构手法，“1+1”形成的对称或重复为什么对音乐有如此重要的意义呢？这里，笔者想再一次提出在《音乐的还原》（秦川，2006）一文中的一种研究思路：将音乐还原到最基本的创作材料——乐音，从中探讨音乐中所存在的一些共性现象。乐音是只有物体周期性的振动，即“每经过一定时间后振动体又回到原来状态”[6]的振动形式才能形成，这是振动体发音的根本，而噪音是不规则的振动形式。“周期性”——多么重要而又让我们似曾相识的一个词，它与重复、对称、“1+1”等规律有着多么相似的内核！虽然，目前我们还无法完全靠规律来创作、表演和欣赏音乐，但音乐中存在的数列结构、重复手法、对称型形式美、周期性因素等现象都为逻辑规律的探索提供了一定的佐证，也为感性逻辑与形式美的联系增加了研究的筹码。此外，对于音乐表演和欣赏而言，除了创作手法中的技术分析手段（如和声、曲式）外，相似的关系形态显然更有利于拉近音与音的距离，对于音乐结构的听辨也是如此，呈示与再现、回旋结构、变奏材料等都依赖于音乐的相似性。因此，对音组的拆分与重组并建立彼此间相近的结构关系可以获得事半功倍的成效。由于发展逻辑的根本形式是“和”，而“和”的组合关系无外乎对立或统一两种形式。对于同一音乐作品而言，统一是相同的内在逻辑的延续，而对立则是在更高一层次上的互补，于是在音的分组过程中相似性与互补性（不相似性）可以并存。通过“和”的感性认知，不同的发展逻辑甚至完全对立的音乐性格也会由于互补而在新的逻辑层面上融为一体，这就带来感性逻辑巨大的包容性和复杂性，而作曲家、演奏家和欣赏者对这种相似性和互补性个性的选择就为感性逻辑千变万化的存在方式提供了多样化的形态。
综上所述，隐藏在音的相互关系间的数理逻辑为我们揭示出：在遵循渐变式发展的规律同时，人为的多样性选择是音乐风格成型的重要因素，其中的感性逻辑则以其独有的形式美而暗示出音乐艺术在感性表达外衣下所具有的理性逻辑内涵。而在重复、对称等“形式美”方面的实例剖析则为我们正确解释创作与表演规律，看待音乐分析中的对称、镜像和高潮点等方面提供一定的启示，不要单一地去寻求重复或是1∶1的比例关系，隐藏在这些重复、对称、镜像、均衡、渐变结构背后的发展逻辑才是音乐美的真正奥秘。因此，揭示音乐表演艺术在感性表达中的理性逻辑，研究感性逻辑中的逻辑规律与外在形式的联系问题，探讨音乐艺术感性逻辑的因由，是揭开音乐艺术神秘面纱的一把钥匙。通过对音的相互关系的多层关系结构与倍增数列所体现的相似性的揭示，从一定程度上映射出数理逻辑在揭示形式美与感性逻辑间的重要作用，即有逻辑的理性建构可以形成一定结构的“形式美”，而贯穿在感性逻辑的“和”的认识手段则为音乐多样表达中理性建构的“形式美”提供了佐证。此外，由于音乐艺术的曲式结构、主属关系、和弦形态等方面与倍增数列间所形成的对应联系，黄金分割现象在音乐中大量存在的现实让我们看到音乐与数学之间可能存在的某些共有规律，也为音乐表演艺术提供了理性构架的基础，而这都值得所有音乐工作者进一步去深入地发掘和探讨。
注释：
①通过笔者对同济大学通识课程的课前基础调查，在所发的30份问卷中，几乎所有的学生都不同程度地喜欢音乐，大多数学生表示音乐欣赏类课程中音乐播放时间占总课时的比例超过50%，而学生在如何理解与懂得音乐的语言和构成上却没有表示出明显的收获。在同济大学2011-2012学年本科生课程表的安排中，征对非音乐类专业学生所开设的各门音乐课程共11门，排除演唱、演奏、排练类技能训练较强的课程外，音乐欣赏和知识类有7门，约占2/3，而知识类课程主要集中在音乐史方向（主要包括演唱、演奏史、作家作品的背景知识介绍等）。从课程设置不难看出，音乐课程除了技能技巧训练外，主要依靠听赏为主的感性体验手段，由于欣赏者有着各自不同的感受能力，因此较难形成相对统一的认识，就这一点来说，对音乐本体的研究还没有真正纳入理性的轨道，难以达到提高受教育者音乐素质的目标。
②有关1+1>2的讨论可以参见笔者所著《音乐的还原——论音乐音响的创作空间》，《音乐艺术》2006年第4期，p.59-64。
③曲式“Form”，英文原意为“形状、外形”——《英汉小词典》p.350，商务印书馆1977年2月第一版，1982年2月第11次印刷。在音乐中，指“乐曲的结构和设计”——《牛津简明音乐词典》P.346“Form曲式”词条，人民音乐出版社1991年11月第一版。
④“形式”与“形式美”显然在概念上有差异，美不美存在欣赏者个体的差异，因此“形式美”换成“特定的形式”似乎更为妥当，但由于本文所探讨的音乐中的这些特殊形式都与音乐的美感相关，因此本文统一采用“形式美”这一概念。
⑤五度关系：指与五度音程存在着密切联系的音乐关系总称。包括音级之间的直接距离（纯五度）和间接转位（纯四度），或和弦间的功能性进行（上下五度），或以五度相生为基础形成的调式调性体系，以及由此形成的五声调式或音列的典型音程集合[0，2，5]（或其变形[0，2，3]、[0，3，5]等），这些特征在中国风格作品中常处于比较重要和突出的位置。有关五度关系的论述还可参见笔者所著《论中国音乐中的宫调游移与五度关系功能逻辑》，《黄钟》2011年第三期，p.7-15，2011年7月。以及今年将出版的专著《中国音乐创作与演奏的五度关系研究》，同济大学出版社2013年。
⑥巴赫作品中与C大调前奏曲类似的“重复”型手法还有《平均律Ⅰ》No.2、No.10、《无伴奏大提琴组曲》No.1、《小提琴帕提塔》No.3-E大调等，这些作品都具有重复构成对称结构的特点。
[参考文献]
[1]秦川.音乐的还原——论音乐音响的创作空间[J].音乐艺术，2006（4）.
[2]赵晓生.时空重组——巴赫《平均律键盘曲集》新解（上）[M].上海音乐出版社2005年；时空重组——巴赫《平均律键盘曲集》新解（中）[M].上海音乐出版社，2008年；时空重组——巴赫《平均律键盘曲集》新解（下）[M].上海音乐出版社，2008.
[3]汪成用.近现代和声思维发展概论[J].音乐艺术，1982（增刊）：72.
[4]赵晓生.时空重组——巴赫《平均律键盘曲集》新解（上）[M].上海音乐出版社2005：2.
数学概括是一种特殊的概括，这是由数学学科的特点所决定的。数学概括是在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。它具有以下显著的特点：
1．数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型－－事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。
2．数学概括具有层次性
数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。
3．数学概括用数学语言来表述
数学概括的表述使用了特殊的语言体系－－特定的符号体系－－数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言－－数学有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。
二、数学概括在数学学习中的作用
学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。
而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。
在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”
在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°－360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
1．数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型－－事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。
2．数学概括具有层次性
数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。
3．数学概括用数学语言来表述
数学概括的表述使用了特殊的语言体系－－特定的符号体系－－数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言－－数学有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。
二、数学概括在数学学习中的作用学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。
而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。
在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”
在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°－360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
一、数学直觉概念的界定
简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说："直觉不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说："这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓'直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。"
(2)直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素"，一个成功的数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《
三、直觉思维的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出："数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。"数学直觉是可以通过训练提高的。
(!)扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠"机遇"，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说："一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。"阿达玛曾风趣的说："难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?"
(2)渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
(3)重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
一、数学直觉概念的界定
简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的 研究 对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说："直觉不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说："这些富有创造性的 科学 家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓'直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。"
(2)直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于 分析 ，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在 问题 解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素"，一个成功的数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《
三、直觉思维的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出："数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。"数学直觉是可以通过训练提高的。
(!)扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠"机遇"，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说："一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个 问题 的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在 发展 的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。"阿达玛曾风趣的说："难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?"
(2)渗透数学的 哲学 观点及审美观念
直觉的产生是基于对 研究 对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反 电子 就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
(3)重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效 方法 。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上 分析 问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
一、数学直觉概念的界定
简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说："直觉不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说："这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓'直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。"
(2)直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素"，一个成功的数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《
三、直觉思维的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出："数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。"数学直觉是可以通过训练提高的。
(!)扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠"机遇"，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说："一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。"阿达玛曾风趣的说："难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?"
(2)渗透数学的哲学观点及审美观念
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
(3)重视解题教学
教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
一、逻辑突兀感在影视对白中对后现代主义的影响是“置之死地而后生”
后现代主义是二十世纪中叶后出现在西方的文化思潮,从哲学上说,尼采的反理性思想为后现代的出场开辟了道路,而以德里达为首的法国后结构主义思潮是后现代的直接先驱。反本质、反整体,强调差异、多元是后现代主义的最大特征。后现代思潮影响下的文学艺术也告别了前现代和现代那种以理性、逻辑、秩序、深度、和谐为特征的美学形式。在影视创作过程中,这种后现代的作品经过编排,再通过人物对白,而一步步赢得人们对一种大众文化的接受。这尤其表现在九十年代后期以香港影星周星驰为代表的影视作品中。
以周星驰的影片《武状元苏乞儿》为例,其中,有父子二人拍桌子打板凳大呼小叫的一段对白:
儿子:老爹,我要上京考武状元。
老爹:(兴奋地)儿子!我们苏察哈尔家等你这句话等了整整二十年了!
儿子:错,我是为一个女人。
老爹:好!为女死为女亡,为女去考状元郎!英雄!敢问是谁家女子?
儿子:怡红院的如霜姑娘。
老爹:啊?!妓女?!!
儿子:有何不妥?
老爹:敢爱人之所不敢爱,品味与众不同,老爹我佩服你!
这段泼辣大胆、痛快淋漓的问答,让传统的道德观和价值观一次次被“涂抹”,而且越抹越黑。周星驰用卓尔不群的构思和油滑戏谑的台词,让观众在“爆笑”中体验了封建夫权、父权被无情奚落的快感。对白在逻辑上打破常规,以一种突兀的手段、夸张的手法赢得了大众对后现代思潮的向往,而这种违反常规的思维意识也恰恰说明了人们对自由的向往,以及对弱者的同情。
二、逻辑语言的突变对于开启人类内心的原始情感所起到的效果是“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”
在影视对白中更或者在我们的日常对话中,我们可能会用一些严密的逻辑思维或者说用一种符合逻辑的思维去发掘我们的情感,让彼此都能对一事或一物产生共鸣,这也可能起到了一定的效果,但是,如果我们用一种打破常规的思维去处理同一件事,或者可以说我们用一种逻辑上的错位去对待此事那会是什么样的效果呢?尤其是在这个纷繁复杂的社会中,这样做对于人们的情感以及接受能力的挑战会不会事半功倍呢?
在周星驰的影片《大内密探零零发》中,作为保镖的零零发为保护皇上,与刺客们进行了一场恶战。战罢,四野一片狼籍。零零发寻觅妻子半晌不见,以为她遭遇不测,表情悲痛。忽然间他猛一回头,发现妻子从远处走来。
零零发:(激动而深情地)老婆——!
妻子:(同样深情地)老公——!
此时,浪漫温馨的音乐缓缓而起,镜头转为抒情的慢镜头,两人姿态优美地向对方奔去。
紧接下一镜头:音乐嘎然而止。
零零发(脸色陡然转怒,厉声喝道):刚才你跑到哪里去了?
这段对白在逻辑语言上的应用更是让人“丈二和尚摸不着头脑”,本来温馨浪漫的场景,被一句毫无根据、毫无准备、毫无铺垫的突兀语言所打破,但这种逻辑语言的变化在那种场合所达到的效果上不仅仅是让人捧腹大笑,其更为深层的含义却是丈夫对妻子的疼爱和关切,使人感觉在这个变化莫测的社会中情感上的价值和尊重。更使人忘乎所以的去想象一个“你侬我侬”的情感世界。
逻辑语言的夸张运用是后现代文化对影视文化影响的一隅,而更为甚者是一种突兀的逻辑思维对人的心灵深处所产生的震撼。这种效果的产生对于这个“循规蹈矩”的当代社会,及其旗下的芸芸众生未尝不是一种解脱。
三、逻辑语言在影视对白中的起承转合对于后现代人类的影响是“柳暗花明又一村”
现代人用现代化的语言揭示了这个社会的本质——物欲横流、竞争、适者生存以及生活的沉闷和压力。长期处于这种境况之下的人都存在着一种反叛的意识,人们想着让自己的灵魂去歇歇脚,让自己的心情去呼吸一下大自然的空气,让身心去体验一下激情和乐趣。这就使得影视文化中语言的应用更要突破常规,使人在腐朽中经历神奇。在周星驰的影片《食神》中有这样一段对白:评委尝过史蒂芬周的“黯然消魂饭”后,兴奋得近乎疯狂。此时镜头语言采取了类似广告做秀的花里胡哨风格:
分切的画面上一盘盘美味佳肴飞来飞去,评委本人在特写的菜肴上连爬带滚。镜头之间夹杂霹雳闪电。
评委(歇斯底里地喊):为什么?为什么?世上竟会有这么好吃的饭?
接下来转回现实场景,晕厥的评委安静地平躺在地毯上。评委脸部的特写。一滴清泪正悄然从腮边滑落。
评委:这是怎么了?我怎么会流泪呢?有一种哀伤的感觉!史蒂芬周:是洋葱。我加了洋葱。
逻辑语言的突变在巨大反差和强烈冲突中将传统与现代、正规与反常、高雅与庸俗、新奇与陈旧等多个对立项捣毁成“痕迹”的碎片,导致了常规期待的落空和阵阵笑声的爆发。逻辑语言突兀感的增强在一定程度上解救了人类内心的紧张、无助和压力,这对于人类社会的进步是一个很大的贡献。
一、逻辑突兀感在影视对白中对后现代主义的影响是“置之死地而后生”
后现代主义是二十世纪中叶后出现在西方的文化思潮，从哲学上说，尼采的反理性思想为后现代的出场开辟了道路，而以德里达为首的法国后结构主义思潮是后现代的直接先驱。反本质、反整体，强调差异、多元是后现代主义的最大特征。后现代思潮影响下的文学艺术也告别了前现代和现代那种以理性、逻辑、秩序、深度、和谐为特征的美学形式。在影视创作过程中，这种后现代的作品经过编排，再通过人物对白，而一步步赢得人们对一种大众文化的接受。这尤其表现在九十年代后期以香港影星周星驰为代表的影视作品中。
以周星驰的影片《武状元苏乞儿》为例，其中，有父子二人拍桌子打板凳大呼小叫的一段对白：
儿子：老爹，我要上京考武状元。
老爹：（兴奋地）儿子！我们苏察哈尔家等你这句话等了整整二十年了！
儿子：错，我是为一个女人。
老爹：好！为女死为女亡，为女去考状元郎！英雄！敢问是谁家女子？
儿子：怡红院的如霜姑娘。
老爹：啊？！？！！
儿子：有何不妥？
老爹：敢爱人之所不敢爱，品味与众不同，老爹我佩服你！
这段泼辣大胆、痛快淋漓的问答，让传统的道德观和价值观一次次被“涂抹”，而且越抹越黑。周星驰用卓尔不群的构思和油滑戏谑的台词，让观众在“爆笑”中体验了封建夫权、父权被无情奚落的。对白在逻辑上打破常规，以一种突兀的手段、夸张的手法赢得了大众对后现代思潮的向往，而这种违反常规的思维意识也恰恰说明了人们对自由的向往，以及对弱者的同情。
二、逻辑语言的突变对于开启人类内心的原始情感所起到的效果是“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”
在影视对白中更或者在我们的日常对话中，我们可能会用一些严密的逻辑思维或者说用一种符合逻辑的思维去发掘我们的情感，让彼此都能对一事或一物产生共鸣，这也可能起到了一定的效果，但是，如果我们用一种打破常规的思维去处理同一件事，或者可以说我们用一种逻辑上的错位去对待此事那会是什么样的效果呢？尤其是在这个纷繁复杂的社会中，这样做对于人们的情感以及接受能力的挑战会不会事半功倍呢？
在周星驰的影片《大内密探零零发》中，作为保镖的零零发为保护皇上，与刺客们进行了一场恶战。战罢，四野一片狼籍。零零发寻觅妻子半晌不见，以为她遭遇不测，表情悲痛。忽然间他猛一回头，发现妻子从远处走来。
零零发：（激动而深情地）老婆——！
妻子：（同样深情地）老公——！
此时，浪漫温馨的音乐缓缓而起，镜头转为抒情的慢镜头，两人姿态优美地向对方奔去。
紧接下一镜头：音乐嘎然而止。
零零发（脸色陡然转怒，厉声喝道）：刚才你跑到哪里去了？
这段对白在逻辑语言上的应用更是让人“丈二和尚摸不着头脑”，本来温馨浪漫的场景，被一句毫无根据、毫无准备、毫无铺垫的突兀语言所打破，但这种逻辑语言的变化在那种场合所达到的效果上不仅仅是让人捧腹大笑，其更为深层的含义却是丈夫对妻子的疼爱和关切，使人感觉在这个变化莫测的社会中情感上的价值和尊重。更使人忘乎所以的去想象一个“你侬我侬”的情感世界。
逻辑语言的夸张运用是后现代文化对影视文化影响的一隅，而更为甚者是一种突兀的逻辑思维对人的心灵深处所产生的震撼。这种效果的产生对于这个“循规蹈矩”的当代社会，及其旗下的芸芸众生未尝不是一种解脱。
三、逻辑语言在影视对白中的起承转合对于后现代人类的影响是“柳暗花明又一村”
现代人用现代化的语言揭示了这个社会的本质——物欲横流、竞争、适者生存以及生活的沉闷和压力。长期处于这种境况之下的人都存在着一种反叛的意识，人们想着让自己的灵魂去歇歇脚，让自己的心情去呼吸一下大自然的空气，让身心去体验一下激情和乐趣。这就使得影视文化中语言的应用更要突破常规，使人在腐朽中经历神奇。在周星驰的影片《食神》中有这样一段对白：评委尝过史蒂芬周的“黯然消魂饭”后，兴奋得近乎疯狂。此时镜头语言采取了类似广告做秀的花里胡哨风格：
分切的画面上一盘盘美味佳肴飞来飞去，评委本人在特写的菜肴上连爬带滚。镜头之间夹杂霹雳闪电。
评委（歇斯底里地喊）：为什么？为什么？世上竟会有这么好吃的饭？
接下来转回现实场景，晕厥的评委安静地平躺在地毯上。评委脸部的特写。一滴清泪正悄然从腮边滑落。
评委：这是怎么了？我怎么会流泪呢？有一种哀伤的感觉！史蒂芬周：是洋葱。我加了洋葱。
逻辑语言的突变在巨大反差和强烈冲突中将传统与现代、正规与反常、高雅与庸俗、新奇与陈旧等多个对立项捣毁成“痕迹”的碎片，导致了常规期待的落空和阵阵笑声的爆发。逻辑语言突兀感的增强在一定程度上解救了人类内心的紧张、无助和压力，这对于人类社会的进步是一个很大的贡献。
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