一、科学剖析知识结构，挖掘知识间的内在联系
初中头两年，学生数学知识是按章、节一点一滴获得并积累起来的，对教材的理解把握是零碎的.因此，初三总复习时教师必须科学地剖析知识结构，列出知识结构图表，引导学生梳理知识，挖掘知识间的内在联系，将分散的知识点系统地串联起来，整理、归纳出一个完整的知识体系.例如，在复习四边形这一章时，由于概念、性质、定理较多，各图形之间的性质和判定方法极易混淆.如果能列出下面的知识结构图进行复习，就会使学生对本章各图形间的内在联系有清晰、系统、深刻的认识.
知识结构图
二、精选范例，挖掘例题教学功能
复习课中所选的例题必须能突出教材重点，反映《教学大纲》中最主要、最基本的要求；或者是在解法上具有代表性、应用广泛的.通过范例的分析与解答，可以沟通知识间的联系，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时也要注意例题的变式，通过变式训练，激发学生的学习兴趣，提高学生的应变能力.例如，在复习圆这章时，我们可以选取教材第79页例2作为范例，并在此基础上进行变式.
范例：如图1，已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径.
本题把相似三角形的判定和性质，圆的相关性质，以及解直角三角形等知识融为一体，有利于知识的融会贯通，又能从不同角度、不同方位训练学生的思维，提高思维的灵活性.
三、总结归纳常用的数学思想方法，强化应用意识
数学思想与方法是数学学习的“灵魂”，它具有本质性、概括性和指导性.教师在复习过程中要结合例题的讲解及时进行归纳总结，强化对这些思想和方法的应用意识.这样，有利于学生优化知识认知结构，活化所学知识，提高解题能力.初中数学比较常用的数学思想和方法有转化、数形结合、换元法、配方法、消元法、待定系数法等.
本例应用最常用的一种思想方法――转化，它使题目由难变易，使我们更快找到了解题途径.教学时教师要善于总结，使学生领悟其价值，强化应用意识.
四、注重应用，培养学生的创新能力和探究能力
数学教育有一个重要目的是培养学生的创新意识、应用意识及综合能力，而考查学生的观察、推理、归纳、探究、联想等能力已成为中考命题的必然趋势.因此，进行第二阶段的专题复习时，教师应该设计一些创意新颖，具有应用性、实践性、创造性、探索性的问题加以训练，培养学生的创新能力和探究能力.
例如：如图3，O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的做法进行下去.
（1）你在O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）；
（2）请你通过操作和探索，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数填入下表：
（3）请你推断，按上述操作过程，能不能将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
简析：第（1）题考查学生的作图能力；
第（2）题是一个规律探索型问题，可以启发学生从n=1，2等特殊情况入手，通过观察、探索，找出其中的本质规律：第1次裁剪所得扇形的总个数为4=1+3，以后每进行一次的裁剪，扇形总数就要在原来的基础上增加3个.因此，第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数分别为10，13，3n+1；
第（3）题由3n+1=33得，n=10，因为n不是自然数，所以不能将原来的扇形纸片剪成33个扇形.
显然这类探索性问题的解答过程本身就是一个探索、发现的过程，因此对培养学生的创新能力和探索能力有很大帮助.
五、重视学生反思习惯的养成，培养思维的严密性
新的数学课程标准指出，数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展.”所以数学复习要面向全体学生，要使各层次的学生对初中数学基础知识、基本技能和基本思想方法的掌握程度均有所提高，还要使尽可能多的学生形成良好的思维品质，较强的综合能力、创新意识和实践能力.
以下是我综合九年级备课组教学中的一些体会和中考数学命题特点对初中数学复习谈一些不成熟的想法.希望各位专家同仁多多指正.
一、复习基础知识，加强基本技能训练
经历人生首次大考，有些学生以及家长往往对中考认识不足，容易把中考内容神秘化，难度扩大化.从而沉迷题海战术，迷信偏题、难题，把很大精力放在钻研难题上，以致在复习中走错方向，舍本逐末.
中考命题试题难易设置比例大致为7∶2∶1，中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造，即使是后面的压轴题“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引申、变形或组合，所以第一阶段复习应以课本为主.复习时必须深钻教材，绝不能脱离课本，应把书中的内容进行归纳整理，使之形成结构.我认为应抓好以下四点：（1）抓好双基.即基础知识和基本技能训练，做到计算准确，基础扎实，会做的题不失分.（2）抓透彻.即课本知识透彻理解，不因基本概念认识不清而失分.（3）抓解题过程.会做的题不因格式和过程失分.（4）抓弱点.在复习中应针对本班学生自身弱点，制订合理的复习计划，强化弱点，扫清盲点.
二、进行专题复习，提高学生综合能力
如果说第一阶段是总复习的基础，是重点，侧重双基训练，那么第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数学能力.复习应把握中考方向，确定重点，突破难点，关注中考热点专题专练，提高综合分析问题的能力.复习中应针对以下几个专题，加强专项练习.
复习中应明确重点，有的放矢.针对热点题、难点题加强练习，熟悉解题思路，提高学生的解题能力.在训练时要重视数学思想和方法的培养，提高分析和解决问题的能力，通过本轮复习，让成绩居中上游的学生，以“扬长”为主，居下游的学生，以“补弱”为主，处理好“扬长”与“补弱”的分层推进关系，使学生初步形成应试技巧，为下一轮复习打下坚实的基础.
三、模拟冲刺训练，增强学生实战经验
在第一、二两轮复习下，学生的基础知识已经过关，基本方法技能已经掌握.第三轮复习应通过模拟训练，使学生熟悉中考出题思路，提高应试能力和应试技巧.同时加强知识的融汇贯通，以提高知识综合运用能力.
在练习中要求学生独立完成来检查复习效果，让学生调整心态，振作精神，教师要认真分析试卷，找出学生存在的问题加以解决，并加强这方面练习.
在评卷中应严格要求学生，参照我市中考评分标准评分，要求学生按标准格式答题，做到容易题、中等题不失分，难题多得分，避免会而不对，对而不全的情况.纠正答题的不良习惯，认真分析试卷错因，综合训练，把知识能力和考试技巧结合起来是考出高分的关键所在.
四、考前心理疏导，减轻负担，增强信心
在第四轮复习中，以学生的自主复习为主，但教师应注意对学生的心理疏导，针对每一个学生的个性特点，因势利导，减轻学生的考前心理负担，使得复习效率最优化，让学生充满信心的走上考场，发挥出百分之百的自我水平.
五、几个注意点
1.处理好课内与课外，讲与练的关系.在课堂上要注意知识的全面性、系统性，面向全体学生，注意突出基础知识和基本能力，引导学生提高分析解决问题的思考方法.切忌以讲代学，以练代学，顾高不顾低.课外练习要精心设计、精心造题，以有利于消化所学的知识、方法，要留有思考的余地，让学生在练习中提高对知识和方法的领会及掌握.练习量要兼顾减轻学生的负担，量要适中.
一、正视自我，树立信心
由于九年级毕业班学生要面临中考的压力，家庭期望远远高于学生的心理承受能力，那么在中考来临之际，我们应该如何调整自己的心态、正视自我，便显得尤为重要。
二、制订计划，合理安排
切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果。我们认为中考数学复习一般分为三个阶段：基础知识点的复习为第一阶段，专题复习为第二阶段，考前模拟试卷的测评为第三阶段。
第一阶段复习中应该紧抓《考纲》，抓基本概念的准确性；抓公式、定理的熟练和初步应用；抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用；能准确理解教材中的概念；能独立证明书中的定理；能熟练求解书中的例题；能说出书中各单元的作业类型；能掌握书中的基本数学思想、方法，做到基础知识系统化，基本方法类型化，解题步骤规范化，从而形成明晰的知识网络和稳定的知识框架。
第二阶段主要为专题复习。如果说第一阶段是以纵向为主，按知识点顺序复习的话，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高。这种复习是打破章节界限，绝不是第一轮复习的压缩，而是一个知识点综合、巩固、完善、提高的过程。其主要目标是：完成各部分知识的梳理、归纳、糅合，使各部分知识成为一个有机的整体。在这轮复习中，应防止把第一轮复习机械重复；防止单纯的就题论题，应以题论法；防止过多搞难题等。而应该多问自己几个为什么，正如爱因斯坦的一句名言所述：“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”
第三阶段主要是进行模拟中考的综合拉练。经过前两轮的复习，学生无论从知识的掌握，还是从解题能力的培养都会有所提高。但在临考前心理上却是很不稳定，因此要进行必要的适应性训练或模拟训练，以提高学生解题速度和正确率。特别在复习的后阶段，还要注重各种信息的收集、筛选、整理，同时要不断调整自己的心理和应试状态，便于以最佳状态进入考场。建议考生在做好学校正常的模拟测试之余，最好找几套难度适中的模拟试题，设定标准时间，进行自我模拟测验，培养良好的应试心理素质。
三、突出思想，考查能力
数学思想方法是数学活动的脉络，它贯穿于整个教学活动的始终，从前几年各地中考试题可以看出，对数学思想方法的考查非常重视，对数学能力的考查也比较全面。
（一）初中数学中主要的思想方法
1.分类讨论思想
当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为若干类（全而不重，广而不漏），然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。
2.数形结合的思想
把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
3.转化的思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
4.函数与方程的思想
函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
5.数学建模的思想
简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。
（二）初中阶段主要考查的数学能力
1.图表信息型试题
图表、图象是一种最直观形象的数学语言，学生需要对呈现的各种信息进行加工处理，其关键是正确获取图表、图象中的信息。对于这类题型需要学生能够透过现象发现规律揭示本质，这类题型能有效地考查学生的观察思考、分析推理、类比迁移及合理决策的能力。
2.探索规律型试题
新课标指出：不仅关注对学生学习结果的评价，也要关注对他们数学活动过程的评价。近几年开放探索性问题在中考中也越来越受重视。这些考题主要考查学生探索规律、表达规律、抽象规律及证明规律的能力。
3.实验操作型试题
通过现场操作实践，或根据已有实验操作经验，或根据语言描述实验操作过程，从中获得有关结论，或应用有关结论的一类试题，也是中考热点题型之一。其主要涉及图形的折叠与旋转、几何作图与设计、测量等。
4.阅读理解型试题
通过阅读提供的材料，获取信息，理解新概念，然后结合新概念对新问题进行研究，它能有效地考查学生的综合阅读理解的能力。从阅读（学习）能力、作图能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生初中平面几何知识的全面考查。
5.运动变化型试题
在初中数学中与“动”有关的问题一般都是教学中的难点，这类试题以运动的点、线段、角或图形为基本的条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，在一定条件下，进行相关的几何计算或综合性解答。解决这类问题，一般要根据图形变化的过程，对不同的情况进行分类求解，其关键是寻求变化过程中不变的等量关系和变量关系。
6.新定义型试题
所谓“新定义”型试题是指给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，其目的是考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式。解答这类题目的关键是读懂题意，确定探索方向，寻找合理的解题方法。
四、注重细节，规范答题
“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。因此抓住基础题目对于每一位考生来说便变得尤为重要，同时还应该注意避免复习过程中的几个误区：
1.不认真审题：有些考生在复习中为了节约时间往往审题不仔细，看错单位、抄错数字等。
2.凭印象答题：中考复习中做了大量的题目，有部分学生在做题时看见某些熟悉的题目就认为自己曾经做过，从而很快地下了结论，其结果却是错误的。
中考命题重视“双基”的考查，突出基本方法的测试。因此，对待中考数学复习一定要把握好基础知识的学习，打牢基础，对每一个基础知识充分掌握，并能够熟练运用“数形结合”思想、转化思想等，以及分析法、综合法、配方法、换元法、待定系数法、反证法等基本的解题方法。
因此，做好中考数学复习的教学工作，首先需要教师对知识点有一个基本的全局把握，进而将有关的知识点进行细化处理，以帮助学生能够在头脑中形成完整而有序的数学网络构架。同时，对学生的思维能力也是一种锻炼，对于学生的逻辑思维、发散思维、创新思维的培养具有重要作用。
二、初中数学中考复习遵循的原则
初中数学知识点多，且有不少难点。因此，进行复习一定要遵循一定的规则，以求在最短的时间内达到最好的复习效果，帮助学生更好地做好复习，并提高中考数学复习的教学效率。
1.基础性
中考数学的考察主要还是对基础知识的考察，因此，复习一定要注意基础性原则。即在初中数学复习阶段，应严格依据教学大纲，根据课本的知识点要求，从了解、理解、掌握、灵活应用四个层次进行操作，对于每一节的知识点要讲透，把基础打牢。
2.目的性
对数学进行总复习，一定要非常清楚每一部分的复习要取得什么效果，达到什么目的。还必须清楚如何才能够实现目标。只有带着明确的目的性的复习才能够获得事半功倍的效果。
3.条理性
初中数学知识多而杂，学生的吸收能力、理解能力都是有限的，因此，教师一定要注意对知识点进行归纳总结，按照一定顺序进行复习安排，按照条理要求使学生能够更好地学习，达到良好的复习效果。
4.探究性
要想在中考数学中获得一个较好的成绩，就一定要在夯实基本知识的基础上，注重培养学生的探究能力，使学生能够做到触类旁通，举一反三，进而能够培养学生自我探究能力，帮助学生在灵活的基础上突破重点难点的复习。
三、初中数学中考复习的有效方法
1.多鼓励，培养学生良好心态
在中考的考场上，很多学生知识掌握、解答方法等各方面都没有任何问题。但是不少学生因为考试心态不过硬，结果往往不尽如人意。因此，教师在复习中，要对学生多鼓励，多注意培养起学生的良好心态和优良的心理素质，这样在考试中无论发生什么情况，学生都能够将自己学到的知识百分之百地发挥出来。因此，培养学生的良好应考心态是做好复习工作的第一步。
2.有条理复习，夯实基础
初中数学学习的知识点较多。这就要求教师进行复习的时候一定要注意主次，对于一些重点考查的知识点，如“锐角三角函数”要多花时间，对于一些学生容易混淆的知识点，如“概率”要进行详细地分析讲解复习。
因此，教师进行复习要针对复习的内容采取不同的复习策略，但是基本原则就是：在有条理的前提下，夯实基础。
1 数学思想方法和解决问题策略形成和发展的心理过程
1．1 数学思想方法形成和发展的心理过程
任何数学思想方法的学习，必须经历如下的过程：“解决具体问题――反思和总结――归纳与提炼――应用与发展”，学生不能从“告知”中体会和掌握数学思想方法，只能从体验解决问题过程、反思和总结解决问题过程中产生数学思想方法.也就是说，学生是在研究自己的思考和解决问题的过程中产生数学思想方法，这种心理操作是属于元认知的高级认知活动的范畴，从而是高级心理过程.这种学习活动既具有教育的高价值又具有复杂性,学生对数学思想方法的学习是从内隐的感知到外显的描述再经过练习变成内隐记忆的过程，是在师生的内隐知识与外显知识相互交流和转化中形成的[1]，如方程思想的本质是用不同的含有字母的式子表示同一个量所形成的相等关系，学生必须经历建立方程（组）模型的过程，从中体验建立方程（组）模型时的图示分析法、表格分析法和变量关系分析法，体验方程思想在数学不同领域、其它学科和生活中的应用，在学生具备了建立方程（组）模型的实践经验和初步体验的基础上，归纳建立方程（组）模型的方法―归纳用方差思想解决问题的解题表[2]，再经过进行集中的系列训练来巩固和内化方程思想，最后结合函数模型的研究，把方程模型纳入到函数模型体系中，实现方程思想的发展.
1．2 数学问题解决策略的形成和发展的心理过程
从认知心理学的角度可以把解决问题的策略分为算法和启发式，采用算法策略可以保证问题的解决，但是却需要大量的尝试. 启发法是人根据一定的经验，在问题空间内进行较少的搜索，以达到问题解决的一种方法.启发法不能保证问题解决的成功，但这种方法比较省力.它有以下几种策略：（1）手段――目的分析：就是将需要达到问题的目标状态分成若干子目标，通过实现一系列的子目标最终达到总的目标；（2）逆向搜索：就是从问题的目标状态开始搜索直至找到通往初始状态的通路或方法；（3）爬山法：采用一定的方法逐步降低初始状态和目标状态的距离，以达到问题解决的一种方法.
波利亚在他的《数学的发现》一书中，提出了数学解题思维过程的正方形模型，[3]如图1. 在这个模型中，以问题结构为导向的知识动员与回顾、问题的重新表征、从问题结构中对数学基本原理的应用结构进行模式识别、对解决问题的思路进行合理的预见和进行“问题结构――原理”的选择性联想是促成问题解决的关键性心理操作.因此解决问题的策略来自于对数学问题的结构分析与数学原理性知识的联想.罗增儒教授在对数学问题解决过程进行分析的基础上，提出了解决数学问题的10种策略[4] .
2 对初中数学学业考试专题复习的几点建议
根据数学专题复习对象和复习要求的特殊性，对数学专题复习提出下面建议：
（1）设计合理的问题系列，在寻求问题的方法层次解决的过程中概括数学思想方法并进行应用思想方法解决问题的活动，促进学生进行数学思想方法的内化.如在分类讨论思想的专题复习中，首先用数钱问题引导学生进行方法论层次的问题解决，再进行实证层次上的问题解决：
例1 如果你面对一堆人民币，其中有100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元面值，你怎样用最快的速度清点出有多少元钱吗？
这个问题具有难度低、生动形象的特点，是分类讨论的典型问题，能帮助学生理解分类讨论的思想的本质和应用价值.
在学生提出解决问题的方法后，让学生思考分几类，为什么分成这几类，这样可以让学生通过思考发现“类别种数是由于人民币的不同类别面值决定”，理解“问题对象具有不同的类别”是需要进行分类讨论的原因.在进行初步感受的基础上，思考下面两个问题：
例2 如果xa-2，则a=______,如果一个半径为r的圆中有一条长为r的弦,那么这条弦所对的圆周角度数是______.
例3 如图2，坐标平面上ABO的三个顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-1.8，0），O（0，0）；在这个平面上有点A′，使以A′、B、O为顶点的三角形与ABO全等，求A′点的坐标.
这三个例题中,例1是由于对象本身是分类呈现的,因此需要对对象进行分类讨论,例2是由于数学原理本身的分类表述所引起的分类讨论,而例3是由于全等三角形的对应顶点不确定（对象运动）所引起的分类讨论.通过对这三个问题解决过程的反思，抽象出应用分类讨论思想解决问题的解题程序：
在学生完成对分类讨论思想解题程序的概括的基础上，进行具有典型性的系列应用：
例4 邮政部门规定：信函重100g以内（包括100g）每20g贴邮票0.8元，不足20g按20g计算；超过100g的，先贴邮票4元，超过100g的部分每100g加贴邮票2元，不足100g按100g计算.（1）小明寄一封信函贴了6元邮票，问这封信函有多重？
（2）如果要把九封重12g的信件分两个信封寄出，每个信封重4g，请你设计寄信方案，使寄出这九封信件所贴的邮票总金额最少？
例5 如图3所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B的坐标为（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，∠DMC=∠DOB=60°.
（1）求直线CB的函数解析式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M按顺时针方向旋转α（30°
通过对分类讨论思想应用过程的进一步体验，对应用思想方法的程序与规则进行再总结，使学生较好地把握分类讨论思想.
(2)注意专题复习中解决问题策略、数学思想方法的层次性，合理把握方法与策略抽象的时机.解决问题的策略是对数学思想方法应用的再抽象，而数学思想方法体系内部也具有层次性，如方程思想与函数思想的关系，数学建模过程中需要应用方程思想、函数思想、数形结合思想和转化思想等.要使学生建构起结构良好、联系广泛的数学思想方法与解决问题的策略体系，就需要在专题复习中进行有序的策略与方法抽象，合理把握策略与方法抽象的时机.
数学思想方法来源于问题结构分析和选择合理的数学原理解决问题的过程，数学解决问题的策略来源于问题结构分析与选择合理的思想方法解决问题的过程，这就需要以问题为载体，让学生在解决不同层次的问题中进行数学思想方法和解决问题策略的归纳与抽象.数学抽象需要对象类别，抽象数学思想方法需要在结构一致性问题系列（数学结构相同而表述不同）和结构变异性问题系列（结构与表述不同而所用的思想方法相同）解决中进行抽象，在对解决问题的方法抽象过程中需要对思考过程进行自我解释与自我总结.如在方程思想、函数思想和统计思想专题复习的基础上，安排如下的数学建模思想的专题复习，可以引导学生在建立方程、函数、统计、几何模型的基础上概括数学建模的思想：
（一）创设应用模型解决问题的情境.在解决问题的过程中体验和模型思想.
春节期间，小明和他的同学准备到淡竹原始森林风景区去旅游，下面是他们计划旅游和旅游途中出现的问题，请大家帮助解决.
1. 要去旅游，首先要解决交通问题.从家里出发到风景区有30千米的路程，如果单独乘公共汽车去，每人来往的车费需要20元，如果是包小客车（20座）车来回接送，则每辆车来回接送一次需要300元，请问，小明和他的同学应该选择包车还是乘公共汽车去景点？
（1）引导学生用函数的模型解决本问题.
（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.
（3）引导学生归纳利用函数模型解决实际问题的基本模式(如图4）.
2. 出发哪天，小明数了数人数，发现有24人要去旅游，由于汽车不能超载，小明准备与3个同学一起乘出租汽车去景点，由于临时叫车，在其他同学乘包车出发后，小明等了15分钟，并与乘包车出发的同学约定好同时到达景点，如果出租汽车的平均速度是包车速度的1.5倍，请问：出租汽车的平均速度是多少？
（1）引导学生用方程的模型解决本问题.
（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.
（3）引导学生归纳利用方程模型解决实际问题的基本模式（如图5）.
3. 小明和他的同学进入景区后，在上山的路上发现有两处台阶，这两处台阶都有20级，这两处台阶的每一级的高分别是：
A处台阶：有4级是22cm；有5级是25cm；有24cm和26cm高的台阶各3级；有22cm和27cm高的台阶各2级；还有一级是23cm.
B处台阶：有5级是22cm；有4级是27cm，有21cm和25cm的台阶各3级；有26cm的台阶和23cm的台阶各2级；还有1级是30cm.
你对这两处台阶的平均每级高度和行人行走的舒适性有什么评价？
（1）引导学生用统计的模型解决本问题.
（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.
（3）引导学生归纳利用统计模型解决实际问题的基本模式(如图6）.
4. 如图7，山里的景色的确美不胜收，走着走着，发现一块石笋直插云霄，大家发出了阵阵惊叹，小明灵机一动，提出了一个问题：这石笋有多高？（假设一段时间内石笋在阳光下的影子始终在同一直线上）.
小张思考了一下，说：只要大家在这里休息一小时，我就能大致估计出这石笋的高度，小张接着说，虽然我们走不到石笋的底部，但只要测量出现在石笋在阳光下的影子与一小时后石笋在阳光下的影子的差距，现在和一小时后我们自己的身高与影子的长，就可以计算出石笋的高度，你能根据小张的思路，设计出测量石笋高度的方案吗？
（1）引导学生用函数、相似三角形和方程模型解决本问题.
（2）引导学生对解决问题的过程进行总结和自我解释.
（3）引导学生归纳利用函数、相似三角形和方程模型解决实际问题的基本模式（如图8）.
(二)概括数学建模思想.在对上述问题系列解决过程进行总结和自我解释的基础上，归纳利用数学模型思想解决问题的基本方法和基本模式.基本模式如图9.
用数学建模思想解决问题的基本过程：
1.用数学方法（数、式子、图形、表格）描述问题，建立数学模型（如数据模型、方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型等），把问题数学化.
2.用数学方法解决已经建立的数学问题，得到数学问题的解.
3.解释得到的数学问题的解的实际意义，根据问题的具体情境解释结果的合理性.对自己解决问题过程进行总结、评价与反思，提炼数学思想方法.
(三)应用与拓展.（选择应用各种数学模型解决实际问题的变异性样例系列让学生进行单独解决，引导学生在数学建模思想指导下独立解决实际问题.）
在专题复习中，应重视在问题结构分析与表征中进行解题定向与策略选择的活动开展.数学问题结构指的是组成数学问题的要素及其相互关系，这种结构往往包含了解决问题的策略.
例6 设x1，x2，x3，…,x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，求：x21+x22+x23+…+x240的最大值和最小值.
如果注意到本题中的40个数据的和与数据平方和的特殊结构，联想到数据的和与平均数有联系，而数据的平方和与数据的方差有联系，就可以发现可以用数据的特征数分析的方法解决问题：设x1，x2，x3，…,x40的平均数
我们发现当方差最大或最小时，这40个数据的平方和也同时达到最大值和最小值.而当这40个数据中有39个为1，一个为19时，数据的方差最大，而当所有数据最接近[SX(]58[]40[SX)]时，方差最小，由于数据都是正整数，不可能等于[SX(]58[]40[SX)]，与[SX(]58[]40[SX)]最接近的数是1和2，所以当这些数据中只有1和2时，方差最小，设有k个1，则k+2（40-k）=58，k=22，所以当这些数据中有22个1，18个2时方差最小，从而求得数据平方和的最大值是400，最小值是94.
初中数学问题结构的基本关系的基本类型有结构交叉、结构隐含与结构映射，对于结构交叉的问题，需要在背景中寻找数学原理的基本结构，是条件与结论尽可能地集中到这个基本结构中，对于结构隐含的问题，需要分析问题结构的特殊性，寻找自己熟悉的结构，通过结构的复原（添加辅助元素）寻求解决问题的策略，对于结构影射的问题，则需要把问题改变表征方式，用建模和转化的思想解决问题.
数学专题复习是数学思想和解决问题策略的集中概括与应用阶段，是数学知识的综合运用阶段，在基础复习中渗透数学思想方法和在专题复习中采用合理策略，让学生经历从解题到思想方法再到解决问题策略的概括和应用过程，并对自己的解决问题过程进行反思和总结，这对学生解决问题能力的发展和数学素养的提升无疑是有益的.
参考文献
［1］ 吴增生，周福群，朱明德. 初中数学课堂实践与研究［M］. 北京:北京艺术与科学电子出版社，2007.[ZK)]
【关键词】知识脉络基础知识复习弱点热点难点综合训练回味复习
初三阶段数学教学是整个初中阶段教学最为重要的时间，既需要对已经学过的知识进行整合、复习，更需要针对中考要求进行深挖和提升，从而让学生在有限的时间里，挖掘潜力，做最后的冲刺。所以根据这些要求如何科学地开展初三中考复习工作成为很多一线教师都在思考的问题。结合这方面的一些实践，笔者谈谈自己的一些认识。
初三数学复习工作是对近三年教学的总结和提炼，从目前中考的备考来看，基本上是以初中课程教学标准为参照，以《中考考试说明》为依据，结合近几年的中考真题和学生三年学习的基本状况来制订符合学生学习的计划，循序渐进开展初三数学复习工作。其中需要特别注意的是我们的复是以学生实际为最基本的出发点，要据此来制订复习整体策略，这样我们的复习工作才可能高效一些。通过近三年的初中教学实践，我们一般把初三数学复习工作按照以下四步来具体实施。
一、 夯实基础，构建知识体系
中考考查的还是学生们的“双基”能力，即学生们的基础知识和基本的数学技能，这些我们通过对近几年中考真题的分析中能够明显地感受出来。据此我针对这种现状对课本内容以及习题进行再探讨、再研究，对课本原型进行加工、组合、延伸和拓展，帮助学生们构建属于自己较为完整的知识体系。针对中考侧重于能力考查的要求，我对重点和典型问题给学生进行针对性的变式训练，培养学生的能力。例如定理的证明是复习的重要内容，我们把比较重要的定理全部自编成题，用测验的形式呈现，从而加深他们对定义、定理的理解：勾股定理、三角形内角和180度、三角形中位线、角平分线定理以及逆定理，平行四边形的判定定理证明，自己画图，写出已知、求证以及证明过程。
在复习中我们还注重引导学生对基础知识的理解和方法的学习。例如中考涉及的折叠、旋转问题，为了学生能更深入地理解和应用，我自己制作教具演示、操作，让学生观摩。方程、不等式与函数问题的结合，同时也常涉及几何中的相似三角形、圆的有关知识等，在这轮复习时，我主要以课本为主，依据《中考考试说明》和教育局组织的培训为指导，对书上的题目进行删减，给学生勾出重点题型去做，做到精讲精练。
在开展第一轮复习的同时，我们可以适当地安排模拟小测，题目以基础知识为主，适当加一些拓展和延伸题目，参考近几年的中考试题中考查“双基”的题型，做些简单的变式，随时检查学生的学习状况。
二、 三点学习：热点、弱点、难点
这三点都集中反映在一些专题中：① 实际应用型问题；② 图表信息题；③ 阅读理解题；④ 图形变化题、开放性试题；⑤ 归纳猜想、操作探究性试题；⑥ 几何代数综合型试题等。
这轮复习，我针对学生特点，参考近五年中考试题的后面大题部分及《中考考试说明》等内容，全组教师一起探究、组题，小矩形绕着大矩形的一个端点旋转问题、计算题以及计算的多种变式题、统计与概率的图表题等，我们都做了专项练习，并且每个大题都设计了三四个小问题，练习时要求中等生前两问必须会做，弄懂，三四问努力做；要求尖子生要全部做。讲解时，因为尖子生少，中等生多，偶尔个别大题的最后一问特别难理解的，我们在课上就不做统一讲解了。老师们做好详细的答案发给学生，学生们课下小组研究，弄不懂的地方找老师单独讲解，经过全体师生的共同努力，该方法取得了良好的效果。
三、 综合训练
这一阶段，重点是提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略，加强解题指导，提高应试能力。具体做法是：从往年中考卷、自编模拟试卷、专家培训中精选题型，每位初三教师都各组两套模拟试题，固定时间进行模拟小测，在每次模拟考试结束之后，所有数学教师一起进行试卷分析。
四、 回味复习
在中考的前一周，教师要学生看这一年整理的错题本，尤其是每次小测或者是模拟考试整理在错题本上带标记的重点题型，让每个学生针对自己平时在练习中存在的问题，自己查漏补缺，扫清盲点，或者找出以前的试卷重点对以前做错和容易错的题目进行最后一遍清扫。
复习工作再严谨也需要学生的学习热情来推动，所以能唤起学生学习热情的教法才是好教法。首先，教师要关心、爱护学生，培养良好的师生关系；其次，让学生制订目标；最后，让学生体验成功的乐趣，达到事半功倍的效果。
【参考文献】
[1] 牛帅.新课标理念下数学教学的几点反思[J].中学生数理化（高中版・学研版），2011（3）.
[2] 刘莉，刘会成.初中数学教学内容调整后对初三数学总复习的几点建议[J].辽宁教育，1999（3）.
[3] 王富英.数学总复习的目的任务、功能、特点和教学原则的探究[J].数学通报，2003（2）.
【关键词】知识网络；夯实双基；当堂反馈；方法总结 纠错练习；解题规范
初中数学总复习是完成初中三年数学教学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键。重视并认真完成这个阶段的教学任务，不仅有利于学生巩固、消化、归纳数学基础知识，更能提高分析问题、解决问题的能力。初三复习时间紧、任务重，在短短的时间内， 如何提高复习的效率和质量，是每位初三学生及教师所关心的。切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，避免复习时的随意性和盲目性。中考的数学复习一般分为三轮进行，针对一轮复习，我谈一些自己的做法供大家参考。
一、重视构建知识网络——以教材和《中考指要》为抓手
第一轮复习为基础知识的单元、章节复习。通过第一轮的复习，使学生系统掌握基础知识、基本技能和方法，形成明晰的知识网络和稳定的知识框架。知识的整理归类，系统复习，俗称“梳辫子”，经常这样把所学的知识条理化，久而久之，我们所学知识就很清晰地印在大脑里。要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类，定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。 对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。对今后继续学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练。例如：1～20的平方数；简单的勾股数；正三角形的面积公式以及高和边长的关系；30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。要抓住常用公式，理解其来龙去脉。这对记忆常用数学公式是很有帮助的。此外，还要进一步了解其推导过程，并对推导过程中产生的一些可能变化进行探究，这样做胜过做大量习题，并可以使自己更好地掌握公式的运用，往往会有意想不到的效果。以课本为主，绝不能脱离课本，应把书中的内容进行归纳整理，使之形成体系；搞清课本上的每一个概念、公式、 法则、性质、公理、定理； 抓住基本题型，记住常用公式，理解来龙去脉对经常使用的数学公式，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化进行探究，使学生更好地掌握公式，胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。
第一轮复习一般分为三十课时左右，可以以《中考指要》为复习的教材。尽管近年来中考数学有许多新题型，但所占分值比例较大的仍然是传统的基本问题。许多试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的，所以在复习的第一阶段，应以新课程标准为依据，以教科书为蓝本进行基础知识复习。复习时教师要认真研究新课程标准，摸清初中数学内容的脉络，开展基础知识系统复习。复习要立足于课本，从教科书中寻找中考题的"影子"。在复习过程中要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。
二、重视夯实数学双基——以当堂反馈和周测为抓手
数学中考试题中，基础分值占的最多。从近几年数学学科的中考试卷结构看难易比例为7：2：1因此，初三数学复习教学中，必须扎扎实实地夯实基础，使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求。解题训练应立足于中、低档综合题。中、低档综合题训练价值高，因为它占中考数学试题的70％～80％。中、低档综合题要讲的深、学的透，教师讲的清楚，学生听得明白。一定要规范解题步骤。习题来自课本题和历年中考题的改编。要抓住基础概念，将其作为技巧突破口。数学试题中的所谓解题技巧其实并不是什么高深莫测的东西，它来源于最基础的知识和概念，是掌握到一定程度时的灵光一现。要寻找差异——因为做了大量雷同的练习，所以容易造成对相近试题的判断失误，这是非常危险的。
中考前的大考、小考，同学们不仅要重视它，还要体验它。有一些同学对老师频繁的考试，挺烦躁的，不理解，其实很多同学都说，中考后才知道那些考试很重要，不经过那些考试的锻炼，突然进入中考，肯定要失败。所以这些同学要力求一种体验，日常考试是一种锻炼，一个机会。可要求学生每周完成至少一套中考模拟训练题，至少让学生完成前120分的题目，完成自己的“最近发展区”。 每堂课都需有课堂反馈，选题要难度适宜，通过填空的形式让学生独立地回忆每个知识点，即把知识点设计成为题目的形式显性化，并且注意是直接的显示，没有任何的变形，基础达标练习：主要以选择题和填空题为主，以便教师能在课内批改、反馈，注意控制题量和难度，尽量能在本节课内完成。能力提高训练练习：这是一种对学有余力的学生进行思维拓展训练，数量不宜多，举一反三，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法；加强落实：千法、万法，落实好才是好法。初三复习每一步都离不开知识是落实，哪位同学知识落实得好，将来在中考中的收效就比较大。要经常性地进行归纳，没有知识是归纳总结，就没有知识的落实。特别是每次练习和考试的失误，要认真总结，防止今后再出现同样的问题。
三、重视数学思想及解题方法的总结——以纠错练习为抓手
中考中常出现的数学思想方法有分类讨论法、面积法、特值法、数形结合法等，运用变换思想、方程思想、函数思想、化归思想等来解决一些综合问题，在脑海中将每一种方法记忆一道对应的典型试题，并有目的地将较综合的题目分解为较简单的几个小题目，做到举一反三，化繁为简，分步突破；而在与同学的合作学习中，要将较为简单的题组合成较有价值的综合题。中考题最大的特点是浅、宽、新、活，因而，在复习中要回避繁、难、偏、怪的题，否则，一方面浪费时间，另一方面也会增加心理负担。提倡增大课堂复习容量，不是追求面面俱到，而是重点内容得多用时间，非重点内容敢于取舍，集中精力解决学生困惑的问题，增大思维容量，少做无用功，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展。重视复习课中的典型的例题的讲解。例题不是习题，通过例题让学生掌握学习方法，对例、习题能举一反三，触类旁通，变条件、变结论、变图形、变式子、变表达方式等。习题最好来源于课本，对课本上题目进行演变，如适当改变题目的条件，改变题目的问法，看看会得出什么结果，这就是“变式训练”；运用一题多拓，培养思维的深刻性；引导一题多变，深化思维的灵活性；提倡一题多解，提高思维的独创性。不要只追求做题数量，而要追求做题的质量。糊糊涂涂做三套，不如明明白白做一套，要讲质量，讲效果。只追求数量，什么问题都摸棱两可，知道的越多越糊涂。对于老师精心组合的题、自己平时害怕的题、容易出错的题要精做，用多种方法做，全方位地“透视”；其余题目则一般化地做；有把握的题目、做过多遍的题目可以不做。建备忘录，对疑难问题和错误随时记录，不能轻易放过。一时解决不了的问题，记下来以备以后解决。经常性地反思自己的错误，才能使自己的弱项变为强项，劣势变为优势，否则问题得不到解决，学习成绩就很难得到提高。把每次考试当中，不会的题抄在本上。中考前的所有考试差错，都写在笔记本上。现在也不用从头到尾把所有的书再看一遍，重点放在错误改正本上。
四、重视解题规范速度——以近三年的中考评分标准为抓手
要把握好目前的中考动向，特别是近年来中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整。在此特别指出的是，有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了，其实只要是有过程的解答题，过程分比最后的答案要重要得多，不要会做而不得分。要抓住中考动向，勤练解题规范。很多学生认为，只要解出题目的答案就能拿到满分了。其实，由于新课程改革的不断深入，中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整，只要是有过程的解答题，过程比最后的答案要重要得多。所以，要规范书写过程，避免“会而不对”、“对而不全”的情形。“快”与“准”的关系在目前题量大、时间紧的情况下，“准”尤为重要。“快”则是平时训练的结果。因此，平时做题，既要做到“准”又要做到“快”，而不是只要做对即可。最后的综合复习中要注意书写要求，特别是做完历年的中考题后不能完事大吉，而要针对参考答案与评分标准检验自己实际的得分情况，不仅要自己分析，必要时还要请教老师，这样才能做到针对自己平时存在的问题与自己的薄弱环节进行有针对性的训练。纠正答题过程中的不良习惯，对试题的错误要认真分析，找出原因和解决的方法。
《初中数学新课程标准》指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明。数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用。数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。作为学习了几年初等数学的九年级毕业生来说，如何在两三个月时间内疏理以前所知识，为自己构建“胸中有丘壑”形成知识树体系呢？笔者从以下方面进行阐述。
一、帮助学生夯实基础，归纳知识单元专题网，构建成知识体系树
现代教育心理学告诉我们，任何知识都是相互联系的。“做好基本题，捞足基本分（80%）”是中考成功的秘诀。“基础题零失分，中档题不失分，爬坡题夺高分”，是获得高分的关键。值得注意的是，在中考中真正拉开考生档次的不是难题，而是中低档题；难题对所有的考生一视同仁，容易题丢分多造成了差距，却是一个不容忽视的规律。在复习的过程中，构建属于自己的知识体系树是战胜中考的不二法门。其内容包括：1.三年来学过哪些基本概念、基本规律等；2.找出知识点之间的联系与区别，并列出知识网络，写成提纲或画出图表；3.各专题知识的重点、难点、疑点、注意点、考点和热点；4.比对知识树看哪些知识没有掌握或掌握得不牢。
二、教会学生学会“考试”，以考试为检验复习的平台，查漏补缺，学会从考试中提高，不断完善自我
进入九年级总复习后，考试变得异常频繁。但对考试的态度往往决定中考成绩的高低。每次考试后，指导学生在了解分数与名次的同时，更要关注试卷上的失分点。因为找到了失分点，我们也就抓住了得分点，抓住了提高成绩的关键。然后，依据失分点，对学习内容进行查遗补漏，发现学习中的死角与不足之处；对学习过程进行总结，针对失分点进行认真、细致、深入地分析，找出失分的具体原因，制定相应的补救措施，并在以后的学习中进行专项强化练习，逐个击破。通过自学归纳和查漏补缺，主要是把以前所学的分散的、个别的、孤立的知识联系起来，变成系统的知识，从而对知识的理解和掌握产生质的飞跃。
三、引导学生学会揣摩例题、精练习题的能力，实现沉着应战，考试不留遗憾
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过样板，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。这样，才能举一反三，触类旁通。很多考生常犯“忽视错题归类”的错误：不少考生由于复习任务重，往往不太重视每次训练或阶段性测试的错题的整理，错题归类不及时，出现“屡做屡错”，“讲过的还错”现象，未能处理好“懂和会，对而不全，会而不对，对而不得分”四个关系。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。要善于在解题中发现自己的不足，并找出根源，加以充实；要善于在解题中总结解题的规律，提高解题能力。
四、指导学生在复习时摒弃陋习，在考试中避免低级错误产生而丢失应得的分数
因长期的备战，越临近考试，可能很多毕业生已身心疲惫，此时教师要对他们进行心理疏导。鼓励学生一鼓作气进行最后的冲刺。考生在第一轮复习计划后，觉得很多内容是学习过的，存在上课“不想听”“只看不写”“只想不做”等不良习惯，复习效率偏低，忽略了对基础知识的再一次学习。书写潦草、字体大小不统一，答题只求结果，不重过程，计算不愿计算到底，不能计算完整或计算出错；爱用计算器，笔算的主动性不够。这些都是此时需要矫正的陋习。
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