反向行程问题公式
反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
求分率、百分率问题的公式
比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；
增长数÷标准数=增长率；
减少数÷标准数=减少率。
或者是
2、正方形的周长=边长×4 C=4a。
3、长方形的面积=长×宽S=ab。
4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a。
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2。
6、平行四边形的面积=底×高S=ah。
7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2。
8、直径=半径×2 d=2r半径=直径÷2 r=d÷2。
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd=2πr。
10、圆的面积=圆周率×半径×半径。
11、三角形的面积=底×高÷2.公式S=a×h÷2。
12、正方形的面积=边长×边长公式S=a×a。
13、长方形的面积=长×宽公式S=a×b。
14、平行四边形的面积=底×高公式S=a×h。
15、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2。
16、内角和：三角形的内角和=180度。
17、长方体的体积=长×宽×高公式：V=abh。
18、长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式：V=abh。
19、正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式：V=aaa。
20、圆的周长=直径×π公式：L=πd=2πr。
21、圆的面积=半径×半径×π公式：S=πr2。
22、圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高.公式：S=ch=πdh=2πrh。
23、圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积.公式：S=ch+2s=ch+2πr2。
24、圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高.公式：V=Sh。
25、圆锥的体积=1/3底面×积高.公式：V=1/3Sh。
26、分数的加、减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
27、分数的乘法则：用分子的积做分子,用分母的积做分母。
长方形的周长=（长+宽）×2
C=(a+b)×2
长方形的面积=长×宽
S=ab
正方形的周长=边长×4
C=4a
正方形的面积=边长×边长
S=a.a=a
三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
三角形的内角和＝180度
平行四边形的面积=底×高
S=ah
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
S=（a＋b）h÷2
圆的直径=半径×2（d=2r）
圆的半径=直径÷2（r=d÷2）
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
C=πd =2πr
圆的面积=圆周率×半径×半径
S=πr×r
长方体的体积＝长×宽×高
V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V=aaa
圆柱的侧面积：圆柱的侧面积等于底面的周长乘高
S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积
S=ch+2s=ch+2πr×r
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高
V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高
V=1/3Sh
单位换算
1公里＝1千米＝1000米
1米＝10分米
1分米＝10厘米
1厘米＝10毫米
1平方米＝100平方分米
1平方分米＝100平方厘米
1平方厘米＝100平方毫米
1立方米＝1000立方分米
1立方分米＝1000立方厘米
1立方厘米＝1000立方毫米
1吨＝1000千克
1千克=1000克=1公斤=2市斤
1公顷＝10000平方米
1亩＝666.666平方米
1升＝1立方分米＝1000毫升
1毫升＝1立方厘米
1元=10角
1角=10分
1元=100分
1世纪=100年
1年=12月
大月(31天)有：1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有：4\6\9\11月
平年2月28天，闰年2月29天
平年全年365天，闰年全年366天
1日=24小时
1时=60分=3600秒
1分=60秒
数量关系
每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
特殊问题
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
（1）一般公式：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2
水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)
工程问题
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=（售出价÷成本-1）×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%（折扣〈1）
（1）1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米
（2）1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
（3）1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
关键词： 盒球数 熵 熵序 系统
1.盒球数
1.1盒球数的概念
在引入盒球数之前，笔者先给出一个“盒子分小球”的排列组合问题。简单地说，“盒子分小球”问题就是现在有n个没有区别的小球随机的放到k个盒子中去，有多少结果？（n是自然数，k是正整数，下同）
对该问题详细阐释一下，一共有n小球，k个盒子，假设盒子足够大，小球足够小，也就是说一个盒子可以装无限多个小球，每个盒子都可以把n个小球全部装完，不用担心小球装不下的问题。现在我们把全部小球随机放到每个盒子当中，每个小球放到任何一个盒子中的概率都是相等的。
该问题要注意以下3点：
a.小球是完全相同的，没有差别。
b.盒子是有序号排列的，有差别。
c.对于每一种“盒子分小球”的结果，不会有小球落在“盒子”的外面，也不会因为“盒子”的容量问题而装不下。
为方便起见，这里给出一种数学表示方法，来表示“盒子分小球”问题的结果数――“盒球数”：X。
1.2盒球数的解法
这里我们运用“排列组合”中的挡板法来解决。
解：用数字“1”来表示“挡板”，用数字“0”来表示“小球”。则“挡板”之间的“小球”数就是每一个“盒子”里所装的“小球”数。而k个“盒子”只需（k-1）个“小球”就可以了，正如“一刀两断”之意，（k-1）“刀”便可以切成k段。
至此，“盒子分小球”的问题便转化成了这样一个“1-0组数”的问题了：有（k-1）个数字“1”和n个数字“0”，用这（k-1）个数字“1”和n个数字“0”可以组合成多少个“正整数”呢？
这样就容易多了，这样的“正整数”一共有［n+（k-1）］=（n+k-1）位数，因此，我们只需在这（n+k-1）位中选择n个位置来放数字“0”，或者说在这（n+k-1）位中选择（k-1）个位置来放数字“1”即可，因此
X=C=C（公式1）
1.3盒球数的基本性质
（1）一般的，因为k为正整数，所以有特殊的X=1。
（2）由公式1可知：
X=C?圯X=CC=C?圯X=X（公式2）
（3）X=X+X（公式3）
证明：左边=X=C
公式1?圯X=C公式1?圯X=C右边=X+X=C+C=C=左边，左边=右边，证毕。
（4）X=X=1（公式4）
证明略。
（5）X=X（公式5）
证明：由公式4和公式3，有：
X=X+X
X=X+X
X=X+X
…
X=X+X
?茌X=0+X
X=X+X+X+…+X
即X=X，证毕。
（6）X=X（公式6）
证明：
公式2?圯X=X公式2?圯X=X公式5?圯X=X?圯X=X
将上述等式中的（n+1）用k代替，（k-1）用n代替，得：
X=X，即X=X，证毕。
2.熵序
2.1熵和熵序的概念
德国物理学家克劳修斯（R.J.E.Clausius）于1865年提出了熵（Entropy）这个概念，用符号S来表示。如果一个物体的绝对温度为T，输入该物体的热量为Q，则该物体熵的增加量为：
S=S-S=（公式7）
式中：S――物体输入热量前的熵；S――物体输入热量后的熵。
这样定义的熵又称为热力学熵。
玻尔兹曼（L.Boltzmann）于1872年在研究气体分子运动的过程中，对熵提出了微观解释。他认为在由大量粒子（分子、原子）组成的系统中，熵表示系统的紊乱程度，系统越“乱”，熵就越大。
由此可见，熵是用来描述系统紊乱程度（或有序程度）的一个状态量。熵序指的是系统熵的所有可能取值的总数，用符号Sx来表示。拿一个宏观例子来比喻，竖直向上抛一枚硬币，落地后会有正面或反面朝上的两种状态，我们就说熵序是2。熵序用来表示系统的复杂程度，熵序越大，表示系统的复杂程度越大。
2.2用盒球数计算熵值
这里我们再回到前面的“盒子分小球”的问题，这个问题其实就是描述了一个拥有n个小球和k个盒子组成的系统，前面我们讨论的盒球数刚好就是这个系统的熵序。即
S=X（公式8）
下面举个例子，有这样一个系统，有10颗粒子分配到3个小室（1#小室、2#小室和3#小室）中，则该系统部分可能出现的状态及其出现的概率如下表所示。
表格1 系统部分状态的配容数及出现的概率
其中，配容数为计算概率时的分子值，表格1中的第三列和第四列这两种情况我们在计算熵序时是按照同一个状态计算的，根据公式8，本例中熵序为S=X=66，即该系统共有66种不同的紊乱状态。
3.结语
根据玻尔兹曼的解释，热力学中定义的熵可以看作能量在空间分布均匀性的度量，也就是物质系统中能量衰竭程度的度量。而熵序则表示系统中能量衰竭程度所有可能的状态数，并由此可以衡量系统中所有的能量衰竭状态的复杂度。
参考文献：
［1］杨家本.系统工程概论［M］.武汉理工大学出版社：12-13.
和小学不一样，初中数学的课堂教学容量变大，小学里教了六年的加减乘除，初一只用一个月教完。面对全新的数学学习，如何才能让自己不掉队呢?
首先，要学会听课，提高计算能力。
初中老师不会再像小学老师那样，直接告诉学生哪些内容要记下来。学生要学会听课，学会做笔记，自己分清知识的重点。初中数学学习计算量比小学增大了不少，需要学生快速准确地用口算或者心算完成。
其次，要培养空间立体想象能力。
数学的基础知识主要包括计算、空间想象、数量关系、应用公式等。小学生的抽象思维较弱，对符号、数字、图像等不够敏感，而这恰恰是初中数学学习所需要的。建议学生多从数学角度思考日常生活，如身边建筑物的体积等，这样初一数学的学习就会轻松很多。
另外，要变“数”为“式”。
初一数学开始涉及方程式，而小学数学多是算术题，面对这期间的断层。学生可以在暑期进行预习巩固，适应方程式学习。
最后，要强化“0”知识。
“0”是一个很明显的分界点，小学生接触的都是正数，而初中开始接触负数，一些学生往往就把“0”忽略了。小学和初中数学无论在思维还是计算方法上都有很大区别，家长要注意帮助孩子找到适合孩子的方法，顺利过渡。
小升初特殊应用问题
• 和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
• 和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数)
• 差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数)
• 植树问题
1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
(1)如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
(2)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
(3)如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
• 盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
• 相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
• 追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
• 流水问题
(1)一般公式：
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
(2)两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
(3)两船同向航行的公式：
后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度
• 浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
• 利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
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