一、数学分析的重要作用
数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论基础,其在数学教学中的作用经得起验证。并且是对数学能力、数学意识的客观反映。在教学中,其作用重点体现为以下几点:
(一)数学分析有助于培养学生的辩证唯物主义思想
数学分析以极限思想为核心内容,极限的定义利用“ε”语言实现了有限与无限两个概念紧密相连,将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语言。通过这一分析过程,学生自然的掌握了唯物主义理论,对其数学知识学习具有积极意义。
(二)数学分析有助于培养学生的数学应用意识
数学分析来源于实践,在数学教材中,许多例子应用于数学分析理论。通过数学分析理论,学生具有较强的应用意识,丰富了其解题技巧,从而培养其自主学习和探究精神,与素质教育的精神相吻合。
(三)培养抽象意识、建立审美意识
数学分析的主导思想导数和定积分具有高度抽象特点。利用数学分析思想,使学生形成正确的审美观念,培养其抽象意识。
通过概念、命题的形成过程而培养学生从本质看问题的习惯。而对于复杂事物或概念,数学分析可帮助学生学会由表及里,分清主次的特点,为学生数学问题的解决提供了多样化的、可行的方案。数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点,有助于引导学生发现数学中的美感,对数学产生好的印象,从而提高其对数学学习的兴趣。
二、数学分析原理和方法在数学中的应用
(一)微分学原理、方法在数学中的应用
数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。
函数图形多采取描点法进行图形绘制,这种方法在结果上存在一定的偏差。此时,利用数学分析的导数概念可正确判断函数的凹凸性、单调性等特点,可精确计算出函数极值点和拐点。最后,通过极限法求出渐近线,从而得出函数草图,再利用数学分析中的微积分思想就可以准确绘制函数图形。
(二)积分法原理和方法在中学数学中的应用
积分包括不定积分和定积分两部分。两种积分形式虽具有一定差别,但实际上存在必然的联系。二者之间可以实现转化,通常可将定积分转化为不定积分问题,从而降低解题难度。因此,积分法原理充分利用了数学分析的精髓,将积分与定积分问题联系在一起,提供了专业的数学解题理论。其中,定积分可用于求解面积、体积以及弧长问题。大学阶段,数学概念作为成型的理论出现,但并未进行详细的推导。这样对于一些概念的应用来说,学生理解起来较为困难,无法应用自如。而通过数学分析理论,有关公式的计算完全可利用积分或微积分精确地进行计算,并提供分析过程,使学生准确理解数学概念。总之,在数学教学中,数学分析为多种数学知识的计算提供了理论依据,为其分析提供了方向。
(三)提高能力,掌握数学思想与方法
数学分析内容丰富、理论知识扎实,并且包含了大量的数学思维。其应用有助于学生了解数学的本质,领会数学的内涵。因此,要将数学分析应用于数学教学中,需要教学人员提高教学能力,正确解读数学分析教学指导思想。在数学分析思想中,数学中常用的数形结合法、待定系数法消元及配方等方法应用广泛。从而使数学分析从思想与方法上对数学具有切实的指导意义。因此,其在数学教学中的应用具有可行性,且能够促进数学解题思维的形成。当然,在数学分析应用过程中,数学教师的素质具有重要作用,在教学过程中,教师要善于总结与联系,将学生的旧知识体系与新知识教学联系在一起,使学生能够正确认识数学教学与数学分析之间的关系,提高其学习热情,从而促进数学教学的高效化和专业化。
【关键词】数学思想方法 小学数学
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。 而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。 而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。 因此，教师在小学数学教学中，要使“数学方法”与“数学思想”结合，于无形之中让学生在学习数学的时候了解到解决问题的思路以及由来，从而培养学生的解决问题以及数学能力，从而学会独立借用数学思想解决问题。正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”， 要让学生知道如何解决这道题的同时，更知道解决问题的思想，从而受到启发，能解决于此类似或相关甚至变换、延伸出来的问题，提升学生数学素质。
一、数形结合的思想方法
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
二、集合的思想方法
把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。 三、化归思想
化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。
例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1／2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3／8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1／2（或2 3／4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3／8米的整倍数，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍数”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。
四、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
那如何加强数学思想方法的渗透呢？
要在教学中时刻提醒数学思想的渗透并注重反复性。
【关键词】初中数学；数学思想；数学方法
一、初中数学中的数学思想和数学方法分析
初中数学中的数学思想和数学方法主要有以下几种：
（一）数形结合思想
数形结合思想是初中数学最基本、最重要的思想之一，对数学问题的解决有重要的作用。在初中数学教材中，以下内容体现了数形结合思想。一是数轴上所有的点和实数之间是一一对应关系。二是平面上所有的点和有序实数是一一对应关系。三是函数式和图像的关系。四是线段的和、分、倍、差问题。五是在三角形求解时，在边长和角度计算中，引入了三角函数，以代数方法解决三角形求解问题。六是在“圆”章节中，圆的定义，圆的位置关系，圆与点的关系都是通过数量关系进行处理的。七是在统计中，统计的第二种方法和是通过绘制统计的图表来处理，通过图表能够反映出数据情况和发展趋势。
（二）类比思想
在初中数学中，类比思想的应用也比较普遍。但两个数学系统元素的属性相同或是相似时，可以采用相同或者相似的思维模式。主要表现在以下几个方面：一是不等式。二是二次根加减运算。三是角的比较，角平分线，角的度量可以与线段知识进行类比分析。四是相似三角形与相似多边形。
（三）整体思想
整体思想主要运用于图形解答中，将图形作为一个整体，对已知条件和所求结果之间的关系进行分析，从通过有意识、有目的的整体处理来解答问题。整体思想能够避免局部思考的困惑，简化问题。
（四）分类讨论思想
在数学问题解答过程中，由于解答对象属性的差异，导致研究问题结果会有很大不同，这就需要对解答对象的属性进行分类分析，在研究过程中，如果出现了不同的情况，也应该将其独立出来进行分析。通过分类讨论思想，能够化繁为简，让事物的本质能够显现出来，这样能够方便问题的解决。在综合题目解答时，通过已知条件，对图形变化情况进行分析，找出解决问题的方法，在几种方法的对比分析中，归纳出正确答案。
（五）化归思想
化归思想是一种比较常见的数学思想，通过转化过程将未解决的为题转化为已解决的问题，将复杂为题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。化归思想在初中数学中的应用范围非常广泛，尤其是在综合题解答时，题目所给出的已知条件比较分散，很难找出简单的解题方法，这时就可以采用化归思想，对题目中的已知条件进行分析，在转化过程中缩短与结论的距离，这样能方便找出解题的方法。化归思想主要体现在以下几个方面：一是在求解分式方程时，可以将分式方程和转化成一元二次方程进行解答。二是在直角三角形解题中，可以将非直角三角形转化成直角三角形进行解答。三是在多边形或者三角形面积或线段解答时，可以将其转化为相似比问题进行解答。
二、在初中数学教学中，数学思想和数学思维渗透的方法
（一）抓住渗透契机，及时引导学生
初中学生的数学知识还比较频发，其抽象思维能力、空间想象能力较差，在数学方法、数学思维独立出来进行学习还比较困难。这就需要教师在教学过程中，抓住数学思维和数学方法在课堂教学的渗透契机，重视数学公式、法则、定理、概念的形成发展过程，让学生在学习过程中能够开拓思维，在数学思想和数学思维的领悟过程中，解决具体的数学问题。在数学思想、数学方法渗透过程中，教师应精心设计，在潜移默化中引导学生发现各种数学思想和方法。以二次不等式为例，在解答二次不等式问题时，可以结合二次函数的图像来帮助学生记忆和理解，总结归纳出了二次不等式的解集应为“两根之外”“两根之间”两种。通过数形结合思想，不仅有利于二次不等式的学习，还能巩固二次函数的知识，完成新旧知识之间的过渡。在概念、定理、法则、公式等数学结论导出的过程中，教师应创设必要的问题情境，为学生提供各种感知材料，让学生明白数学结论的产生发展过程，在这一过程中，还能通过观察、归纳、类比、检验、假设、尝试等方法完成数学思想、数学方法渗透的过程。
（二）分阶段分层次组织教学
（1）分阶段组织教学。主要分为孕育阶段和形成阶段。在孕育阶段，数学思想和数学知识的渗透主要基于数学内容的组成结构。从数学教学内容来看，一般是由两条线索组成的。因此，在数学学习中，应特别重视知识的积累，教师应积极引导学生寻找数学知识中包含的数学思想和数学方法， 在横向联系中感受到数学的魅力。以一元一次方程为例，学生在解答此类问题时，一般只注重解题步骤，而忽视了解题的思想。通过变形处理，将方程转化成ax=b（a≠0）。由于学生对化归思想不了解，导致方程训练的目标并不理想。在形成阶段，指的是学生对数学知识有了一定的了解和掌握，能够逐步形成数学思想和数学方法，并有意识地将数学思想和数学方法运用到解题中去。在这个阶段，教师应有意识地引导学生总结、概括性的数学知识，引导学生发现数学知识隐藏的数学思想和数学方法。以二元一次方程组为例，在该章节中，化归思想的应用比较普遍，将二元方程组转化成一元方程来解答。在教学过程中，教师可以列举一个实例，学生通过一元一次方程能够解答这个问题，再要求学生以二元一次方程组进行解答，通过对比发现，通过消元处理，能够让学生认识到化归思想的精妙之处。
（2）分层次组织教学。在初中数学教学中，教师应熟悉数学教材，挖掘数学思想和数学方法，对这些知识进行认真研究。再根据学生的认知能力、知识掌握程度、理解能力和年级差异进行由易到难、由浅入深贯彻数学思想、数学方法。数学学习是通过课堂教学、复习巩固和练习题的过程完成的。因此，数学思想、数学方法需要长期的数学学习才能形成。同时，在数学学习中，应重视对旧知识的巩固，形成一个完整的数学体系。如在一次函数的学习中，可以采用乘法公式进行类推处理。在二次函数学习时，可以将一元二次方程结合起来，在重复性学习中，让学生真正理解和掌握数学思想和数学方法。
三、总结
随着新课程标准的推行，初中数学的教学理念和教学方法发生了很大变化。在教学过程中，如果只注重数学知识的传授，而忽视了数学思想、数学方法的教学，对学生数学学习会产生不利影响。数学是一门抽象性、概括性较强的学科，数学知识的学习很难让学生系统性地掌握数学学科的全部内容，学生的学习也仅停留在知识学习的表面。而忽视知识的学习会导致数学教学流于形式，因此，在数学教学中，应将数学思想、数学方法与数学知识的教学活动有机结合起来，才能提高数学教学的效果，实现素质教育的人才培养目标。
参考文献：
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分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把完整的过程分解到各个阶段,并加以研究的思维方法.在数学中,分析就是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法.例如,为了求多边形的面积,我们可以把多边形分解为若干个三角形,分别进行研究,又如,对于列方程解应用题这一完整过程,可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察,在数学解题中,分析是首先且大量要用到的一种思维方法,因为对于求知的整体事物,要使学生深刻地认识它、理解它,首先就得恰当地分解它、简化它.具体地说,分析法是从数学题的特征结论或要求出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.
例1:如图,P是O外一点,PQ切O于Q,PAB和PCD是割线,∠PAC=∠BAD.求证:PQ■=PA■+AC·AD.
证法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB
要证:PQ■=PA■+AC·AD
只需证:PA·PB= PA■+AC·AD
即证AC·AD= PA■-PA·PB
即AC·AD= PA(PA-PB)
又因PA-PB=AB
只需证AC·AD=PA·AB
即AC/PA=AB/AD
这就将问题转化为证明PAC与ABD相似.
连接BD,因∠PAC是圆内接四边形ABCD的一个外角,故∠PCA=∠ABD.
又∠PAC=∠BAD,故PAC∽DAB,由此命题得证.
综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各个要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法,在数学中综合就是从原因推导到由原因产生的结果的一种思维方法.例如,把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察,对有理数就能有一个完整的认识;把有理数和无理数联结起来研究,则对实数就可以有更深刻的理解.综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起,而是着重于找出其互相联系的规律性.具体地说,综合法是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.
例2:已知a , b ,c, d为正实数,且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求证:a=b=c=d.
证明:(综合法)
由 a■+b■+c■+d■=4abcd
得 a■+b■+c■+d■- 4abcd=0
从而转化成 (a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0
即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0
易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0
又a,b,c,d为正数
故有a=b, c=d,ab=cd
【关键词】中学数学；解题；数学方法
一、数学方法的特点
1.数学方法一般具有高度的抽象性，可以在数学题目中只保留数量关系和空间形式。2.数学方法在逻辑上有高度的严密性和对最后结论的确定性。3.数学方法具有广泛的应用性和在运算上的可靠性，当然由于不同数学题目对相应数学方法的要求也不同。数学方法本身具有的特点是数学解题过程中一种手段也是一种工具，总结一下，数学方法具有逻辑性、抽象性、严密性、可靠性、广泛性和普遍性的特点。
二、 中学数学解题过程中常用的几种数学方法
（一）不完全归纳法
不完全归纳法就是将一些较为特殊的数学问题进行抽象提高，再通过研究分析将其中存在一般属性和规律进行总结。一般具有以下特点：
（1）有一定的事实基础，对问题判断的范围小于结论应当判断的范围。
比如：我们在探究多边形内角的求和公式的时候就是通过先计算一些多边形的内角和慢慢摸索其中的存在的规律然后归纳出n变形的内角和。
具体方法如下，由多边形的一个顶点画出所有的对角线，就会发现四边形被分成2个三角形，五边形被分成了4个三角形直到十四边形会被分成12个三角形，通过这种方法会发现被分出的三角形个数总是比多边形边数少2个，三角形的内角和是180°，就可以推算出n边形内角和的计算公式为（n-2）×180°。
（2）得出的结论可能出现错误
比如对函数方程式y=x2+x+41中是否x取非负整数，y都会是质数的判断的时候，x的取取值我们通常是从0开始，然后再是1，2，3，4，……慢慢会发现对应的y值为 41，43，47，53，……，1601，也都是质数，由于很少有人会将x取值取到40所以很容易认为这个判断是正确的，但是就是在x=40时，y对应的值就为1618，而1618能够被1和本身整除，也能够被41整除显然1618就不是质数而是合数，所以最后的这个结论的判断是错误的，所以这样用不完全归纳法就很容易出现错误。
（3）得到结论后判断结论是否正确，需要通过理论证明和实践的检验
比如：1+8=9 即13+23=32=（1+2）2
1+8+27=36 即13+23+33=62=（1+2+3）2
……
在计算中我们可以推算出
13+23+33+ ……+n3=（1+2+3+ ……+n）2=
然后用数学归纳法发现这个结论是正确的。
（二）建立数学模型
在解数学题目的时候将语言的文字描述，提炼出合理的数学模型，然后分析和解决数学问题的同时通过调查和研究，了解问题表达的信息，再进行抽象简化后用数学符号表达成数学式子，然后在通过计算得到模型的结果，用结果来解决实际的问题，最后再进行实际检验。
在建立数学模型解题时一般遵循以下几个步骤：1.对数学题目有全面的理解，围绕题目的问题选择适当的方法。2.结合题目的问题作为建模的目的，对建模的对象进行简化抽象。3.在对模型假设的基础上，要有充分的依据和尽量简单化，便于问题的处理。4.利用所学的数学知识对模型进行解答。5.对解答后的数学模型进行确认和检验，然后对模型进行运用。
比如：小明用6000元买了一台电脑，现在首先支付了1200元，剩下一部分钱进行贷款形式支付，依照每月900元在6个月内还清，现在要求计算贷款的利率是多少？
解题方法：首先对本题可以建立直观的模型。把生活的实际问题转化为数学问题，也就是要按每月还贷800元进行计算，得出21个月的贷款利息为600元的年利率。
可以得出还款的期限是 = 年
设利息为i 600=800× i× 即i=42.86%
（三）数形结合法
“数”就是数和式子，“形”就是图形和图像，所谓的数形结合就是找出数与图之间的对应关系，将“数”与“行”相互转化，图形的表现形式更加直观和清楚，更能找到解答问题的突破口，观察图形的特点与数与式的结构分析，引起联想，化抽象为直白将数学式中隐含的数量关系用图形表现出来。在解题的时候一般是建立坐标系，将数量化静为动进行求解。或者是分析数和式的结构特点，将问题转化到另一个角度进行思考，在对问题构建出一个函数图像、一个图表或者是一个几何图形等进行题目的分析和求解。
关键词：高中数学；函数类问题；解题方法
引言
随着我国教育事业的不断发展，教师开始逐渐更新教学理念、创新教学方法，并且遵循“以学生为主”的教学原则，充分体现学生在教学过程中的主体地位，以此来更好的开展教学活动.数学作为高中教学中十分重要的一门课程，其中函数知识又是重中之重，在试卷中的比例逐年上升，由此可见，函数知识的学习对于学生非常重要.因此教师应该联系学生学习现状，为学生提供多元化的解题方法，以此来帮助学生进行高效的学习[1].
一、函数单调性问题的解决方法
1应用单调性定义
在函数问题的解题过程中通常分为三个步骤：第一步，在单调区间的划分上设定存在两个任意值x1和x2，；第二步，将f（x1）和f（x2）进行比较；第三步，标注区间，然后根据函数单调性得出结论.
2应用单调函数的复合法则
在内、外函数的单调性相反时，将两者进行复合就会使其成为减函数；在内、外函数的单调性一致时，复合之后就会成为增函数.在具体的复合函数解题过程中，可将常见的函数分解成为内、外两个函数式，并分别对其单调性进行分析，这样就能够快速的得出复合函数的单调性.
3熟练掌握基本函数具体图像
在解答函数单调性的问题时，只有学生熟练掌握了基本函数的具体图像之后，学生才能够直接对函数图像进行分析，从而快速、准确地解决函数的单调性问题，并且还可以通过函数图像规律的变化，直接观察出函数的单调性.此外由于函数的图像是对称的，这个特性就可以成为学生在解题过程中的突破口，使学生更加快速的解答题目.
二、函数求最值问题的解题方法
1图像法
图像法是利用数形结合的方式进行解题，通过观察图像找到图像中的最高点，以此来确定函数的最大值.一般来说，在利用图像法求函数的最值时图像中都会存在一个最高点，或者说，在某一个固定的区间内会出现一个最高点，由此就可以说这个最高点就是函数的最大值.从某种程度上来说图像法是万能的，只要通过连续的描点，就可以大致的判断出此函数图像的走向，并且还可以根据函数图像的走向进一步判断出该函数是递增的函数还是递减的函数，假如图像上面呈现的是递增函数，那么这个函数的最大值就一定是它的最高点；假如图像上面呈现的是递减函数，那么该函数的最大值就应该要视情况而定[2].
2配方法
在教师教学生二次函数运算的时候，教师就可以根据这个函数的现有形式，通过配方，将该函数转换为顶点式函数，然后再根据该函数二次项的系数来判断其开口方向，同时还要根据该函数的纵截距和顶点判断其大致的走向，这样就能够根据题目给出的区间要求，结合图像法的解题方式，快速的判断出该函数的最高点，并将最高点的函数值准确地解答出来，以此来获得该二次函数在这个区间内的最大值.通常来说，只有在解答二次函数问题的时候才会使用配方法，其他函数一般不会利用这个解题方法，此外，在对二次函数进行配方的时候，要注意与配方前相关量的不变性，增加或者减少都是不可以的，只有这样才能够从根本上确保配方前后两个函数的一致性，从而得出正确的答案.并且在利用配方法解题的过程中，都会在一定程度上与图像法相结合，因此，学生在解题的时候一定要对此加以重视，从而快速、准确地解答题目.
例设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为.
解因为c≥a2+b2所以a+b+c≥a+b+a2+b2=（a+12）2+（b+12）2-12.
故a+b+c的最小值为-12.
评注根据条件进行放缩，利用配方法解决问题.
3判别式法
对于函数中求最值的问题，如果可以将已知的函数式进行适当的代数变形转换，将其转化为一元二次方程中有无实根的问题，这样就能够利用判别式来求函数的最值.在一些比较复杂的函数进行求最值的过程当中，学生可以在解题之前仔细观察该函数的特点，然后根据函数的这些特点将其进行适当的因式分解，以此来判断其各个方面的增减性，最终得出该函数的增减性[3].
综上所述，函数知识一直以来都是高中数学教学内容中的重点与难点，因此教师在教学过程中应该要对学生重点讲解函数类题目的解题方法，以此来帮助学生逐渐掌握多种解题技巧，从而增加学生解题速度、提高学习效率.
参考文献：
[1]沈建刚，赵建勋透过形式看本质，让条件更具亲和力――谈函数题隐式条件的解读[J].数学教学通讯（教师版），2015，11（23）：105-106
摘要：科技迅速发展，国力日益增强，社会对于人才的要求也越来越高。为开创新型教学模式，培养高技术、高素质、高水平人才，提升教学质量，文章提出了案例分析法，并从案例分析法的重要性、实例分析和注意事项三个方面对其进行了介绍。
关键词：高等数学；案例分析法；重要性
高等数学是大学生必修的一门基础课程，是学生学习概率、物理等科目的基础。高等数学不仅有助于提高学生的逻辑思维能力，而且对培养学生成为有思想、有品德、有技术的综合性应用型人才也具有重要作用。
一、案例分析法引入高等数学教学中的重要性
在高等数学教学中，可以把生活实例引入到教学范围当中，根据要讲述的内容，分析、研究和讨论所引例子，最终得出相关的定理或概念，使学生在学习过程中更加轻松、舒服。引入案例分析法可以使高等数学教学发生好的变化：第一，案例分析法可以激发学生的学习兴趣性，可以将抽象的、难以理解的数学理论知识形象化，使学生深刻领悟到数学理论中蕴含的真理，从而在生活中更好地对其进行应用。第二，案例分析法可以给学生创造一种与众不同的学习环境，使学生通过主动思考和分析案例，找出和发现问题，从而有效锻炼学生分析和解决问题的能力。第三，案例分析法使高等数学教学更贴近于实际生活，让学生感受到数学在实际中的广泛应用。综上所述，将案例分析法引入高等数学教学当中，不但能够激发学生的学习兴趣，促进学生学习的主动性，而且可以使学生的思维得以开发，思路得以拓展。
二、高等数学教学中案例分析法的运用
在高等数学教学中，当讲授一阶线性差分方程时，教师可以插入下面的例子：在社会经济快速发展中，社会保障体系也在不断完善，人类的生存环境也在发生变化。随着人类生活水平的提高，对于物质条件的需要也越来越多，比如，对于楼房和汽车的需求。当然，这种需求并不是人人都能获得的，那么他们想要享受生活，需要怎样呢？当代人有了新的生活观，认为任何事物都可以通过银行贷款来获取，当然，我们不能总是无限制地透支以后的生活，要想持续过着幸福美满的生活，就要采取相应的措施———合理理财、合理消费。比如，设现在拥有的贷款本金为y0元，需要贷款的时间为2年，年利率设定为a，那么计算一下，我们每个月还必须偿还的贷款是多少？假设每个月必须偿还贷款金额是A（月等额还款情况），那么第x个月需要还银行贷款为yx，如此得到一阶线性方程为：yx=yx-1（1+a/12）-A，y24=0，将y0代入方程中求出y1，然后将y1再代入方程求出y2，以此类推即可得出yx=（1+a/12）x（y0-C）+C，其中C=A/（a/12），这就是我们每个月需要偿还银行的贷款金额。所以，要想一直拥有美好生活，必须要合理理财。简单的日常生活举例，更能吸引学生的注意力，增强课堂氛围，更能使学生深入地理解什么是一阶线性方程，该方程应该怎样得出，如何求解，以及方程的实际应用，从而也让学生认识到了数学知识的无处不在。
三、高等数学教学中使用案例分析法应注意的问题
（一）案例选择尽量与专业相符
高等院校的数学教师一般需要给不同专业的学生授课，不同专业的学生对于概念理解的程度不同，所以教师可以结合学生所学专业的不同，有针对性地引入案例。比如，在介绍导数含义时，可以在机械类工科学生授课中结合变速圆周运动的角速度、非恒定电流的电流强度等变化率问题；针对管理类文科学生，可以引入边际成本的理论；针对农业科学专业学生，可以在授课中结合细胞的繁殖速度、边际产量等问题。这种有针对性的插入案例，不但能体现数学理论存在的多样性，而且能让学生更好地了解数学，拓展学生的思维，培养学生的综合素质。
（二）应结合多媒体进行授课
多媒体教学本身就具有极强的吸引力，如果加入形象生动的案例，则更能激发学生的学习兴趣，让学生更容易接受数学。此外，对于教师，多媒体授课不但能节省教学时间，而且还能节省其教学精力，因此，将案例分析应用于多媒体当中，更便于学生分析和理解相关知识。
（三）课堂教学中要多提问
数学课堂教学就是要善于提出问题，给学生思考的机会，培养学生分析和解决问题的能力。同样，案例的引入更要提出问题，然后进行教学内容的介绍，让学生跟随教师的思路，直到本节课的结束。这样不仅可以集中学生的注意力，而且还能培养学生思考、分析、解决问题的能力。
四、结语
案例分析法不但能引发学生对于数学的喜爱，从而更好地学习数学，而且还能开拓学生的思维，培养学生解决问题的能力，使学生满足社会对相关人才的需求。由此可见，案例分析法的应用对于高等数学教学来说意义重大。
参考文献：
[1]何娟娟.基于案例教学法的高等数学教学改革实践[J].开封教育学院学报,2014(9):110-111.
[2]谢绍义.等额还贷的多种方式[J].数学通报,2003(4):41-42.
【关键词】 任务分析；合并同类项；数学教学
一、数学教学设计中任务分析的含义、作用
1. 任务分析的含义
任务分析（本文指的是狭义的任务分析，以下同）是一种教学设计的技术，指在开始教学活动之前，预先对教学目标中所规定的，需要学生习得的能力或倾向的构成成分及其层次关系详加分析，为学习顺序的安排和教学条件的创设提供心理学依据.
2. 任务分析的作用
在数学教学设计中进行任务分析，可以促进教学设计的优化，起到沟通学习论与教学论的桥梁作用.
（1）任务分析可促进教学设计的优化
传统的备课（狭义的教学设计）过程是：确定单元或课时的教学目标，分析重点、难点，然后围绕课堂教学5步骤，即复习提问—讲授新课-巩固新课—课堂小结—布置作业进行设计，写出教案.但对于教学目标是怎么得来的，运用何种理论采用何种学习方法把教学目标变成学生的学习结果，教师则很少关注.这种凭着教师经验作出的教学设计，往往停留于模仿，缺少心理学理论的指导，很难达到教学设计的优化.教学之所以常常不能支持学习，其中一个重要的原因是设计者未能进行任务分析，使自己陷入冗长的、不适当的和重复的教学过程.因此，光靠教师的教学经验是远远不够的，我们还需要利用科学的方法——任务分析，对学生和学习任务加以严密的分析，促进教学设计的优化，以达到最好的教学效果.
（2）任务分析是沟通学习论与教学论的桥梁
知识分类学习论告诉我们，知识有不同类型，其学习过程和条件也不同.任务分析以课时或单元教学为单位进行，通过分析揭示教学目标所规定的必须实现的终点能力背后的知识结构及其类型，区分出终点目标，使能目标和起点能力，分析学习者要达到这个目标所应具备的内外条件，并根据分析的结果，针对不同知识的类型，提出教学过程的顺序，说明采用何种教学方法、技术和媒体，使“教学有法，教无定法，教有优法”.可见，任务分析以分析学生的学习为核心，以促进学生的发展为宗旨，使教学成为学生学习的有力支持条件，更符合教学和学习规律，起到了沟通学习论与教学论的桥梁作用.
二、数学教学设计中任务分析的方法
狭义的任务分析仅从课堂教学的层面、只进行课堂设计所需要的、围绕教学设计环节以实现设计优化为宗旨来进行分析，其过程主要包括以下几个步骤：
1. 陈述教学目标
教学目标是预期的、在具体情境下学生行为变化的结果，是用“学生学会了什么”的说法来表示的.教学目标的陈述要求定位准确、要求具体、效果明确、可以观察和可以测量.例如课例“合并同类项”的教学目标的陈述：
（1）能识别同类项， 说出合并同类项的含义.
（2）能运用规则合并同类项.
（3）给出任意5个可以运用合并同类项的题目，能正确运用合并同类项且正确率达到80%为合格.
（4）初步感受数学的简洁美和换元的思想方法，养成独立思考的学习习惯.
上面所述的教学目标，其特点为：主体是学生，用无主句式表述. 行为动词“能识别”“ 说出”“ 能运用”等都是具体的、可以明确地操作的表述学习结果的行为动词.其中“正确率达到80%为合格”为变化规定了的合格标准. 所以本课时教学目标的设计是自然的、合理的.
教学目标的确定，直接关系到教学的成败.教学目标在教学中具有导向的功能，主要表现在导教、导学和导评价.教学目标对教学过程有指引作用，能使教学中师生的活动有明确的方向，指导教学方法、技术、媒体的选择与运用.将教学目标分散在课的每一个环节，让学生知道教学目标，可提高教学目标的刺激作用，激发学生的学习动机.例如，当学生知道了同类项的含义后，教师提出“同类项有什么作用？”“怎样去合并同类项？”“合并同类项的规则怎样去研究？”等问题，让学生知道接下去要学习的将是什么（教学目标），就能起到导学的作用.具体明确的教学目标，可以准确地评价学生的学习效果，如设计教学目标（3）来评价学习，就能做到客观和公正.
教学目标是实施教学的出发点和归宿，教师为完成教学目标教学，学生为达到目标而学.然而，课堂教学是一个动态生成的过程，通过激发学生的潜能，还会生成一些课前教学设计中没有预先设定的目标.但是，生成的并非都是科学的，它可能会使教学处于无序、混乱的状态，影响教学目标的实现，因此，教师必须对课堂中生成的目标进行科学的选择和规范，将科学的、有价值的学习目标纳入教学目标体系中，使生成目标变成有序的教学目标.
2. 分析学习结果类型
现代认知心理学从信息加工的观点，把个体习得的广义知识分为陈述性知识和程序性知识两大类.陈述性知识又称语义知识或言语信息，它回答世界是什么的问题. 程序性知识是办事的一套操作步骤，其中又可分为两个亚类，一类为对外办事的程序性知识（智慧技能），另一类为对内调控的程序性知识（认知策略或策略性知识）. 该理论进一步认为，程序性知识学习的前身是陈述性的，陈述性知识学习本质是必须保证所表示的新信息（事实、概念、规则等）进入学生原有认知结构的适当部位.如果要将陈述性知识转化为办事的技能，则必须保证它们在充分的变式条件下得到适当练习，以便于它们日后在新的变化环境中应用.
根据现代认知心理学的知识分类学习论，当我们分析或确定某节课的学习类型时，不仅要考虑知识两大类型的划分，而且要看每类知识的学习处于何种阶段.例如中学生学习合并同类项的最终目的是用它去办事，熟练地解决有关数学问题，因此“合并同类项”这节课是作为程序性知识来学习的.就学习阶段而言，理解并能说出同类项的概念到理解并能说出合并同类项的规则，这一阶段的学习是处于陈述性阶段.接着，设计例、习题的变式练习，让学生运用合并同类项的规则来解决问题，将陈述性知识转化为程序性知识，此时，是作为程序性知识来学习的. 因此课题“合并同类项”的学习类型是“概念和规则”的学习.事实上，对于数学学科来说，中学生学习数学概念和数学规则的目的都是为了解决问题，因此，中学数学学习的知识都是程序性知识.
知识有不同的类型，它们的学习过程既有相同之处，也有不同之处，因此它们的学习条件既有相同也有不同. 对学习结果的类型进行分析，体现不同学习结果类型需要不同的教学方法的思想.例如，在陈述性知识的学习阶段，教师要注意通过设计正反例的辨别，再进行正例的识别；在程序性知识的学习阶段，教师则要通过设计变式训练，让学生的数学技能达到自动化程度，将知识转化为能力.
3. 分析学生的起点能力
起点能力，是指在学习新知识之前原有的知识技能水平.奥苏贝尔的同化论认为，人的大脑里的知识结构网络是在学习过程中通过原有知识对新知识的同化而不断扩展的. 新知识要获得意义，学生认知结构中不仅应具备原有的知识技能，而且原有知识技能必须处于“激活状态”. 在数学教学设计中，教师首先要考虑学生头脑中的原有知识技能水平，并选择适当的教学方法，将学习新知识所需要的原有知识技能“激活”或“植入”，以便于把新知识固着在已有的认知结构中.
例如，合并同类项这节课，由于前面知识的学习，学生已具备的起点能力：
（1）学生已经能正确进行有理数的加减法计算.
（2）学生已经能识别怎样的代数式是单项式，并能指出单项式的系数、指数.
（3）能说出多项式的意义，并能指出多项式中的项数、次数和常数项.
（4）能对一个多项式按某个字母作升降幂排列.
在数学教学中，教师一旦了解学生的起点能力，就会有的放矢.于是，教师设计问题1作为本节课的引入.
在学生完成问题1的基础上，教师继续指出：这个多项式看起来有点“繁”，出于对数学简洁美的追求，我们能否将这个多项式化得简单一点？带着这个问题，我们从写出的多项式的项入手开始研究，请看问题2.
问题2：你能将下列单项式分类吗？并请思考：你为什么这样分类？你是根据什么标准来分类的？
问题1中涉及多项式、单项式及单项式的系数、指数等概念，是学习合并同类项知识的“生长点”.接着，让学生带着问题“能否将这个多项式化得简单一点”入手对写出的单项式进行研究，目的是让新知识在“生长点”的基础上自然而然地生长出来.
读完全文，你将看到本节课还突出贯穿化简多项式这条主线，从提出问题“能否将这个多项式化得简单一点”，到建立同类项的概念、合并同类项的规则等数学模型，最后返回到对开始提出的多项式进行化简及赋值计算，体现了问题解决、数学建模的教学思想.
数学教学只有以学生原有的知识技能水平为基础，以“最近发展区”定向，才能有效地促进学生的发展.
4. 分析使能目标
在从起点能力到终点能力之间，学生还有许多知识技能尚未掌握，掌握这些知识技能是达到终点目标的前提条件.从起点能力到终点能力之间的这些知识技能被称为使能目标.从起点到终点之间所需要学习的知识技能越多，则使能目标也越多. 使能目标分析的方法，一般是从终点目标开始，运用逆向设问法，反复提问并回答这样的问题：学生要掌握这一水平的技能，需要预先获得哪些更简单的技能？一直分析到学生的原有起点为止. 例如，课题“合并同类项”的使能目标我们可以这样分析：学生要能运用规则合并同类项，那么学生就要知道合并同类项的规则，为此，学生就需要知道同类项的概念，学生要知道同类项的概念，就需要会辨别怎样的单项式是同类项.于是得到从起点到终点之间的使能目标如下所示：
使能目标之（1）：通过观察能辨别怎样的单项式是同类项.
使能目标之（2）：能说出同类项的意义并能正确辨别同类项.
使能目标之（3）：通过实例能说出合并同类项的含义.
使能目标之（4）：能根据规则合并同类项.
使能目标的分析是为了确定先决知识技能.因为学生原有的学习习惯、学习方法、相关知识和技能对新学习的成败起着决定性的作用. 另外，由于智慧技能经由辨别、概念、规则、高级规则，有着严格的先后层次关系，高一级的学习以低一级的学习为基础，低一级的学习是高一级学习的先决条件，因此，作为高一级智慧技能先决条件的较低级智慧技能必须全部掌握.
任何知识都有其系统的内在联系，使能目标的分析揭示了知识内在的系统规律，体现了知识结构序列性和学习的层次性，找到了从起点能力到终点目标所走的台阶. 如在学习合并同类项的知识时，它的使能目标必须按学习代数式的项什么是同类项怎样合并同类项的层次发展，前一个目标是后一个目标的必要条件，后一个目标是前一个目标的转化和发展，是一个低层次知识向高层次知识转化的过程，因此使能目标又体现了学生思维发展的规律性.
一旦分析清楚了起点能力、使能目标和终点能力的先后顺序，教学步骤的确定就有了科学的依据，我们就能较好地把握教学要求，设计出明确的教学过程，选择合适的教学方法.例如，合并同类项这节课，根据使能目标设计的教学过程片断（略去了其详细的教学过程）：
问题2：你能将下列单项式分类吗？并请思考：你为什么这样分类？你是根据什么标准分类的？【完成使能目标之（1）】
在学生回答的基础上，让学生概括出同类项的意义.
问题3：辨别下列各组是不是同类项，并说出为什么.【完成使能目标之（1）和（2）】
问题4：在小学里我们就知道：3只小猫 + 5只小猫 = （3 + 5）只小猫 = 8只小猫，如果把这个算式中的小猫分别换成x，y2，ab2，请你写出得到的三个等式.然后仔细观察这三个等式，思考：它们的运算有什么特点，从中能得到什么规律？其理论依据是什么？
当学生通过自己的独立思考，再合作交流得出并能说出合并同类项的规则时，那么学生也就完成了使能目标之（3）.
问题5：化简：
这样，我们就得到了由简单到复杂、先概念后规则这样一个比较合理的数学教学序列.
5. 分析学习的支持性条件
任务分析除了必要性条件的分析之外，还要进行支持性条件的分析.支持性条件与必要性条件的区别在于：必要性条件是构成高一级能力的组成部分，支持性条件虽不是构成新的高一级能力的组成部分，但它有点像化学中的“催化剂”，有助于加快或减缓新的能力的出现.分析学习的支持性条件， 其一是学生的注意或学习动机的激发，其二是认知策略的支持，其三是陈述性知识与程序性知识的相互转化与支持，其四是多媒体技术的支持.例如，本节课教师采用问题驱动的教学策略，引起学生内心的冲突，激起学生的情趣和思维；将数学简洁美的思想、换元的思想、数学建模的思想渗透于数学学习之中；采取让学生先独立思考后合作交流等自主学习的形式；适当的信息技术的使用等.这些学习的支持性条件，能帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律.不但促进了新能力的习得.而且为学生创造了有意义的学习经历，达到了较好的教学效果.
综上所述，任务分析是教学设计中其他环节的基础，为实际的教学工作选择具体的教学方法与确定何种教学步骤，也是发现教学过程中存在问题的一种方法.在教学设计中进行任务分析，教师能达到有效地教学和促进学生有效地学习的目的.
【参考文献】
[1]皮连生. 智育心理学[M]. 北京：人民教育出版社，1996.
[2]皮连生. 学与教的心理学[M].上海：华东师范大学出版社，1997.
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