教学目标：
1．引导学生在现实情境中初步认识负数和理解负数的意义，了解负数产生、形成的过程与作用，感受负数使用带来的方便。
2．学生会正确地读、写正负数，知道0既不是正数，也不是负数。
3．引导学生体验数学和生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
理解负数的意义和会正确地读、写负数。
教学难点：
理解0既不是正数，也不是负数。
教学过程：
一、游戏导入
师：我们来做一个说话游戏，老师说一句话，请你说出与它意义相反的话。
师：你还能举出生活中表示相反意义的例子吗？
【设计意图：创设学生熟悉的生活情境，唤起学生已有的生活经验，引导学生在有趣的游戏中初步感知相反意义的量，促进学生对负数的认识。】
二、认识负数
1．了解生活中表示相反意义的量。
（1）凤冈到六里的1号公交车下去了5人，2号公交车上来了5人。
师：老师进行这样简单的记录，你们觉得这样的记录清楚吗？（指名汇报）
（2）课件出示表格，学生讨论。
师（小结）：“上车5人”和“下车5人”是一组相反意义的量，老师这样表示没有区别开，你能创造一个既简单又明了的方式来记录吗？同时，让别人一看就能明白你所表达的意思。
（3）学生动手操作。
（4）指名学生汇报自己的记录方法。（生上台展示）
师：同学们想出了这么多的方法来记录，很好。怎样表示相反意义的量，数学家们也进行了长期的探索。早在1700多年前，中国的数学家刘徽就首创了两种方法来表示相反意义的量，开始时用颜色来区别，后来用摆放位置的正与斜来区别。
（5）比较学生的记录方法。
师：这些记录方法，哪一种数学味最浓？
师（把加符号的两个数字板书在黑板上）：加符号的这种方法，和数学家的想法不谋而合。400多年前的法国数学家吉拉尔创造了“＋5、－5”这种方法，一出现就得到了大家的认可，一直沿用到现在。
【设计意图：鼓励学生自己创造一个简单明了的记录方法，让学生亲身经历知识的习得过程，并在创造中品尝到成功的快乐。同时，介绍数学家的故事，让学生了解用加符号的方法进行记录的探索过程，拓宽学生的知识面。】
2．用符号表示相反意义的量。
师：现在我们也用加符号的这种方法来记录一些相反意义的量。
（1）师说例子（如“水库的水位上升4/5米，下降2/5米”等），指名学生上台记录，并提出要求：请把老师说的例子记录下来，将符号相同的数写在一起。
（2）一生说例子，其他学生记录。
3．引入正负数。
（1）师引导学生观察黑板上的数并思考：黑板上写的这些还是数吗？如果是数，它们是什么数？
（2）师板书课题：负数的初步认识。
（3）课件出示数的读法。
（可以指名学生试读，师根据学生的理解进行讲解）
上车5人：记作＋5，读作正五（这是正数）。
下车5人：记作－5，读作负三（这是负数）。
（4）介绍正负号。
师：＋5前面的符号叫正号，－5前面的符号叫负号。
师：这些数的正号，通常可以省略不写。那负号可不可以也省略不写？
（5）板书正负数。
师：正数只有黑板上的这些吗？说得完吗？说不完时加省略号。
师：负数是不是只有这些？说得完吗？说不完时加上——（省略号）
（6）学生交流。
师：我们对黑板上的数有了新的理解，把你的理解和同桌交流一下。
4．正负数的运用。
（1）师：由于生活的需要，我们认识了负数，现在我们来看看负数在我们身边的应用。
（2）表示零上温度和零下温度。
出示：零上20摄氏度，零下5摄氏度。
（让学生在温度计上找相应的温度并记一记）
师（出示温度计）：零下5℃在哪里？它肯定在谁之下？我们要找零度以下的温度，肯定在0℃以下去找。（引导学生思考零下的温度该怎样表示）
【设计意图：数学源于生活，运用于生活。这个环节，引导学生从现实的、有意义的生活情景中抽取出数学问题，加深对数学知识的理解。同时，通过列举生活中的大量例子，让学生深入理解负数的意义，使他们深刻感受到数学知识与现实生活的密切联系，体会数学学习的价值。】
5．思考0。
师：我们把0℃以上的温度用正数表示，0℃以下的温度用负数表示。那么，0是正数还是负数？（学生分组发表自己的想法）
师：0这个数比较特殊，是正负数的分界点。0就像一条分界线，把正数和负数分开了，它谁都不属于，但对于正数和负数来说却必不可少。所以，0既不是正数，也不是负数。
师：以前学习的0表示没有或表示一个起点，这里的0℃是不是也表示没有？什么时候的温度表示0℃？
【设计意图：让学生在温度计上寻找零上温度和零下温度，并通过设疑，巧妙地引导学生理解0的归属问题。】
6．用正负数表示海拔的高度。
师（出示插图）：我们要用正负数表示地貌的高度，你们觉得应该拿什么作为它们的分界点？换句话说，就是把什么看作0？（学生用正负数表示地貌的高度）
师（小结）：以海平面为界线，高于海平面用正数来表示，低于海平面用负数来表示。
三、巩固练习
1．填空。
月球表面白天的平均温度是零上126℃，记作_____℃，夜间的平均温度为零下150℃，记作_____℃；华山比海平面高2000米，记作_____米，死海比海平面低392米，记作_____米；哈尔滨的温度为零下15摄氏度到零下3摄氏度，记作_____℃。
2．生活中的负数。
（1）我国发射的嫦娥卫星在太空中向阳面的温度会达到（ ），而背阳面的温度会低于（ ）；通过隔热和控制，太空舱中的温度能始终保持在（ ）。
A．－100℃ B．21℃ C．＋100℃
（2）每个足球都规定了标准重量，有三个足球分别称重后与标准重量相比，做了以下的记录，说一说这样记录的意思。
1号球：＋2克 2号球：0克 3号球：－3克
（3）食品包装袋上有“500＋2g”这样的标记，你是怎样理解的？
3．动脑思考。
原来王叔叔在5楼，他从5楼往上2层，记作＋2层，那么从5楼往下1层，记作_____层。这里把（ ）看作0层，如果王叔叔现在2楼，他往上2层记作_____层。同样是4楼，为什么一会儿记作－1层，一会儿记作＋2层？
【设计意图：设计不同层次的习题，目的是使不同的学生获得不同的发展。如第1题是基础性练习，巩固学生对正负数的读写和认识；第2题是深层次的练习，让学生深入理解负数的意义；第3题是拓展性练习，拓宽学生的知识面，使学生能用负数的知识灵活解决问题。】
四、课堂总结
知识与技能：在熟悉的生活情境中初步认识正数和负数，能正确地读写正数和负数，会用正负数解决生活中的问题。
过程与方法：借助数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小关系。
情感、态度、价值观：通过本课教学活动，使学生体会到数学与生活的密切联系。
教学重点：通过教学活动使学生能用正负数表示生活中具有相反意义的量。
教学难点：使学生学会在数轴上表示负数。
一、课前游戏：
同学们，我们先来做个游戏，游戏规则是这样的，老师说一个词语，你们要说出相反意义的词语。（板书：相反意义）
一个字：上、高、正（板书：负数）
两个字：上车、上升、收入
三个字：向左走
师：生活中像这样表示相反意义的情况有很多，谁愿意像老师一样领着大家说一说？
二、借助生活原型，认识负数
（一）在温度计上初步认识负数
过渡：我们在科学课上已初步认识了温度计。
1.你能找到温度计上的“相反”吗？
以0为分界点，液柱在0上是零上的温度，在0下的是零下的温度，它们是相反意义的量。
2.温度计上的单位“℃”和“”各表示什么？
0℃是摄氏度，表示左刻度，我国使用摄氏度计量温度，所以我们一般看左刻度；“”是华氏度，表示右刻度，美国一些国家使用。
3.温度计上的每一个大格表示多少摄氏度？每一个小格呢？
【思考：课前找相反意义的情况，一则是热脑运动，二则是为下面认识负数做准备】
（二）从加减法到正负数
（1）建构意义
要读准气温，关键先找哪个 ？它表示什么？（出示虚线和0℃）增加2摄氏度（出示+2℃），液柱会在哪个位置呢？（上升）它表示零下几摄氏度？减少8摄氏度呢？减少2摄氏度（出示-2℃），液柱会在哪个位置呢？（液柱下降）。它表示零下几摄氏度？增加8摄氏度呢？
（2）转化概念
（出示正数）这些都是什么数？换个角度，当我们把这些数看成正数时，这些加号就要看成正号。你会读吗？（逐个指读）
怎样写数呢？（先写十号，再写后面的数）当然，正号可以省略不写（出示2℃和8℃）
（3）同法读写页数
（4）感悟简洁
你喜欢用正数和负数来记录零上温度和零下温度吗？为什么？（既简洁又便于区分）（板书：区分相反意义。）
【思考：数从表示数量的多少到表示相反意义的量，是数字发展的一个飞跃，如何突破这一难点呢？教材例1中，呈现了教室里和教室外学生利用温度计观察温度的两个场景，先营造需要用不同的数分别表示零上温度和零下温度，然后讲解负数知识，本节课设计利用温度计来引导学生初步认识负数，恰好抓住了数学知识的意义生活点。】
（三）通过存折明细示意图，再次认识负数
出示存折明细示意图，观察思考：
哪些数是我们熟悉的？表示什么？哪些数是新出现的？
1.例题中表示什么？
2.“500”与“-500”表示的意义相同吗？“0”属于正数或负数吗？
【思考：让学生充分联系实际情境，进一步体会正负数表示相反意义的量】
三、借助数学模型，由具体意义抽象到一般意义
1.结合：“4人以大树为起点行走”的情境图，引导认识数轴。
2.找对数。如果1小格表示“1”你能在数轴上找到+2和-2吗？你是怎样找到的？-2接近2，还是接近0？为什么？
3.观察发现：
（1）一起从0开始往右读，发现了什么？
（2）人从0开始往左读，发现了什么？你能找到最大的负数吗？为什么？
（3）再从左往右连起来读一读，又发现了什么？
（4）正数、负数和0的大小关系是怎样的？（板书：负数
【思考：本环节从温度计模型逐渐抽象成数轴，将下一课时出现的数轴提前到了这里，使学生经历从形象思维到抽象思维的飞跃过程。之后在数轴上找2和-2，发现更接近0，借助直观数轴将正负数大小的比较，绝对值等后续知识有机地渗透进来。】
四、联系生活，巩固意义
1.先读一读，再把这些数填入相应的圈里。
-6，+23.8， -40， 5/8，-10.8，0，-0.5。
追问：你能在数轴上找到5/8吗？知道-0.5的大概位置吗？为什么？
2.生活直通车：
（1）出示：中国最大的咸水湖――青海湖的海拔高度是3193米，世界上最低、最咸的湖――死海的海拔高度-400米，世界上最大的湖――里海的海拔高度是-28米。读一读上面的海拔高度，它们是高于海平面还是低于海平面？
（2）填一填：
0℃ ，10℃ ，-10℃ ，70℃ ，100℃
冰箱里冰冻的鱼的温度是（ ）℃ ，刚烧熟的鱼的温度是（ ）℃ ，水中游着的鱼的温度是（ ）℃ ，水结冰时的温度是（ ）℃ ，水沸腾的温度是（ ）℃。
【思考：第1题，借助数轴将负数范围从负整数扩展到负小数，防止学生陷入负数即整数的思维定势。】
五、总结：
1.引导学生在现实情境中初步认识负数和理解负数的意义，了解负数产生、形成的过程与作用，感受负数使用带来的方便。
2.学生会正确地读、写正负数，知道0既不是正数，也不是负数。
3.引导学生体验数学和生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
理解负数的意义和会正确地读、写负数。
教学难点：
理解0既不是正数，也不是负数。
教学过程：
一、游戏导入
师：我们来做一个说话游戏，老师说一句话，请你说出与它意义相反的话。
师：你还能举出生活中表示相反意义的例子吗？
【设计意图：创设学生熟悉的生活情境，唤起学生已有的生活经验，引导学生在有趣的游戏中初步感知相反意义的量，促进学生对负数的认识。】
二、认识负数
1.了解生活中表示相反意义的量。
（1）凤冈到六里的1号公交车下去了5人，2号公交车上来了5人。
师：老师进行这样简单的记录，你们觉得这样的记录清楚吗？（指名汇报）
（2）课件出示表格，学生讨论。
师（小结）：“上车5人”和“下车5人”是一组相反意义的量，老师这样表示没有区别开，你能创造一个既简单又明了的方式来记录吗？同时，让别人一看就能明白你所表达的意思。
（3）学生动手操作。
（4）指名学生汇报自己的记录方法。（生上台展示）
师：同学们想出了这么多的方法来记录，很好。怎样表示相反意义的量，数学家们也进行了长期的探索。早在1700多年前，中国的数学家刘徽就首创了两种方法来表示相反意义的量，开始时用颜色来区别，后来用摆放位置的正与斜来区别。
（5）比较学生的记录方法。
师：这些记录方法，哪一种数学味最浓？
师（把加符号的两个数字板书在黑板上）：加符号的这种方法，和数学家的想法不谋而合。400多年前的法国数学家吉拉尔创造了“+5、-5”这种方法，一出现就得到了大家的认可，一直沿用到现在。
【设计意图：鼓励学生自己创造一个简单明了的记录方法，让学生亲身经历知识的习得过程，并在创造中品尝到成功的快乐。同时，介绍数学家的故事，让学生了解用加符号的方法进行记录的探索过程，拓宽学生的知识面。】
2.用符号表示相反意义的量。
师：现在我们也用加符号的这种方法来记录一些相反意义的量。
（2）一生说例子，其他学生记录。
3.引入正负数。
（1）师引导学生观察黑板上的数并思考：黑板上写的这些还是数吗？如果是数，它们是什么数？
（2）师板书课题：负数的初步认识。
（3）课件出示数的读法。
（可以指名学生试读，师根据学生的理解进行讲解）
上车5人：记作+5，读作正五（这是正数）。
下车5人：记作-5，读作负三（这是负数）。
（4）介绍正负号。
师：+5前面的符号叫正号，-5前面的符号叫负号。
师：这些数的正号，通常可以省略不写。那负号可不可以也省略不写？
（5）板书正负数。
师：正数只有黑板上的这些吗？说得完吗？说不完时加省略号。
师：负数是不是只有这些？说得完吗？说不完时加上——（省略号）
（6）学生交流。
师：我们对黑板上的数有了新的理解，把你的理解和同桌交流一下。
4.正负数的运用。
（1）师：由于生活的需要，我们认识了负数，现在我们来看看负数在我们身边的应用。
（2）表示零上温度和零下温度。
出示：零上20摄氏度，零下5摄氏度。
（让学生在温度计上找相应的温度并记一记）
师（出示温度计）：零下5℃在哪里？它肯定在谁之下？我们要找零度以下的温度，肯定在0℃以下去找。（引导学生思考零下的温度该怎样表示）
【设计意图：数学源于生活，运用于生活。这个环节，引导学生从现实的、有意义的生活情景中抽取出数学问题，加深对数学知识的理解。同时，通过列举生活中的大量例子，让学生深入理解负数的意义，使他们深刻感受到数学知识与现实生活的密切联系，体会数学学习的价值。】
5.思考0。
师：我们把0℃以上的温度用正数表示，0℃以下的温度用负数表示。那么，0是正数还是负数？（学生分组发表自己的想法）
师：0这个数比较特殊，是正负数的分界点。0就像一条分界线，把正数和负数分开了，它谁都不属于，但对于正数和负数来说却必不可少。所以，0既不是正数，也不是负数。
师：以前学习的0表示没有或表示一个起点，这里的0℃是不是也表示没有？什么时候的温度表示0℃？
【设计意图：让学生在温度计上寻找零上温度和零下温度，并通过设疑，巧妙地引导学生理解0的归属问题。】
6.用正负数表示海拔的高度。
师（出示插图）：我们要用正负数表示地貌的高度，你们觉得应该拿什么作为它们的分界点？换句话说，就是把什么看作0？（学生用正负数表示地貌的高度）
师（小结）：以海平面为界线，高于海平面用正数来表示，低于海平面用负数来表示。
三、巩固练习
1.填空。
月球表面白天的平均温度是零上126℃，记作____℃，夜间的平均温度为零下150℃，记作_____℃；华山比海平面高2000米，记作______米，死海比海平面低392米，记作______米；哈尔滨的温度为零下15摄氏度到零下3摄氏度，记作______℃。
2.生活中的负数。
（1）我国发射的嫦娥卫星在太空中向阳面的温度会达到（ ），而背阳面的温度会低于（ ）；通过隔热和控制，太空舱中的温度能始终保持在（ ）。
A.-100℃ B.21℃ C.+100℃
（2）每个足球都规定了标准重量，有三个足球分别称重后与标准重量相比，做了以下的记录，说一说这样记录的意思。
1号球：+2克 2号球：0克 3号球：-3克
（3）食品包装袋上有“500+2g”这样的标记，你是怎样理解的？
3.动脑思考。
原来王叔叔在5楼，他从5楼往上2层，记作+2层，那么从5楼往下1层，记作_____层。这里把（ ）看作0层，如果王叔叔现在2楼，他往上2层记作_____层。同样是4楼，为什么一会儿记作-1层，一会儿记作+2层？
【设计意图：设计不同层次的习题，目的是使不同的学生获得不同的发展。如第1题是基础性练习，巩固学生对正负数的读写和认识；第2题是深层次的练习，让学生深入理解负数的意义；第3题是拓展性练习，拓宽学生的知识面，使学生能用负数的知识灵活解决问题。】
【关键词】对数 概念 认知负荷 图式建构。
【中图分类号】G【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）06B-0072-03
对一个数学概念的学习，并不仅仅在于能记住它、表达出它的定义、认识它的代表符号，而且要真正能够理解和把握它的本质属性，并能运用它来解决问题。对数函数是高考的一个热点。对数概念掌握不好，将会直接影响到学生对很多与对数函数有关的题目的理解和把握，导致各种的错误的发生。所以说对数概念是数学的一个基本而又重要的概念。本文将围绕对数概念的讲解策略，从对数概念的应用等方面对对数概念教学进行探讨。
一、问题的提出
高三的同步训练中有这样一道题：
函数的定义域是（ ）
A.（1，2）∪（2，3） B.（-∞，1）∪（3，+∞）
C.（1，3） D.[1，3]]
解答过程如下：
由解之得，故选 A
这道题的考查目的就是为了让学生熟练掌握函数的定义域的求法，把握好基础知识，但结果答对的只有少数几个，相当多的学生根本不知道怎么入手，看见log就头痛，20%的学生的答案为C。最后，很多学生对解答过程提出问题：可以理解，那是因为真数要求大于0，但为什么还要这个条件？若把题目换成求函数的定义域，大部分的学生马上可以回答是。这时候才有同学醒悟过来，原来还要考虑分母不为0。可为什么是≠1？只有极少的学生知道原因所在。
高三了，仍有相当多的学生对对数的定义和性质掌握不好，理解肤浅，有的甚至连最基本的对数和指数的互化都不懂。其他班的情况也好不到那里去。在普通高中里，这种情况不是一届两届学生的问题，而是我们在数学教学中一直都头痛的问题。那么，我们的对数概念的教学应该如何进行才能让学生理解并掌握呢？
对数概念是数学的一个基本而又重要的概念。对数概念掌握不好，将会直接影响到学生对对数函数的理解和掌握，影响到很多与对数函数有关的题目的理解和把握，导致各种错误的发生。而且，对数函数是高考的一个热点，通常以选择题或填空题的形式考查对数函数的图象和性质；或者与不等式等其它知识相结合，出现在解答题中。但我们知道，学好一个数学概念，并不仅仅在于能记住它，把它背下来，能表达出它的定义、认识它的代表符号，而是要真正能够理解和把握它的本质属性，弄清它的内涵和外延，并能运用它来解决问题。而这一点，也正是学生要学好数学的原因所在。
在高一的课程中，首先安排了对数概念和对数的运算法则的教学和学习，然后再安排对数函数的教学和学习。分步教学，逐层加深。而“对数”这个概念对高一的学生而言，是个陌生而且抽象的东西，首先在心理上就对它产生了排斥；再次对新概念不理解，导致对性质、公式的不理解，加上运算能力差，怕麻烦，对对数的计算不耐心，产生放弃的心理。因此，相当多的学生在遇到对数时，情愿放弃也不愿多思考，多总结，多练习。一而再，再而三，也就忽视了对这个概念的理解，导致遇到对数就避开，积累下来，问题就更难以解决了。本文将围绕对数概念的讲解策略结合自己的经验对对数概念教学进行一点探讨。
二、对数的讲解策略
学生对概念的学习就是一个对概念的认知过程。从认知理论上来说任何教学都会引起三种认知负荷。澳大利亚心理学家J.Sweller等认为“认知负荷就是将特定工作加在个体认知系统时所产生的负荷量”。认知负荷包括内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷三种基本成分。内在认知负荷是指由于元素间交互形成的负荷，内在认知负荷取决于所要学习的材料的本身的难易程度和复杂性与学习者的原有的知识水平之间的交互，教学设计者不能对它产生直接的影响但可以进行控制；外在认知负荷是超越内部认知负荷的额外负荷，它与不合理的教学设计、教材的呈现方式和教学活动的组织有关，也称为无效负荷或无关负荷。能通过教学内容的重组和设计进行调整，降低额外负荷量；相关认知负荷是指与个体主观领域相关的信息，指个体在图式建构和自动化过程中所投入的认知资源的数量，它与个体的认知努力有关，提高学生个体的相关认知负荷，可以引导学生利用剩余认知资源进行深层次的图式建构，将知识存于长期记忆中，降低工作记忆的负荷量。由于内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷具有叠加性，且三者之和不超过工作记忆总的负荷量，若超过工作记忆所能接受的范围，就会产生焦虑、压力和烦恼，并影响学习的绩效。因此，对于每一个教学内容，若想要获得好的学习效果，则对该教学内容的设计和活动的组织必须考虑到这三种认知负荷，使学生所承受的总负荷量不超过其工作记忆的总负荷量。对于对数概念的教学，首先要引入得当，对教学设计要合理，这样就会让学生承受的内在负荷与外在负荷降低，增加其相关认知负荷。下面将从这三个方面具体谈谈对数概念教学的一些体会。
（一）充分考虑教材的特点、学生的知识水平和接受能力的交互作用，控制内在负荷量的增加
我们可以先从一个比较常用的问题出发，在讲对数的概念之前，先举一个利息计算的问题的例子。如，你手头有5万元，存进银行，每年的利率为2.25%，试计算需要多久，连本带利共有10万元？
这是发生在学生的生活当中一个常见的问题，是他们所熟悉的感兴趣的问题，因而会激起学生强烈的好奇心。而且这与所学过的指数运算有关，通过这样一个平台，降低学生所承受的内在负荷与外在负荷。再因势利导，引导他们积极思考问题“应该怎样去解决这个问题呢？”因而可以这样分析：
根据题意，我们可以利用方程的思想，由“求什么就设什么”，可设需要x 年，连本带利共有10万元，则可列出式子
5×（1+2.25%）x=10
化简得 1.0225x=2
对于这个指数式，相当多的学生是既熟悉又陌生的，若方程是2x=8，由于23=8，他们可以得出答案为x=3，因为2x=8=23，可求出x=3，但是1.0225x=2中，这个底数1.0225与右边的2不像2和8那样具有这种明显的指数关系，因而要解决这个问题，就得另辟捷径了。
在解决这个问题之前，我们可以先复习这样一个问题：若2+x=6，怎样求出x？这是小学生也能回答的问题。即x=6-2，x=4。提出x+2=6是加法，而求出x时，x=6-2=4所运用的是减法，那么加法和减法有什么关系？学生都可以回答是互为逆运算，进而可以提出，互为逆运算，可以解决加减法的计算问题，同样的，它也可以解决乘除法的计算问题，那么，它能否解决指数的计算问题呢？
通过这个问题的提出，给学生指出了一条解决问题的路径，那就是找到指数运算的逆运算。但是它的逆运算是什么呢？此时，我们可以告诉学生，这就是我们将要学习的新内容――对数。
通过这样的一个课前引入，让学生在接触到新的概念之前，就已经有了一个强烈的感知，他们要学的是指数运算的逆运算。减轻他们对新概念的排斥力，从心理上给他们吃下一颗定心丸，降低他们认知的无关负荷，增强他们有效的相关认知负荷。
（二）合理设计教学过程，降低无关负荷对学生的知识的图式建构和记忆的负面影响
那么，什么是对数呢？引进课本的概念，若a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以 a为底N 的对数，记做lagaN=b，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。
其中“log ”是对数（logarithm）的符号，是对数的拉丁文logarithm的缩写，与“+”“-”的作用相当。说明了“log ”的作用和来源，减轻了学生对它的恐惧感，增加了学生对对数的理解和认识。这样，有助于降低外在负荷的影响，增强有效负荷的承受力。
由于概念中是直接由指数式ab=N定义对数式lagaN=b 的，那么这两者之间的关系必然密不可分，这就让学生不由自主地回忆起刚才的第一个认识――它们是互为逆运算。再引导学生观察指数式ab=N和对数式lagaN=b这两个式子，看看对应的字母的位置有什么变化？
在此过程中，教师的作用仅在于引导学生观察和分析，让学生在观察和分析的过程中建立自己对知识的图式建构，内化为自己的知识。
然后，通过让学生自己观察、填空，分组讨论得出以下问题的结论。
（1）42=16 log4（ ）=2
（2）log42=（ ）
（3）102=100log（ ）100=2
（4）m-2=n logm（ ）=-2
（5）log525=25（ ）=25
（6）4-2=（ ）
（7）log1010000=4（ ）4=10000
（8）loge10=2.303e（ ）=10
通过图形中字母的位置的变化，巩固学生自己建构起来的知识网络，增强有效的相关认知负荷；也可以通过图形中字母的位置的变化，明确指数运算和对数运算这两个逆运算之间的变化规则，并用于实际计算中。通过这样数形结合，加强学生的感性认识，掌握指数式和对数式之间的互化的规律，达到掌握概念的目的。然后，因势利导，引进常用对数（以10为底的对数）和自然对数（以 e为底的对数）的定义，分别简记为lg N和lnN。
利用表格将指数式的一些性质列出，让学生对应找出对数式的性质。
学生通过此表格，可以利用指数式和对数式之间的互化，将loga1=0，logaa=1写出，进而用文字将“零和负数没有对数”，“1的对数为0”，“底数的对数为1”这几个性质总结出来。
基于大脑皮层的结构和人脑的认知结构，人脑对图形语言所反馈的信息的接受力比对文字叙述所反馈的信息的接受力要强得多。利用图表来建构数学知识，直观形象，使学生更利于理解和接受，然后内化为自己的更深层次的图式建构，将信息存于自己的长期记忆中。这对增强学生的有效认知负荷，降低无关负荷的影响，使工作记忆总负荷量达到平衡起到极为重要的作用。
通过图表的类比策略，不仅帮助学生复习旧的知识，还通过新旧知识的迁移，达到学习新知识的目的。多个类比源多次类比，有助于学生形成更为抽象的图式，它可以增长学生的类比经验，帮助学生形成感知知识结构的思维倾向，更好地提取信息的一般规律，用于解决不同表征的问题，降低学生的无关负荷的影响力。
另外，学习环境也影响着学生认知负荷的构成，创设一个良好的学习环境，让学生伴随着感知、聆听、观察、思维、陈述等认知过程的介入，以及信心、兴趣、成功或失败等情感因素的介入，可以有效地降低无关负荷的影响，增强有效的相关认知负荷。因此，可以在课堂上组织学生进行分组讨论，合作学习，将学习的主动权交还给他们自己。这样不仅促进学生的自主思考，而且通过相互间的交流，锻炼他们的表达能力和团结协作的精神，这要比教师唱独角戏要有效得多。
（三）精选例题，巩固概念，通过对概念的初步感知，将学生建构的概念的图式存于长期记忆中，降低工作记忆的负荷量，不超出工作记忆所能接受的总负荷量。
总而言之，我们要加强对数学概念教学的研究，合理运用各种教学策略，遵循学生的思维方式和认知特点把复杂的概念简单化。运用学生熟悉的情景教学，举例示范，变抽象为具体，能有效降低学生的内在与外在无关认知负荷。让学生多观察，多思考，提炼自己对知识的图式建构。多分析概念中的关键词，帮助学生弄清楚概念的内涵与外延，增加有效的相关认知负荷。从而激发学生的学习兴趣，促进学生自主学习，提高课堂效率。
【参考文献】
[1]陈巧芬.认知负荷理论及其发展[J].教育技术学报，2008（9）
[2]喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010
一、提供丰富的能蕴含教学本质问题的情境
关于正负数教学情境的设计，北师大版本的设计就非常好。文本中把比赛的三种得分情况“加10分、扣10分、得0分”分别用人面部的三种表情：高兴、哀伤和平静来反应，正好对应有理数中的正（数）、负（数）和零三类数，实现了人文、艺术与数学的完美结合。当然也可提供诸如物体的东西方向运动、物价变化、温度变化、成绩变化、水位变化等现实问题，从而激发学生学习的热情，引领学生走进数学文本中对“正、负数”的认识。
二、由原始阅读到原始理解
教师要根据课标知识和能力的要求，设计出一些基本性的问题，如：什么是正数？什么是负数？正、负数如何表示？谈谈你对“0”这个数字的理解等。让学生通过自读课本后去独立完成，如在教学“正、负数”时，通过学生自学文本，可以得出正、负数的概念以及对有理数分类的初步认识，形成原始理解。
三、从后续理解到基本理解
在原始理解的基础上，教师以此为起点，设计出能够反应本节重点、难点的关键性问题，并尽可能地提供理解问题的素材。通过学生独立思考后，形成后续理解，然后再通过生生交流、师生交流上升到基本理解。正、负数的认识的关键是对“零”这一特殊数字的重新认识。“零”在小学可以看做是“什么也没有”，从本节看，“零”既不是正数，也不是负数，是正、负数的分界点，“零”就是“零”。从生活中看，“零”是事物变化的起点，或为判断事物变化而确定的标准。教师对正、负数认识的引领，一方面从现实生活中去认识：现实世界是一个矛盾的统一体，矛盾正反双方的量化形式即是正、负数，对立双方的平衡点即是“零”，从而使学生真正体会数学作为一门独立的学科具有自己独特的语言体系――数学语言的魅力。纷繁复杂的现实世界对于所有矛盾统一体的具体量化形式，从数学角度看只是一种数学现象，即正、负数和零。使学生无形中认识到数学语言的抽象性、简洁性、广泛代表性，从而感受到数学的博大精深，进而对数学产生发自内心的亲切感。这一认识还可对今后物理、化学学科所涉及的矛盾现象有所启发。另一方面从数学自身发展的逻辑性和完备性看，负数的产生是由于减法运算中较小数减去较大数这一运算，在正数范围内，找不到正确结论而产生的。为了解决这一矛盾，引进了一个新数――负数。这就完成了数系的又一次扩充，即从小学的正数范围扩充到了有理数范围。这是学生在“数”的认识上的一次新的飞跃。
四、从基本理解到基本应用
在基本理解的基础上，重新审视新课前的情境设置，解决其中的疑难问题，加强理解，同时，提供一些从基础到具有挑战性的习题。学生在解决问题中，在情感、态度和价值观方面的体验进一步加深，解决问题的能力进一步提高。
从内容上讲，负数要比整数、小数与分数更抽象、更难理解。因此，在教法上，负数的认识教学更要重视让学生在生活情境中体验概念的形成，理解概念的外延，在生活中应用概念。在教学评价上。要注意把握好度。增加一些活动性评价的内容，重点评价学生是否正确地说明所收集的带负数的量的实际意义，所举的例子是否多种多样、反映生活的多方面。
一、让学生在具体生活情境中体验负数的产生过程
对整数意义的理解掌握是学习负数的一个重要知识基础。负数的认识教学要从学生原有的认知结构出发，由整数的意义迁移过渡。引导学生体验认识负数产生的必要性。
先引导学生观察表格，比较得出使用符号表示法更简洁的结论，再让学生发表自己的看法，为后续教学作铺垫。
以上教学环节的设计，从学生生活经验和现实需要出发，不断激发学生的内在认知需求，在多次矛盾碰撞和认知冲突过程中认识、理解负数的产生和形成过程，体验由具体到抽象的符号化、数学化过程。既有利于学生掌握数学概念的内涵，又有利于引导学生学会数学地思考。
二、让学生在数据收集过程中认识负数的意义
负数的内涵对小学生来讲是比较难理解的，教学负数的概念，要避免用抽象的语言去描述负数的概念内涵。应该充分利用学生已有的生活经验和知识积累，组织学生交流、讨论，通过收集、举例生活中两个意义相反的量，让学生感知负数的含义。从中认识理解负数的意义。
例如：利用多媒体课件，创设主持人播放天气预报的情景：今天北京最高气温5℃。最低气温零下2℃。
师：谁来说一说怎么表示5℃和零下2℃。
生1：可以用文字来表示，5摄氏度和零下2摄氏度。
生2：5℃可以表示成+5℃，零下2℃可以表示成-2℃。
师：观察温度计。0摄氏度可以记作0℃，零上3摄氏度可以记作+3℃或3℃。零下3摄氏度可以记作－3℃，这里的“+”、 “－”表示什么意思?
生3：表示零上的温度、零下的温度。
师：“+”在这里表示零上的温度，如+5℃表示零上5℃。“－”在这里表示零下的温度，如－5℃表示零下5℃。
师：我们将。“－”称作负号，前面带有“－”的数，称作负数。“+”称作正号，带有“+”号的数，称作正数。
师：说一说生活中哪些现象可以用正、负数来表示。
在教师的启发引导下，学生举出了许多具有现实背景的相反意义的量。并学会了用正数或负数表示。教材还安排了正、负数的读写、大小比较、非形式化的加减运算等练习。为进一步学习负数打下基础。
统计部分
一、在实践活动中培养学生的统计观念
培养学生的统计观念。首先要培养他们有意识地从统计的角度思考有关问题。这就需要帮助学生认识统计的必要性。教材安排了两个活动：栽蒜苗(一)、栽蒜苗(二)，并在教材的实践活动中要求学生在家或学校栽种一盘蒜苗。每3天测量一次蒜苗的高度，并做好记录。《栽蒜苗(一)》、《栽蒜苗(二)》这两课的教学不仅仅是数据收集和整理的简单过程。还蕴涵了学生在实践中感知统计知识的认知过程，体现学生积极参与、获取知识发生、发展全过程的理念。让学生在栽蒜苗的过程中，经历了等待、期盼、欣喜等情感体验，并使学生认识到统计的必要性。此外，对教材实践活动内容不要只做口头布置，要真正开展栽蒜苗活动。
二、在分析数据中培养学生的统计思想
统计的教育价值更多地表现为树立学生的统计意识及遇到实际问题时进行调查、用数据说话的科学态度。学生在实践活动中测量了蒜苗的高度，他们在分析数据的过程中，将高度的数据理解成长短不一的“段”。那就是对条形统计图的理解；如果将高度的数据理解成一个点，他们把这些点连起来就作成一幅折线统计图。教学中。要将统计知识和方法的学习贯穿于解决问题的活动中，让学生真正投入到数据统计的过程中，从中学会收集数据、整理数据的方式方法，逐步建立应用统计知识分析问题的思想。
三、在处理数据中引导学生学习统计图表
教学时，利用学生栽蒜苗的实验数据引导学生解决问题，即将组内同学记录的蒜苗第15天生长的数据填入统计表中，并制成条形统计图。一开始就让学生试一试，学生以为根据已学的知识就能解决问题，后来发现不顺利，他们在这个过程中经历了挫折。此时，教师再利用学生已有的知识引导他们学习新的知识，即1格表示多个单位的条形统计图。利用同样的实验数据又让学生把自己种的蒜苗的第3、6、9、12、15天的生长情况填入统计表中，并提出如果想知道蒜苗生长的趋势该用什么方法?在学生的讨论中。引出折线统计图。接着，师生共同讨论画折线统计图的方法。并让学生动手画一画。相同的数据，在不一样的处理中应用到条形统计图表和折线统计图表知识，学生在对比中理解了条形统计图与折线统计图的区别和联系。
空间与图形部分
一、在获取实践经验的基础上理解数学
在教学中，教师应充分利用学生的生活经验。设计生动有趣、直观形象的教学活动，唤起学生原有的知识储备。如在教学《线的认识》时，可以让学生观察生活中各种不同的线，区分它们的异同点，引导学生从生活世界走向符号世界，抽象出线段、射线、直线的特征，让学生经历“具体一表象一抽象”的教学化过程。
二、在动手操作活动中应用数学
1 在操作活动中认识抽象的平面图形。空间与图形的教学内容一般都是比较抽象的，教师在教学中。应明确每一次操作的目的，精心设计学生的操作活动，让每个学生都有机会参与，为他们提供丰富的感性材料。例如，为了让学生更好地认识各种角，可以让学生动手制作一个活动角，观察在旋转过程中形成的各种不同的角，并进行对比交流。
2 在操作活动中引导学生思考、探索。我们不能为活动而活动，教师应有意识地引导学生自觉地进行思考，并，用自己的语言说明操作的过程以及得到的一些结论。如教材29页的“折一折”的活动，可以先随意折出两条折痕，找出位置关系，再折出互相平行的两条折痕，进一步体会平行线的特征，同时让学生讨论如何验证这两条折痕一定是互相平行的。先交流方法，后选择一种方法验证，使学生明白数学不仅需要直观，也应有推理，要有依据，养成良好的探究习惯。
1 《有理数》教学内容的重点与难点
《有理数》这一章的教学内容可以说是整个代数学基础中的基础，有理数的计算是初等数学中的基本内容，以后的整式运算、分式运算、解方程、解不等式和利用函数性质等的相关计算都以此为直接基础的.学习本章内容的直接目的除了掌握负数、有理数、相反数、绝对值等基本（也都是核心）概念的目标以外，以这些概念为基础，能熟练地进行有理数运算及其算理的来源是它的更高层次的目标.
1.1 《有理数》教学内容的重点
本章重点应该是有理数的运算.正确理解正、负数的实际意义、相反数和绝对值的概念则是建立有理数的运算法则的基础，而在运算法则中，重点又是加法运算与乘法运算.因为减法运算依赖于加法运算，除法运算、乘方运算依赖于乘法运算.减法、除法运算则可由它们分别是加法、乘法的逆运算推导出来，因而它们都可以直接转化为加法、乘法运算，这就要求教师引导学生认真研究加法、乘法运算，悉心研究学生发生有理数加法运算与乘法运算的心理机制并据此机制帮助学生建立知识的发生过程.
总体上说，与小学不同，有理数是在非负数的基础上扩充了负数而建立起来的，它的关键在于负数的引入，从而运算结果就必须首先选定数的符号，教师在帮助学生形成各运算法则时，就应该以此为重点.因为数的符号，主要是负号为学生初次接触，稍有疏忽就会在计算中出问题.针对符号，一方面教师要力争联系生活实际促进学生理解符号自身的重要性与由来的合理性，帮助学生在理解的基础上记忆；另一方面，教师教学设计时，对每一道例题都要严格地引导学生分为两步走：一定符号，二定绝对值，且其重点要放在第一步上；在一段时间内，结果是正数的要坚持写上“+”号，不要过早轻易地将其省略，由此促进学生形成凡运算必先确定符号的好习惯.
1.2 《有理数》教学内容的难点
本章的难点在于：其一，首要难点是建立负数的概念.这是进入初中的学生遇到的第一个抽象数学概念，因为，（1）对它的理解不能只依靠生活情境，这是由“负数”具有辩证的、“相对”的思想内涵决定的.由于初一学龄段正处于具体运算到形式运演的过渡期，思维方式依然以感性经验为支柱[1]（51），它们对这种辩证的相对性的数学语言表达理解困难.教师一定要多方面地联系实际且有必要鼓励学生自己举例，以加深他们的理解环节与层次，在教学中，使“负数”相对于“正数”的意义突出出来.（2）必须设法引导学生明确建立负数这一核心概念，对引入负数的合理性与目的性具有清楚的认识.通过具体的例子，如提问学生“2-3”如何计算？这就必须要联系实际意义加以解释了，为了达到可以计算的目的，就要引进一种新数――“负数”，因此，只要促使学生明确了目的，学生的学习欲望就会大增，对抽象的数学概念也就容易理解与接受.
其二，建立有理数的各种运算法则.从上述的分析中知道，有理数的基础运算法则是加法法则与乘法法则.这里要特别说明两个负有理数相乘所得到积的符号的确定――“负负得正”的由来，这构成了有理数这一章的难点中的难点.学生确实需要教师的帮助才能理解，处理这个问题的技术手段，教师可以多参考一些数学教学文献，取长补短，进行教学综合设计.总之，针对不同的学生，采用不同的情境设计，促使学生确信有理数的运算法则（特别是“负负得正”的法则），是加强对这些运算法则的理解与记忆的前提与基础.
其三，还有一些具体的、局部的难点.如异分母有理数的大小比较，在一个综合算式中同时存有小数与分数参加的混合运算，对某些应用题的语义（例如，某一领域中的专有名词）的理解从而依据题意列出正确的综合算式（这需要认知更加广阔的外在世界的经验的支持，因此，刚进初一时，教师最好是删繁就简，不要那选择些学生不熟悉的生活中问题）等.突破这些具体的难点也要引起教师教学设计时的高度重视.它需要教师依据具体的数学知识与学习发生这些知识的心理活动环节加以悉心研究.
总之，关于这种起始章节的教学设计，教师要特别注意既要保护学生学习数学的好奇心，又要促进学生对这些比较抽象的概念的准确理解，还要建立起不同于小学时的数学认知方式与思维方式，例如，初步具有“相对性”的辩证思维的萌芽与发展等，在此基础上达到建立有理数的各种运算法则.有理数的各运算法则的建立是一种可以观察的具有客观性的目标，在这一目标的建立过程中，萌生与发展学生上述（我们指出的）三项心理品质才是数学教育的更深层次的目标.要注意的是，有理数运算法则的客观性目标也可以绕过学生心理活动的“匝道”直接通过机械记忆的学习方式达成，如果是这样，有理数的教育价值丧失殆尽.
医家讲究“对症下药”，达到治病的目的就要细心诊断，通过“望、闻、问、切”探清病因，而病因绝不直接表现为它外表的症状.对学生的理解也是一样，他们知识发生，或者解决问题的疑难，从表面上看似乎是知识本身的疑难（例如，抽象性），而实质上却一定是反映在学生的某些僵化了的内在的思维品质，或者是对建立某些新的思维方式（如有理数中“相对性”的辩证思维的萌生）的不适应性方面[2].现在，学生学习《有理数》这一章的重点与心理疑难既已探明，那么，在教学设计中，如何围绕着教学重点下功夫，如何突破教学难点，从而提高教学的有效性呢？我们想对此提出教学建议.2 《有理数》学习内容的教学建议
经过前述分析，我们发现学习负数最难建立起来的思维方式在于“相对性”的辩证思维的萌芽及其发展，虽然在生活实际中关于“相反意义的量”的现实材料俯拾即是，因而容易获得教学资源的支持，但是，依据皮亚杰的心理发展阶段性的理论，一般情况下，这种辩证思维需要到十五、六岁（大约在高二阶段）才能真正地建立起来[1]（56）.因此，对于表示具有“相反意义的量”的负数的引入，就成人而言，似乎水到渠成，但对处于初一阶段的学生来说，则是他们要攀过的一道极大的“坎”，教师应与学生心理换位，对此作到心中有数，日常的每一节课都需要贴切地从学生的心理出发，循序渐进地引领学生前进，其中，最为重要的就是设法设计好引入“负数”的教学.
2.1 逐步深刻地揭示负数的本质并据此寻求其教学设计的技术性要求
有理数运算与学生在小学进行的运算所不同的是负数进入运算系统，因此，与小学生学习运算有了极大区别，其显著标志就是每一步运算都要考虑它所得结果的符号.由于心理定势的作用，学生养成了不考虑符号的习惯，因而问题常常就出在这个“负”字上.于是，学习者学好这一章的关键点就是要突破这个“负”字，它的技术性手段要从第一节课起，充分依靠具有“相反意义的量”的现实生活背景的支持这一有利条件，逐步引导学生揭示负数的本质，对学生加深理解负数概念，记忆运算法则，从而正确无误地运用它们解决问题都至关重要.
一般来说，相应于成对出现的相反意义的量，我们就在原有数（小学学过的非负数）的基础上引进了负数.而负数的基本特征是：与正数合并时，其结果是可以相互抵消.其实，代数学起始源头就是花拉子米用了（Algebra）这一专业名词，其汉文译意有“安置”、“复位”、“相消”等含义[3]（64）.由此可见，“相反意义的量”在代数学中起着怎样的重要作用了，其现实的效果就是它们相互合并可以部分抵消，特殊情况下可以完全抵消的特点.这种理解对学习者从根本上认识与建立负数的概念是非常有意义的.
相反意义的量是一对孪生兄弟，它们相斥相依，相辅相成，一方离开另一方就消失了，表达现实生活中的一种“相对量”的存在情形，并且被抽象成了严格的数学语言表达，这种精确的、一意的数学语言，概括了生活中的一切“相反意义的量”的共性特征，给学习者论述的语域和他们未来学习代数学的进展提供了良好的基础.例如，我们将收入用正数表示，则支出就相应地用负数表示，将向东的行程用正数表示，则向西的行程就相应地用负数表示，将温度计上的零上温度的读数用正数表示，则零下的温度的读数就相应地用负数表示等等.生活中的这些“相反意义的量”穷不尽、也说不完，但是，只要具有某一情境下的相反意义的量，就可以用“+”和“-”来驾驭一切，这就是数学学科抽象概念的威力.
“相反意义的量”“合并时”“相消”，其实已经揭示了有理数的加法的特性了，只是没有给出具体的加法法则，如此，启发学生从中领悟与体察，加法法则在学生的认知结构中的形成对他们来说，已经不会感到有多大的困难了，学习者从深层次中理解了“相反意义的量”“合并时”互相“抵消”，还不仅仅为有理数的加法运算打下了基础，这是扩展成“有理数域”或“有理式”的整个代数学的关键核心思想所在，其实，这就已经从根本上奠定了代数学的基础.对此，教师在关于《有理数》这一章的教学设计时，要具有全方位、宽领域、深层次的思想意识，因为，毫不夸张地说，这章内容是整个代数学的基础中的基础，而不仅仅只是有理数的运算法则的基础的这种狭义的理解.
在教学设计时，抽象数学概念的学习需要教师带领学习者仔细分析一些容易混淆的概念或同类事物，以比较归纳出它们的相同点与不同点从而利于学生深入认识与记忆，尤其重要的是，学习者的好奇心、兴趣和基于此的探究所得，对于他们理解、记忆事物的相同点或不同点的效率、有效性与持存久暂性会大相径庭、迥然有别.
学习者感兴趣或最容易记住的是那些对立事物的截然相反的性质，在学习负数时，教师可以利用这一心理特点，随时提请学习者注意正、负数的本质区别与两者之间的隔不断的关联，使这一区别与联系在学习者的大脑中不断强化，就比较容易形成辩证思维的习惯.教师在教学中应不失时机地随着教授内容的进展，及时进行对比与小结，如，两个负数的比较大小与两个正数的比较大小有什么不同；一个数加上一个正数，和是增大了还是减小了，加上一个负数呢？一个数乘以（或除以）一个正数，符号可否改变？乘以（或除以）一个负数呢？正数的相反数或倒数依然分别是正数还是负数？负数的相反数或倒数呢？
这些都是随着教学内容的进展而提出的问题，是学习者在这些具体的情境中可以理解的，它们都比较深刻地体现着“相反意义的量”的辩证思维的某些内涵，具体地体现了负数在运算中所起的作用，或相关负数问题的结论往往和我们过去在小学学习的非负数具有天壤之别.可以促使学习者进一步加深对负数本质的认识，为学习者发生辩证思维提供了跳板.从而，不仅加深了学习者在作有理数运算时，确定正、负号的自觉意识，更为重要的是，加深了对负数本质的理解，初步生成辩证地理解问题的意识.这种辩证意识非常重要，比如问：-a是负数还是正数？如果具有辩证思维意识的话，它与问题：a是负数还是正数？完全一样，无须思考就可以确定a既可以是正数也可以是负数.
2.2 遵循学习者发生有理数知识的心理机制组织教学
关于具有某种意义上的辩证思维的“负数”的引入，长期的教学实践使我们认识到，就学习者发生有理数知识的心理机制来说，处理好以下两个环节，对建立负数的概念与揭示负数的本质大有裨益.
其一，教学中要谨防脱离实际的抽象.人们为了研究事物及其发展变化的规律，常常要将某一类事物的共同本质或某一方面的共同特性合理抽象，形成科学概念.如运算中的自然数，几何中的点、线、面等.这种抽象如果能使学生理解其合理性，就可以使学生发生学习兴趣.所谓“合理”是指以联系实际，合乎具体事物的特性及其变化规律为标准的（对这个阶段的学生而言，与感觉经验一致）.《有理数》一章的负数、绝对值、有理数大小的比较法则等都是比较抽象的，当联系生活实际，教学设计力求采用深入浅出可以促进学生认识到这些概念都是合理的.否则就违反了从具体到抽象，又从抽象到具体的人的发生知识的心理机制.如果违背了学生的心理机制，学习者的学习效率与效果都是难以令人满意的.
因此，教师在设计《有理数》这一章的抽象概念教学时，必须从学生熟知的具体事物出发，举出足够多的实例，通过分析与综合促进学生对抽象概念的理解，启发学习者从具体的实例中推测出（合情推理）合乎情理的运算法则，再运用这些合乎情理的法则进行运算并对得到的结果加以检验，以验证这些合乎情理的法则是否正确.这种合乎人类知识发生心理机制的教学设计对于学习者理解抽象概念、掌握运算法则、增进学习兴趣、发展理解能力、形成深度数学经验都会产生正面影响.
其二，要防止学习者不明道理的死记硬背.一方面，这一章抽象概念集中出现、密度大、层次深；另一方面，愈是抽象的概念、法则（公式或定理），就愈需要教师设法带领学生弄清其中的道理，因势利导，在理解的基础上记忆.如果教师的教学设计稍有不当，就有可能导致学生绕过理解材料的“匝道”而形成直接机械性记忆的教学过程，致使学习者死记硬背，这是非常危险的.罗梭说，“第一句叫学生记忆意义不明的话，或者第一件叫他盲从而不让他理解其意义的事物，就是使学生判断力毁灭的开始”.由此可见，先理解、后记忆的重要性是无以复加的.
对此，笔者有过非常深刻的教训.在刚入职时，由于不理解学生发生相关有理数知识的心理疑难，没有花足够的时间与气力联系实际说明有理数的运算结果需要冠之以符号的由来，在运算中出了问题就强调学生去阅读与记忆，结果有理数的四则运算尚未学完，学生对相关法则的理解就乱七八糟，导致必须回头来理清学习者的零乱的思绪，由于学生失去了发生知识的“首因效应”因势利导的作用，虽然在补救的过程中下了很大的功夫，可效果始终不如人意.这一教训，至今令我难忘，几乎成为我的教学中的一个抹不去的心结，这也是笔者学写这篇文章重要原因所在：前车之覆，后车之鉴.
其三，谨防学生把在正数中已经建立起来的概念与运算弄糊涂.一方面，认知心理学家奥苏贝尔认为，新知识的建立是学生利用自己已有的旧知识的结构性组织外在信息，将外在信息“挂靠”（奥苏贝尔用了“抛锚”一词）到学习者认知结构的相关要素上，形成数学知识的结果[3]，造成了学习者认知结构的扩展或已有认知结构的改造；另一方面，如果进入认知结构的新知识不是“同化”，而是“顺应”所得，由于新知识与旧知识相距甚远，由心理学概念的“倒摄抑制”可知，新知识在原认知结构中具有不稳定性，特别是依靠机械记忆发生新知识时尤其如此，此时，新知识就可能与认知结构中的旧知识格格不入，新知识往往会颠覆旧知识，使新知识成了无源之水、无本之木，而旧知识也相应地失去了作用.
学习者学了有理数的运算后，往往在遇到算术（不牵涉负数）计算问题时，也要运用有理数的运算法则去思考，有时，由于新学习的有理数法则不熟而造成不必要的错误，他们学习了新知识，新知识成了干扰旧知识的因素.因而，在实际教学设计中，还是要选择合适的例子（千万不能以说教的形式，由于读者对此可以直接理解，这里不举具体的例子了）反复向学生说明，数域的扩大并不影响原数域中的运算法则、定律的施行（丹齐克名之曰“固本原则”[4]（97）），正是由于有了如此的保证，才能说明新数域的科学性与合理性.
其四，分析学生的知识现实，寻找利于有理数知识发展的教学设计途径.为了摸清学习者学习有理数的心理障碍，除了我们从心理上（理论上）分析学习者的辩证思维的萌生的机制性疑难外，具体分析学生的知识的欠缺、技能的疑难.这里不赘述了.
3 简要结语
有理数概念的引入是为了刻画生活中的一类具有相反意义的量，由于矛盾的普遍性，世界上的许多事物都具有相斥相依、相反相成的性质，这就构成了相反的意义，作为描摹外在事物数量关系的工具、语言或模型，数学必须要找到刻画具有这种事物性质的符号，这就是正号“+”与负号“-”.当学生形成具有这种“相对性”的辩证观念时，其实是一种思维方式的转变，学生对此十分困难.教师需要透彻地理解知识特性、学生发生知识的心理机制.希望本文的建议对《有理数》教学内容与学生发生这一内容的心理过程的了解有所帮助.参考文献
[1][瑞士]J・皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪钿译.北京：商务印书馆，1981.
[2]张昆，宋乃庆.初一列方程入门教学的思考与建议[J].中学数学杂志，2014（2）：4-7.
[关键词]小学数学 课堂教学 设疑技巧
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-046
小学数学课堂教学中，教师以数学问题为导向，引领学生思维，展开广泛讨论，这是数学教学的基本思路和方法。教师在数学问题设计时，需要综合考量多种因素，教材的适应性、学生的接受能力、问题的引导思路等，这样才能给学生以思维启迪。如果教师将设疑变成了“设谜”，学生费尽心思也找不到出口，这样的问题设计无疑是失败的。
一、设疑视角，掌握文本内涵外延
教师提问是教学常态，教师要摒弃过去“满堂灌”的授课方式，将课堂时间还给学生，将学习权利交给学生。教师希望用设疑的方式串联起课堂思维，设疑便成为教师最重要的应用手段。为提升问题的“含金量”，有些教师不考虑学生个体差异，设计出来的问题只有少数学生可以完成，这势必会削弱设疑教法的应用效率。因此，教师在设疑时，首先要对教材进行深入探索，找到问题设计的适合切入点，只有促使学生思维顺利启动，才能提升设疑的价值度和有效性。
在教学“负数的初步认识”时，教师让学生事先收集负数在现实生活中的应用实例，很多学生都提到温度计、水位表等。教师根据学生搜集的资料提出问题：“负数都比0小吗？如果把挣钱看做正数，那赔钱就是负数吗？如果将向东走规定为正数，那向西走是不是就可以看做负数呢？负数是指数值的一个区域，这句话对吗？”学生根据教师设计的问题展开了热烈讨论，最后达成共识。教师依据学生搜集的生活中负数的实际应用案例提出一些质疑性问题，就是要让学生进行回顾和确认，对负数概念进行深化理解。“负数”是小学生刚刚接触的新鲜事物，存在模糊认识是正常现象，教师根据教材特点设计问题，与文本思维紧密相关，为学生进一步学习做好引导。
二、设疑维度，做好教情学情调研
小学数学课堂教学设疑过程中，教师不仅要关注教材维度，更需要对学生的学习情况进行深入调研。虽然造成学生畏难情绪的原因有多种，但数学学习个体差异巨大，这是不争的事实。“学优生”和“学困生”的理解力存在差异，教师要正视这种差异，要对不同群体的学生学力进行科学评估，这样才能针对不同群体学生设计不同维度的问题，让每一个学生通过自身努力都能够达到学习目标，这才是符合新课程要求的基本精神：“人人学有价值的数学;人人都能够获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。”
教学“小数的意义与性质”时，教师引导学生先学习小数的读写，明确小数的意义，然后认识小数的计数单位和数位顺序，问：“小数部分有1个数位，叫几位小数？请举例说明。小数部分有4个数位，叫几位小数？请举例说明。每相邻两个计数单位之间的进率是多少？0.1和0.01之间是什么关系呢？”学生根据教师设计的问题展开分析讨论。教师从小数数位之间的关系出发进行设疑，引导学生对小数性质进行剖析。问题中有具体数字也有文字解析，而且具有明显的梯度，学生稍微动起来就能够找到解决问题的思路和方法，而且经过合作探究学习，大多数学生都能够顺利得出结论，学习效果显著。
三、设疑表达，优化设疑语言应用
数学设疑需要考虑角度难度，还要注意设疑语言运用。小学生理解能力有限，教师要从学生的思维特点出发，用最直观、最亲切、最有鼓动性的语言进行问题表达，学生自然能轻松接受。课堂教学中，有些教师喜欢泛问，也想让学生泛答，“对不对”“是不是”充斥课堂，这样的问题设计是没有多少实效的，教师随便问学生随意答。因此，教师在设计问题时，要问得及时、问得必要、问得学生欲罢不能，这样的问题设计才是成功的。
教学“用字母表示数”时，教师在课堂导入部分设计了一道游戏题：猜猜老师多大年龄。教师先让学生猜一猜，然后给出思路：王晓今年10岁，老师比她大17岁，老师多大了呢？学生异口同声回答：“27岁。”教师追问：“怎样用一个式子来表示？”学生给出“10+17=27”。教师又问：“当王晓1岁时，老师多大了？当王晓5岁时，老师多大了？当王晓60岁了，老师又该多大了？咱们能不能用一个字母来表示王晓的任意一年的岁数从而列出算式呢？”学生开始探究，最后得出“x+17=（ ）”。教师用通俗易懂的话语，将学生思维带入问题情境之中，学生在不知不觉中便掌握了知识。
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