【关键词】高职数学教学 函数学习 抽象思维能力
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0084-01
高职阶段数学教学的意义不仅仅体现在继续升学的方面，更重要的是能提高学生发现、分析与解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与空间想象能力，帮助学生学会理性思考、理性判断，为专业课程的学习奠定坚实有力的基础。
高职数学知识点丰富，而函数概念是众多数学概念中最重要的概念之一，是高职数学的重点和难点。在课堂教学过程中，有不少学生反映函数的概念太抽象，从初中开始就是自己的“老大难”，以至于只要看到与函数有关的内容就害怕，宁愿选择回避。
函数的思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，这与中学数学中的数、式、方程等有密切联系。教师在函数教学中应该从概念的本质属性、概念的内涵和外延入手，加强概念形象理解，培养学生良好的思维习惯。
一 函数概念的定义
传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数。
近代定义：设A，B都是非空集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫作函数，记作y=f（x）。
对函数概念的理解，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从对应的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。定义都是文字和符号的连接，学生在理解时缺乏直观的认识，往往一知半解，此时需要让学生以自己独特的角度对函数概念形成理解，也有助于加深记忆。
如将函数y=f（x）的三要素与实际生活相联系，把“自变量x”看成是“待加工的货物”，把“因变量y”看成是“加工完成的产品”，把“对应法则f ”看成是“加工时的工序”，把“（）”看成是“工厂的大门”。如此学生以自己的理解，将理论与现实中的实物联系起来。
二 函数的定义域和值域
在函数y=f（x），x∈D中，自变量x的取值范围的集合D就是函数的定义域，而与x的值对应的y值就是函数值，函数值y的集合就是值域。
函数的定义域和值域考查的形式有很多，无论是选择题、填空题，还是解答题都会出现，是考试常考的内容，在求定义域、值域时我们会碰到各种不同类型的函数表达式，有些是我们熟悉的，有些相对比较复杂。同学们在遇到不熟悉的函数表达式时往往不知道应从何处下手。其实存在的问题都是心理紧张因素造成的，我们要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函数（反、对、幂、三、指）定义域、值域的特殊条件会有助于问题的解决。
第一，在求函数的定义域时，可以按照下面这几种方法来快速有效地判断和求解：（1）函数是整式时，自变量x可以取任意值，也就是定义域为全体实数所组成的集合。（2）函数是分式函数时，一定要注意，分母不能为0，那么定义域就是除使分母为零以外的一切实数所组成的集合。（3）如果函数是偶次根式时，就要注意被开方数不能为负；是奇次根式时，被开方数可以是任意实数。（4）当函数为指数函数和对数函数时，应尽量记住函数的大致图像，关注其在平面直角坐标系中的大体分布。（5）当函数为三角函数时，更应考虑其图像，特别注意正切函数其定义域与直线斜率的关系。（6）若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算，那么该函数的定义域很可能就是各基本初等函数的定义域的交集。
第二，值域的求法较之定义域的求法要复杂得多，更没有现成的结论，它必须通过不同的途径分析、观察、计算等才能求出不同函数的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、学过的函数，可通过观察其图像直观判断出值域。（2）如果遇到不熟悉的、较复杂的函数，可通过“多点法”作出草图客观判断其值域。（3）通过求出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，辅助判断其值域。（4）利用换元法把复杂函数转化为熟悉的函数来求值域。（5）部分函数可通过反函数法求定义域来求原函数的值域。
总之，学好函数首先需要弄清函数的概念，真正搞懂什么是函数，掌握基本初等函数的定义、性质、图像，把概念性的知识点转化为自己独有的理解，不但不容易遗忘，而且可以充分发掘学生的想象力和思维能力。
参考文献
[1]杨红.函数概念及表示方法的知识点总结[J].理科考试研究（高中版），2013（5）
[2]张玲艳、熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报，2007（12）
[3]张晓燕、房元霞、藏亚玲.函数概念的发展对教学的启示[J].聊城大学学报（自然科学版），2006（3）
【摘要】新课标；高中函数教学；思考
在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生“活”起来，“动”起来.通过情景创设、例证辨析、主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题.本文就教学过程中学生的情况和自己的反思，谈几点自己的思考.
一、加强高中函数思想方法的应用
函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.因此，函数在现实世界中有着广泛的应用.加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑.
二、教学中注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股市走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等.这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.
三、强调函数背景及对其本质的理解
在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级.无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，新课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习.以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上.学生既要面对同时出现的几个抽象概念——对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系.实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难.而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念.一方面，丰富的实例既是概念的背景，又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵.
四、在教学中要强调启发式教学的地位和作用
中学数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师绝不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生，例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意，不讲不等于放羊，不是教师无所作为，而是“此时无声胜有声”，是教师通过问题启发，激疑、激思而使学生进入独立思考阶段.同样，讲授≠注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径.
五、注重函数概念与信息技术教学的结合
进入高中的学生思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，要掌握分寸.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图像的变化过程，引导学生交流与讨论，更好地学习和理解函数.
六、注重突破难点，显化过程，加强联系的方法
函数是高中数学的重要内容之一，函数的思想和方法贯穿了高中数学课程的始终。同时，函数概念也是高中数学的难点。调查表明，很多学生对函数概念的掌握并不理想。每次考试过后，总有学生由于对函数概念把握不准，导致解题失误。
现行普通高中《课程标准》实验教科书（必修1）上采用的函数定义是：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域。
笔者认为，函数概念具有高度的抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。对函数概念的教学，应基于以下几点思考：
一、要使学生了解函数的形成过程
从历史上看，函数概念的产生经历了“变量说”到“对应说”两个阶段，函数概念来源于物理公式。在初中，学生学习过的函数概念，也是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。函数概念几乎等同于解析式。要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。而如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。例如：
f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时。
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分自然。
通过对函数概念历史发展的了解，既可以向学生渗透数学文化，也有利于让学生对函数概念了解更加全面，以激起学生对函数学习的兴趣。
二、要使学生理解函数的本质特征
函数的本质特征是“对应”关系。这种“对应”，正是函数的内涵所在。
1.函数的“对应”关系有三种形式
一是具体的两变量之间确定的对应关系，如函数的解析式；二是以列举方式给出两个变量之间的对应关系，如统计数表等；三是以曲线形式反映的两变量之间的对应关系，如一天中的气温随时间的变化图等。
2.函数的“对应”关系包含三层内容
（1）“非空数集A、B”――说明变量的存在性；（2）“两个变量x和y，x∈A、y∈B，某个确定的对应关系f ”说明函数是研究两个变量间的依存关系；（3）“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）（即y）和它对应”――说明有唯一确定的对应规律。
3.函数的“对应”关系具备三个要素
函数y=f（x）的记法，突出了函数的三个要素之间的依存关系。其中“f”是连接“x”和“y”的纽带。
（1）对应关系f下的自变量。在记法中，f的变量为x，这里应突出x的整体性，即整个x充当的f自变量，由于函数的抽象性及换元的数学思想，这里的x只是充当一个代表元，也就是说x可以表示单纯的x，也可以表示关于x的某个单项式，甚至可以是关于x的其他代数式。因此，对应关系f下的自变量，严格来说，是f后面括号内的整个变量式。这为以后进一步求抽象函数的定义域打下伏笔，如①已知f（x）的定义域为[a，b]，求f[g（x）]的定义域，就是求不等式a≤
g（x）≤b的解集；②已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g（x）的值域。
（2）对应关系f下的函数值。y是x通过对应关系
f得到的，y值是相应x的值在对应关系f下的函数值。因为x只是一个代表元，因此对应关系f下的函数值y，严格来说，是f后面括号内的整个变量式的值通过对应关系f而得到的函数值。这也为以后进一步求复合函数的值域埋下伏笔。另外值域中的每一个值y，都能在定义域中“找到”一个或几个x的值与之对应，这又为以后利用方程思想求函数值域打下基础。
三、要使学生学会对函数概念的灵活运用
在学生理解了函数的本质特征即“对应”后，我们要在实践中使学生理解和掌握概念，引导学生运用函数概念去解决一些实质性的问题，培养学生运用概念分析问题与解决问题的能力，进而使学生在理解的层次上达到一个新的高度，在认识上得到升华。
例1：函数y=f（x）与直线x=a的交点个数为（ ）。
A.1个 B.2个 C.0个或1个 D.无穷多个
例2：函数y=x2和S=v2是否同一个函数？
Abstract： In-depth understanding of mathematical notions is the foundation to learn higher mathematics. In this paper， several confusing notions are interpreted by the use of piecewise function as a counter example in higher mathematics； counter example of piecewise function makes the abstract concepts more concrete. Piecewise function as a counter example can help students cultivate the thinking ability and improve innovation ability.
关键词： 高等数学；概念；分段函数；反例
Key words： higher mathematics；notions；piecewise function；counter-example
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0219-02
0 引言
学习数学可以锻炼学生严谨的思维，培养分析问题和解决问题的能力，高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感，感觉抽象、枯燥，乏味。在有限的学时内，让学生正确理解概念，教师举例说明是直观的，可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维，使其从多层次、多角度理解概念，进而深入的掌握知识，大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。
分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数，在分段点处的特性往往会发生很大的异常，这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例，在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。
1 初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数，有些老师讲解初等函数的概念时，只强调初等函数用一个式子表示，轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。
例如，函数y=3x+2，x？叟0x+2，x
2 有界函数与函数值
若函数f（x）在区间I内有界，则称f（x）在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质，函数值是某点按照对应法则计算的结果，这两个概念是整体和局部上的区别。
例如，分段函数f（x）=■，x≠00，x=0在任意x0点的函数值为有限值■，但是对任意的θ（θ>1），不妨取x0=■≠0，有f（x0）=■=2θ>θ，从而知函数f（x）为无界函数。
3 函数极限与函数值
如果在xa的过程中，对应的函数值f（x）无限地接近于常数A，则称数A是函数f（x）在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。
例如，已知函数f（x）=■，x≠25，x=2，极限■f（x）=
■■=■（x+2）=4，而在x=2处的函数值f（x）=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对于任意给定的不论多么大的正数M，总存在δ>0，当0
例如，已知数列函数f（n）=n，n=2k■，n=2k+1，其中k为整数。显然它是一个无界数列函数，但当n+∞时，它不是无穷大，因为奇数子列是收敛的，极限值为0。
5 原函数和可积
若f（x）在闭区间I上有原函数，很多学生就认为函数f（x）在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上，函数具有原函数和可积不是充要条件。
例如，分段函数f（x）=2xsin■-■cos■，x∈（0，1] 0，x=0，又知函数F（x）=x2sin■，x≠0 0，x=0，且有F'（x）=f（x）。因此F（x）为函数f（x）的原函数，但是分段函数f（x）在闭区间[0，1]上不连续，故在[0，1]上不可积。
通过列举一个反例能够调动学生学习的积极性，将思路引到正确的轨道上来，加深学生对知识的理解，辨析错误，可以让学生少走很多弯路。同时，反例还可以促使学生去寻找某些结论成立的新条件，培养学生严密的思维能力。在高等数学中证明充分而非必要命题（定理、法则）、必要而非充分条件命题（定理、法则）时，分段函数作为反例仍起到重要的作用。
参考文献：
[1]吴怡.数学概念的教学策略初探[J].教学与管理，2009（27）：129-130.
关键词 高一 函数概念 有效教学
一、高一学生对函数概念学习的理解水平
（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固
数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。
（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练
由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。
学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。
（三）基本运算能力不过关
运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。
二、对高一函数概念有效教学的建议
函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。
（一）导入遵循“变量说一对应说”
函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。
（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征
解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。
（三）“听、说、看、写”相结合
多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。
双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。
（四）深度解释策略
从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。
深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。
在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。
参考文献：
[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.
关键词：小学数学；概念；基础
依照《义务教育数学课程标准》，函数概念在初中才能明确地引入，等到高中再用集合、对应的观点去阐述函数的概念。但在我们小学的数学教学中却一直贯穿着函数这一概念，因此，只有真正了解函数在教材中的地位和作用，才能使数学更生动，目标更明确。
小学数学是初等数学知识中最基础的部分，但已经孕育了一些函数的观点。比如，在我们小学数学中去讨论的和、差、积、商的变化，它就直接地渗透了函数的思想。
在建立数的相等和不等的概念以及求两数差多少的应用题的过程中也渗透了“对应”的思想，正比例、反比例关系那就更直接地揭示了两个变量之间的相依关系。待到初中函数概念的引入就会成为数学发展认识的必然。如，方程可以看成带有变数的函数表达式。求未知数的值，实质上是求函数值，并且要求分式的分母不能为零，实质上体现了其取值的范围。不等式也可以类似去看，把序列函数看作是整标函数等等。笛卡尔坐标上的点与实数对的对应关系，就直接揭示其“对应”的观点。
在以上所列知识的教学过程中，使学生从感性上认识了对应关系。对函数概念有了初步的认识后，到中学再引入函数这一概念也就顺其自然了，学生接受起来也就轻松愉快了。然而，这只是函数概念的原始模型，这要到高中一步用集合、对应的观点，去加深对“传统定义”的理解，加以深化和提高，统一以前不完整的概念，使函数概念更精确化、准确化，为今后函数概念的学习和研究打下良好的基础。
变量的建立，使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能，变量数学的基本概念――变量，函数、极限、导数和微分以及微分法和积分法，从本质上看不外是辩证法在数学上的应用，使许多在以前不能解决的问题得到比较圆满的解决。例如，我们小学数学所学的圆的面积、周长，圆柱、圆锥的表面积、体积，无限循环小数化分数，实数概念等等，就可以让学生清晰地去理解和掌握了。
在现行中学数学新课标教材中,“函数”这个概念,最早出现于初中义务教育课程标准实验教材《数学》八年级上册[1-3].函数概念的教学,在初中采用“变量说”,在高中采用“对应说”,这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序,也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性,但即便如此,学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低.已有的教学实践表明,函数概念是学生数学学习中感觉最困难的概念之一.
近期在成都某中等层次中学做了一次问卷调查.此次调查时间是他们刚学完函数概念,分析结果发现:有4%的学生认为函数是一种特殊的数,19%的学生认为函数是方程,有77%的学生认为函数是变量.这说明变量定义函数还没有被所有的学生接受.有72%的学生只愿意用解析式表示函数,6%的学生愿意用表格表示函数.说明函数的三种表示方法在学生的头脑里还没有统一起来,学生还是习惯用精确的解析式表示函数.在理解函数概念中“自变量取某一值时,函数有唯一确定的值与之对应”时,只有 1 3 的学生理解正确.这说明学生在理解对应时有较大的困难.另外学生还不习惯看图像,也不善于从图像中发现信息.
函数概念是中学数学中最为重要的概念之一,也是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念,学生理解上存在困难是不言而喻的.函数概念有许多复杂的层次和许多相关的下层概念,这样,函数成为中学数学中最难教、最难学的概念之一也就不足为奇了.
2 函数概念在课程中的重要性
函数是贯穿于初中及高中数学的重要知识,对于培养学生的逻辑思维能力有很大的作用.函数在初中数学中占有很重要的地位.从中学数学知识的组织结构看,函数是代数的“纽带”,代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接联系.并且,函数还是数学的后继发展的基础,这一章的内容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠定了一定的基础.同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用,在解决生产生活中的实际问题时,也往往采用函数作为建模的基本工具.函数既从客观现实中抽象出来,又超越了千变万化的课题的个性,其内涵极为深刻,外延又极为广泛,所以它既是重点,又是难点.[4]
3 关于“函数”这个概念
3.1 数学史中关于函数的发展
函数概念从产生到完善,经历了漫长而曲折的过程.这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多,更重要的是伴随着函数概念的不断发展,数学思维方式也发生了重要转折:思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系,实现了数与形的有机结合,在符号语言与图表语言之间可以灵活转换.与常量数学相比,函数概念的抽象性更强、形式化程度更高.[5]
3.2 变量与常量
初中课本中变量被当成是不定义的原始概念,而变量是函数概念中一个最基本的概念.数学中的变量概念与日常生活经验是有差异的,人们对变量的普遍理解是,在日常生活中,“变量”应该是变化的,不确定的.但数学中的变量包括常量,常量被看成是一种特殊的变量.另外函数概念中变量的意义更具一般性,既可以作为数,也可以作为点;既可以作为有形之物,也可以作为无形的东西.
3.3 函数概念表示的多样化
一方面表现在定义域、值域的多样性,可以用集合、区间、不等式等不同形式的表示;另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示,从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来.与其他数学概念相比,由于函数概念需要同时考虑几种表示,并要协调各种表示之间的关系,常常需要在各种表示之间进行转换,因此容易造成学习上的困难.
3.4 定义中的抽象因素
函数是在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念,解释它的本质(对应关系)的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的.y=f(x)表示了一种特殊的对应关系,其中每一个字母都有特定的含义.但这种含义仅从字面上是看不出来的.我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容,也不能通过x(或y)来想象定义域(或值域)的抽象性到底是什么.这种抽象性大大增加了函数学习的难度.
4 学生学习心理分析
初一学生大多是从公用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化.理解掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容,特别是比较复杂的抽象概念,还抓不住其本质属性,分不清主次的特征.初二是掌握概念的一个转折点.初三学生基本能够理解概念的本质属性,能逐步地分出主次,但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念,还理解不深.[6]
当学生的概念形成水平较低时,不理解它或在认识上感觉困难是正常的.学生只有通过大量客观事例,认识变量的概念,理解量与量的相异关系,才能形成函数概念的描述性定义,获得朴素、直观的认识.
中学生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平.初中生以形式逻辑思维水平为主[7].函数是一个辩证概念,而学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,不善于把抽象的概念与具体的事例联系起来,还不能用辩证思维的思想来理解函数概念,这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的.例如,学生常常认为,“x”代表一个单个的数(可能是未知数);求函数值就是把数带入“公式”中的字母运算;学生常常把函数概念与“公式”等同起来,因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应.对初中学生的思维水平来说,建立函数这样一个复杂的概念需要克服许多困难.
5 新课程理念在初中函数概念内容中的体现
传统的数学课程内容重结果.新课程中,学习的内容不仅包括数学的一些现成结果,还包括结果的形成过程.新教材中,“函数”部分,大量的材料是学生熟悉的、感兴趣的.这种题材使得学生的数学学习活动是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.这种题材要求学生要有充分的从事数学活动的时间和空间,在亲自体验和探索中认识数学,解决问题,理解和掌握基本的数学知识、技能和方法.
在新教材中,有关“函数”的内容不再是初三一次性学完,而是分布在初二、初三等不同阶段分段学习.教师要重视函数概念的教学,同时注意尽早、分阶段向学生渗透函数思想,逐步使学生形成函数思想方法.这也体现了建构主义的教学观.
新教材中,有关“函数”的内容,通过大量生活中的例子把图像、列表等形式表示的函数都呈现出来,以便多角度认识函数.而且教材增加了许多“函数有关的实际问题”,如前言、例题、习题、阅读材料等,这样的教材,信息量大,知识含量高,更重要的,它不是只注重知识,而且有利于学生综合素质的形成.它引入概念的方式是:实际例子(问题)数学概念实际问题.这种方式借助实际问题情景,由具体到抽象的认识函数,又通过函数应用举例,体现了数学建模的思想,另外,内容的呈现方式丰富多彩,图文并茂,注重学生在学习过程中主体作用的发挥,同时联系生活实际,培养了学生的数学意识.更重要的是,这种题材呈现方式符合这个阶段学生的年龄特征和学习数学的心理规律,而且遵循逐级递进、螺旋上升的原则.
这样的课程设计,充分考虑到了学习者的因素,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程.
6 初中函数概念教学的策略建议
6.1 注意尽早进行函数思想方法的导学
事实上,函数观念的培养在小学就已经开始了,进入中学,随着代数式、方程的研究也慢慢地渗透着这种思想.如果注意在学习与函数有关的知识时,经常地向学生渗透“对应”的观点,那么在初二学习函数概念时,学生就能较顺利地接受函数这个概念.
6.2 在教学中把握渗透函数思想及函数思想方法
在函数概念的教学中,函数思想主要体现在以下三个方面[8]:首先,函数思想集中反映了变量(自变量)与变量(函数)之间的变化规律.其次,对应是函数思想的本质特征.再次,自变量的变化处于主导地位,在函数y=f(x)中,y与x的地位完全不同,x的变化起决定性作用,变量y处于依从地位 .函数的值域是由定义域通过对应法则所决定.因此,自变量的变化范围是函数的另一个基本因素.
函数的思想方法在理解函数概念时有着重要的作用.函数的思想方法是中学数学的主导思想之一,它在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中,具有其他思想方法所不及的指导作用.函数知识学习的最终目的是对函数思想的领悟和掌握,而学习过程中函数思想方法的渗透,又可以加深对函数概念的理解[9].
6.3 让函数概念教学走向生活化
6.3.1 阐明常、变量的客观存在
常量在现实生活中, 随处可见, 生活的每一个角落, 社会的各个领域都有常量的身影.同时,认识变量的普遍存在,我们的周围万事万物每时每刻都在变,有些变化着的量可以用数来刻画.
通过从常量到变量,继而思考变量与变量间的关系,自然过渡到函数概念,选用学生比较熟悉的实例,力图让学生认识到数学与生活得密切联系,通过具有现实意义的情境引入.
6.3.2 多列举实例
函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事,在设计函数课的教学过程时不可能做到一步到位,必须由浅入深给学生一个逐步加深认识的过程.可给学生呈现一些函数的简单实例,例子要结合实际生活,也要紧紧结合教材内容.
在设计教学过程时一定要抓住这一点,不管是开始的情景引入,还是后面的例题讲解和课堂演练,都要选择贴近生活的例子,从而可以很好的调动学生的积极性,激发学生的学习兴趣.
在设计函数概念教学时,不要一味地按照教材原有的模式把内容给呈现出来,应试图通过整合教材,加入一些课外的,与本地实际生活相联系的内容来把新知识呈现在学生面前,在引发学生学习欲望的同时,拓宽学生的知识面,加强学生的数学应用意识.
在函数教学过程中要多举例,加深对函数概念的理解,反例提供了概念学习最有利的辨别信息,让学生进行函数正反例子的辨析有助于学生形成正确的认知结构.在函数概念教学过程中,不能只列举正例,使学生的视野受到束缚,也应通过构造适当的反例函数,澄清学生的模糊和错误的认识,促进学生正确的函数概念的建立.
6.3.3 重视数形结合
“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量.”函数自产生就和图形结下了不解之缘.函数的表示方法之一是图像法,即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系.这种表示方法的产生,将数量关系直观化、形象化,提供了数形结合地研究问题的重要方法,教学过程中,要注意函数解析式与图像的结合这两方面的互补,体现两者之间的联系,突出两者间转化对分析解决问题的特殊作用.
6.4 充分调动学生主观能动性
注重学生的学习体验和探索感受.因而,充分展开学生参与学习的过程非常必要.小组交流学习的教学方式能有效地体现学生的合作性、参与性、主体性,适时开展小组交流学习一方面可以达到深化本节内容的学习效果,另一方面,也充分体现新课程理念精神.教师理应从一个知识的传播者转变为学生发展的促进者,引导学生进行探索,建立民主的、平等的师生关系,让学生在平等、尊重、理解和宽容的氛围中快乐的学习.
参考文献
[1] 义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].北京:人民教育出版社,2008.
[2] 义务教育课程标准实验教科书(数学)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2006.
[3] 王建磐主编.义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].上海:华东师范大学出版社,2006.
[4] 数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].北京:北京师范大学出版社,2002.
[5] 简冬梅.函数概念的演进与函数教学[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(3).
[6] 徐向君.数学概念学习研究[D].呼和浩特:内蒙古师范大学,2004.
[7] 田万海.数学教育测量与评论[M].上海:上海教育出版社,1996.
[8] 肖柏荣 潘娉姣.数学思想方法及其数学示例[M].南京:江苏教育出版社,2004.
[9] 李吉宝.有关函数概念教学的若干问题[J].数学教育学报,2003,(2).
首先，先将寒假分为八个阶段，然后按下面计划进行，完成高等数学（上）的复习内容。
1 第一阶段复习计划：
复习高数书上册第一章，需要达到以下目标：
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.
本阶段主要任务是掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；基本初等函数的性质及其图形；数列极限与函数极限的定义及其性质；无穷小量的比较；两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型；闭区间上连续函数的性质。
2第二阶段复习计划：
复习高数书上册第二章1-3节，需达到以下目标：
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
本周主要任务是掌握导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；牢记 基本初等函数的导数公式；会用递推法计算高阶导数。
3 第三阶段复习计划：
复习高数书上册第二章 4-5节，第三章1-5节。需达到以下目标：
1.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
2.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
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