在前面的学习中，学生已经学习了积的变化规律，在上课一开始，我列出几个乘法算式，让学生复习一下乘法的相关知识点：
2×6=12 20×6=120 200×6=1200
复习完后，我们将积的变化规律进行总结，共经历了四步：观察算式、提出猜想、举例验证、总结规律，然后我们利用这四步继续学习商不变的规律。
一、唯美情境，自信起航
今天我们先学习一道口算题：4÷2=？谁能给大家介绍一下，在这道除法算式中各部分的名称是什么？通过学生的回答和课件展示考察学生的掌握情况，然后引导学生想一想如果被除数和除数发生变化，商会变吗？在这一环节鼓励学生大胆猜想，有的同学猜商会变化，有的同学猜商不会变化，那究竟怎样呢？我们一起验证一下，课件出示以下几组除法：
4÷2= 8÷4= 12÷6= 24÷12= 36÷12=
观察这组算式，被除数和除数发生变化，商有的会变，有的不会变。接下来，我引导学生思考这几道算式被除数和除数同时发生变化，商为什么没有变呢？
二、美妙体验，自信成长
1.观察算式
首先引导学生观察算式，找学生说一下观察到的现象，教师此时要发挥引导作用，如按什么顺序观察，是从上往下观察还是从下往上观察？对于学生提出的方法，教师要加以鼓励和赞许。将全班学生以小组为单位分组讨论，其中一名学生负责将成员讨论算式的变化过程以及总结发现的规律填写在记录单上，其他学生则共同讨论算式的变化过程与规律。
2.汇报
讨论时间过后，找学生上台给大家汇报本组的讨论结果，包括按照怎样的顺序来观察的，最好能结合具体的算式进行讲解。
如学生1上台汇报：我们小组是按照从上往下的顺序观察的，第2个算式和第1个算式相比，被除数4乘2变成8，除数2也乘2变成4，商不变。第3个算式和第1个算式相比，被除数4乘3变成12，除数2也乘3变成6，商不变。第4个算式和第1个算式相比，被除数乘6变成24，除数也乘6变成12，商还是不变。我们小组发现：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。
学生2也上台汇报：我同意你们组的发现，我们组是从下往上观察的，第3个算式和第4个算式相比，被除数和除数同时除以2商不变；第2个算式和第4个算式相比被除数和除数同时除以3，商不变；第1个算式和第4个算式相比，被除数和除数同时除以6，商不变。我们组的发现是：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变。
在每位学生上台汇报结束后，教师要及时点评并给予鼓励或奖励。最后，教师进行总结：通过大屏幕我们可以看到，从上往下观察，和第1个算式相比，被除数和除数同时乘2、乘3、乘6，商不变，得出的结论是被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。从下往上观察，和第4个算式相比，被除数和除数同时除以2、除以3或者除以6，商也不变，得出的结论是：被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变，那么学生会得出什么结论呢？
学生3会回答：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。
这时教师要引导学生思考为什么0除外，并且帮助学生验证。
师：你能给大家解释一下，为什么要0除外吗？
3.举例验证
这个过程主要是学生自己动手探究的过程，学生可以在练习本上任意写几个算式，验证猜想，并展示验证结果。
4.总结规律
最后是总结规律的过程，引导学生观察验证过程，并总结规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。
教师总结道：“我们经历了观察算式、提出猜想、举例验证、总结规律这四步，最终得出了商不变的规律。数学家也是经历了这样的过程总结出了商不变的规律。所以我们是走在数学家走过的道路上，并且有了自己收获，每位学生都值得表扬。”
三、美丽展示，自信分享
规律总结出来后，需要有一个应用的过程，在这个环节，可以利用PPT，让学生做练习题。
根据36÷12=3，你能快速判断下面的题目是正确的吗？
例1：（36×2）÷（12÷2）=3 （ ）
学生答出答案后，教师要及时说明理由：同时乘或者同时除非常重要，并且被除数和除数要乘都乘，要除都除，不能一个乘一个除。
例2：（36×5）÷（12×10）=3 （ ）
回答这道题时，教师要引导学生思考：这一次是同时乘的，为什么还是不对？并继续提出新题型，让学生继续思考。
例3：（36÷4）÷（12÷2）=3 （ ）
例4：（36+10）÷（12+10）=3 （ ）
通过上面几道题的练习，引导学生进行总结，并运用这些新认识做检测题，巩固知识。
“商不变规律”这一内容是小学数学教学的难点之一。为了提升这一内容的教学效果，可以“变异理论”为指导思想，明晰教学内容的关键属性，重视学生的相关经验，设计相应的教学环节，并根据具体情景的“变”与“不变”，把握变异维度，以引导学生审辨教学内容的关键属性。
二、行动研究方案与教学设计
本研究采用合作的行动研究方法，由小学数学教师和研究者组成合作团队，在确定研究主题、设计教学、实施教学和学生测试等过程中相互协作、共同探讨。
1.实验班的教学过程
实验班教师以“变异理论”为指导设计教学环节，具体有三步。
（1）内容分析
“商不变规律”这一内容包括两个层面的教学。一是规则学习。“商不变规律”，即“被除数和除数同乘或除相同的数（0除外），商不变”。该规则揭示了除法运算中，商、被除数和除数之间大小变化关系的特殊规律。二是技能学习。“商不变规律”简化除法运算有两个方法：一是缩倍法（被除数和除数的末尾都有零时，当它们同除以10或10的整倍数，可简化为划掉被除数和除数末尾相同个数的零），二是扩倍法（除数为5、25或125时，被除数和除数同时乘以2、4或8，以使除数凑成整10、100或1 000）。
（2）学情分析
一是大部分学生对除法运算法则已灵活掌握，并能由商的限定条件推断被除数和除数。二是解释算式之间的规律时，一部分学生回答错误或未回答，另一部分学生能说出局部规律。三是在观察规律时，学生写的算式多是循着逐渐扩大的顺序，较少考虑到逐渐缩小的情况。
（3）教学过程
其一，认识“商不变规律”。
一是导入“商不变算式”。
猴王准备把6个桃子平均分给2只小猴，小猴嫌太少；猴王又准备把12个桃平均分给4只小猴，小猴还嫌太少；猴王准备把60个桃子平均分给20只小猴，小猴觉得占了大便宜，开心地笑了，猴王也笑了。请问，猴王为什么笑？
学生：猴王很聪明。
教师：你怎么知道？
学生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20还等于3。
（教师板书：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）
教师：观察这几个算式，它们有什么共同之处？
学生：它们的商一样。
（教师板书：商不变）
二是归纳“商不变规律”。
教师：我们试着分析，在这些算式中被除数和除数怎样变化，商才不变呢？
（学生四人一组展开讨论，之后全班交流与总结。教师提示先分析前两个算式。）
学生：被除数比前一个算式扩大2倍，除数也比前一个算式扩大2倍，商不变。
教师：扩大2倍，采用运算的形式如何表示？
学生：乘以2。
教师：就是说，被除数乘以2，除数也乘以2，商不变。那么，我们可以把乘除的情况综合起来简洁表述吗？
学生：被除数和除数乘以（或除以）2、5或10，商不变。（此时学生未提及“同时”）
教师：乘以或除以其他数也可以吗？
学生：换成其他数，商也不变。（此时学生未意识到零的特殊性）
教师：我们能不能把它们再归纳为更简洁的一句话呢？
学生：被除数和除数乘以（或除以）相同的数，商不变。
这样，学生用“一个数”“共同的数”或“相同的数”来替代那些具体数值，归纳出“商不变规律”的主要内容，但没有审辨出“同时”和“0除外”这两个要素。
三是完善“商不变规律”。
教师通过正反例对比的变异图式，既巩固已归纳的要点，又引导学生看到前面的归纳还不完善，即需要补充两点（“同时”和“0除外），并强调这两个关键属性。
（12×3）÷（3×3）正例
（12×2）÷（3×4）反例
（12+9）÷（3+9）反例
（12÷6）÷（3×6）反例
（12×0）÷（3×0）反例
其二，运用“商不变规律”简化除法运算。
在复习“商不变规律”这一内容后，教师呈现两个新的教学内容：一是缩倍法简算，二是扩倍法简算。教学重点在于引导学生审辨这两种方法的适用条件和操作方法。
一是缩倍法。
教师：这里有两道题，你可否运用“商不变规律”，口算出结果？
（教师板书：2400÷1200= 24000÷12000= ）
（有几个学生迅速说出答案）
教师：他们是怎么算的？为什么这么快？请大家分小组讨论一下这两题的简算方法。
（教师巡视，并对有困难的学生给予指导，然后全班交流。）
学生：做第一道题，我们的方法是，把被除数和除数都除以100，结果等于2。做第二道题，我们的方法是，把被除数和除数都划掉1000个0，商不变。
教师：这两题有什么共同点？什么情况下可以用去零法或缩倍法简化运算？
学生：被除数和除数都有0。
教师：0在什么位置呢？
学生：在数的末尾。
教师：很好，请大家完成这组练习。
（教师板书：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）
在这组练习题的第2、3、4题中，被除数和除数末尾零的个数不同。起初，不少学生未能审辨这一差别，只是一味地将末尾所有零划去。后来，学生发现了问题（划去零的个数不同违背了“商不变规律”），进而意识到：必须分辨末尾零的个数，以确保被除数和除数划去的末尾零的个数相同。
二是扩倍法。
由于学生自己探究扩倍法简算的难度较大，所以采用课本上的例子作为导入示范。
教师：请大家看课本第76页的“观察与思考”，注意“400÷25”的运算过程，从中你发现了什么？
学生：运用了“商不变规律”，被除数和除数同时乘以4，商不变。
教师：为什么要乘以4？
学生：使除数变成100，再算除法就简单了。
教师：你能用这样的方法简便计算下面各题吗？
（教师板书：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）
在这组练习题中，第1题可采用“乘以4”的方法简算；第2题的除数是5，可把被除数和除数都乘以2，这样，除数变为10，从而简化运算；第3题的除数是125，可把被除数和除数都乘以8，这样，除数变为1 000，从而简化运算。这组练习题的关键在于除数。当除数是5、25和125时，为了简算，应把除数分别乘以2、4和8，以使除数变为10、100和1 000。当然，被除数也要乘以相同的数。
2.对照班的教学过程
对照班的教学过程也紧紧围绕“商不变规律”这一内容展开，与实验班的教学过程相比，它有四个不同之处：一是强调了“商不变规律”的关键要素，但未通过“变”与“不变”的教学情景逐一突出其属性；二是设计的教学情景与“商不变规律”这一内容的联系不够紧密；三是强调“相同的数”可以是任何数（包括除不尽的情况），引发学生的不解；四是技能教学只列举了几个例子，变异图式不够完整。
三、研究结果分析
焦循（1763~1820），江苏甘泉（今扬州市）人，我国清代著名的数学家．他对我国古代数学进行了比较深入的研究和总结，在我国数学史上第一次系统地提出了数量运算的基本规则，推动了清代数学的发展，为我国古代数学增添了新的光彩．
焦循在数学上最大的贡献是对我国古代数学在运算规则方面进行了全面总结，提出了数量运算的基本规则．这一成果体现在他的数学著作《加减乘除释》当中．
此书初写于乾隆五十九年（1794年）秋．嘉庆二年（1797年），焦循对古代数学名著《九章算术》、《孙子算经》、《张邱建算经》等进行了进一步研究，获得了许多新的想法．在此基础上，他将过去写成的草稿进行了详细的修改完善，最终撰成了《加减乘除释》这一数学专著．
《加减乘除释》是一部论述数量加减乘除运算规则的著作，也是我国古代对数学进行理论性研究的最早著作．全书共有8卷，基本内容为：第一、五两卷主要讲述数的加减运算规则，第二卷主要讲述二项式的乘方运算，第三卷主要论述数的乘除运算规则，第四、六卷主要讲述分数的性质和运算规则，第七卷主要讲述各种比例问题，第八卷主要讲述加减乘除四则运算规则．全书共列出有关运算规则93条，其中每一条都相当于现代数学书中的一条定理或公式．
焦循在《加减乘除释》中提出了有关数量运算的基本规则，这是他的一项卓越创造．从现代数学理论来说，在关于数量运算的众多规则中，最基本、最主要的有5条：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律．这些定律在现代数学中有特别重要的地位，是现代数学研究的基础内容和出发点．而这5条基本运算规则，焦循在《加减乘除释》中均作了比较准确的阐述．
1、让学生探索并掌握一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。
2、使学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。
3、通过学习活动的参与，培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力，使学生获得成功的乐趣，增强学习的兴趣和自信心。
4、培养学生从正反两个方面观察事物的辨证思想。
教学重点：发现并运用积的变化规律。
教学难点：积的变化规律的探究策略。
教学过程：
一、创设情景，提出问题
屏幕显示：为九九重阳节开展的走进敬老院，浓浓敬老请活动我们全校学生都捐出自己的零花钱，为老人们购买一些物品。请你们帮忙算一算，一千克橙子6元，买2千克花多少钱？40千克呢？200千克呢？（学生回答）
6╳2= 12（元）
6╳40=240（元）
6╳200=1200（元）
师：仔细观察、比较这组算式，你能发现什么？
生1：有一个因数都是6。
生2：对，一个因数相同，另一个因数不同，积也不同。
师 ：观察得真仔细! 一个因数相同可以说一个因数不变，那另一个因数呢？
生3：另一个因数变了，积也变了。
生4：我看到一个因数不变，另一个因数越变越大，积也越变越大。
师 ：你是从上往下观察的，还可以怎样看？
生5：倒过来，从下往上看，一个因数不变，另一个因数越变越大，积也越变越大。
师 ：当一个因数不变时，另一个因数和积是怎样变化的？积的变化有没有规律呢？是什么规律呢？这节课我们来研究这个问题。
二．自主探究，发现规律
1、研究一个因数不变，另一个因数变大，积的变化情况。
62= 12（元）
620=120（元）
6200=1200（元）
（1）师：在研究问题的过程过程中，为了方便我们研究和表达，可以把这组算式分别说成（1）式，（2）式，（3）式。
（2）引导学生分别用（2）式、（3）式与（1）式比，观察因数和积分别有怎样的变化？在小组内互相说一说。
（3）出示182=36和302=60，还是与（1）式比较，观察因数和积分别又有怎样的变化？在小组内互相说一说。
师：谁来说说通过刚才的两次比较，你们又发现了什么？
生：一个因数不变，另一个因数变化，积也变化。
师：怎样变化的？能说得具体些吗？
生1：一个因数不变，另一个因数乘一个数 ，积也乘相同的数。
生2：一个因数不变，另一个因数乘几 ，积也乘几。
师：你们真能干！刚才，我们从上往下观察，发现了这样的积的变化特点，那从下往上观察，用刚才比较研究的方法，比一比，看看有没有新的发现？具体应该怎么比呢？
2、研究一个因数不变，另一个因数变小，积的变化情况。
（1）师：如果这组算式从下往上观察，分别把上面的两个式子与底下的一个式子作比较，会不会有新的发现呢？
学生独立思考后把想法在小组内交流一下。
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3、验证规律。
师谈话：刚才大家发现的规律是不是具有普遍性呢?研究数学问题一般不匆忙下结论，要再举一例子，看看会不会出现相同的情况。如果有一个例子出现了不同的情况，就不能把这种发现当作规律，这就是研究数学问题应该持有的严谨的态度。你能自己举例说明积的变化规律吗?
每位学生写3个算式，同桌互相检查和交流因数和积是怎样变化的。（汇报情况略）
师 ：既然许许多多的乘法算式中都有这样的积的变化特点，它就是今天我们探究的积的变化规律。谁来把这个规律再说一说。
生 ：一个因数不变，另一个因数乘几 ，积也乘几；一个因数不变，另一个因数除以几 ，积也除以几。
师 ：数学讲究简洁美，能把它说得再简单点吗？
生 ：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几 ，积也乘（或除以）几。
师 ：说得太棒了！同学们，祝贺你们发现了积的变化规律，愿意用它解决实际问题吗？
三、运用规律，解决问题
1、根据850=400，直接写出下面各题的积。
1650= 3250= 825=
2、全社会各界朋友发起了向西藏教育捐赠和教师自愿者等活动，他们考虑着何种运输方式进入西藏。咱们也帮忙分析一下，一辆汽车在青藏公路上以60千米/时的速度行使，4小时可以行（ ）千米。一列火车在青藏铁路上行驶的速度是汽车的2倍，这列火车用同样的时间可行（w ww.xxjx SJ.c n）千米。
生 ：一辆汽车4小时可以行驶240千米，用60乘4等于240千米。
师 ：根据什么数量关系来列式计算？
生 ：速度乘时间等于路程。
师 ：第二个问题呢？
生 ：6024=480千米，先算出火车速度，乘时间4小时等于路程。
师 ：还有其它解法吗？
生 ：2402=480（千米），因为速度乘2就是一个因数乘2，时间不变就是一个因数不变，那么积也就是路程也要乘2等于480千米。
师 ：能运用积的变化规律解决问题，你的数学意识很强。同学们喜欢那种方法？
生 ：喜欢第2种，只需一步计算。
师 ：多关注已有信息，灵活运用规律能使解题思路更开阔。
四、全课总结，拓展延伸
师 ：在这节数学课上，你们还有什么收获吗？
生1：我们找到了积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几 ，积也乘（或除以）几。
生2：我会用积的变化规律解决生活中的问题，很方便。
师：大家用自己智慧的双眼，聪明的大脑发现并运用了乘法规律，老师真为你们高兴。学以致用，其乐无穷。先选择下面计算题中的一道算出积，然后直接写出其他各题的积。
1830= 1815= 185= 545=
师：比较1815= 270和 545=270，你们还有什么新的问题、新的想法吗？
1．归纳整理四则运算的意义．
2．归纳整理整数小数和分数计算法则的异同点，进一步总结计算时应遵循的一般规律．
3．总结四则运算中的一些特殊情况．
4．总结验算方法．
教学重点
整理四则运算的意义及法则．
教学难点
对四则运算算理本质规律的认识和理解．
教学步骤
一、复习旧知识，归纳知识结构．
（一）四则运算的意义．【演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．举例说明四则运算的意义．
根据下面算式，说一说它们表示的四则运算的意义．
2＋30.6－0.42×36÷2
100－152×0.30.6÷0.2
0.2＋0.32×1.3
2．观察图片．
教师提问：看一看，整数、小数、分数的哪些意义相同？哪些意义有扩展？
（加法、减法和除法意义相同，乘法意义在小数和分数中有所扩展．）
3．你能用图示的形式表示出四则运算的意义之间的关系吗？
（二）四则运算的法则．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．加法和减法的法则．
（1）出示三道题，请分析错误原因并改正．
错误分别是：数位没有对齐，小数点没有对齐，没有通分．
（2）三条法则分别是怎样要求的？
整数：相同数位对齐
小数：小数点对齐
分数：分母相同时才能直接相加减
思考：三条法则的要求反映了一条什么样的共同的规律？
（相同计数单位上的数才能相加或相减）
2．乘法和除法的法则．
（1）出示两道题：
口述整数乘法和除法的计算法则．
改编成小数乘除法计算：1.42×2.34.182÷1.23
（要求：学生在整数计算的结果上确定小数点的位置）
（2）教师提问．
通过上面的计算，你发现小数乘法和除法与整数乘法和除法有什么相似的地方？
（小数乘除法都先按整数乘除法法则计算）
有什么不同？
（小数乘、除法还要在计算结果上确定小数点的位置．）
（3）根据，说一说分数乘法和除法的法则．
分数乘法和除法比较又有什么相似和不同？
相似：分数除法要转化成分数乘法计算．
不同：分数除法转化后乘的是除数的倒数．
（三）练习．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
计算后说一说各题计算时需要注意什么？
73.06－3.96（差的百分位是0，可以不写）
37.5×1.03（积是三位小数）
8.7÷0.03（商是整数）
3.13÷15（得数保留三位小数）
（要除到小数点后第四位）
（要先通分）
（四）法则中的特殊情况．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
请同学们根据a与0，a与1和a与a的运算分类．（a作除数时不等于0）
分类如下：
第一组：a＋0＝aa－0＝aa×0＝00÷a＝0
第二组：a×1＝aa÷1＝a
第三组：a－a＝0a÷a＝1
（五）验算．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．根据四则运算的关系，完成下面等式．
2．思考：怎样应用这些关系对加、减法或乘、除法的计算进行验算？
（加法可用减法验算；减法可以用加法或减法验算；乘法可以用除法验算；除法可以用乘法或除法验算．）
3．练习：先说出下面各算式的意义，再计算，并进行验算．
4325＋37947.5－7.6518.4×75
84×587.1÷0.57÷
二、全课小结．
这节课我们对四则运算的意义和法则进行了整理和复习，总结了在四则运算中的一些特殊情况及注意的问题，希望同学们在计算时一定要细心、认真，养成自觉验算的好习惯．
三、随堂练习．
1．根据43×78＝3354，直接写出下面各题的得数．（复习积的变化规律和商不变的性质）
43×0.78＝0.43×7.8＝
33.54÷0.78＝3354÷0.43＝
2．在里填上“＞”“＜”或“＝”．
12×12÷3×2
÷12÷12÷2×3
3．思考：7.6÷0.25的商与7.6×4的积相等吗？为什么？
四、布置作业．
计算下面各题，并且验算．
1624÷56－
运算律
学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：数学
学科教师：
授课目标
C四则运算的意义
C混合运算
C混合运算的应用
授课难点
使学生理解和掌握交换律、结合律以及分配律。
教学重点：引导学生探究和理解加法交换律、结合律。
教学目标：
1.引导学生探究和理解加法交换律、结合律。
2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。
3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
教学重难点：
使学生理解和掌握交换律、结合律以及分配律。
一、知识梳理
知识点1：四则运算的意义
知识点2：四则运算的法则
同级运算从左往右（从左往右算）
异级运算先二后一（先算二级运算，再算一级运算，×
÷为二级，+
-为一级）
有括号的先里后外（先算括号里的，再算括号外的）
知识点3：四则运算各部分之间的关系
加法：加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
减法：被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
乘法：因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
除法：被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
应用以上知识，可以对四则运算进行检验，还可以解方程。
知识点4：运算定律与简便算法
1、运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
（3）乘法交换律：a×b=b×a
（4）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
（5）乘法分配律：（a+b)×c=a×c+b×c
2、运算性质
（1）减法的运算性质：a-b-c=a-(b+c)
（2）除法的运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
3、和、差、积、商的变化规律
（1）和的变化规律：如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个数不变，它们的和也加上（或减去）这个数。如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）这个数，它们的和不变。
（2）差的变化规律：如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，它们的差也加上（或减去）这个数。如果减数加上（或减去）一个数，被减数不变，它们的差就减去（或加上）这个数。如果被减数和减数同时加上（或减去）一个相同的数，它们的差则不变。
（3）积的变化规律：如果一个因数乘（或除以）一个数（不为0），另一个因数不变，它们的积也乘（或除以）这个数。如果一个因数乘（或除以）一个数（不为0），另一个因数也除以（或乘）这个数，它们的积不变。
（4）商的变化规律：如果被除数乘（或除以）一个数（不为0），除数不变，它们的商也乘（或除以）这个数。如果除数乘（或除以）一个数（不为0），被除数不变，它们的商就除以（或乘）这个数。如果被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（不为0），它们的商则不变。
简
便
计
算
71×99
3755+2996
8439+1001
446+295
888+999
1125-996
299×101
563×999
2100÷20
6÷0.25
72×156-56×72
25×32×125
13.
709×99+709
14.
0.25×48
75.3×99+75.3
.
4.6×3.7+54×0.37
19.82―6.57―3.43
9.63÷2.5÷4
8.37-3.25-(1.37+1.75)
我们已经学了加法交换律和加法结合律，那么乘法运算中有没有这样的运算律呢？
这节课我们就来探讨这个问题。首先，先来个课前小测吧！
1、根据加法运算定律，在里填上合适的数。
49＋＝73＋49
＋136＝＋55
（74＋39）＋61＝74＋（＋）
167＋256＋333＝256＋（＋333）
2、计算下列各题：
208＋45＋55=
86＋79＋14=
23＋（159＋77）=
（13＋29）＋11＝
256＋307=
18＋35＋5＝
15＋（25＋7）＝
24＋6＋19＝
1、乘法交换律：
两个数相乘，交换乘数的位置，结果不变，这叫做 乘法的交换律。
用字母表示为 a×b=b×a
2、乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的结果不变，这叫做 乘法的结合律。
用字母表示为(a×b)
×c=a×(b×c)
3、运用乘法交换律和乘法结合律进行简便运算：
乘法运算中的三对好朋友：
2×5=10
4×25=100
8×125=1000
例1
、植树节到了，四（1）班的同学一起来到公园植树。要求每排必须种10棵松树，一共要种15排。四（1）班的同学一共要种多少棵树？
练一练：
同学们要排队做操，要排成20排，每排站15人，一共有多少同学在做操？
1、先填空,再想想应用了什么运算律.
45×16=16×（
）
5×(14×9)=(5×
)
×
25×13×4=13×(
×
)
2、计算下面各题，并用乘法交换律进行验算。
78×46
=
65×39
=
27×94
=
3、用简便方法计算
7×25×4
5×37×2
8×16×125
14×35
43×5×4
15×12
25×28
4×9×25
45×6
4、明光小学新建了一幢4层的教学楼，每层有5个教室。每个教室放24张课桌，一共需要多少张课桌？
教学目标：
1.引导学生探究和理解并灵活运用运算定律
2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。
3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
例题1
选择适合的方法运算
31×38+52×31
45×19+4680÷12
125×64
例题2
小黑、小白、小花去钓鱼，小黑钓了25条，小花钓的数量是小黑的5倍，小白钓的数量是小花4倍，小白钓了多少条鱼？
·
1.新风小学学生参加公益活动情况如下表：
活动地点
军营
儿童福利院
敬老院
社区服务站
人数
114
57
86
43
你能很快算出全校共有多少人参加公益活动吗？
2.活动课上，大家都忙得不停，老师提了个建议：“为了轻松一下，谁能给大家出道题算算？”话音刚落，爱动脑筋的明明就出了这样一道题：求100以内所有奇数的和。聪明的小朋友，你也算一算吧
3.
一次中队会上，明明出了这样一道题：口算一辆轿车以126千米／小时的速度飞奔乙地，8小时到达，这辆轿车行了多少千米？话音未落，聪聪脱口而出：1008千米。你知道聪聪是怎么算的吗？
你这几节课学到了什么知识？
说说什么是乘法交换律和乘法交结合律？
怎样运用乘法运算律进行简便计算？
课后练习
一、脱式计算。
（1）50＋160÷40
（2）
120-144÷18+35
（3）347+45×2-4160÷52
（4）（58+37）÷（64-9×5）
（5）
95÷（64-45）
（6）178-145÷5×6+42
（7）85+14×（14+208÷26）
（8）（284+16）×（512-8208÷18）
（9）（58+37）÷（64-9×5）
二、填
空。
1．(
)法、(
)法、(
)法和(
)法统称四则运算。
2．在一个算式里只有加、减法或只有乘除法的运算，应(
)依次计算，既有加法又有乘除法的运算应先算(
)，再算(
)，有括号的要先算(
)里面的，再算(
)外面的。
3．40减去40除以40的商，所得的差再剩以40，结果是(
)。
三、其他题。
1.
把下面几个分步式改写成综合算式．
960÷15=64
64－28=36
2.
把下面几个分步式改写成综合算式.
75×24=1800
9000－1800=7200
3.
把下面几个分步式改写成综合算式.
4535－500=4035
782－777=5
4035÷5=807
4.
把下面几个分步式改写成综合算式.
8×15=120
63＋120=183
183÷61=3
5.
给下面的式子加上括号，使等号左右两边相等.
7×9＋12÷3=91
7×9＋12÷3=25
7×9＋12÷3=49
48×6÷48×6=1
四、文字叙述题
1、6000除以59与35的差,
商是多少?
2、52与28的差与25相乘,
积是多少?
3、347与34的和,除以75与72的差,
商是多少？
4、从480里减去35的6倍，差是多少?
得到的差再除以9，结果是多少？
教学目标：
1.
使学生联系商不变的规律和分数的基本性质，进行知识的类比迁移，理解比的基本性质。
2.
使学生在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简比的方法。
3.
培养学生自主探究、归纳总结的能力，掌握转化的数学思想。
教学重点：
联系商不变的规律和分数基本性质，理解比的基本性质。
教学难点：
在理解比的基本性质的基础上，掌握化简比的方法。
教学过程：
一、复习导入
师：在上课前，谁来说一说我们学过的商不变的规律和分数的基本性质分别是什么？
生1：商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
生2：分数的基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
设计意图：通过复习商不变的规律和分数基本性质，唤醒学生已有认知，为本节课学习比的基本性质奠定基础。
二、探究新知
1.
推导比的基本性质。
师：联系比和除法的关系，会不会存在像商不变这样的规律呢？
学生独立思考后小组讨论，得出结论：比中存在像商不变这样的规律。
师：谁来说一说你们组的思考过程。
生：
6∶8＝（6×2）∶（8×2）=12∶16
6÷8＝（6×2）÷（8×2）=12÷16
6÷8＝（6÷2）÷（8÷2）=3÷4
6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）=
3∶4
师：联系比和分数的关系，想一想：会不会存在像分数基本性质这样的规律呢？
学生独立思考后小组讨论，得出结论：比中存在像分数基本性质这样的规律。
师：谁来说一说你们组的思考过程。
生：
6∶8＝（6×2）∶（8×2）=12∶16
＝
＝
＝
＝
6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）=
3∶4
师：想一想：在比中有什么样的规律？你能概括成一句话吗？
生：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
师：没错，这就叫做比的基本性质。根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
设计意图：本环节学生利用比和除法、分数的关系，把除法和分数转化成比的形式，根据商不变的规律和分数的基本性质自主探究，并在此基础上，概括出比的基本性质。
2.
运用比的基本性质化简比。
师：“神舟”五号搭载了两面联合国旗，一面长15
cm，宽10
cm，另一面长180
cm，宽120
cm。这两面联合国旗长和宽的最简单的整数比分别是多少？我们先来看第一面旗。
师：15∶10＝（15÷5）∶（10÷5）＝
3∶2。思考在这里5是15和10的什么数？
生：5是15和10的最大公因数。
师：为什么要除以5？
生：除以最大公因数后，前项和后项互质，就是最简单的整数比。
师：是的，那怎样化简第二面联合国旗长和宽的最简整数比？180和120同时除以几？
生：180和120同时除以60，
就是180∶120＝（180÷60）∶（120÷60）＝
3∶2。
师：为什么？
生：因为180和120的最大公因数是60。
师：我们接着往下看，当前、后项出现分数，例如∶的情况，可以怎样化简比呢？
生：可以把前、后项同时乘18，就是∶＝（×18）∶（×18）。
师：为什么要乘18？
生：因为18是分母6和9的最小公倍数，这样就可以将分数转化为整数了。
师：最简单的整数比是多少？
生：∶＝（×18）∶（×18）＝3∶4。
师：当前、后项出现小数，例如0.75∶2的情况，可以怎样化简比呢？
生：可以把前、后项同时乘100，
就是0.75∶2＝（0.75×100）∶（2×100）。
师：为什么要乘100？
生：因为乘100后可以把小数变为整数。
师：那接下来怎么做呢？
生：按照前、后项是整数的情况进行化简：
0.75∶2＝（0.75×100）∶（2×100）＝
75∶200
＝
3∶8。
师：想一想，当一个比的前项或后项不是整数时，怎样把它化成最简单的整数比？
生：当前、后项出现分数或小数时，可以先把前、后项化为整数，再根据前、后项是整数的情况化简为最简单的整数比。
设计意图：本环节通过化简前、后项是整数的比和前、后项不是整数的比，掌握了化简为最简整数比的方法。在化简的过程中使学生感受到化简的必要性，即使量与量之间的关系更加清晰、简明。
三、巩固练习
1.
把下面各比化成后项是100的比。
设计意图：本题是比的基本性质的具体应用，使学生初步感受比例的思想。
2.
把下面各比化成最简单的整数比。
设计意图：本题使学生练习各种类型的简化比，掌握灵活的化简比的方法，加深对比的基本性质的理解。
3.
小亮的说法对吗？
设计意图：本题出示不同单位的两个数量，使学生明确，在表示同类量的比时，应统一单位名称。
四、课堂小结
师：通过这节课的学习，说一说比的基本性质是什么？
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
师：怎样把比化成最简单的整数比？
《数学课标》指出，口算有着十分广泛的应用，培养学生的口算意识，发展学生的口算能力，让学生拥有良好的数感，提高计算能力，具有重要的价值。据统计在实际生活中应用口算的机会要比笔算的机会要多的多，所以，口算能力是现代社会生活的需要，是衡量人计算能力的一个重要标准。重视加强口算教学已成为世界性的潮流。
一、 要加强学生的口算意识
在数学教学中渗透和强化口算意识，能够进一步增强学生的学习兴趣，激活学生的思维，开阔学生的思路，培养学生思维的敏捷性、灵活性、独创性，提高学生综合运用多种方法处理解决实际问题的能力。培养学生的口算意识主要从两个方面入手。一方面，教师要在教学中有意识的渗透口算思想，用口算法对数学规律进行计算，用口算法检验解题思路，用口算法检验解题结果等，将口算教学贯穿教学始终，使学生在潜移默化中强化口算意识。另一方面，让学生尽可能的运用口算解决生活中的一些实际问题，感受口算知识的实际应用价值，从而增强主动探索口算方法的意识。口算时应注意两点：其一，不动笔，动笔计算不利于口算能力的提高，也不利于提高学生口算能力的敏捷性；其二：计算时要有速度要求，使学生有紧迫感。
二、 掌握口算的一般策略
虽然口算的方法灵活多样，但口算也不是无规律可循，口算的基础是“凑整法”和找规律。第一是数据简化。简化的目的是使数据计算变的较为容易，比如，可以将52+38简化为50+30加2+8后再进行计算。在具体的口算过程中又有以下几种口算方法：
（1） 凑整法
这个方法在日常生活中是运用最广泛的，也是数学学习中基本的口算方法，也就是个位“看大数，分小数，凑满整，加剩数” 的方法。这种简便的口算方法在一年级就已经渗透到数学学习过程中了。在教学“20以内的加法”时，我自编顺口溜，激发学生共同参与的创造激情，调动他们学习积极性，在大多数学生喜欢用凑整法来计算时，我引导他们找出规律编成顺口溜“9加几真容易，从里面拿出1，和9凑十在一起，8加几真不难，从里面拿出2，和8凑十要记牢…”例如。52+9（51+1+9），36+3（30+3+6），75-4（70+5-4），62-9（50+12-9），不用笔算，很快说出算式的得数。再如计算2.8元/斤×1.8斤，把1.8当作2，2.8×2=5.6元，2.8×0.2=0.56元，5.6-0.56=5.04元这个计算过程速度快，道理清楚，结果准确让人信服，这也是利用“凑整”思想来口算的。
（2） 先估后调
口算要重视估算的作用。在小学低年级，由于学生所学知识结构简单，只要口算的数值在可允许的浮动区间就可以了，但到了高年级，对学生的要求就要提高到能计算得快又准确，这就要根据实际情况先估后调。比如，由学生238人，老师158人，去看电影，有399个座位够不够。先把238看作240，158看作160；240+160=400，座位不够。但调整后就可以发现每个加数的数据都多了2，再减去两个2就是396人。所以399个座位够了。这就是通过估算先确定一个数值的区间再进行口算，以保证口算结果的准确性。
（3） 根据运算性质口算
就是改变运算顺序，变型不变值。根据法则定义，改变运算符号和数据，促使学生对知识融会贯通。一是掌握运算性质的特殊性，二是抓运算性质的逆运算，加深对解题思路的深刻理解，从而培养学生思维的灵活性，提高学生巧算能力。
例如，456-164-136=156，根据一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。456-（164+136）=456-300=156；再如，3600÷125÷8=3.6根据一个数连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积等运算性质，让学生充分理解计算算理。
（4） 根据运算定律
熟记加法、乘法的相关运算定律，并根据加法交换律、加法结合律、乘法交换律、结合律、分配律等运算定律进行口算，25×14×40=25×40×14=14000，（根据乘法的交换律和结合律）125×64+16×125=80×125=10000（根据乘法对加法分配律的逆运算进行口算）
（5） 表内乘除法口算
将表内乘除法分为表内乘法与表内除法两块进行教学，并以表内乘法的教学为重点。即把乘法口诀集中起来教学，将乘法与除法划分开来教学，突出重点，以“乘”促“除”。由于表内除法是从表内乘法运算的可逆联想着手进行的，它利用一句乘法口诀逆算的正迁移来口算同一被除数的一组除法。例如，36÷4=？，想：四（ ）三十六，商是几；27 ÷9=？，想（ ）九二十七，商是几。在掌握同一被除数的一组除法后，同样的方法又有利于迁移到另一组除法运算中去。以提高学生乘除法的口算能力。
三、 抓好口算教学的针对性
（1）熟悉运算定律。
要让学生熟记和理解如加法交换律、加法结合律、乘法交换律、结合律、分配律等运算定律。并能根据所给的数据及时想起相对应的运算定律，加大运算定律在口算教学中的应用，以提高学生的计算能力。
（2）要进行专项的强化训练。
因为口算是一种打破学生原有计算习惯的计算方法，是学生对所学知识的重组、完善、再重组的过程。因此教师要通过一定量的练习，使学生在熟练计算的同时，加深对多种口算方法的理解和运用。
（3）加强算法指导。
小学数学是具有方法论意义的一门科学，数学教学必将影响和改变学生思维方式，而学生良好的思维方式和思维素养，集中表现在善于运用现代思维去思考和解决数学问题，这就给数学教学增添了一项新任务――使学生具备健全、发达灵巧的“数学头脑”。而这样的数学头脑的形成与发展和口算训练是密不可分的。有些教师在口算练习中，用抢答式、开火车式、口算板书式进行口算练习，忽视了学生思维的发展过程，这种做法的不足之处是单纯的注重结果，教师不能充分了解学生对计算法则规律等的掌握程度，运用的计算方法是否简便，从而不能很好的了解学生对算法的掌握情况。所以提高学生计算能力，重视口算教学就要首先注重口算教学的算法指导。
（4）精心设计习题。
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