所谓反证法，就是要证明“若A则B”时，先将结论B予以否定，记作B，然后从A与B出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾（可以与已知矛盾，如本文中的例1；也可以与假设矛盾，如本文中的例2；也可以和学过的定义、定理、法则等矛盾，如本文中的例3），从而使原命题得证.
反证法大致又可以分为以下两种类型.
1.归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了证明目的，如本文中的例1和例3.
2.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确，如本文中的例2.
反证法常用于以下几种命题的证明.
一、命题中不易找出可以直接推证的关系
例1 在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，ac，bd.求证：c与d相交.
证明：假设c∥d.因为ac，所以ad.又因为bd，所以a∥b.这与已知a与b相交矛盾，所以c与d相交.
二、命题中含有“不”、“无”等词（称作否定形式的命题）
例2 求证：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.
证明：假设有整数a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.
当a、b同为奇数或同为偶数时，a+b和a-b皆为偶数，则（a+b）（a-b）应为4的倍数，但2（2n+1）除以4余2，与假设矛盾.
当a、b为一奇一偶时，a+b和a-b皆为奇数，则（a+b）（a-b）应是奇数，但2（2n+1）是偶数，与假设矛盾.
所以假设错误，即2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.
三、命题中含有“最多”、“最少”、“超过”、“不超过”等词
1 可以应用反证法的几类问题
1.1 某些具有唯一性的命题
在中学数学中，唯一性的问题比较常见，也是很平凡的一类数学问题，而要对于这些唯一性的命题加以论证，用我们常用的直接推理方法是很难证明的，也是不能直观启示我们解决这种问题，通过图形的启发，有利于得到证题的途径，那么解决这类问题最好的方法就是采用反证法，能够简便的证明唯一性的命题。
由此来看，在应用直接证明法证明问题时，要尽可能画出准确图形，这样可以通过图形的直观启示，有利于找到证明的途径，而反证法却恰好不同，它往往为了清楚地说明问题，常常需要画出某些不准确的图形，甚至不存在的图形，从而进行归谬证明，这就是反证法的基本特征之一。
1.2 结论为“不是”“不等”“不平行”或“必是”“必过”等否定或肯定的命题
在结论给予的是否定或肯定的命题时，通常采用直接法是很难得出证明途径的，就算能够经过分析法、综合法多种方法的合用能够加以证明，但证明过程相当复杂，而且难度很大，此时，我们通常采用“反证法”。
1.3 某些结论以“至多”“至少”等形式出现的命题
像“至多”或“至少”这样的问题，通常可以从相反的意义“至少”或“最多”来考虑问题，那么这类问题就简单多了。
1.4 用反证法证明“无限”类的命题
有些命题要证明结论中涉及“无限”的形式，如：要证明具有某种性质的元素有无穷多个，一般来说不容易直接证明的，而“无限”的反面是“有限”，以“有限”为前提进行推理论证就要方便多了。
综述，以上四种类型的问题，是中学数学中应用反证法最基本、最典型的几类问题。
2 反证法中怎样推出矛盾
2.1 与“反设”矛盾
例如：如图2-1所示，已知在ABC中，BEAC于点E，CFAB于点F，求证：AB=AC
证明：假设AB≠AC，若AB>AC，
SABC= AB・CF，
SABC=AC・BE，BE=CF，
AB・CF>AC・BE
即：SABC>SABC，这是个矛盾，
若AB
假设不成立，即：AB=AC
2.2 与“已知条件”矛盾
例如：如图2-2所示，在四边形ABCD中，AB+DB≤AC+CD，
求证：AB
证明：假设AB=AC，则在ABC中，
∠ACB=∠CBA，
但∠BCD>∠ACB，
∠BCD>∠CBD，
BD>CD，
BD+AB>CD+AC
这与已知条件AB+DB≤AC+CD相矛盾，
若AB>AC，在ABC中∠ACB>∠CBA，
又∠BCD>∠ACB
∠BCD>∠CBA 而∠CBA>∠CBD，
∠BCD>∠CBD BD>CD
AB+BD>AC+CD
与已知条件AB+DB≤AC+CD相矛盾
综述，AB≠AC，AB≯AC，AB
2.3 导致自相矛盾
例如：求证：方程8x+15y=50没有正整数解
证明：假设方程8x+15y=50有正整数解，x=x0，y=y0
则：8x0+15y0=50
8x0=50-15y0=5（10-3y0）5是8x0的约数，
因此，5是x0的约数，x0≥5
又8x0=50-15y0，y0是正整数，y0≥1，
8x0≤50-15=35
x0≤35/8 这与前面推出的x0≥5相矛盾，
故，方程8x+15y=50没有正整数解
2.4 推出与已知的定义、定理、公理、性质矛盾
例如：已知点A、B、C、D是平面内4个点，其中任意两个点不在同一条直线上，求证：总能在其中选出三个点，使其三点组成的三角形至少有一个不大于45°。
证明：假设在点A、B、C、D中任三点所构成的三角形的所有内角都大于45°，可分两种情况：
⑴ 若点A、B、C、D成凸四边形（如图右）则假设∠ABD、∠CBD、∠BAC、∠DAC、∠ADB、∠CDB、∠ACB、∠ACD都大于45°，
则：∠ABD+∠CBD+∠BAC+∠DAC+∠ADB+∠CDB+∠ACB+∠ACD>8×45°=360°，
即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC>360°，
这与四边形的内角和为360°矛盾。
⑵ 若点A、B、C、D成凹四边形（如图2-4-2），连结AC、BD，假设∠ABD、∠ABC、∠ACB、∠ACD、∠ADC、∠ADB都大于45°，
则∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC+∠ADB>6×45°=270°，
即：∠DBC+∠BCD+∠CDB=270°
这与三角形的内角和为180°矛盾，
由⑴、⑵可知，命题得证。
在中学数学中，反证法中的矛盾大致由以上四种矛盾灵活组成，只要推出矛盾存在，则假设不成立。推出矛盾是反证法中的关键步骤，也是反证法中的必要步骤，通过矛盾来肯定结论。
3 总结中心论点及其反证法的错误使用和结果
反证法是中学数学中的证明方法之一，在中学数学应用中占有较高的地位，应用及其广泛，灵活运用反证法能够有效地解决某些数学问题，这就要求我们学会正确使用反证法，把反证法在数学中运用得灵活多变、自如。
关键词：反证法；证明；矛盾；命题；假设
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.在数学里这种方法叫反证法.
反证法不但在实际生活和初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.即：提出假设――推出矛盾――肯定结论.
“反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其他各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.下面通过具体的例子来说明其应用。
一、否定性命题
证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾.假设错误，则AB∥CD
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等.
关键词：反证法；证明；矛盾；应用
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0077-02
在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。
一、反证法原理及解题步骤
1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。
2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。
二、反证法在中学数学中的应用
反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。
1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。
与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
2.否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求证：a，b，c中至少有一个不小于1。证明：假设a，b，c都小于1，则2x2-2x+3.5
4.无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我们常使用反证法。
例3 证明■是无理数。证明：假设■不是无理数，那么■是有理数，不妨设■=■（m，n为互质的整数）， m2=3n2，即有m是3的倍数，又设m=3q（q是整数），代人上式得n2=3q2，这又说明n也是3的倍数，那么m与n都是3的倍数，这与我们假设m、n互相矛盾，■是无理数。
5.唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个…”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明，常能使证明过程简洁清楚。
例4 设0
从而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此与x1≠x2且0
三、应用反证法应该注意的问题
对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法。
1.必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法的首要问题。
2.必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一出现，证明即告结束。
3.了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结，才能熟练运用。
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根据六步实证教研法研修步骤，学校在数学学科方面作了尝试。一周的时间走了一遍这六步实证教研模式。由于是初步尝试。我们只选择了18名数学教师组成了一个教研团队。以三年级的《认识周长》，及五年级的《平行四边形的面积》为研讨内容。确立了六步实证教研法的实施方案。周一，我们将备课任务交给团队成员，并将每个老师一周内每天要做的工作进行了详细布置。周二，备课组成员集中一起分别就两堂课的教学目标及课堂教学的流程进行了集体研讨。确定了《周长的认识》一课的学情前测方式为全班访谈，《平行四边形的面积》一课的学情前测方式为答卷。两位任课教师就集体研讨的结果结合学情前测学生所存在的问题对自己的教案进行调适。周三，两位任课老师分别作课，我们将课堂观察分为教师教学和学生学习两大观察视角。教师教学又分为教学环节，教师导学，问题解决，教学评价四个观察点，学生学习分为知识与技能目标，问题解决，数学思考，情感体验四个观察点。16名观课老师进行分工观察，并作了较为详细的记录。课后，两位老师分别对学生进行了一度测评。《周长的认识》选择了数学书上的习题，《平行四边形的面积》是教研组组长设计的练习题。测评之后，由组长分别写出了测评结论。作课老师布置学生回家完成家庭作业。周四，上午，两堂课的老师和教研组长对学生的家庭作业进行批改，写出了分析报告。下午，全体教师再次根据周三上课情况及学生作业的完成情况进行了集体交流。各观课老师就自己的看点指出现象，提出想法与建议。周五，两位作课教师再次修订了教案后上课。其他听课老师依旧按照前次的观察点进行观课，课后，集中观课老师进行交流，作课老师根据老师们的观课结论，写出自己的教学反思。
通过一周实施，六步实证教研法的特点得以体现。整个教研团队的研修实力得到了印证。各教研组成员对六步实证教研法有了基本的认识。每个教研组成员的教研意识得以强化，教研水平得以突显。两堂作课的老师通过这种教研模式对各自所上的课有了更深的理解。对课堂的驾驭能力有了更高的提升。这从前后两次的作课效果可以窥见一斑。在六步实证教研法实施的过程中，做得较好的地方是精观课堂之后的集体交流，每个人都畅所欲言，指出课堂观察中出现的问题并提出个人的建议。这个环节中，部分教师的独特看法很有参考价值，为作课老师修订教案提供了很好的素材。也为教研组发现人才提供了依据。精观课堂整个过程紧紧围绕教学目标的达成度展开，真正实现了教学方法的优化，教学的有效性得以明显的提高。
毕竟是第一次进行教研方法的研究学习。在实施过程中，仍然有很多地方存在问题。比如团队预设一步，教研组的成员没有将自己对课标的解读及教案的编写形成文字，只是将存在头脑里的想法进行了简单的交流。这样做无法检验老师们对课标的熟悉程度，老师们对具体的教学流程考虑也不够全面细致。虽然，在团队预设的过程中有着讨论的形式存在，但目标指向不够明确，有些说到哪里哪里停的弊病。还有老师们明显地对课标重视程度不够，只认为把教学流程说清楚就行，目标大家都心里有数，应该是没交流的必要。诸不知课标是教学的核心，只有以教学目标为前提，教学环节围绕教学目标的达成来设计才是正确的路子。老师们在这点上认识不够，多从自己的经验上对教学过程进行设计，而对哪种设计是为了达到什么目的，体现了什么样的教学理念，有着什么样的数学思想则考虑不足。其次，精细观课这一步存在问题也比较明显。观察学生学习这一视角，是从数学课的四大教学目标去分的类。即知识与技能，数学思考，解决问题，情感体验。教师教学这一视角的四个看点则是选择了几个看点教学环节，教师导学，问题解决，教学评价。从老师们的记录情况来看，教师导学这一项，老师记录起来有难度，老师是怎样引导学生自主学习？怎样指导学生合作学习？等这些观察点都给老师设置了难度，使得老师无法将自己的观察与记录合上节拍。老师们对观课看点不够理解，比如学生学习中的情感体验，要求教师观察学生学习习惯哪些得到了培养，观课老师就不知道哪些是学生学习中应该培养的习惯。因此观课存在记录不到位的现象，分析看点问题则成了记录教学过程。这就使得讨论交流意见时老师们更多的说到教学某个环节处理不到位，而与相关看点的理论结合不上。也有少数老师因为分工观察这样的观看方式是第一次，一时不能适应，所以没能对观察点进行详实的记录与分析。其三，一度测评与再度测评重视程度不够。虽有所体现，但是将测评结果与教师教学相结合哪些还存在问题没有具体的分析，导致测评有些流于形式。其四，部分老师第二次观课的记录与第一次观课的记录无法对比，看不出作课老师有哪些地方有了明显的改进，明明是改进了，但是没有反映出来。这说明老师观课仍然没有引起重视，没能按点进行观察。这样势必影响作课老师的再次反思。
综上观点，我以为要让六步实证教研法落实到位，最大限度地发挥它的教研作用，推动我们教研组的基本建设能力。还需要通过这些方面加以努力。
第一，课标学习集中培训，力求每一个老师对课标理念，课程内容中的核心概念，课程内容的解析及变化分析等理论知识在头脑中建立一个比较明晰的知识体系。对每一课的教学目标进行认真地设定。关注学生对知识的形成过程的探究而非结论的掌握。
第二，调动老师们积极参与教研活动的热情。只有让每一位教研组成员都以高度的责任感与使命感来参与教研，就不会出现有老师混混沌沌地跟着别人的步子走，而缺乏自己的个性，缺失自己的参与。当然这一步得看学校领导对教研的重视程度。也与老师是否从自身的成长方面去用发展的眼光看待自己的教学与教研能力有必然的联系。
关键词 反证法 极小反例 真子群 幂零群
中图分类号：O156.1 文献标识码：A
Reduction to Absurdity-Minimal Counterexample
ZHANG Xianxiu， ZENG Lingyan， XIA Zhenpei
（Liupanshui Normal University， Liupanshui， Guizhou 553001）
Abstract Reduction to absurdity is discussed in this paper， raises the minimal counterexample in group theory， a commonly used identification method， and proved them some conclusions.
Key words proof by contradiction； minimal example； proper subgroup； nilpotent group
1 预备知识
在本文中，（）表示的阶；[] = ；是的正规子群，记着：I$。
先看一些定义：
定义1 （文献【2】：55页）若是有限群，是素数，设，但不整除。则中必存在阶子群，叫做的子群。
定义2 群不是幂零群，但的每个真子群都是幂零群，则叫做内幂零群。
再看一些引理：
引理1 （文献【2】：31页）设I$，和/均可解，则可解。
引理2 （文献【2】：137页）设是有限群，是幂零群的一个充要条件是：的每个Sylow子群都是正规的，因而是它的诸 Sylow子群的直积。
引理3 （文献【2】：142页）设是内幂零群，则 = ，≠均为素数，且适当选择符号便有的Sylow -子群I$，而Sylow -子群循环，故不是的正规子群，并有（）≤（）。
2 主要结论
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理、公理、定义、题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法。
法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：
欲证“若则”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。
反证法是数学证明中的一种极其重要的数学方法，特别是对于一些直接证明比较难的问题来说，使用反证法去证明，将会变得非常简单。先看一个大家熟悉的证明：
证明是无理数。
证明：假设不是无理数，那么是一个有理数，令 = （，都是整数，，互素，且≠0）两边平方得：2 = ， = 2，显然是偶数，令 = 2，代入 = 2得2 = ，显然是偶数，这与，互素矛盾。所以是无理数。
这个证明主要用到 = 2。有理数的性质实质上是整数的性质：能被2整除，则是偶数。因为奇数的平方还是奇数。运用整数的这个性质我们还可以证明下面的结论。
定理1 证明：在勾股数中，两条直角边对应的勾股数不可能都是奇数。
证明：设，，是一组勾股数，，对应的是直角边，假设结论不成立，即，都是奇数，由勾股定理 + = 得是偶数，则是偶数；另一方面，设 = 2 + 1， = 2 + 1，则 + = + = 4（ + + + ） + 2，不能被4整除，设 = ，则 = ，能被4整除，左右不可能相等，矛盾，故原命题成立。
下面的结论是显然的：
定理2 勾股数不能都是奇数。
数学归纳法的理论根据是最小数原理，可用反证法证明。而最小数原理也是用反证法证明的。最小数原理（又称自然数的良序性）自然数集的任一非空子集必含有一个最小数。
证明：假设≠，且中没有最小数，为所有小于中任何一个数的自然数构成的集合。
由0（否则，0是中的最小数），知0。
设是中的任一自然数，即
用反证法：若 + 1，在中必存在，使 + 1≥。又由中没有最小数，知有，使>。这就有≤，但这与矛盾，于是 + 1。
根据归纳公理知 = 。
由非空知有自然数，但。这就出现了
反证法是把结论的反面呈现出来，我们容易看出矛盾，从而结论成立。在代数里，特别是在群论里经常用到的一种证明方法：把反证法和数学归纳法结合在一起，叫做极小反例法。即：用数学归纳法，取较小的数结论显然成立，假设取较大的数结论不成立，所有取的这些数（使结论不成立）组成集合，是自然数集的一个子集，根据最小数原理，中有一个最小数， = 时，结论不成立，即极小反例，然后推出矛盾，说明极小反例不存在，结论成立。
下面用这种方法来证明两个结论：
定理3 设有限群的每个真子群皆为交换群，则是可解群。
证明：设是结论不成立的极小反例（也就是说阶数比还小的群若满足定理1的条件则一定是可解群），不可解，当然不是交换群。由例7.10，含有非平凡正规子群，则是交换群，当然可解，再看商群/，显然/的每个真子换，由于/
定理4 在有限群中，若对任意的，，只要（（），（）） = 1，就有[，] = 1，则是幂零群。
证明：设群是结论不成立的极小反例。显然，对于的任何一个真子群，具备定理条件，又
基金项目：（1）六盘水师范学院校级课题（LPSSY201012）；（2）六盘水师范学院校级课题 （LPSSY201003）；（3）六盘水师范学院数学教育教学团队（LPSSYjxtd201102）
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【关键词】 非命题；逆命题；否命题；逆否命题；反证法
一、非命题
非命题是高中数学的简易逻辑中出现的概念，而在实际生活中，非命题类的语句也经常用到.“非”是否定的意思，对命题进行否定得出的新命题，我们称之为非命题.所以，当某一个命题为真命题时，将之否定得到的就是假命题，同样，若一个命题为假命题时，将之否定则是一个正确的命题，即真命题.一般情况下的这样两个命题称为一组“互非命题”.
我们来看一句话，为表述方便，把它记为A：“0的倒数是0.”这句话可以判断真假，我们称之为命题，又因为1/0在初等数学中没有意义，所以命题A是假命题，那么，将之否定将得到真命题，也即非A命题：“0的倒数不是0”是真命题.这是数学上的推理，然而在我们的日常口语习惯中，0的倒数既然没有意义，也就是前提不存在，那么结果无论是等于0还是不等于0都是不正确的.数学与逻辑有矛盾吗？
数学是头脑的体操，是逻辑的推演，结论是确定的、可控的，我们说“数学的世界里没有骑墙派”，当然不会产生矛盾.我们把刚才的命题数学化，写成条件命题的标准形式，若p则q形式，改写如下：若x=0则1/0=0；那么非命题为若x=0则1/0≠0，我们将1/0≠0理解成：这个整体可能根本不存在（无意义），也可能取某一个非零的值.换言之，它不仅包括原命题的反面内涵（也即非零值），还包括与之相关联、相和谐的一系列的相关外延.正是这一系列内涵与外延的独立，才使得利用逆否命题可以证明原命题.
二、反证法
反证法可以用来证明任何学科领域的命题.一般的，由证明若p则q形式，转而证明非q推出一系列结论，从而推出一个全新结论t，其中t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非p为假，推出p为真命题.证明的一般步骤一般有三个：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.下面对这三个步骤详加说明.
步骤一：正确地作出反设.否定结论是正确运用反证法的前提，需注意所作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，而提出否定假设相当于增加了一个已知条件.
步骤二：推出矛盾是用反证法证明命题的关键.在证明和推导过程中，已知的一些定义、定理、已知条件都正常应用，提出的反设也作为一个已知条件参与证明和推导.需要注意的是如果否定事项只有一个，我们只要把这个反面驳倒，就能肯定原命题成立，如果否定事项不止一个时，就必须将结论所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立.
步骤三：矛盾判定.需要针对具体问题看待矛盾，一般情况下，是与已知条件矛盾，特殊情况下，虽与已知条件相符（已知条件可在步骤一中参与推理），但与其他定义、定理、公理、事实等矛盾.
步骤四：既然产生了矛盾，必须推究产生的原因，因为在步骤二中的推演是合乎逻辑的正常推导，所以问题只能出在步骤一上，换言之，其反设有问题，由错误的条件产生的矛盾的结论，从而证明了原命题的正确.
三、逆否命题
在逻辑中的命题除了陈述和判定的语气、结构外，有些是在一定条件下的判断，也即：
在某种条件下成立某一结论，这种情形通俗点说就是“如果怎样则结果如何”，在数学上称为“若则命题”，一般表示为“若p则q”，而与之等价的命题为“若非q则非p”，这种命题将原命题的条件用非命题的形式作为新命题的结论，将结论的非命题作为新命题的条件，我们称之为原命题的逆否命题.
在本质上讲，原命题与逆否命题的等价性是反证法证明的逻辑基础.原命题为“若p则q”，则反证法的第一个步骤寻找反设，也即是认定非q的过程，步骤二的推导，也即“若非q则非p”的过程，步骤三的矛盾判定，实际就是非p的判断，步骤四本质上就是原命题与其逆否命题的等价认定过程.
综合以上，我们知道，逻辑判断过程中的逆向思维是以“非命题”形式作为基础，以“逆否命题”作为桥梁，以“反证法”作为实践手段实现的，而且，在逆向思维的应用中，已知的情况以及使之成立的一切条件和与之相符相伴相和谐的一切都在逆向判断的范畴内，所以逻辑是思维的过程，而数学是思维发展的产物，逻辑与数学是共生共存的关系，并且两者会相互促进、共同发展.
【参考文献】
[1]顾银丽.反证法在高中数学中的应用.数学学习与研究，2011（15）.
[2]王永建.生活中的反证法.时代数学学习，2004（9）.
关键词：初中数学；逆向思维；开发；应用
在当前数学教学中常采用的反证法和公式、定理的逆用等都是运用了逆向思维，以下本文将简单介绍如何在初中数学教学中开发和应用逆向思维。
一、逆向思维在初中数学教学中的应用
逆向思维的重要意义就是要打破学生的思维定式，解除学生固有的思维框架，逆向思维就是在思考问题时思维发生突变和跳跃，从而获得全新的解题思路和方法，逆向思维是建设新理论、发展新科学的重要途径。在数学教学中常应用的假设需求解变量为x，即逆向思维在数学中最常见的应用，其原理就是把原本需求解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，利用关系式反推而最终求出x的值。早在19世纪逆向思维就被应用到数学教学中，从而得出了“非欧几何”，20世纪的“模糊数学”也是逆向思维在数学教学中应用的典型事例。
二、数学教学中逆向思维的开发和锻炼
关于如何在初中数学教学中开发和锻炼学生的逆向思维，笔者有以下两点建议。
1.将逆向教学渗入基础知识的教学中
数学是初中教育的基础学科之一，在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时，将逆向思维、逆向教学引入，不但可以加深学生对基础知识的了解，还能够开拓学生的思维能力和思考方式。在概念等基础知识的教学上应着重加强逆向思维的教育。例如在概念中存在很多的“互为”关系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题，培养学生逆向思维的能力，帮助学生建立双向的思维模式。如果教师能够在数学教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题，那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐被开发出来。
2.强化逆向思维在解题方法上的渗透
①分析法。分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条
件，倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中，分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的，有助于学生逆向思
维能力的培养。②反证法。反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立，从而证明命题成立，反证法属于间接求证的方法，数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的，这时一般都会采用反证法，加强学生对反证法应用的锻炼，有助于开发学生的逆向思维、拓展学生思维的深度和广度。③举反例法。在解决数学问题时，若要证明某个命题是错的，除直接证明外，还可以采用举反例的方式来证明。即找出一个符合命题的条件，但是在该条件下命题结论并不成立的例子，这样就证明这个命题是错误的，举反例法需要学生从逆向来看待问题、解决问题。因此，加强学生举反例的锻炼，也可极大地开发学生的逆向思维能力。
数学作为一门重要的学科之一，学生十分有必要学好数学，
这样学生才能更好地发展自身的学业。在新课程标准的推动下，逆向思维的应用对于初中数学教学来讲尤为重要。学生只有掌握好逆向思维的应用，才能更好地掌握数学基础知识，拓展想象力，进而有效拓展新的解题思路。
参考文献：
[1]辛宪军.基于标准的心理健康与社会适应学习评价指标体系及其评价方案的研究[D].华东师范大学，2010.
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